最全面二次根式中考真题及详解精华版)
二次根式
知识梳理
知识点 1．二次根式 重点：掌握二次根式的概念 难点：二次根式有意义的条件 式子 a （a ≥0）叫做二次根式．
1
,2)
5
1 2
( ) ,6) 3
x
2
a 2 例 1 下列各式 1） 5,3)
2, 4) 4,5) 1 a,7) 2a 1 ，
其中是二次根式的是
（填序号）．
a （a ≥0）叫做二次根式．
解题思路：运用二次根式的概念，式子
答案： 1）、 3）、 4）、 5）、 7）
1 x 例
2 若式子
有意义，则 x 的取值范围是 ．
[ 来源:学* 科 *网 Z*X*X*K]
3
a （a ≥0）注意被开方数的范围，同时注意分母不能为
解题思路：运用二次根式的概念，式子 0
答案： x 3
3 若 y= x 5 + 5 x +2009，则 x+y=
例 x 5 5 x 0
解题思路：式 子 a （a ≥0）， , x 5 ，
y=2009，则 x+y=2014 x x 3
4
练习 1 使代数式 有意义的 x 的取值范围是（
）
A 、 x>3
B 、x ≥3
C 、 x>4
D 、x ≥3且 x ≠4 (x y) 2
，则 x － y 的值为（
2、若 x 1
1 x
）
A ．－ 1 ．1 C ． 2 D ．3
B 答案： 1. D 2. C
知识点 2 ．最简二次根式 重点：掌握最简二次根式的条件
[ 来源:学. 科 .网]
难点：正确分清是否为最简二次根式
同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽 方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．
1
x
;3) 5
a
2
b 2
;2) x 2
例 1. 在根式 1)
xy;4) 27abc ，最简二次根式是（
）
． 1) 2) ． 3) 4) ． 1) 3) C ． 1) 4)
A B
C D 解题思路：掌握最简二次根式的条件，答案： 练习．下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） 7
3
2
A ．
B ．
C ．
D ． 1 2
答案： C
知识点 3．同类二次根式
重点：掌握同类二次根式的概念
难点：正确分清是否为同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这
几个二次根式就叫同类二次根式． 例在下列各组根式中，是同类二次根式的是（
）
1
3
3 和 18
3 和
A ． ．
B 2
2
a b 乙乙
ab
C ． D. a 1 a 1
解题思路：∵
18 =3 2 ，∴ 3 与 18 不是同类二次根式， A 错．
[ 来源 :学科网]
3 3
1 3
，
=
3 与
∴ 是同类二次根，∴B 正确． 1 3
ab
2
a, a 2
b =│
a │ ∵ |
b | b ， ∴C 错，而显然， D 错，∴选 B ． b a
3b 乙
2b 2 是同类二次根式，则 练习已知最简二次根式 a a=
，b= ．
答案： a=0 ，b=2
知识点 4．二次根式的性质 重点：掌握二次根式的性质 难点：理解和熟练运用二次根式的性质
2
a(a 0(a a(a 0)
0) 0)
a
2
①（ a ） 2
=a （a ≥0）； a 0( a 0)
②
； =│ a │= 2
0，则 a b 例 1、若 a 2
b 3
c 4
c
．
2
0,(c 4) 解题思路： | a 2 | 0, b 3 0 ，非负数之和为 0，则它们分别都为 0，则
a 2,
b 3,
c 4 ， a b c 3
[ 来源 :https://www.360docs.net/doc/f611644808.html,]
2
a 1 C ( a 3) 例 2、化简：
的结果为（
）
A 、 4—2a
B 、 0 、 2a —4 D 、4
a 3) 2
解题思路：由条件则 a 3 0,a 3 ，运用（ a ）2=a （a ≥0）则 ( a 3
答案： C
(a b)
2
例 3．如果表示 a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│
a －
b │+ 的结果等
于（ ） a
b
o
A ．－ 2b
B
． 2b
．－ 2a
． 2a
C
D
a(a 0(a a(a 0)
0) 0)
a
2
