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数学课例研究报告

一．研究目标

基本目标：通过研究体现数学课堂教学中学生学生主体作用的激发、学生参与作用的操作、学生能力培养方面的发挥、教学策略多样化、教学模式系列化的课堂教学实例及理论成果。

衍生目标：在研究中，通过课例实践，让学生在“做中学”，激发和增强对学习数学的兴趣，体验自主学习与探究思考的过程，发现和掌握数学学习方法，建构自己的数学知识体系，发展自己的数学思维，感悟数学之美，提高数学学习水平。

二、课题研究的内容与方法

（一）研究的内容

课例研究，是最基础的教学实践研究，从课例中，我们可以观察到的教与学实践过程要素是：

●关于教师的教：

A、教学设计的适切性（包涵信息技术应用的适切性）

B、教学过程的生成性（教学机智）

C、教学评价的有效性

关于学生的学：

A、学习的准备

B、学习的注意程度

C、数学思维的深度、广度、灵活性

D、知识巩固能力

●关于信息技术与数学课程整合的过程：

构建有效教学过程，促进学生意义建构

因此，我们的研究内容主要包括对课例的系统分析、总结和课例要素的观察分析。

（二）研究的方法

本课题主要采用行动研究法。以信息技术与初中数学课程整合的研究为载体，把探索研究结果与运用研究成果结合起来，边设计边实施，边实施边修正，边修正边反思，促进课题研究的深入。重点初中各年级的教材内容为主，选择一些突破口。选择若干个点分析其理论基础、内容特点、技术特征、学生的学习方式、学习结果及学生的个性发展等进行研究。

课例研究的流程包括五个步骤：

（1）课前分析（教学内容分析、学生分析）；

（2）教学设计；

（3）课堂教学观察；

（4）教学反思；

（5）教学过程建模。

三、研究的过程

第一阶段：行动序曲

初步的个人备课和准备阶段：

1．研讨课例研究目标的构建与课例内容的确立，形成课例的初步研究方案。

2．制定和申报课例研究方案，成立课例研究组。

第二阶段：实践探索：

1．开展课例研究工作，确定有关研究课的内容，注重集体研讨。

2搜集、整理内容，以便有计划、有系统地进行研究。

3．有实验教师讲课，研究小组听课、评课，形成一定的教学模式。

第三：课后反思

第四阶段：全面总结课题研究工作，撰写集体备课笔记

四：课例研修报告：

课例名称：1、一元二次方程

教师：王伟

课时数：一课时

课型：新授课

一元二次方程

４．分解因式法

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：在前几册学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元

一次方程的分式方程等，初步感受了方程的模型作用，并积累了解一元一次方程的方法，熟练掌握了解一元一次方程的步骤；在八年级学生学习了分解因式，掌握了提公因式法及运用公式法（平方差、完全平方）熟练的分解因式；在本章前几节课中又学习了配方法及公式法解一元二次方程，掌握了这两种方法的解题思路及步骤。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了用配方法和公式法求一元二次

方程的解的过程，并在现实情景中加以应用，切实提高了应用意识和能力，也感受到了解一元二次方程的必要性和作用；同时在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析

教科书基于用分解因式法解一元二次方程是解决特殊问题的一种简便、特殊的方法的基础之

上，提出了本课的具体学习任务：能根据已有的分解因式知识解决形如“x(x－a)=0”和“x2－

a2=0”的特殊一元二次方程。但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标。数学教

学由一系列相互联系而又渐次递进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课《分解因式法》内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。”同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此，本节课的教学目标是：教学目标

1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；

2、会用分解因式法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程；

3、通过分解因式法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想。

4、通过小组合作交流，尝试在解方程过程中，多角度地思考问题，寻求从不同角度解决问题

的方

法，并初步学会不同方法之间的差异，学会在与他人的交流中获益。

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入，探究新知；第三环

节：例题解析；第四环节：巩固练习；第五环节：拓展延伸；第六环节：感悟与收获；第七环节：

布置作业。

第一环节：复习回顾

内容：1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为(x+m)2=n（n≥0）的形式。

2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为一般形式。

3、选择合适的方法解下列方程：

①ｘ2-6x=7 ②3x2+8x-3=0

目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆两种解一元二次方程的方法，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为学生后面的学习作好铺垫。

