广东省广州市2018届高三12月模拟考试数学理试题 含答案

2018届广州市普通高中毕业班模拟考试 理科数学 2018.12本试卷共4页，23小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}2A x x =≤，{}2230B x x x =--≤，则A B =(Ａ) []2,3- (Ｂ) []1,2- (Ｃ) []2,1- (Ｄ) []1,2 （2）设(1i)(i)x y ++2=，其中,x y 是实数，则2i x y +=（A ）1 （B（C（D（3）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q =(A) 1- (B) 1 (C) 2- 错误！未找到引用源。

(D) 2（4）已知双曲线：C 12222=-bx a y （0,0>>b a ）的渐近线方程为x y 21±=, 则双曲线C 的离心率为 (A)25 (B) 5 (C) 26(D) 6 （5）若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（A ）8π （B ）4π （C ）38π （D ）34π（6）GZ 新闻台做“一校一特色”访谈节目, 分A, B, C 三期播出, A 期播出两间学校, B 期， C 期各播出1间学校, 现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务, 不同的选法共有 （A ）140种 （B ）420种 （C ）840种 （D ）1680种（7）已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ()()g x f x =--，则函数()g x 的图象是yxO（8）设0.40.7a =，0.70.4b =，0.40.4c = ，则,,a b c 的大小关系为(A) b a c << (B) a c b << (C) b c a << (D) c b a << （9）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（10）已知抛物线:C y交于M ，N (Ａ)221 （11）如图, (A) π25 (C) π29(12) 若函数()x f =(A) (],1-∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。

第22～23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本小题共4题，每小题5分。

（13）已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=, 则BD CD ⋅=________．（14）按照国家规定, 某种大米质量(单位:kg)必须服从正态分布()210,N ξσ, 根据检测结果可知()9.910.10.96P ξ≤≤=,某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利, 若该公司有2000名职工, 则分发到的大米质量在9.9kg 以下的职工数大约为 .（15）已知,x y 满足约束条件220,220,20,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩若()0z x ay a =->的最大值为4，则a = .（16）在数列{}n a 中,12a =,28a =,对所有正整数n 均有21n n n a a a +++=，则20171nn a==∑ .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，若1=a ，b c C 2cos 2=+. （Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若12b =, 求sin C . （18）（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2,…,8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B . 已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件; 乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲, 乙两厂的产品都符合相 应的执行标准.（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数学期望16EX =, 求,a b 的值;M DE BA（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望； （Ⅲ）在（Ⅰ）,（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由. 注: ①产品的“性价比”；②“性价比”大的产品更具可购买性.(19) （本小题满分12分）如图, EA ^平面ABC ，DB ^平面ABC , △ABC 是等边三角形，2AC AE =,M 是AB 的中点.（Ⅰ）求证：EM CM ⊥;（Ⅱ）若直线DM 与平面ABC 所成角的正切值为2， 求二面角B CD E --的余弦值.(20) （本小题满分12分）已知动圆P 与圆221:(2)49F x y ++=相切，且与圆1)2(:222=+-y x F 相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点, 求△QMN 面积的最大值．(21) （本小题满分12分）设函数()()ln f x mx n x =+. 若曲线()y f x =在点e,(e))P f （处的切线方程为 2e y x =-（e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若,R a b +∈，试比较()()2f a f b +与()2a bf +的大小，并予以证明.请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程(23)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲()3f x ≤的解集是}{21|≤≤-x x .