2020年年高中数学人教A版必修三课时作业第3章概率3习题课Word版含答案
高中数学人教A版必修三 第三章 概率 学业分层测评19 Word版含答案
(整数值)随机数(random numbers)的产生一、选择题1．袋子中有四个小球分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字有放回地从中任取一个小球取到“快”就停止用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数且用1234表示取出小球上分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字以每两个随机数为一组代表两次的结果经随机模拟产生了20组随机数：13 24 12 32 43 14 24 32 31 2123 13 32 21 24 42 13 32 21 34据此估计直到第二次就停止的概率为( )A 15B ．14C 13D ．12【解析】 由随机模拟产生的随机数可知直到第二次停止的有1343231313共5个基本事件故所求的概率为P ＝520＝14【答案】 B2．某班准备到郊外野营为此向商店订了帐蓬如果下雨与不下雨是等可能的能否准时收到帐篷也是等可能的只要帐篷如期运到他们就不会淋雨则下列说法正确的是( )A ．一定不会淋雨B ．淋雨机会为34C ．淋雨机会为12D ．淋雨机会为14【解析】 用A 、B 分别表示下雨和不下雨用a 、b 表示帐篷运到和运不到则所有可能情形为(Aa )(Ab )(Ba )(Bb )则当(Ab )发生时就会被雨淋到∴淋雨的概率为P ＝14【答案】 D3．已知某运动员每次投篮命中的概率为40%现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数指定1234表示命中567890表示没有命中；再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )【28750061】A ．035B ．025C ．020D ．015【解析】 恰有两次命中的有191271932812393共有5组则该运动员三次投篮恰有两次命中的概率近似为520＝025【答案】 B二、填空题6．抛掷两枚相同的骰子用随机模拟方法估计向上面的点数和是6的倍数的概率时用123456分别表示向上的面的点数用计算器或计算机分别产生1到6的两组整数随机数各60个每组第i 个数组成一组共组成60组数其中有一组是16这组数表示的结果是否满足向上面的点数和是6的倍数：________．(填“是”或“否”)【解析】 16表示第一枚骰子向上的点数是1第二枚骰子向上的点数是6则向上的面的点数和是1＋6＝7不表示和是6的倍数．【答案】 否7．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事但他不知道客车的车况也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车他采取如下策略：先放过一辆如果第二辆比第一辆好则上第二辆否则上第三辆．则他乘上上等车的概率为________．【解析】 共有6种发车顺序：①上、中、下；②上、下、中；③中、上、下；④中、下、上；⑤下、中、上；⑥下、上、中(其中画横线的表示袁先生所乘的车)所以他乘坐上等车的概率为36＝12【答案】 128．甲、乙两支篮球队进行一局比赛甲获胜的概率为06若采用三局两胜制举行一次比赛现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数用012345表示甲获胜；6789表示乙获胜这样能体现甲获胜的概率为06因为采用三局两胜制所以每3个随机数作为一组．例如产生30组随机数．034743738636964736614698637162332 616804560111410959774246762428114572 042533237322707360751据此估计乙获胜的概率为________．【解析】就相当于做了30次试验．如果6789中恰有2个或3个数出现就表示乙获胜它们分别是738636964736698637616959774762707共11个．所以采用三局两胜制乙获胜的概率约为1130≈0367【答案】0367三、解答题9．一个袋中有7个大小、形状相同的小球6个白球1个红球．现任取1个若为红球就停止若为白球就放回搅拌均匀后再接着取．试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．【解】用123456表示白球7表示红球利用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数因为要求恰好第三次摸到红球的概率所以每三个随机数作为一组．例如产生20组随机数．666743671464571561156567732375716116614445117573552274114622就相当于做了20次试验在这组数中前两个数字不是7第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸的是白球第三次恰好是红球它们分别是567和117共两组因此恰好第三次摸到红球的概率约为220＝01 10．一个学生在一次竞赛中要回答8道题是这样产生的：从15道物理题中随机抽取3道；从20道化学题中随机抽取3道；从12道生物题中随机抽取2道．使用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为1～15化学题的编号为16～35生物题的编号为36～47【解】利用计算器的随机函数RANDI(115)产生3个不同的1～15之间的整数随机数(如果有一个重复则重新产生一个)；再利用计算器的随机函数RANDI(1635)产生3个不同的16～35之间的整数随机数(如果有一个重复则重新产生一个)；再用计算器的随机函数RANDI(3647)产生2个不同的36～47之间的整数随机数(如果有一个重复则重新产生一个)这样就得到8道题的序号．[能力提升]1．已知某射击运动员每次击中目标的概率都是08现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至多击中1次的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数指定01表示没有击中目标23456789表示击中目标；因为射击4次故以每4个随机数为一组代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：5 7270 2937 1409 8570 3474 373 8 636 9 647 1 417 4 6980 371 6 233 2 616 8 045 6 0113 661 9 597 7 424 6 710 4 281据此估计该射击运动员射击4次至多击中1次的概率为( )A ．095B ．01 C015 D ．005【解析】 该射击运动员射击4次至多击中1次故看这20组数据中含有0和1的个数多少含有3个或3个以上的有：6011故所求概率为120＝005【答案】 D2．在一个袋子中装有分别标注数字12345的五个小球这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出两个小球则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )A 310B ．15C 110D ．