实际效果：第一问题学生先动笔写在练习本上，有个别同学少了条件“n≥0”。

第二问题由于较简单，学生很快回答出来。

第三问题由学生独立完成，通过练习学生复习了配方法及公式法，并能灵活应用，提高了学生自信心。

第二环节：情景引入、探究新知

内容：1、师：有一道题难住了我，想请同学们帮助一下，行不行？

生：齐答行。

师：出示问题，一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？

说明：学生独自完成，教师巡视指导，选择不同答案准备展示。

附：学生A：设这个数为x，根据题意，可列方程

x2=3x

∴ｘ2-3x=0

∵a=1,b= -3,c=0

∴b2-4ac=9

∴x1=0, x2=3

∴这个数是0或3。

学生B：:设这个数为x，根据题意，可列方程

x2=3x

∴x2-3x=0

x2-3x+(3/2)2=(3/2)2

(x-3/2)2=9/4

∴x-3/2=3/2或x-3/2= -3/2

∴x1=3, x2=0

∴这个数是0或3。

学生C：:设这个数为x，根据题意，可列方程

x2=3x

∴x2-3x=0

即x(x-3)=0

∴x=0或x-3=0

∴x1=0, x2=3

∴这个数是0或3。

学生D：设这个数为x，根据题意，可列方程

x2=3x

两边同时约去x,得

∴x=3

∴这个数是3。

2、师：同学们在下面用了多种方法解决此问题，观察以上四个同学的做法是否存在问题?你认为那种方法更合适?为什么?

说明：小组内交流,中心发言人回答,及时让学生补充不同的思路，关注每一个学生的参与情况。

超越小组：我们认为D小组的做法不正确,因为要两边同时约去X,必须确保X不等于0,但题目中没有说明。虽然我们组没有人用C同学的做法,但我们一致认为C同学的做法最好,这样做简单又准确.

学生E：补充一点，刚才讲X须确保不等于0，而此题恰好X=0,所以不能约去，否则丢根.

师：这两位同学的回答条理清楚并且叙述严密，相信下面同学的回答会一个比一个棒!(及时评价鼓励，激发学生的学习热情)

3、师：现在请C同学为大家说说他的想法好不好?

生：齐答好

学生C：X(X-3)=0 所以X1=0或X2=3 因为我想3×0=0,0×（-3)=0 ，0×0=0反过来，如果ab=0,那么a=0或b=0,所以a与b至少有一个等于0

4、师：好，这时我们可这样表示：

如果a×b=0,那么a=0或b=0 这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中用的是“或”，而不用“且”。

所以由x(x-3)=0得到x=0和x-3=0时，中间应写上“或”字。

我们再来看c同学解方程x2=3x的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a×b=0,则a=0或b=0,把一元二次方程变成一元一次方程，从而求出方程的解。我们把这种解一元二次方程的方法称为分解因式法，即

当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我门就采用分解因

式法来解一元二次方程。

目的：通过独立思考,小组协作交流,力求使学生根据方程的具体特征,灵活选取适当的解法.在操作活动过程中,培养学生积极的情感,态度，提高学生自主学习和思考的能力,让学生尽可能自己探索新知,教师要关注每一位学生的发展.问题3和4进一步点明了分解因式的理论根据及实质,教师总结了本节课的重点.

实际效果：对于问题1学生能根据自己的理解选择一定的方法解决，速度比较快。第2问让学生合作解决，学生在交流中产生了不同的看法，经过讨论探究进一步了解了分解因式法解一元二次

方程是一种更特殊、简单的方法。C同学对于第3问的回答从特殊到一般讲解透彻，学生语言学生

更容易理解。问题4的解决很自然地探究了新知——分解因式法.并且也点明了运用分解因式法解一元二次方程的关键：将方程左边化为因式乘积,右边化为0，这为后面的解题做了铺垫。

说明：如果ab=0，那么a=0或b=0，“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立。“且”是“二者同时成立”的意思。

第三环节例题解析

内容：解下列方程(1)、5X2=4X (仿照引例学生自行解决)

(2)、X-2=X(X-2) (师生共同解决)

(3)、(X+1)2-25=0 (师生共同解决)

学生G：解方程（1）时，先把它化为一般形式，然后再分解因式求解。

解：（1）原方程可变形为

5X2-4X=0

∴X(5X-4)=0

∴X=0或5X-4=0

∴X1=0, X2=4/5

学生H：解方程（2）时因为方程的左、右两边都有(x-2),所以我把(x-2)看作整体，然后移项，再分解因式求解。

解：(2)原方程可变形为

（X-2）-X(X-2)=0

∴(X-2)(1-X)=0

∴X-2=0或1-X=0

∴X1=2 ，X2=1

学生K：老师，解方程（2）时能否将原方程展开后再求解

师：能呀，只不过这样的话会复杂一些，不如把(x-2)当作整体简便。

学生M：方程(x+1)2-25=0的右边是0，左边(x+1)2-25可以把(x+1)看做整体，这样左边就

是一个平方差，利用平方差公式即可分解因式。

解：(3)原方程可变形为

[(X+1)+5][(X+1)-5]=0

∴(X+6)(X-4)=0

∴X+6=0或X-4=0

∴X1=-6 ，X2=4

师：好﹗这个题实际上我们在前几节课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式

分解法。由此可知：一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为主。

问题：1、用这种方法解一元二次方程的思路是什么?步骤是什么? (小组合作交流)

2、对于以上三道题你是否还有其他方法来解? (课下交流完成)