解题思路：运用
；由数轴则 a b 0 ， a b 0 ，则 =│ a │= 原式 = a b a b =－ 2b 选 A
2
a 练习 1. 已知 a<0，那么│ － 2a │可化简为（ ） A ．－ a
． a
．－ 3a
．3a
B
C
D
a
2
b
2
b) 2
2. 如图所示，实数 a ，b 在数轴上的位置，化简
(a ．
a b -1
O
1
3. 若 4 x 2 3 y =0，则 2xy=
。
答案： 1.C 2. － 2b 3.3
知识点 5．分母有理化及有理化因式
重点：掌握分母有理化及有理化因式的概念
3
难点：熟练进行分母有理化，求有理化因式 根式，则称这两个代数式互为有理化因式． 1 1
1 例观察下列分母有理化的计算：
2 1,
3 2,
4 3 ，从计算
2
1
3
2
4
3
结果中找出规律，并利用这一规律计算：
1 1 1
(
)( 2008 1) =
2
1
3
2
2008
2007
解题思路：
( ( 2 1 3 2 2008 2007)( 2008 1)
2008 1)( 2008 1)
2007
1 练习 ．化简
，甲，乙两位同学的解法如下
3
2
1 3 2)( 2
3 3
乙: 3 2. 3 2
( 3 3 3
2) 2)( 3
1 2 ( 3
2
2)
乙
: 3 2
3
2 2
对于甲，乙两位同学的解法，正确的判断（
）
A ．甲，乙的解 法都正确 C ．甲，乙都不正确 答案： A
知识点 6．二次根式的运算 ．甲正确，乙不正确
．甲不正确，乙正确 B D 重点：掌握二次根式的运算法则 难点：熟练进行二次根式的运算
（ 1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代 号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （ 2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积 （商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
b a
b a
4
ab = a · b （ a ≥ 0， b ≥ 0）；
（ b ≥ 0，a>0）．
（ 4
法公式，都适用于二次根式的运算．
a a
b b
ab ，则
例 1 已知 a>b>0， a+b=6 的值为（ ）
2 2
1 2
2
．
．2 ． ．
A
B C
D
a +
b ab =8 ab ，（ a － b ）2
）2=a+b+2 解题思路：∵ a>b>0，∴（
ab =4 ab
=a+b － 2 b) 2
2
b)
( ( a a
4 8 ab ab
1
2
a a
b b
2 2
∴
, ，故选 A ．
例 2 先化简，再求值：
1 1 b b
a(a 5 2
1 ， b= 5 1 ．
2
，其中 a=
a b b)
2
2
ab a(a ab(a b) b)
b
( a ab( a b)
a b 解题思路：原式＝
b)
ab
5 2 1 ，b= 5 2
1 时，原式＝
5 ．
当 a=
1
1 3 2)
例 3 计算： ( 3 4cos30° | 12 |．
1
1 3
2)
解题思路：： ( 3 4cos30° | 12 | ．
[来源: 学,科, 网][ 来源:https://www.360docs.net/doc/f611644808.html,]
3 2
1 3 4
12
4 2 3 2 3 4
5
最新考题
中考要求及命题趋势
1、 掌握二次根式的有关知识，包括概念，性质、运算等；
2、熟练地进行二次根式的运算 中考二次根式的有关知
识及二次根式的运算仍然会
式的概念，性质将是今后中考的一个热点。 应试对策
以填空 、选择和解答题的形式出现，二次根
掌握二次根式的有关知识，包括概念，性质、运算，在运算过程中注意 运算顺序，掌握运算规律，
注重二次根式性质的理解和运用。
[来源:Z §xx §https://www.360docs.net/doc/f611644808.html,]
考查目标一、理解二次根式的概念和性质 例 1. (2009 年梅州市 ) 如果
，则
=
.
a 中， 解题思路： 根据二次根式的概念，在 必 须是非负数，即
≥0. ≥0，可以是单项式，也可以
是多项式 . 所以由已知条件，得
≥0且
x = 3 解： 由题意得
≥0且
≥0，∴ ， =2，∴
=5.