112 【解析】 随机取出两个小球有(12)(13)(14)(15)(23)(24)(25)(34)(35)(45)共10种情况和为3只有1种情况(12)和为6可以是(15)(24)共2种情况．所以P ＝310【答案】 A3．在利用整数随机数进行随机模拟试验中整数a 到整数b 之间的每个整数出现的可能性是________．【解析】[ab]中共有b－a＋1个整数每个整数出现的可能性相等所以每个整数出现的可能性是1b－a＋1【答案】1b－a＋14．一份测试题包括6道选择题每题只有一个选项是正确的．如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率．【解】我们通过设计模拟试验的方法来解决问题．利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数．我们用0表示猜的选项正确123表示猜的选项错误这样可以体现猜对的概率是25%因为共猜6道题所以每6个随机数作为一组．例如产生25组随机数：330130302220133020022011313121222330231022001003213322030032100211022210231330321202031210232111210010212020230331112000102330200313303321012033321230就相当于做了25次试验在每组数中如果恰有3个或3个以上的数是0则表示至少答对3道题它们分别是001003030032210010112000即共有4组数我们得到该同学6道选择题至少答对3道题的概率近似为425＝016。
2019-2020学年度高中数学人教A版必修3：阶段质量检测(三)概率-含解析
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学人教A版必修3：阶段质量检测（三）概率-含解析______年______月______日____________________部门一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中随机事件的个数为( )①连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，两次都出现2点；②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；③某人买彩票中奖；④已经有一个女儿，第二次生男孩；⑤在标准大气压下，水加热到90 °C会沸腾．A．1 B．2C．3 D．4解析：选 C ①③④都有可能发生，也可能不发生，故是随机事件；对于②，在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定会发生的事件，属于必然事件．对于⑤，在标准大气压下，水加热到90 °C会沸腾，是不可能事件．故选C.2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A．至少有一个黑球与都是红球B．至少有一个黑球与都是黑球C．至少有一个黑球与至少有一个红球D．恰有1个黑球与恰有2个黑球解析：选D A中的两个事件是对立事件，不符合要求；B中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D中是互斥而不对立的两个事件．故选D.3．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( )A. B.25C. D.710解析：选 B 试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是相邻字母的有(A，B)，(B，C)，(C，D)，(D，E)4种，故P＝＝.4．在正方体ABCDA1B1C1D1中随机取一点，则点落在四棱锥OABCD内(O为正方体的对角线的交点)的概率是( )A. B.16C. D.14解析：选B 设正方体的体积为V，则四棱锥OABCD的体积为，所求概率为＝.5．在两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率为( )A. B.13C. D.15解析：选B 该试验属于几何概型，所求事件构成的区域长度为2 m，试验的全部结果所构成的区域长度为 6 m，故灯与两端距离都大于2 m的概率为＝.6．从的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合的子集的概率是( )A. B.25C. D.18解析：选C 符合要求的是∅，，，，，，，共8个，而集合共有子集25＝32个，∴P＝.7．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P(m，n)的坐标，那么点P在圆x2＋y2＝17内部的概率是( )A. B.29C. D.49解析：选B 点P(m，n)的坐标的所有可能为6×6＝36种，而点P在圆x2＋y2＝17内部只有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种，故概率为.8．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A. B.18C. D.15解析：选D 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，列举可得，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中矩形有3个，所以所求的概率为＝.故选D.9．甲、乙、丙三人在3天节目中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是( )A. B.14C. D.12解析：选 C 甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为.10．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A. B.12C. D.34解析：选A 记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为：甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有：甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3，共3个基本事件．因此P(A)＝＝.11．在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A. B.58C. D.14解析：选 C 分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P＝.12．设一元二次方程x2＋Bx＋C＝0，若B，C是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为( )A. B.736C. D.1936解析：选D 因为B，C是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，所以一共有36种情况．由方程有实数根知，Δ＝B2－4C≥0，显然B≠1.当B＝2时，C＝1(1种)；当B＝3时，C＝1,2(2种)；当B ＝4时，C＝1,2,3,4(4种)；当B＝5时，C＝1,2,3,4,5,6(6种)；当B ＝6时，C＝1,2,3,4,5,6(6种)．故方程有实数根共有19种情况，所以方程有实数根的概率是.