目的：例题讲解中,第一题学生独自完成,考察了学生对引例的掌握情况,便于及时反馈。第2、3题体现了师生互动共同合作，进一步规范解题步骤,最后提出两个问题。问题1进一步巩固分解

因式法定义及解题步骤，而问题2体现了解题的多样化。

实际效果：对于例题中(1)学生做得很迅速,正确率比较高；(2)、(3)题经过探究合作最终顺利

的完成,所以学生情绪高涨,讨论热烈,思维活跃,正是因为这，问题1、2学生们有见地的结论不断

涌现，叙述越来越严谨。

说明：在课本的基础上例题又补充了一题,目的是练习使用公式法分解因式。

第四环节：巩固练习

内容：1、解下列方程：（1）(X+2)(X-4)=0

(2 ) X2-4=0

(3 ) 4X(2X+1)=3(2X+1)

2、一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数？

目的：华罗庚说过“学数学而不练,犹如入宝山而空返”该练习对本节知识进行巩固，使学生

更好地理解所学知识并灵活运用。

实际效果：此处留给学生充分的时间与空间进行独立练习，通过练习基本能用分解因式法解一

元二次方程，收到了较好的效果。

第五环节拓展与延伸

师：想不想挑战自我？

学生：想

内容：1、一个小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的速度h(m)，与时间t(s)满足关系：h=15t-5t 2 小球何时能落回地面？

2、一元二次方程（m-1）x2 +3mx+(m+4)(m-1)=0有一个根为0，求m 的值

说明：a学生交流合作后教师适当引导提出两个问提，1、第一题中小球落回地面是什么意思？

2、第二题中一个根为0有什么用？

b这组补充题目稍有难度,为了激发优秀生的学习热情。

目的：学生在对分解因式法直接感知的基础上，在头脑加工组合，呈现感知过的特点，使认识从感知不段发展，上升为一种可以把握的能力。同时学生通过独立思考及小组交流，寻找解决问题的方法，获得数学活动的经验，调动了学生学习的积极性，也培养了团结协作的精神，使学生在学习中获得快乐，在学习中感受数学的实际应用价值。

实际效果：对于问题1，个别学生不理解问题导致没列出一元二次方程；问题2由于在配方法时接触过此类型的题目，因此掌握比较不错。

说明：小组内交流时，教师关注小组中每个学生的参与积极性及小组内的合作交流情况。

第六环节感悟与收获

内容：师生互相交流总结

1、分解因式法解一元二次方程的基本思路和关键。

2、在应用分解因式法时应注意的问题。

3、分解因式法体现了怎样的数学思想?

目的：鼓励学生结合本节课的内容谈自己的收获与感想。

实际效果：学生畅所欲言，在民主的氛围中培养学生归纳概括能力和语言表达能力；同时引导学生反思探究过程，帮助学生肯定自我、欣赏他人。

第七环节布置作业

1、课本习题 2.7 1、2(2) (3)

2、预习提纲：如何列方程解应用题

四、教学反思

1.评价的目的是为了全面了解学生的学习状况,激励学生的学习热情,促进学生的全面发展.所

以本节课在评价时注重关注学生能否积极主动的思考,能否清楚的表达自己的观点,及时发现学生的闪光点,给予积极肯定地表扬和鼓励增强他们对数学活动的兴趣和应用数学知识解决问题的意

识,帮助学生形成积极主动的求知态度

2.这节课的“拓展延伸”环节让学生切实体会到方程在实际生活中的应用.拓展了学生的思

路,培养了学生的综合运用知识解决问题的能力.

3.本节中应着眼干学生能力的发展,因此其中所设计的解题策略、思路方法在今后的教学中应

注意进一步渗透,才能更好地达到提高学生数学能力的目标.

2课例名称：求解中考压轴题的四种常见解题方法

教师：黄振

课时：一课时

课型：复习课

中考数学压轴题

教学目标：掌握中考压轴题的四种常见解题方法

1.1压轴题的概念

中考数学试卷中的试题排列顺序通常都遵循着“从简单到复杂、从易到难”的原则。中考试题中按题型分类的排列顺序一般是：一、选择题（客观题，有些地方将其称作“第Ⅰ卷”）；

二、填空题（形式简单的主观题）；三、解答题（二、三也合称第Ⅱ卷）。在这三类题型中，

思维难度较大的题目一般都设置在各类题型的最后一题，被称作压轴题。

中考压轴题按其题型的区别及在整个试卷中的位置情况又可分为两类：选择题和填空题型的压轴题，常被称作小压轴题；解答题型压轴题（也即整个试卷的最后一题），叫大压轴

题，通常所说的压轴题一般都指大压轴题。

1.2压轴题的特点

中考数学压轴题的设计，大都有以下共同特点：知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系

复杂、思路难觅、解法灵活。纵观近几年全国各地数学中考压轴题，呈现了百花齐放的局面，就题型而言，除传统的函数综合题外，还有操作题、开放题、图表信息题、动态几何题、新