2
b)2
=b －a ，则 ( 例 2. （ 2009 龙岩） 已知数 a ， b ，若 a ≥b
(a ) a ≤b
A. a>b
B. a C. D. a 2 解题思路： 此题是二次根式 的性质的应用，根据其性质，即是指 |a － b|=b －a ，根据绝对值的 意义，可得 a －b ≤0，所以有 a ≤b ，故选 D. a b a b 例 3. 当 成立时， 的取值范围是 . a b a b 解题思路： 商的算术平方根的性质 成立的条件是 ≥ 0， ＞0，不能与二次根式有意义 的条件混淆 . 解： 由 ≥0和 2－ ＞0 得 0≤ ＜2. 例 4. （ 2009 年铁岭市） 若 解题思路： 互为相反数的特点， 互为相反数，则 。 点评： 绝对值、算术平方根、完全平方数为非负数。即： ， 。非负数有一个 重要的性质，即若干个非负数的和等于零，那么每一个非负数分别为零。即： ； ； 6 ； . 考查目标二、二次根式的化简与计算 例5. A. 将根号外的 a 移到根号内，得() ； ； B. －；－ C. D. 解题思路：字母从根号外移到根号内，应特别注意其正负情况，是正数则可以平方后直接移到根号 内，与根号内的被开方数相乘，是负数则应整理后再做移动 方后移动. . 此题隐含了条件＜0，所以绝不可直接平 解：由已知得例 6. 计算：＜0，所以=－( －=－=－故选 ). B. 解题思路： ； 考查目标三、在实数范围内分解因式 例7. 在实数范围内分解因式。 （1）；（2） 解题思路：（1）原式 （2）原式 考查目标四、比较数值 例8. 比较下列数值的大小。 （1）；（2） 解题思路：为了比较两个数的大小，本题要用乘法运算的逆向思维法解决。 解：（1） 由 （2） ，得 由，得[ 来源: 学科网] 7 考查目标五、 无理数大小比较 例 9. （ 2009 贺州） 的整数部分是 ，小数部分是 。 解题思路：因为 是无理数，即无限不循环小数，所以把 分成整数部分 a 和小数部分 b ，其中 b 。 a 是小于 且最靠近 的整数，而 ，这样就可以从 中先求出 a ，再求出 解： ，即 ， ，即 又 是无限不循环小数。 的整数部分是 2，小数部分是 。 考查目标六、 规律性问题 例 10. 观察下列各式及其验证过程： ， 验证： ； 验证： . 4 15 （ 1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果，并进行验证； 4 （2）针对上述各式反映的规律，写出用 n(n ≥2，且 n 是整数 ) 表示的等式，并给出验证过程 . 解题思路：这是一道规律探索题，探索某些特殊的二次根式，可以将根号外面的数直接移到根号内 与被开方数相加 . 通过观察不难发现，这类特殊的二次根式其根号外面的数与根号内的数的分子相同， 根号内的数的分母是根号外的数的平方与 1 的差 . 其验证过程也给我们提供了解题思路 . 解： （1） ；验证略 （2） (n ≥2，且是整数 ). 验证： . 例 11. 已知 ， 则 a a 。 解题思路：把已知式的前三项分母有理化后，解出 解： 已知式化为 8 ，， 点评：因步看到，若把 之前的各项分母有理化后，“环环相扣，前后相消”，仅留2，就好求 a 了。进一2 看成，则。 发展：已知，则。（答案： a a ）. [来源: 学科网] 9 过关测试一、选择题： 1. 若 A. m≥2在实数范围内有意义，则m的取值范围是 （ ）。 m≤2 B. m>2 C. D. m<2 2. 若 A. x=0 =3，则 －1≤x≤2 x 的取值范围是（）。 D. x≥2x≤－1 B. C. 3. 二次根式、、的大小关系是（）。 A. < < B. < < C. < < D. ）。< < 4. 下列式子中，正确的是（ A. （－3）（+3）=2 ÷× B. 5 =5 ）2=－2－ C. 2 ×（－1 （2－）（2+ =2 D. 5. 使等式成立的实数 a 的取值范围是（）。 A. a≠3a≥，且a≠3a≥ B. C. a>3 D. 6. 下列各组二次根式（a>0）中，属于同类二次根式的是（）。 A. C. 7. 当0 2 A. 8. 甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形： 甲：； = = 10 乙： 其中，（ 。 = ）。 A. 甲、乙都正确 C. 只有甲正确 9 ．下列运算正确的是（ 甲、乙都不正确 只有乙正确 B. D. ） 1 1 2 3 3.14) 9 3 A ． 27 3 B ． (π 1 2 D ． C ． 8 化简的结果是 ( 10． ) 2 2 2 2 2 2 Ａ． 2 Ｂ． ． ． C D 1 2 2 之间 4 之间 11．估计 8 3 的运算结果应在 A ． 1 到 C ． 3 到 B ．2 到 3 之间 D ．4 到 5 之间 x 2 在实数范围内有意义，则 12. 若使二次根式 x 的取值范围是 A ． x 2 B ． x 2 C ． x 2 D ． x 2 二、填空题： 1. 已知 a 、 b 在数轴上的位置如图所示， －│ b －a │的化简结果是 。 2 若 x ≠0，y ≠0，则 成立的条件是 。 [ 来源:学科网 ZXXK] 3. 已知 4. 如果 m 是小于 10 的正整数， 且 可化为同类二次根式， m 可取的值有 。 ，x －y=5 －1，那么（ x+1）（ x －1）的值为 。 xy= 5. 已知 =12， x= 。 x 6. 若 a<－ 2， 的化简结果是 。 三、解答题 1 2 3 （ 3 － 6 ） + 8 。 1. 计算： + 1 11 2. 计算：（ 3 18 + 1 5 1 ) 2 50 4 32 。 [来源: 学§科§网 ] a 2 b 2 (a b) 2 3（ . 如图所示，实数 a ，b 在数轴上的位置，化简 ． a b -1 O 1 x x 2 1 x x 2x 1 x 2 4. 