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在边长为2的正方形中作其内切圆，然后向正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率π的值．如果撒了1 000粒芝麻，落在圆内的芝麻总数是776粒，那么这次模拟中π的估计值是________．解析：由于芝麻落在正方形内任意位置的可能性相等，由几何概型的概率计算公式知≈，即≈，解得π≈3.104.答案：3.10414．某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________．解析：由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1, 知该校共有教师120÷＝300(人)．采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，则每位老年教师被抽到的概率为P＝＝.答案：11015．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是________．解析：连接AC交弧DE于点F，∠BAC＝30°，P＝＝.答案：1316．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．解析：如图所示，圆周上使的长度等于1的点M有两个，设为M1，M2，则过A的圆弧长为2，点B落在优弧上就能使劣弧的长度小于1，所以劣弧的长度小于1的概率为.答案：23三、解答题(本大题共6题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)对一批衬衣进行抽样检查，结果如下表：抽取件数n 50100200500600700800次品件数m 021*********次品率mn(1)求次品出现的频率；(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)；(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？解：(1)次品率依次为：0,0.02,0.06,0.054,0.045，0.05，0.05.(2)当n充分大时，出现次品的频率在0.05附近摆动，故P(A)≈0.05.(3)设进货衬衣x件，为保证 1 000件衬衣为正品，则(1－0.05)x≥1 000，得x≥1 053.∴至少需进货1 053件衬衣．18．(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．解：将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．(1)用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝＝.(2)用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.19．(本小题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到如下频率分布表：X 1234 5f a 0.20.45 b c(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率．解：(1)因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝＝0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c＝＝0.1.从而a＝1－0.2－0.45－0.1－0.15＝0.1.所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.(2)从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10个．设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，其等级系数相等”，则事件A所包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4个．故所求的概率P(A)＝＝0.4.20．(本小题满分12分)投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是 4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率；(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．解：(1)点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)共9种，其中落在区域C：x2＋y2≤10上的点P的坐标有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)共4种，故点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率为.(2)区域M为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C的面积为10π，则豆子落在区域M上的概率为.21．(本小题满分12分)一条笔直街道上的A，B两盏路灯之间的距离为120米，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯C，D，路灯次序为A，C，D，B，求A与C，B与D之间的距离都不小于40米的概率．解：设A与C之间的距离为x米，B与D之间的距离为y米，(x，y)可以看成平面中的点，在如图所示的平面直角坐标系xOy中，(x，y)的所有可能结果构成的区域为Ω＝{(x，y)|0<x＋y<120，x>0，y>0}，即两直角边边长都为120米的等腰直角三角形区域(不包括边界)．而“A与C，B与D之间的距离都不小于40米”(记为事件M)的所有可能结果构成的区域为M＝{(x，y)|x≥40，y≥40，(x，y)∈Ω}，即图中的阴影部分．由几何概型的概率计算公式得P(M)＝＝.故A与C，B与D之间的距离都不小于40米的概率为.22.(本小题满分12分)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中抽取6件样品进行检测．地区 A B C数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样本中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是6＝，50＋150＋100所以样本中包含三个地区的个数数量分别是50×＝1,150×＝3,100×＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记“抽取的这2件商品来自相同地区”为事件D，则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.。
2019-2020学年高中数学人教B版必修3课时作业：第3章 概率 3.1.4.2 Word版含答案.doc
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：D
解析：①正确；②A、B应为两个互斥事件才成立；③P(A)＋P(B)＋P(C)不一定为1；④A、B应为两个互斥事件才成立．
3．任取一个两位数，恰好是10的倍数的概率是()