定义题型、探索题型等，令人赏心悦目。

中考压轴题主要是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其思维难度高，综合性强，往往都具有较强的选拔功能，是为了有效地区分数学学科中尖子学生与一般学生的试

题。

在课程改革不断向前推进的形势下，全国各地近年涌现出了大量的精彩的压轴题。丰富的、公平的背景、精巧优美的结构，综合体现出多种解答数学问题的思想方法，贴近生活、

关注热点、常中见拙、拙中藏巧、一题多问、层层递进，为不同层次的学生展示自己的才华

创设了平台。

1.3压轴题应对策略

针对近年全国各地中考数学压轴题的特点，在中考复习阶段，我们要狠抓基础知识的落实，因为基础知识是“不变量”，而所谓的考试“热点”只是与题目的形式有关。要有效地

解答中考压轴题，关键是要以不变应万变。加大综合题的训练力度，加强解题方法的训练，

加强数学思想方法的渗透，注重“基本模式”的积累与变化，调适学生心理，增强学生信心。

学生在压轴题上的困难可能来自多方面的原因，如：基础知识和基本技能的欠缺、解题经验的缺失或训练程度不够、自信心不足等。学生在压轴题上的具体困难则可能是：“不知从何处下手，不知向何方前进”。

在求解中考数学压轴题时，重视一些数学思想方法的灵活应用，是解好压轴题的重要工具，也是保证压轴题能求解得“对而全、全而美”的重要前提。

2．求解中考压轴题的常见思想方法

2.1分类讨论思想

代表性题型：动态几何问题，存在性讨论问题。

例1．（2009年重庆）已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在

轴的正半轴上，OC在轴的正半轴上，OA=2，OC=3。过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E。

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与轴的正半轴交于点F，另一边

与线段OC交于点G。如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ 与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

解析：（1）由△ADE∽△BCD，及已知条件求得E、D、C坐标，进而求出过点E、D、C 的抛物线的解析式：

（2）EF=2GO成立．

点M在该抛物线上，且它的横坐标为，

∴点M的纵坐标为．设DM的解析式为

将点D、M的坐标分别代入，得

解得∴DM的解析式为∴F（0，3） EF=2

过点D作DK⊥OC于点K，则DA=DK．

△DAF≌△DKG，KG=AF=1，GO=1 ∴EF=2GO

（3）点P在AB上，G（1，0），C（3，0），则设P（t，2）．

∴PG=（t－1）+2，PC=（3－t）+2，GC=2

①若PG=PC，则（t－1）+2=（3－t）+2

解得t=2．∴P（2，2），此时点Q与点P重合．Q（2，2）

②若PG=GC，则（t－1）+2=2，解得t=1，P（1，2）

此时GP⊥x轴．

GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，

∴点Q的纵坐标为．Q（1，）

③若PC=GC，则（3－t）+2=2，解得t=3，∴P（3，2）

此时PC=GC=2，P与D重合

过点Q作QH⊥x轴于点H，

则QH=GH，设QH=h，∴Q（h+1，h）．

解得（舍去）．∴Q（，）

综上所述，存在三个满足条件的点Q，即Q（2，2）或Q（1，）或Q（，）思想方法解读：这道压轴题是将二次函数与平面几何相结合的函数综合题。

第⑴问结合“形”的特征，求出点D、E、C的坐标，再设二次函数一般式，用待定系数

法可求得二次函数解析式。体现了解函数问题时常用到的“数形结合”思想。

第⑵由D、M所在直线与y轴相交哦于F，可求得F点坐标，并求出EF的长度，并由旋转过程中的角度相等关系，设法构造全等求出OG。得证结论。解决第⑵问的关系是将EF、OG转化为可求的已知量，得到其长度关系。体现出数学解题中的“转化思想”。

本题的第⑶问讨论存在性问题。要使△PCG是等腰三角形，其中G、C为定点，P为不确定的点，因此应考虑GC为腰、GC为底，并考虑G、C、P分别为顶点等多种情况进行分类讨论。假设存在P点，结合P点的位置，通过设置P点坐标参数，用所设参数表示出相应三角