已知 x= +1，求（ ） ÷ 的值． x 2 1 1 a 1 1 ，其中 a= 5 2 a 5．对于题目 “化简求值： ”，甲、乙两个学生的解答不同． + 2 2 a 1 a 1 1 2 = a 1 ( a 1 = a 1 + a 2 －a= a 49 5 2 a 2 a) 甲的解答是： + + a 2 a 1 a 1 2 = a 1 = a 1 1 1 ( a +a － =a= 1 a 2 a)2 乙的解答是： + + 2 a a 5 谁的解答是错误的？为什么？ 6. 已知 a 、 b 、c 均为实数，且 =c 。 化简 。 参 7. B 考 答 案 一、选择题 二、填空题 1. D 2. B 3. C 4. D 5. C 6. D 8. A 9.B 10.B 11.C 12.A 12 1. –b 2. x<0 ，y<0 三、解答题 7 和 －4 6. －3. 1 5. ．－2b 1.4 2.2 3 1 (x 1)21 2 4．原式= =－ 5．对于甲的解答，当a= 1 时， 51 a －a=5－ 1 =4 4 >0， 1 ( a 1 = a a)2－a 正确； 55 而乙的解答，当a= 1 时，a－ 5因此乙的解答是错误的．6. a<0 ，b<0，c≥0， 原式=b 1 a 1 = 5 －5=－4 4 5 1 2 ) a 1 a <0，， ≠a－ (a 13 二次根式 知识梳理 知识点1．二次根式 重点：掌握二次根式的概念 难点：二次根式有意义的条件 式子a （a ≥0）叫做二次根式． 例1下列各式1） 22211 ,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 解题思路：运用二次根式的概念，式子a （a ≥0）叫做二次根式． 答案：1）、3）、4）、5）、7） . 例2若式子 3 x -有意义，则x 的取值范围是_______． 解题思路：运用二次根式的概念，式子a （a ≥0）注意被开方数的范围，同时注意分母不能为0 答案：3x > 例3若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 解题思路：式子a （a ≥0），50 ,50 x x -≥??-≥? 5x =，y=2009，则x+y=2014 练习1使代数式43 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 211x x --2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 答案：1. D 2. C ： 知识点 2．最简二次根式 重点：掌握最简二次根式的条件 难点：正确分清是否为最简二次根式 同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式． 例1.在根式1) 222;2) ;3);4)275 x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件，答案：C 二次根式复习 一、基本知识点 1.二次根式的有关概念： （1）形如 的 式子叫做二次根式. （即一个 的算术平方根叫做二次根式 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零 （2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； (3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.二次根式的性质： （1） 非负性 3.二次根式的运算： 二次根式乘法法则 二次根式除法法则 二次根式的加减： (一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （ 3）合并同类二次根式。 Ps:类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。 二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用 0()a ≥0 2(2)(0 )a = ≥ = (0,0)a b = ≥ ≥ (0 0) a b = ≥> (0,0) a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥> 常考题型： 题型一、形如： 若见到“a 为二次根式”或“a 有意义”，则马上可以得到 a≥0 例1、式子1-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x <1 B ．x ≥1 C ．x ≤－1 D ．x <－1 变式1、要使式子 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．x≥﹣2 C ．x≥2 D ．x≤2 变式2、若代数式 1 x x -有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A 1x ≠ B 0x ≥ C 0x > D 01x x ≥≠且 变式3、式子 有意义的x 的取值范围是（ ） A ． x≥﹣且x≠1 B ． x≠1 C ． D ． 题型二、二次根式的运算（加减乘除）b a ab ?=（a≥0，b≥0）b a b a = （a≥0，b>0） 基础练习1、实数0.5的算术平方根等于（ ）. A.2 B.2 C. 22 D.2 1 基础练习2、16的算术平方根是（ ） A. 4± B. 4 C. 2± D. 2 例1、下列运算正确的是（ ） A ． x 6+x 2=x 3 B ． C ． （x+2y ）2=x 2+2xy+4y 2 D ． 例2、计算1 489 3 -的结果是（ ） (A)3-. (B)3. (C)11 33 - . (D) 11 33 . 