A. B.
C. D.
答案：A
解析：两位数共有90个即从10到99.而是10的倍数的有5个．∴所求概率为 .
A．0.81 B．0.9
C．0.93 D．0.97
答案：A
解析：记出现一级品、二级品、三级品、次品分别为事件A、B、C、D，则事件A，B，C，D互斥，且P(A∪B∪C∪D)＝1，即P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，又P(A)＝9P(D)，且P(B)＝7%，P(C)＝3%，所以10P(D)＝90%，P(D)＝9%，P(A)＝81%.
答案：0.970.03
解析：事件“纺纱机在一小时内断头不超过2次”是事件，“发生0次”“发生1次”“发生2次”的并集，根据概率加法公式可知所求概率为0.8＋0.12＋0.05＝0.97.
三、解答题
10．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.
13．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球．从中任取一球，取到红球的概率是 ，取到黑球或黄球的概率是 ，取到黄球或绿球的概率是 .试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
解：从袋中任取1球，记事件A＝{取得红球}，事件B＝{取得黑球}，事件C＝{取得黄球}，事件D＝{取得绿球}，则有
2020年年高中数学人教A版必修三课时作业第3章概率1习题课Word版含答案(2)
答案：A
解析：根据基本事件定义及特点．
2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是()
A. B.
C. D.
答案：C
解析：基本事件总数为(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，丙，甲)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)(丙，乙，甲)，甲站在中间的事件有2个，故P(甲)＝ ＝ .
3．掷两颗骰子，事件“点数之和为6”的概率是()
A. B.
C. D.
答案：C
解析：P＝ ＝ .
4．从数字1、2、3、4、5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这两个数的和为偶数的概率是()
A. B.
C. D.
答案：B
解析：从5个数中任取2个不同的数有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共有10种．其中两个数的和为偶数有：(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，故所求概率为P＝ ＝ .
5．从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是()
A. B.Leabharlann C. D.答案：B
解析：从5张卡片中任取2张的基本事件个数为10.而恰好是按字母顺序相邻的基本事件有4个，故此事件的概率为P(A)＝ ＝ .故选B.
6．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形的矩形的概率等于()
8．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________．
答案：16
解析：若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人在最后一个小时浏览的景点可能为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率为 .
2020高中数学人教A版必修三 第三章 概率 学业分层测评16 Word版含答案
学业分层测评(十六) 概率的意义(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C 表示抽到次品这一事件，则对C 的说法正确的是( )A ．概率为110B ．频率为110C ．概率接近110D ．每抽10台电视机，必有1台次品【解析】 事件C 发生的频率为110，由于只做了一次试验，故不能得出概率接近110的结论．【答案】 B2．高考数学试题中，有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是14，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3道题答对．”这句话( )A ．正确B ．错误C ．不一定D ．无法解释【解析】 把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是14说明了对的可能性大小是14.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3道题的可能性较大，但是并不一定答对3道题，也可能都选错，或有2，3，4，…甚至12个题都选择正确．【答案】 B3．某篮球运动员投篮命中率为98%，估算该运动员投篮1 000次命中的次数为( )A ．98B ．980C ．20D ．998【解析】 1 000次命中的次数为98%×1 000＝980. 【答案】 B4．从12件同类产品中(其中10件正品，2件次品)，任意抽取6件产品，下列说法中正确的是( )A ．抽出的6件产品必有5件正品，1件次品B ．抽出的6件产品中可能有5件正品，1件次品C ．抽取6件产品时，逐个不放回地抽取，前5件是正品，第6件必是次品D ．抽取6件产品时，不可能抽得5件正品，1件次品【解析】 从12件产品中抽到正品的概率为1012＝56，抽到次品的概率为212＝16，所以抽出的6件产品中可能有5件正品，1件次品．【答案】 B5．蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类．在我国的云南及周边各省都有分布．春暖花开的时候是放蜂的大好季节．养蜂人甲在某地区放养了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂，养蜂人乙在同一地区放养了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂．某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂．那么，生物小组的同学认为这只黑小蜜蜂是哪位养蜂人放养的比较合理( ) 【导学号：28750052】A ．甲B ．乙C ．甲和乙D ．以上都对【解析】 从放蜂人甲放的蜜蜂中，捕获一只小蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为1100，而从放蜂人乙放的蜜蜂中，捕获一只小蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为99100，所以，现在捕获的这只小蜜蜂是放蜂人乙放养的可能性较大．故选B.【答案】 B 二、填空题6．某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅．质检人员对该厂所生产的2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有2套次品，试问该厂所生产的2 500套座椅中大约有________套次品．【解析】 设有n 套次品，由概率的统计定义，知n2 500＝2100，解得n＝50，所以该厂所生产的2 500套座椅中大约有50套次品．【答案】507．对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示：根据表中所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查________件产品．【解析】由表中数据知：抽查5次，产品合格的频率依次为0.94，0.92，0.96，0.95，0.956，可见频率在0.95附近摆动，故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约需抽查n件产品，则950 n＝0.95，所以n≈1 000.【答案】 1 0008．下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球.若从袋中无放回地取球，问其中不公平的游戏是________．【解析】 游戏1中，取两球的所有可能情况是(黑1，黑2)(黑1，黑3)(黑2，黑3)(黑1，白)(黑2，白)(黑3，白)，∴甲胜的概率为12，游戏是公平的．游戏2中，显然甲胜的概率为12，游戏是公平的．游戏3中，取两球的所有可能情况是(黑1，黑2)(黑1，白1)(黑2，白1)(黑1，白2)(黑2，白2)(白1，白2)，甲胜的概率为13，游戏是不公平的．【答案】 游戏3 三、解答题9．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．【解】 设保护区中天鹅的数量为n ，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只．设事件A ＝{带有记号的天鹅}，则P (A )＝200n，第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义可知P (A )＝20150，∴200n ＝20150， 解得n ＝1 500，∴该自然保护区中约有天鹅1 500只．10．社会调查人员希望从对人群的随机抽样调查中得到对他们所提问题诚实的回答，但是被采访者常常不愿意如实做出应答．1965年Stanley ·l ·Warner 发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意情绪的方法．Warner 的随机化应答方法要求人们随机地回答所提问题中的一个，而不必告诉采访者回答的是哪个问题，两个问题中有一个是敏感的或者是令人为难的，另一个是无关紧要的，这样应答者将乐意如实地回答问题，因为只有他知道自己回答的是哪个问题．假如在调查运动员服用兴奋剂情况的时候，无关紧要的问题是：你的身份证号码的尾数是奇数吗；敏感的问题是：你服用过兴奋剂吗．然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．例如我们把这个方法用于200个被调查的运动员，得到56个“是”的回答，请你估计这群运动员中大约有百分之几的人服用过兴奋剂．【解】 因为掷硬币出现正面的概率是0.5，大约有100人回答了第一个问题，因为身份证号码尾数是奇数或偶数的可能性是相同的，因而在回答第一个问题的100人中大约有一半人，即50人，回答了“是”，其余6个回答“是”的人服用过兴奋剂，由此我们估计这群人中大约有6%的人服用过兴奋剂．[能力提升]1．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是( )A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数则甲获胜，向上的点数为偶数则乙获胜B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲获胜，两枚都正面向上则乙获胜C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则甲获胜，扑克牌是黑色的则乙获胜D．甲、乙两人各写一个数字1或2，如果两人写的数字相同则甲获胜，否则乙获胜【解析】B中，同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上的概率为1 2，两枚都正面向上的概率为14，所以对乙不公平．【答案】 B2．“某彩票的中奖概率为11 000”意味着( )A．买1 000张彩票就一定能中奖B．买1 000张彩票中一次奖C．买1 000张彩票一次奖也不中D．购买彩票中奖的可能性是11 000【解析】概率只是度量事件发生的可能性的大小不能确定是否发生．【答案】 D3．将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则至少出现一次正面与两次均出现反面的概率比为________．【解析】将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．至少出现一次正面有3种情形，两次均出现反面有1种情形，故答案为3∶1.【答案】3∶1。
2020版人教A版高中数学必修三导练课时作业：3.2.1 古典概型3.2.2 (整数值)随机数的产生 Word版含解析
3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.2.2 (整数值)随机数(random numbers)的产生选题明细表基础巩固1.下列试验中,属于古典概型的是( C )(A)种下一粒种子,观察它是否发芽(B)从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根,测量其直径d(C)抛掷一枚骰子100次,观察出现1点的次数(D)某人射击中靶或不中靶解析:只有C满足古典概型等可能性与有限性.2.同时投掷两颗大小完全相同的骰子,用(x,y)表示结果,记A为“所得点数之和小于5”,则事件A包含的基本事件数是( D )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:事件A包含的基本事件有6个:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1), (2,2),(3,1).故选D.3.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为( C ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)6解析:用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为(1,2), (1,4),(2,3),(3,4),共4种可能.故选C.4.下列关于古典概型的说法中正确的是( B )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;③每个基本事件出现的可能性相等;④基本事件的总数为n,随机事件A若包含k个基本事件,则P(A)=.(A)②④(B)①③④(C)①④(D)③④解析:根据古典概型的等可能性、有限性与公式进行判断,①③④正确,②不正确.5.