形边长，由等腰三角形的性质，构造相应方程，可求出P点坐标。第⑶问不仅体现了分类讨

论思想，还考察了用方程建模的能力。

2.2转化思想

代表性题型：面积问题，二函数图象与坐标轴的交点距离、二次函数与一次函数交点距离、反比例函数与一次函数交点距离问题（与一元二次方程根的系数关系转化）。

例2．已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直

角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA

（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。（4分）

（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m>0，n>0），连接DP交BC于点E。

①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。（3分）

②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。（3分）

解析：⑴由Rt△AOC∽Rt△COB易知，CO2=OA.OB=OA(AB-OA),可求OA=1,OB=4

∴A(-1,0) B(4,0) C(0,2) 可设解析式为y=a(x+1)(x-4)，

将点C(0,2)代入，可求a=∴为所求

⑵；

提示：①ED=EB时，过E作BD垂线，可得

②直线BC的解析式为，设，利用勾股定理和点在直线

BC上，可得两个方程组分别可求和。

⑶方法1：连OP。如图4。

P（m，n）在抛物线上

∴P（m，）

S△CPO=S四边形ODPC－S△OCD

=S△POC+ S△PDO－S△OCD=OC·|x p|+OD·|y p|—OC·OD

=×2m+×2（）－×2×2

=－m+m=－（m－）+

当m=时，S△CPO面积最大，此时P（，）

方法2：过D作X轴的垂线，交PC于M，如图5。

易求PC的解析式为，且，故

∴当时，，

思想方法解读：本题是一道二次函数与平面几何综合的压轴题

第⑴问由三角形形似（或射影定理）求出相关线段的长，写出相应点的坐标。然后灵活设置二次函数式，用待定系数法求出二次函数式。

第⑵问，虽然题目要求是直接写出点E的坐标。但点E的坐标必须通过计算得到。而在计算的过程中，要考虑符合要求的等腰三角形的多样性，需分类讨论顶点、腰的对应情况。

第⑶问是本题的难点。题中的面积表示，要结合P（m，n）在抛物线上，充分利用点的坐标的几何意义，或是利用平面几何的性质，有效表示△BCD的面积，将不能直接表示的三角形面积转化为能用已知线段和P点坐标表示的面积。方法1是将四边形分割成两个三角形

△POC、△POD，方法2，是通过过D点作垂线，直接将△BDC转化为△PDM、△CDM。

2．3极端值思想

代表性题型：动态几何问题，动态函数问题。

例3．已知为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图1所示）．

（1）当，且点与点重合时（如图2所示），求线段的长；

（2）在图1中，联结．当，且点在线段上时，设点之间的距

离为，，其中表示的面积，表示的面积，求

关于的函数解析式，并写出函数定义域；

（3）当，且点在线段的延长线上时（如图3所示），求的大小。

解析：（1）AD=2，且Q点与B点重合。由=1，∴PB（Q）=PC，△PQC为等

腰直角三角形，BC=3，PC=Bccos45°=3×=。

（2）如图：作PE⊥BC，PF⊥AQ。BQ=x，则AQ=2－x。

由△BPF∽△BDP，==，又BF=PE

∴=，∴PF=PE

S△APQ=（2－x）PF，S△PBC=×3PE

∴y=（2－x）

P点与D点重合时，此时CQ取最大值。过D作DH⊥BC。

CD=，此时=，=，PQ=，BQ=AB－AQ=

∴函数的定义域：0≤x≤

(3)方法1：PQ/PC=AD/AB,假设PQ不垂直PC，则可以作一条直线PQ′垂直于PC，与AB 交于Q′点，则：B，Q′，P，C四点共圆。

由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：PQ′/PC=AD/AB,

又由于PQ/PC=AD/AB 所以，点Q′与点Q重合，所以角∠QPC=90°

方法2：如图3，作PM⊥BC，PN⊥AB。由==，即==

∴△PNQ∽△PMC ∠MPC＝∠NPN，∴∠QPC=∠MPC＋∠QPB＝∠NPQ＋∠QPM＝90°

思想方法解读：这是一道动态几何的变式综合题。

第⑴问，线段的比值不变，Q在特殊点（与B点重合），由AD=AB=2，故PQ

（B）=PC，△PQC为等腰直角三角形。利用几何性质可求出PC。

第⑵问中利用三角形相似比，结合已知条件中的固定线段比，找出△PAQ、△PBC高之间的比例关系，是求函数式的关键。而第二问中写出函数的定义域则是难点。需分析出P 点运动的极端情况，当P与D重合时，BQ取得最大值。集合图形的几何性质及已知条件中

的固定线段比，求出此时BQ的长度，既为BQ的最大值。体现极端值思想。

⑶中可以用四点共圆通过归一法求证，也可以通过构造相似形求证。

2．4数形结合思想（用好几何性质）

代表性题型：函数与几何综合题。

例4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）+c（a＞0）与x轴交于A、B 两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为,与x轴的交点为N，且COS∠BCO＝。

⑴求次抛物线的函数表达式。

(2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；

(3)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物

线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个

单位长度?