例3、下列计算正确的是（ ） ． 4 B ． C ． 2 = D ． 3 例4、下列各式计算正确的是（ ） A ． 3a 3+2a 2=5a 6 B ． C ． a 4?a 2=a 8 D ． （ab 2）3=ab 6 【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 二次根式（提高） 责编：常春芳 【学习目标】 1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进 行计算和化简． 【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1、 ； 2.； 3. . 要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2()(0a a a =≥）. 2.2a 与2()a 要注意区别与联系：1）a 的取值范围不同，2()a 中a ≥0，2a 中a 为任意值. 2）a ≥0时，2()a =2a =a ；a <0时，2()a 无意义，2a =a -. 【典型例题】 类型一、二次根式的概念 1．当x 是__________时， +在实数范围内有意义？ 【答案】 x ≥- 且x ≠-1 【解析】依题意，得23010≥①≠②x x +??+? 由①得：x ≥- 由②得：x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时，+在实数范围内有意义. 【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念. 举一反三： 【变式】（2015?随州）若代数式11x x +-有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x≠1 B. x ≥0 C. x≠0 D. x ≥0且x≠1 【答案】D 提示：∵代数式 +有意义， ∴， 解得x ≥0且x ≠1． 类型二、二次根式的性质 2.根据下列条件，求字母x 的取值范围： (1) ； (2). 【答案与解析】(1) (2) 【总结升华】二次根式性质的运用. 举一反三： 【：二次根式及其乘除法（上）例1(1)(2)】 【变式】x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？ （1）y=x -－1 1+x ,___________________；（2）y=222+-x x ，______________________； 【答案】(1)01001x x x x -+≠∴≠-Q ≥，≤且 （2）22 22(1)10,x x x x -+=-+>∴Q 为任意实数. 3. （2016?潍坊）实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |+ 的结果是（ ） A ．﹣2a +b B ．2a ﹣b C ．﹣b D ．b 【思路点拨】直接利用数轴上a ，b 的位置，进而得出a ＜0，a ﹣b ＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案． 2020年中考数学试题分类汇编—二 次根式 〔2018，芜湖〕|1|0a +=，那么a b -= ．-9 〔20183a =-，那么a 与3的大小关系是( )B A ． 3a < B ．3a ≤ C ． 3a > D ．3a ≥ 〔2018，厦门〕以下运算正确的选项是〔 〕B A ．3＋3＝ 6 B ．3－3＝0 C ．3·3＝9 D ．(－3)2＝－3 (2018,兰州)函数y ＝x -2＋3 1-x 中自变量x 的取值范畴是〔 〕A A ．x ≤2 B ．x ＝3 C ． x ＜2且x ≠3 D ．x ≤2且x ≠3 〔2018 在实数范畴内有意义的x 应满足的条件是 ．x ＞1 〔2018，广州〕以下函数中，自变量x 的取值范畴是x ≥3的是〔 D 〕 〔A 〕31-=x y 〔B 〕3 1-=x y 〔C 〕3-=x y 〔D 〕3-= x y 〔2018，佛山〕〔1 A ． B ．2 C D E ．0 咨询题的答案是〔只需填字母〕： ； 〔2相乘的结果是有理数，那么那个数的一样形式是什么〔用代数式 表示〕. 〔1〕A D E 、、； 注：每填对一个得1分，每填错一个扣1分，但本小题总分最少0分． 〔2〕设那个数为x ，那么x a =〔a 为有理数〕，因此 x =〔a 为有理数〕． 注：无〝a 为有理数〞扣1分；写x =视同 x =． 〔2018，肇庆〕函数y =x 的取值范畴是〔 〕C A ．2x > B ．2x < C ．2x ≥ D ．2x ≤ 〔2018= ． 〔2018，新疆〕假设x y ==+xy 的值是〔 〕D A ． B ． C ．m n + D ．m n - 〔2018，肇庆〕运算：1 01|sin 452-?? +-+ ???° 解：原式21=+ 1= 〔20181 12sin 602-?? - ??? 解:原式＝23 2232?-+ ＝3232-+ ＝23+ 〔2018，玉林〕运算2的结果是〔 〕 C A ．9 B ．9- C ．3 D ．3- 〔2018，贺州〕以下根式中不是最简二次根式的是〔 〕．A A ．2 B ．6 C ．8 D ． 10 〔2018x 的取值范畴是〔 〕D A ．1x ≠ B ．0x ≠ C ．10x x >-≠且 D ．10x x ≠≥-且 〔2018，白色〕在函数y =x 的取值范畴是 。 〔2018，安顺〕以下运算正确的选项是：〔 〕 A A = B 1= C = D ．= 〔201860?45?19.〔此题总分值8分〕 解：3 5 2(6')12(8')22=+=-+=原式 〔2018，海南〕式子1-x 在实数范畴内有意义，那么x 的取值范畴是〔 〕A 期末复习(一) 二次根式 各个击破 命题点1 二次根式有意义的条件 【例1】 要使式子 x ＋3 x －1 ＋(x －2)0有意义，则x 的取值范围为____________． 