设a是掷一枚骰子得到的点数,则方程x2+ax+2=0有两个不相等的实根的概率为( A )(A)(B)(C)(D)解析:基本事件总数为6,若方程有两个不相等的实根,则a2-8>0,满足上述条件的a为3,4,5,6,P==.选A.6.在1,3,5,8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆公共汽车),有一位乘客等候1路或3路公共汽车,假定当时各路公共汽车首先到站的可能性相等,则首先到站的正好是这位乘客所要乘的公共汽车的概率是.解析:因为4种公共汽车首先到站有4个结果,且每种结果出现的可能性相等,“首先到站的车正好是所乘车”的结果有2个,所以P==.答案:能力提升7.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( C )(A)(B)(C)(D)解析:从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,有{1,2,3},{1,2,4}, {1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5}, {3,4,5}共10个基本事件,其中这3个数能构成一组勾股数的只有{3,4,5},所以所求概率为,选C.8.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是( D )(A)(B)(C)(D)解析:个位数与十位数之和为奇数,则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数,所以可以分两类:①当个位为奇数时,有5×4=20(个),符合条件的两位数.②当个位为偶数时,有5×5=25(个),符合条件的两位数.因此共有20+25=45(个)符合条件的两位数,其中个位数为0的两位数有5个,所以所求概率为P==.9.袋子中有四个小球,分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字,有放回地从中任取一个小球,取到“快”就停止,用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率;先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数,且用1,2,3,4表示取出小球上分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字,以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:13 24 12 32 43 14 24 32 31 21 23 13 32 21 24 42 13 32 21 34据此估计,直到第二次就停止的概率为.解析:由随机模拟产生的随机数可知,直到第二次停止的有13,43,23,13,13共5个基本事件,故所求的概率为P==.答案:10.抛掷一枚均匀的正方体骰子两次,用随机模拟方法估计朝上面的点数和为7的概率,共进行了两次试验,第一次产生了60组随机数,第二次产生了200组随机数,那么这两次估计的结果相比较,第次准确.解析:用随机模拟方法估计概率时,产生的随机数越多,估计的结果越准确,所以第二次比第一次准确.答案:二11.从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等),则2名都是女同学的概率等于.解析:用A,B,C表示三名男同学,用a,b,c表示三名女同学,则从6名同学中选出2人的所有选法为AB,AC,Aa,Ab,Ac,BC,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,ab,ac,bc,共15种,2名都是女同学的选法为ab,ac,bc,共3种,故所求的概率为=.答案:12.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.解:(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社团的共有45-30=15(人),所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P==.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},、{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},、{A5,B3},共15个.根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有{A1,B2},{A1,B3},共2个.因此A1被选中且B1未被选中的概率为P=.探究创新13.设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数.(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.①用所给编号列出所有可能的结果;②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.解:(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.6},{A3②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9种.因此,事件A发生的概率P(A)==.。
2017-2020学年高中数学人教A版必修三课时作业：第二、三章滚动测试 Word版含答案
2020年精品试题芳草香出品第二、三章滚动测试班级____ 姓名____ 考号____ 分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，其数量之比为2∶3∶5，现用分层抽样的方法抽出样本容量为80的样本，则样本中A 型产品的件数为( )A ．16B ．18C ．20D ．21答案：A解析：分层抽样中，各层中抽出的个体数目之比等于各层数量之比．在本题中，A 型产品占总数的22＋3＋5＝15，所以若样本的容量为80，则其中A 型产品的件数为80×15＝16，故正确答案为A.2.样本容量为100的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在[6,10)内的频数为a ，样本数据落在[2,10)内的频率为b ，则a ，b 分别是( )A ．32,0.4B ．8,0.1C ．32,0.1D ．8,0.4答案：A解析：落在[6,10)内频率为0.08×4＝0.32，100×0.32＝32，∴a ＝32，落在[2,10)内频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4.∴b ＝0.43．从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中任取两张，假设每张卡片被取到的概率相等，且每张卡片上只有一个数字，则取到的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )A.45B.1625C.1325D.25答案：D解析：从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中任取两张，总的情况为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)共20种情况．