解析：⑴由直线y=kx－3与y轴交点坐标为C（0，－3）

抛物线y=a（x+1）+c（a＞0）开口向上，过C（0，－3）

∴A、B在y轴两侧，B在y轴右侧。如图。

Rt△AOC中，OC=3，cos∠BCO=∴BC=，OB=1

∴B（1，0）又B（1，0），C（0，－3）在y=a（x+1）+c上

∴抛物线解析式y=x+2x－3

⑵由⑴抛物线顶点M（－1，－4），直线y=kx－3过M，∴直线解析式y=x－3

∴N（3，0）∴△NOC为等腰直角三角形

假设抛物线上存在点P使△NPC为以NC为一条直角边的直角三角形。

①PC为另一条直角边。PC⊥CN，而A与N关于y轴对称在抛物线上。

∴存在P1（－3，0）使△NPC为以NC为一条直角边的直角三角形

②PN为另一条直角边。PN⊥CN，则∠PNO=45°设PN交y轴于点D，则D（0，3）

PN所在直线y=－x+3

由解得

∴存在P2（，），P3（，）使△NPC为以NC 为一条直角边的直角三角形。

满足条件的点有P1（－3，0），P2（，），P3（，）

⑶①若抛物线沿对称轴向上平移。设向上平移b个单位（b＞0）。

此时抛物线的解析式为：y=x+2x－3+b

抛物线与线段NQ总有交点，即由抛物线解析式、直线MC所在直线解析式组成的方程组

有解。由消除y得x+x+b=0，

Δ=1－4b≥0，∴0＜b≤∴向上最多可平移个单位

②若向下平移b个单位（b＞0），设y=x+2x－3－b

由y=－x+3，可求得Q（－3，－6），N（3，0）

对于抛物线y=x+2x－3－b

当x＝－3，y=－b，抛物线与直线y=－x+3有交点，则需－b≥-6，b≤6

当x=3时，y=12－b，抛物线与直线y=－x+3有交点，则12-b≥0，b≤12。

∴向下最多可平移12个单位。

思想方法解读：本题还是一道二次函数与平面几何综合的压轴题。

第⑴问中，由直线解析式求出C点坐标，由C点坐标结合a＞0，判定抛物线与x轴交

点的大致位置。并结合cos∠BCO=，求出B点坐标，在根据待定系数法求出抛物线的

解析式。

第⑵问，以NC为直角边的直角三角形，应分C、N分别为直角顶点分类讨论。结合相应点的坐标及垂直条件，利用45°角的几何性质，分析得到A点满足条件，并求出PN⊥NC时，PN所在直线的解析式，是解题的关键。

第⑶问是本题的难点。分抛物线向上、向下平移两种讨论。向上平移时，需抛物线与直

线NQ有交点，由判别式可确定平移b的范围；向下平移时，线段NQ是否与抛物线相交，关键是两个端点N、Q是否在抛物线外侧。只要取两个端点刚好在抛物线上的特殊情况，进行

分别判断，求出满足条件的b的范围即可，体现出用极端值解题的思想。

反思：由以上的试题可看出，在中考压轴题中所体现出的数学思想方法并不是单一

的，一般每道中考压轴题均综合体现了两到三种不同的数学思想方法。我们在求解压轴题时，一定要结合题型特征，注意一些常见的数学思想方法的灵活运用。

3用好二次根式的两个隐含条件

教师：陈冬艳

课时：一课时

课型：习题课

目标：会利用二次根式隐含条件⑴a≥0；⑵≥0解题

过程：二次根式必满足：⑴a≥0；⑵≥0。这两个条件在实际问题中一般都不直

接给出，称为隐含条件。

例1判断下列式子有意义的条件：

⑴++1；⑵

解：⑴要式子有意义，必有解得∴x≥

即x≥时，式子++1有意义。

⑵要式子有意义，必有，

∵分式的分母不为0，且分母x2是非负数，∴x≠0，

则有-x-1≥0，x≤-1。∴x≤-1时，式子有意义。

例2已知实数a满足+=a，求a-20052的值。

分析：二次根式中必有a≥0。

解：由中，a-2006≥0，∴a≥2006

∴由+=a，得a-2005+=a

=2005，∴a-2006=20052，∴a-20052=2006

例3在实数范围内，设a=（-）2009，求a的个位数字是多少？

解：在与中，∴-2=0（只有0的相反数相等），x=±2；

又由≠0，即x≠2。∴x=-2

∴a=（-）2009=62009，则a的个位数字是6。

例4已知a、b、c为实数，且ax2+bx+c=0，++（c+3）2=0。求4x2-10x 的值。

解：由≥0，≥0，（c+3）2≥0，++（c+3）2=0

∴解得∴2x2-5x-3=0，得2x2-5x=3

∴4x2-10x=2（2x2-5x）=2×3=6。

练习：试卷一份

课后反思：1、这节课是二次根式的拓展延伸，拓展了学生的思路,培养了学生的综合运用知识解决问题的能力.

2、本节中应着眼干学生能力的发展,因此其中所设计的解题策略、思路方法在今后

的教学中应注意进一步渗透,才能更好地达到提高学生数学能力的目标.