【思路点拨】 从式子的结构看分为三部分，二次根式、分式、零次幂，每一部分都应该有意义． 【方法归纳】 1．(潍坊中考)若代数式x ＋1 （x －3）2 有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ．x ≥－1 B ．x ≥－1且x ≠3 C ．x ＞－1 D ．x ＞－1且x ≠3 2．若式子x ＋4有意义，则x 的取值范围是__________． 命题点2 二次根式的非负性 【例2】 (自贡中考)若a －1＋b 2－4b ＋4＝0，则ab 的值等于( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 【方法归纳】 这一类问题主要利用非负数的和为0，进而得出每一个非负数的式子为0构造方程求未知数的解，通常利用的非负数有：(1)||x ≥0；(2)x 2≥0；(3)x ≥0. 3．(泰州中考)实数a ，b 满足a ＋1＋4a 2＋4ab ＋b 2＝0，则b a 的值为( ) A ．2 B.12 C ．－2 D ．－1 2 命题点3 二次根式的运算 【例3】 (大连中考)计算：3(1－3)＋12＋(13 )－ 1. 【思路点拨】 先去括号、化简二次根式及进行实数的负整指数幂的运算，把各个结果相加即可． 【方法归纳】 二次根式的运算是实数运算中的一种，运算顺序与运算律都遵循有理数的运算顺序与运算律． 4．(泰州中考)计算：1 2 12－(3 1 3 ＋2)． 命题点4 与二次根式有关的化简求值 【例4】 (青海中考)先化简，再求值：y 2－x 2x 2－xy ÷(x ＋2xy ＋y 2x )·(1x ＋1 y )，其中x ＝2＋3，y ＝2－ 3. 【思路点拨】 运用分式的运算法则先化简原式，然后将x 和y 的值代入化简后的式子求值即可． 【方法归纳】 将二次根式的运算与分式的化简求值相结合考查，是最常见的考查形式．当未知数的值是无理数时，求值时就用到二次根式的运算． 5．(成都中考)先化简，再求值：(a a －b －1)÷b a 2－b 2，其中a ＝3＋1，b ＝3－1. 命题点5 与二次根式有关的规律探究 【例5】 (黄石中考)观察下列等式： 第1个等式：a 1＝1 1＋2 ＝2－1； 第十六章 二次根式 知识点： 1、二次根式的概念：形如（a ≥0）的式子叫做二次根式。“”＝ “”，叫做二次根号，简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件：a ≥0； 二次根式没有意义的条件：a 小于0； 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时，12--x 有意义，当x ______时，3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ，则x 的取值范围是______。 例6、（1）当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ （2）当x 是多少时， 2x 在实数范围内有意义？3x 呢？ 3、二次根式的双重非负性： ≥0；a ≥0 。 例1、 已知＋ ＝０，求ｘ，ｙ的值． 例2、 若实数ａ、ｂ满足 ＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿． 例3、 已知实ａ满足，求ａ-2010的值． 例４、 在实数范围内，求代数式 的值． 例5、 设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值． 例6、已知9966 x x x x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值． 4、二次根式的性质： (3) 例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 （1）9=_____ （2）2(4)-=_____ （3）25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ （4）2(3)- =_____ 例3.（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 是什么数？ （3）2a >a ，则a 是什么数？ 例4.当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0，b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积。 ， 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0，b ＞0) 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 （1）57 （2139（3927 （412 6 例2、化简 （1916?（21681?（3229x y （4）54 (分母有理化、二次根式化简 一、选择题 1. （2011?台湾17，4分）计算 6 3 125412 9? ÷ 之值为何（ ） A 、 12 3 B 、 63 C 、33 D 、 4 3 3 考点：二次根式的乘除法。 分析：把分式化为乘法的形式，相互约分从而解得． 解答：解：原式=63541212 9? ? =6 3． 故选B ． 点评：本题考查了二次根式的乘除法，把分式化为乘法的形式，互相约分而得． 2. （2011?贺州）下列计算正确的是（ ） A 、=﹣3 B 、（）2=3 C 、=±3 D 、+= 考点：二次根式的混合运算。 专题：计算题。 