（Ⅰ）求a 的值； （II ）若()()||3f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围.2018届广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一、选择题（1）B （2）D （3）A （4）B （5）A （6）C（7）D （8）C （9）B （10）B （11）D （12）A 二、填空题（13）6 （14）40 （15）3 （16）2 三、解答题 （17）解：（Ⅰ）因为1=a ，b c C 2cos 2=+，由余弦定理得2221222b c c b b +-⨯+=,即221b c bc +-=. ……………………2分 所以22211cos 222b c bc A bc bc +-===. …………………………………………4分 由于0A π<<, 所以3A π=. …………………………………………6分（Ⅱ）法1: 由12b =及221b c bc +-=, 得2211122c c ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭, ……………………7分即24230c c --=, ………………………………………………………………8分解得c =或c =(舍去). …………………………………………9分由正弦定理得sin sin c aC A=, …………………………………………10分得sin sin 60C ︒==. ………………………………………12分 法2: 由12b =及正弦定理得sin sin b aB A=, …………………………………………7分得1sin sin 602B ︒==. …………………………………………8分 由于b a <, 则060B A ︒︒<<=,则cos B =. …………………………………………9分 由于180A B C ︒++=, 则120C B ︒=-. ………………………………………10分所以()sin sin 120C B ︒=-sin120cos cos120sin B B ︒︒=- ………………………………………11分12==. ……………………………………………………………12分 (18) 解:（Ⅰ）150.46780.16EX a b =⨯+++⨯=, 即67 3.2a b +=, ① ……………………1分又由1X 的概率分布列得0.40.11,0.5a b a b +++=+=, ② ……………………2分 由①②得0.3,0.2.a b == …………………………………………………………4分 （Ⅱ）由已知得，样本的频率分布表如下：………………………………………………………………5分用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2X 的概率分布列E如下：………………………………………………………………6分 所以230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………7分即乙厂产品的等级系数的数学期望为4.8. ……………………………………………8分 （Ⅲ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6, 价格为6元/件，所以其性价比为616=， ………………………………………………………………………………9分因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8, 价格为4元/件，所以其性价比为4.81.24=， ……………………………………………………………………………10分据此，乙厂的产品更具可购买性. ……………………………………………12分 (19) 解:（Ⅰ）因为△ABC 是等边三角形，M 是AB 的中点, 所以CM AB ⊥. …………………………………1分 因为EA ⊥平面ABC , CM ⊂平面ABC ,所以CM EA ⊥. …………………………………2分 因为AM EA A = ,所以CM ⊥平面EAM . ……………………3分 因为EM ⊂平面EAM ,所以CM EM ⊥. ……………………………4分（Ⅱ）法1: 以点M 为坐标原点，MC 所在直线为x 轴，MB 所在直线为y 轴，过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系M xyz -. 因为DB ^平面ABC ,所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角. ……………………………………5分 由题意得tan 2BDDMB MB∠==, 即2BD MB =,…………………………………6分 从而BD AC =.PNM DECB A不妨设2AC =, 又2AC AE =,则CM =, 1AE =.…………………………7分 故()0,1,0B,)C, ()0,1,2D , ()0,1,1E -. ……………………………8分于是)1,0BC =- , ()0,0,2BD =,()1,1CE =-,()CD = ,设平面BCD 与平面CDE 的法向量分别为111222(,,),(,,)m x y z n x y z ==,由0,0,m BC m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1110,20,y z -==⎪⎩ 令11x =,得1y =,所以()m =. …………………………………9分由0,0,n CE n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2222220,20,y z y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩ 令21x =,得2y =, 2z =.所以1,33n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ . …………………………………10分所以cos ,0m nm n m n⋅<>== . …………………………………11分所以二面角B CD E --的余弦值为0. …………………………………12分 法2: 因为DB ^平面ABC ,所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角. …………………………………5分 由题意得tan 2BDDMB MB∠==, 即2BD MB =,…………………………………6分 从而BD AC =.不妨设2AC =, 又2AC AE =,则CM =1AE =, 2AB BC BD ===. …………………………………7分 由于EA ^平面ABC ,DB ^平面ABC , 则EA ∥BD . 