2015平面设计实习报告范文3000字

学生姓名：

专业班级：模具设计与制造

实践地点： xxxxxx公司

指导教师：

编写日期：2015.3.13

3年大学生活转瞬即使。2015，当我们还站在大三憧憬时，便被时间和现实狠狠的一把

推向社会。作为2015年的毕业生，今年正是我们实习的时间，当我拿着一纸介绍信去实习

单位报道时，我知道这意味着什么，在学校里的那些小情绪小困扰小挑战，都已经成为微不足道，纸上谈兵的过去。如果大学三年是我们做准备的时期，是我们资本积累的时期，那我们现在应该考虑如何让我们的资本得到应用和运转，那既是如何在社会中使自己的能力实现其价值。我们将有崭新的身份和状态，我们将面对更大的，更现实的任务和困难——独立，

工作，生存。随着社会的快速发展，当代社会对即将毕业的大学生的要求越来越高，对于即

将毕业的我们而言，为了能更好的适应严峻的就业形势，毕业后能够尽快的融入社会，同时能够为自己步入社会打下坚实的基础。

经过了一段时间的理论学习，使我对设计有了基本掌握，对于设计基础也有些掌握。也因此对设计有所喜爱，希望能找份相关的工作，作为应届生，心中想得更多的是如何去做好一个设计、如何更好的去完成每一个设计任务、甚至成为一名职业的设计师。在实习过程中，我深深地感受到做设计通常是缺乏足够的市场和管理上的经验，做出的设计作品经常会与市场经济脱节;而作为管理者通常缺乏设计基础和审美能力，往往为了追求市场效益，过多地

拘束设计师的思维与创新，忽略了设计要素的重要性，造成了设计的庸俗化。所以我们不仅要对基础设计理论能够熟练的运用，对管理学、市场营销、财务管理等各个方面也都有了初步了解。

因此仅仅通过在学校所学的理论知识是远远不够的，这就需要我们去实践，走进公司，

将所学理论与实践相结合，这也是我们这次实习课程的目的。

实习时间：

20xx年xx月1日——20xx年12月31日

实习地点：

厦门麦洋贸易有限公司

实习单位介绍：

麦洋贸易有限公司成立于2011年6月，拥有知名度较高的独立原创男装品牌的同时，

也为大中型企业进行网站筹措、设计，网络推行营销于一体的国内首家云服务综合实习目的：

毕业实习是我们大学期间的最后一门课程,不知不觉我们的大学时光就要结束了,在这个时候,我们非常希望通过实践来检验自己掌握的知识的正确性。并通过社会实践，熟练技

能，了解艺术设计机构，其部门、日常业务活动、整体状态。从中认识到艺术设计活动与人

力、资金、社会的关系。因此，我来到厦门麦洋贸易有限公司，在这里开始了我的毕业实习。

实习内容：

在结束本学期的课程后我就开始寻找一家设计公司去实习，因为仅仅通过在学校所学理

论知识是远远不够的，这就需要我们去实践，走进公司，将所学理论与实践相结合，经过长

时间的寻找终于2011年12月01日，我应聘到厦门麦洋贸易有限公司进行了为期12个月的实习活动，进行学习，任职平面设计。

第一天上班，因为不熟悉上班路线的交通情况，为了不迟到我早早的起床。到了公司时间安排刚刚好。进入公司的时候，不知道该做些什么，什么也插不上手，只是这里看看，那

里逛逛，与经理进行了简单的面谈之后，并没有给我留下过多的任务，先让我熟悉一下环境，了解了一下公司的状况，包括其规模、部门、人员分工等。闲着的时候就试着用photoshop 软件模仿教程做一些简单的图片，说实话我以前在学校的时候也这样做过，不过效果没有这么好，因为以前一遇到难的或不懂的就停下来不做了，而现在有老师在旁边，有不懂的就问，这使我受益非浅。紧接着当然就是跟同事做了一个简单的自我介绍，他们的激情与热情，让我在这里感受到家一般的温馨和快乐，我相信我的选择，这里将会是我人生的另一个起点，

我会好好向他们学习、请教的。

俗话说万事开头难，所以既然决定在这里了就脦从基层开始做起，于是乎我就开始学习了解印刷中纸张的种类、每种纸的不同用途以及常用纸张的规格。印刷是设计中重要的一个

环节，是让设计师的想法和创意转化成现实的一步，因此需要做一些重要的学习与了解。

我了解到，在印刷中，我们需要注意牢记客户所需的纸张的大小规格和图片分辨率等，

因为这是一切创意的基础。设计既要有创意又要严谨，既要从小中见大又要从大中体现出细

致和创意，这是公司经理给我上的第一堂课。并告诉我刚刚踏入社会从事设计行业需要学习

与了解的还有很多，不要浮躁静下心来慢慢学，时间久了，看得多了、做得多了、听得多了，自然也就慢慢上手了，经验就是这样累计起来的。然后我回到我的位置上对同事做了一个简