分析：根据二次根式的性质进行计算，找出计算正确的即可． 解答：解：A 、=3，此选项错误； B 、（）2=3，此选项正确； C 、=3，此选项错误； D、+=+，此选项错误． 故选B． 点评：本题考查了二次根式的混合运算．解题的关键是注意开方的结果是≥0的数． 3.（2011黑龙江大庆，3，3分）对任意实数a，则下列等式一定成立的是（） A、a=a B、2a=－a C、2a=±a D、2a＝a 考点：二次根式的性质与化简。 专题：计算题。 分析：根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断． 解答：解：A、a为负数时，没有意义，故本选项错误； B、a为正数时不成立，故本选项错误； C、=|a|，故本选项错误． D、故本选项正确． 故选D． 点评：本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键． 4.（2011，台湾省，17,5分）下列何者是方程式（﹣1）x=12的解？（） A、3 B、6 C、2﹣1 D、3+3 考点：二次根式的混合运算；解一元一次方程。 专题：计算题。 分析：方程两边同除以（﹣1），再分母有理化即可． 解答：解：方程（﹣1）x=12，两边同除以（﹣1），得x=， 初中数学二次根式经典测试题 一、选择题 1．5 x+有意义，那么x的取值范围是（） A．x≥5B．x>-5 C．x≥-5 D．x≤-5 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】 Q式子5 x+有意义， ∴x+5≥0，解得x≥-5. 故答案选：C. 【点睛】 本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件. 2．二次根式2 a+在实数范围内有意义，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】 a＋在实数范围内有意义，则其被开方数大于等于0；分析已知和所求，要使二次根式2 易得a＋2≥0，解不等式a＋2≥0，即得答案. 【详解】 a＋在实数范围内有意义， 解：∵二次根式2 ∴a＋2≥0，解得a≥－2． 故选B. 【点睛】 本题是一道关于二次根式定义的题目，应熟练掌握二次根式有意义的条件； 3．下列计算正确的是（） A．+=B．﹣=﹣1 C．×=6 D．÷=3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 解：A、B与不能合并，所以A、B选项错误； C、原式= ×=，所以C选项错误； D、原式==3，所以D选项正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4．下列式子为最简二次根式的是（） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解：选项A，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式， A符合题意；选项B，被开方数含能开得尽方的因数或因式，B不符合题意； 选项C，被开方数含能开得尽方的因数或因式， C不符合题意； 选项D，被开方数含分母， D不符合题意， 故选A． 5．2 (21)12 a a -=-，则a的取值范围是（） A． 1 2 a≥B． 1 2 a>C． 1 2 a≤D．无解 【答案】C 【解析】 【分析】 2 (21) a-=|2a-1|，则|2a-1|=1-2a，根据绝对值的意义得到2a-1≤0，然后解不等式即可． 【详解】 2 (21) a-=|2a-1|， ∴|2a-1|=1-2a， ∴2a-1≤0， ∴ 1 2 a≤． 故选：C． 二次根式分类经典 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1）;2-x （2）121+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1 213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （7）若 1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________． 7．若433+-+-=x x y ，则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+?--，求m 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10< 2021中考分类二次根式解析 一、选择题 1．(2021?安徽)计算8×2的结果是( ) A ．10 B ．4 C ． 6 D ．2 2. (2021?湖南衡阳)函数1+=x y 中自变量x 的取值范围为( B )． A ．0≥x B ．1-≥x C ．1->x D ．1>x 3. (2021?江苏扬州)下列二次根式中的最简二次根式是 ( ) A 、30 B 、12 C 、8 D 、 21 4. (2021?江苏苏州)若()2m = -，则有 A ．0＜m ＜1 B ．-1＜m ＜0 C ．-2＜m ＜-1 D ．-3＜m ＜-2 【难度】★☆ 【考点分析】考察实数运算与估算大小，实数估算大小往年中考较少涉及，但难度并不大。 【解析】化简得:m = - 2 ，因为- 4 < - 2 < - 1(A+提示:注意负数比较大小不要 弄错不等号方向)，所以-2 < - 2 < -1。故选C 。 5. (2021?山东济宁) x 必须满足 A.x ≤2 B. x ≥2 C. x ＜2 D.x ＞2 6. (2021?浙江杭州)若1k k <+k < 二、填空题 1. (2021?