取BD 的中点N , 连接EN , 则2EN AB ==. 在Rt△END 中, ED , 在Rt△EAC 中, EC ==在Rt△CBD 中, CD =取CD 的中点P , 连接EP ,BP , BE ,则,EP CD BP CD ⊥⊥. …………………………………8分 所以EPB ∠为二面角B CD E --的平面角. …………………………………9分 在Rt△EPC 中, EP =在Rt△CBD 中, 12BP CD ==在Rt△EAB 中, EB 因为2225EP BP EB +==, …………………………………10分 所以90EPB ︒∠=. …………………………………11分 所以二面角B CD E --的余弦值为0. …………………………………12分 (20) 解：（Ⅰ）设圆P 的半径为R , 圆心P 的坐标为(,)x y ，由于动圆P 与圆221:(2)49F x y ++=相切，且与圆1)2(:222=+-y x F 相内切，所以动圆P 与圆1F 只能内切. …………………………………1分所以127,1.PF R PF R ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ …………………………………2分则4||6||||2121=>=+F F PF PF . …………………………………3分 所以圆心P 的轨迹是以点12,F F 为焦点的椭圆, 且3,2a c ==, 则2225b a c =-=.所以曲线C 的方程为15922=+y x . …………………………………4分 （Ⅱ）设112233(,), (,), (,)M x y N x y Q x y ，直线MN 的方程为2x my =+，由222,1,95x my x y ì=+ïïïíï+=ïïî可得225920250m y my ++-=（）， 则1212222025,5959m y y y y m m +=-=-++. …………………………………5分所以MN =…………………………………6分=()22301.59m m +=+ …………………………………7分因为//MN OQ ，所以△QMN 的面积等于△OMN 的面积. …………………8分 点O 到直线2:+=my x MN 的距离d =. ……………………………9分所以△QMN的面积221130(1)2259m S MN dm +=?创=+.…………………………………10分 t =，则221m t =-(1)t ≥ ，()223030304545195t t S t t t t===+-++. 设()()451f t t t t =+?，则()2224545t f t t t -¢=-=. 因为1t ³, 所以()22540.t f t t-¢=> 所以()45f t t t=+在[)1,+?上单调递增.所以当1t =时, ()f t 取得最小值, 其值为9. …………………………………11分 所以△QMN 的面积的最大值为309. …………………………………12分 说明: △QMN的面积21212S OF yy =?=.(21) 解:（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.()ln mx nf x m x x+'=+. ………………………………………………………………1分 依题意得(e)e,(e)2f f '==，即e e,e 2,e m n m nm +=⎧⎪+⎨+=⎪⎩……………………3分 所以1,0m n ==. ………………………………………………………………4分 所以()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+.当1(0,)ex ∈时, ()0f x '<; 当1(,)e x ∈+∞时, ()0f x '>. 所以函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e , 单调递增区间是1(,)e+∞.………………6分（Ⅱ）当,R a b +∈时，()()()22f a f b a b f ++≥. ()()()22f a f b a b f ++≥等价于ln ln ln 222a a b b a b a b+++≥，也等价于2ln(1)ln(1)ln 20a a a ab b b b-+++≥. ………………………………………7分 不妨设a b ≥，设()()ln 2(1)ln(1)ln 2g x x x x x =-+++（[1,)x ∈+∞）,则()ln(2)ln(1)g x x x '=-+. …………………………………………………………8分 当[1,)x ∈+∞时，()0g x '≥，所以函数()g x 在[1,)+∞上为增函数，即()ln 2(1)ln(1)ln 2(1)0g x x x x x g =-+++≥=， ……………………9分 故当[1,)x ∈+∞时，()ln 2(1)ln(1)ln 20g x x x x x =-+++≥（当且仅当1x =时取等 号）.令1a x b =≥，则()0ag b ≥， …………………………………………10分 即2ln(1)ln(1)ln 20a a a ab b b b-+++≥（当且仅当a b =时取等号），……………11分 综上所述，当,R a b +∈时，()()()22f a f b a b f ++≥（当且仅当a b =时取等号）. ………………………………………………………………12分 (22) 解:(Ⅰ) 由sin ,1cos ,x t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩消去t 得cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=, ……………………1分所以直线l 的普通方程为cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=. ……………………2分由2cos 4sin =ρθθ, 得()2cos 4sin ρθρθ=, ……………………3分 把cos ,sin x y ρθρθ==代入上式, 得y x 42=,所以曲线C 的直角坐标方程为y x 42=. …………………………………………5分 (II) 将直线l 的参数方程代入y x 42=, 得22sin 4cos 40t t ϕϕ--=, ………………6分当ϕ=时, AB 的最小值为4. …………………………………………10分所以 2.a=（II）因为()()()()212121212.3333x xx xf x f x--+-+++-=≥=………………7分8分9分10分。