整式的乘除知识点归纳

整 式 的 乘 除
知识点归纳：
1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数。

如：bc a 22-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降）幂排列：
如：1223223--+-y xy y x x
按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--
按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x
5、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=∙（n m ,都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

如：532)()()(b a b a b a +=+∙+
6、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：10253)3(=-
幂的乘方法则可以逆用：即m n n m m n a a a )()(==
如：23326)4()4(4== 已知：23a =，326b =，求3102a b +的值；
7、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）
积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=∙∙∙-
8、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m
同底数幂相除，底数不变，指数相减。

如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷
9、零指数和负指数；
10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。

p
p a a 1=
-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。

如：81)21(233==- 10、科学记数法：如：0.00000721=7.216
10-⨯（第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方）
11、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：
①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

如：=∙-xy z y x 3232
12、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)
注意：
①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。

]
如：)(3)32(2y x y y x x +--
13、多项式与多项式相乘的法则；
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

如：)6)(5(2)3)(23(1
-+-+x x b a b a 、、 14、平方差公式：2
2))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项
公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。

右边是相同项的平方减去相反项的平方。

如：（a+b －1）（a －b+1）= 。

计算(2x +y -z +5)(2x -y +z +5)
15、完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±
公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

注意：
ab b a ab b a b a 2)(2)(2222+-=-+=+
ab b a b a 4)()(22-+=-
222)()]([)(b a b a b a -=--=+-
222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。

如：⑴、试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。

⑵、已知 2()16,4,a b ab +==求22
3a b +与2()a b -的值.
16、三项式的完全平方公式：
bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++
17、单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
如：()()
b a m b a 242497÷-
18、多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

即：c b a m cm m bm m am m cm bm am ++=÷+÷=÷=÷++)( 方法总结：①乘法与除法互为逆运算。

②被除式=除式×商式+余式
例如：已知一个多项式除以多项式243a a +-所得的商式是21a +，余式是28a +，求这个多项式。

怎样熟练运用公式：
（一）、明确公式的结构特征
()()()()()
()()12223244222222
222222....a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b ab
+-=+-+=+++-=++--=
这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．
（二）、理解字母的广泛含义
乘法公式中的字母a 、b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（x +2y －3z ）2，若视x +2y 为公式中的a ，3z 为b ，则就可用（a －b ）2=a 2－2ab +b 2来解了。

（三）、熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．
常见的几种变化是：
1、位置变化 如（3x +5y ）（5y －3x ）交换3x 和5y 的位置后即可用平方差公式计算了．
2、符号变化 如（－2m －7n ）（2m －7n ）变为－（2m +7n ）（2m －7n ）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）
3、数字变化 如98×102，992，912等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了．
4、系数变化 如（4m +2n ）（2m －4n ）变为2（2m +4n ）（2m －4
n ）后即可用平方差公式进行计算了．
5、项数变化 如（x +3y +2z ）（x －3y +6z ）变为（x +3y +4z －2z ）（x －3y +4z +2z ）后再适当分组就可以用乘法公式来解了．
（四）、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a 2+1）2·（a 2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a 2+1）（a 2－1）]2=（a 4－1）2=a 8－2a 4+1．
对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－221
）（1－231）（1－241）…（1－291）（1－2101），若分别算出各因式的
值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题．
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