南京)若式子x +1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 2. (2021?南京)计算5×153 的结果是 ． 3. (2021?四川自贡)化简2= . 考点:绝对值、无理数、二次根式 分析:2值得正负，再根据绝对值的意义化简. 略解:2 20< 22= 4. (2021?四川自贡)若两个连续整数x y 、 满足x 1y <<，则x y +的值是 . 考点:无理数、二次根式、求代数式的值. 分析:1值是在哪两个连续整数之间. 略解:∵23 ∴314<< ∴,x 3y 4== ∴x y 347+=+=；故应填 7 . 5. (2021?四川资阳)已知:()260a +，则224b b a --的值为_________． 三．解答题 1. (2021?江苏苏州) 计算(0 52+--． 【考点分析】考察实数计算，中考必考题型。难度很小。 【解析】解:原式=3+5-1=7. 安徽岳西县城关中学 李庆社(246600) 二次根式知识点归纳和题型归类 二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质： 鳥<0)； ［爲工Og叭2“)= 9-0)；3^ ★4 L 4. 积的算术平方根的性质：、’、：、「??「〔； E=^a>Of Z>>0) 5. 商的算术平方根的性质：* . 6. 若7 '. 知识点二、二次根式的运算 1. 二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号 (2) 注意每一步运算的算理； 2. 二次根式的加减运算先化简，再运算， 3. 二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用 .利用二次根式的双重非负性来解题 （岛 0 （a > 0）,即一个非负数的算术平方根是一个非负数。 ） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。A 、弋3 ； i" 2 2 ?等式 J （X 1） = 1 — x 成立的条件是 _____________ . 3?当x _____________ 时，二次根式 J2x 3有意义. 4. x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 (2) （4）若 x （x 1） . X I X 1，则x 的取值范围是 _______ （ 5）若X 3 . X 3 ,则x 的取值范围是 ______________________ \ X 1 J x 1 6若J3m 1有意义，则m 能取的最小整数值是 _____________ ;若J 20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是 ___________ 7. 当X 为何整数时， ______________________________________ 10X 1 1有最小整数值，这个最小整数值为 。 8. 若 2004 a V a 2005 a ，则 a 20042= _____________________ ;若 y 4，则 x y _________ m 2 9 . 9 m 2 2 — 9. 设 m 、n 满足 n ，贝V . mn = ________ 。 m 3 10. 若三角形的三边 a b 、c 满足a 2 4a 4 - b 3=0,则第三边c 的取值范围是 ____________________________ 11. 若 |4x 8| x y m 0，且 y0 时，则（ ） A 、0 m 1 B 、m 2 C 、m 2 D m 2 二.利用二次根式的性质 a 2=|a|= a （a b ） （即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 ）来解题 u （a 0） a （a 0） 3.若化简| 1-x | - x 2 8x 16的结果为2x-5则（ ） 4.已知a , b , c 为三角形的三边，则 (a b c)2 , (b c a)2 . (b c a)2 = 5.当-3 《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式，则一定有a ≥0；当a ≥0时，必有a ≥0； 2、当a ≥0时，a 表示a 的算术平方根，因此有 ()a a =2；反过来，也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式； 3、()2a 表示a 2的算术平方根，因此有a a =2，a 可以是任意实数； 4、区别()a a =2和a a =2 的不同： ( 2a 中的可以取任意实数，()2a 中的a 只能是一个非负数，否则a 无意义． 5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径： （1）因式的内移：因式内移时，若m ＜0，则将负号留在根号外．即： x m x m 2-=(m ＜0)． （2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即： 6、二次根式的比较： （1）若，则有；（2）若，则有． 说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小． < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算二次根式中考真题及详解
(完整版)二次根式经典题型分类复习
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2020年中考数学试题分类汇编—二次根式
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