单的自我介绍，公司同事都特别热情，我暗暗下决心一定要多向他们多虚心学习。

我和同事们一起参与平面设计工作，开始的时候总觉得自己学历很底，没有受过正规系统的学习，审美也很有问题，又没有工作经验，而他们的教育水平明显高于我，他们的能力

也理所应当在我之上......因此，在了解完基本工作流程后我开始接手负责一些比较琐碎的

设计任务。还没有真正地参与到比较完整的活动策划之中。经过几天的磨

合，自己有的缺点和不足，开始慢慢呈现，在校的时候由于实际锻炼的机会比较少，在

软件操作上还是不够纯熟。而且对于客户的要求并不能立即做出反应而他们如鱼得水，做的东西很适用......他们较之于我掌握了更多更实用，更现实化，应用化的东西。而我只是在书本上纸上谈兵.自然还待讨教和学习，再之我的专业又不对口，什么都脦从新学起，学习

起来还是挺累的。

不过这个问题其实也很普遍，像我们这样刚毕业而学历又不高的，很难找到专业对口的工作，所以平时还是多学点对自己以后找工作还是有点帮助的。

但同时这也是幸运的，来到这里正好锻炼一下自己，现在出错还不打紧，以后就没这机会学习了，所以我要好好把握，努力学习并学以致用。通过前几天的工作实践，基本的了解

了公司的设计流程。首先是客户提出要求，然后设计主任根据客户的需求程度，结合每位设计师的设计特点，合理的分配任务，尽量发挥出每位设计师的优点，让设计做到尽量让客户满意。而有的客户会盯着设计师把设计任务做完，往往这种方式基本上是按照客户的意愿做

出来，很容易造成设计缺乏创意与创新，因为大部分的客户还是不了解设计的，他们更多地追求设计时效性，明艳、鲜亮的色调是客户的首选，因为他们认为这样会更加吸引消费者的

眼球。而这种基调如果把握不好，就会造成设计的庸俗化。经过了几天琐碎的设计任务的锻炼，使我学到许多在书本中无法涉及的内容。学到了在学校所不能学到的东西，学会了怎样与客户交流，怎样揣摩客户的心理，锻炼了自己的交流能力，认识到了设计的一般流程，在

这短暂的实习中学到了很多东西对将来进入社会做了初步的了解锻炼，可谓收获丰厚。因为工作就是与客户直接接触，我们工作的目的就是要让客户满意，当然在不能缺乏创意的同时，还要兼顾它在市场上的时效性。并不是说，有创意的设计就一定适应市场的竞争，这就涉及到设计的营销与管理的重要性。如何让设计达到预期的市场效应，首先就要对所涉及到的市

场进行剖析性分析，找到最恰当的目标消费群，进行市场定位，然后确定项目的核心，一切设计行为都围绕着核心概念展开，这样才能使策划项目不偏离市场。

经过几天的基础训练，老师终于让我参与他们正在进行的设计项目，让我跟着学习也锻炼一下自己。公司给了我一个设计的任务。一开始我们设计出的作品并不能符合主观的要求，

未能达到很好的效果。经理看过我的方案后，要我进一步去了解这间机构的性质和作用，要做出更加符合机构精神的设计，我逐渐从中懂得了一些做设计技巧和该注意的问题，要联系实际，要做出有档次的感觉。同时也意识到了由于在学校实际锻炼的机会比较少，在软件操作上不够纯熟。想法也不够偏商业化，而且对于客户的要求理解不够透彻，需要学习的地方还有很多。纸上谈兵终究是偏离现实的，要想真正理解设计，就脦脚踏实地的学习，虚心求教，很多看似理解了，实行起来未必跟想象的一样。在那之后，我还陆续参与了几个设计。

与同事之前的合作让我学到了很多他们的处事方法和设计技巧。每完成一个设计都有说不出

来的成就感，也同时感觉我学到很多东西，大大的增强了我学习设计的积极性。

在公司短短几天的工作里。我基本了解公司的设计流程。首先是设计师接到经理分配的

任务，客户沟通交流，理解客户的需求。然后设计师进行设计工作，定下初稿或样板，在客

户审阅后提出修改意见，最好多做几个方案让客户选择。最后经过经理审阅后，最后提案定稿、送印。

我在实习的过程中学到了许多课本上无法学到的经验，因为在学校中我们的创意和设计

都只局限于作业之中，但如果在公司里，我们的创意还必须得到客户和经理的认同，这是严格许多的。我们必须尽量发挥自己的创意，同时也要兼顾客户的要求和市场的效益。要多与客户沟通，多向主管询问意见，多向身边同事请教。从多方面学习知识不断丰富自己，让自己不断进步。并运用校内所学的知识，同时也要兼顾客户的要求和市场

的效益。多与客户沟通，多向主管询问意见，多向身边同事请教。学习作为一个平面设计师的职业规范和素养;视觉设计能力、美工基础，色彩搭配能力等。从多方面学习知识不

断丰富自己，让自己不断进步。

在平面设计实习期间，让我真正的了解到一名合格的平面设计师不是那么容易做的，从事平面设计这一行业需要掌握很多知识。在短暂的实习过程中，我深深感觉到自己所学知识

的有限和在实践过程中的专业素质的欠缺。从刚开始的无从下手，茫然不知所措到参与设计，