两张卡片上的数字之和为偶数的有：(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,1)，(3,5)，(4,2)，(5,1)，(5,3)共8种情况，∴从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中任取两张，这两张卡片上的数字之和为偶数的概率P ＝820＝25.故选D.4．在平面直角坐标系中，从5个点：A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,2)，E (2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率为( )A.15B.25C.35D.45答案：D解析：A 、B 、C 、D 、E 中任取三点，共有10种情况．其中A 、C 、E 三点及D 、C 、B 三点共线，不能够成三角形，所以能构成三角形的概率P ＝810＝45.5．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，补全这个频率分布直方图后，估计本次考试中的平均分(统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)( )A ．72B ．71C ．72.5D ．75。
2020版数学人教A版必修3课件：第三章 概 率 章末复习
第三章概率章末复习学习目标XUEXIMUBIAO1.梳理本章知识，构建知识网络.2.进一步理解频率与概率的关系.3.巩固随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.4.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率.NEIRONGSUOYIN 内容索引知识梳理题型探究达标检测1知识梳理PART ONE1.频率与概率频率是概率的，是随机的，随着试验的不同而；概率是多数次的试验中的稳定值，是一个，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率.2.求较复杂概率的常用方法(1)将所求事件转化为彼此的事件的和；(2)先求其事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P ()求解.A 近似值变化频率常数互斥对立3.古典概型概率的计算关键要分清基本事件的总数n 与事件A 包含的基本事件的个数m ，再利用公式P (A )＝求解.有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏.4.几何概型事件概率的计算关键是求得事件A 所占和的几何测度，然后代入公式求解.区域m n 整个区域1.对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.()2.“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”.()3.几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.()思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√×√2题型探究PART TWO题型一频率与概率例1对一批U盘进行抽检，结果如下表：抽出件数a50100200300400500次品件数b345589次品频率ba(1)计算表中次品的频率；解表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？解当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2000个U盘，至少需进货多少个U盘？解设需要进货x个U盘，为保证其中有2000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2000，因为x是正整数，所以x≥2041，即至少需进货2041个U盘.反思感悟概率是个常数.但除了几类概型，概率并不易知，故可用频率来估计.跟踪训练1某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率0.80.950.880.920.890.91(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？解由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.(2)假如该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？解击中靶心的次数大约为300×0.9＝270.(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？解由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化.后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心.(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？解不一定.题型二互斥事件与对立事件例2甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解 “甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220＝110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－110＝910.反思感悟在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解.跟踪训练2某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？解设事件“电话响第k声时被接”为Ak(k∈N*)，那么事件A k之间彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，根据互斥事件概率加法公式，得P(A)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？解事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为B.根据对立事件的概率公式，得P(B)＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.题型三古典概型例3甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；解甲校两名男教师分别用A，B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两名女教师分别用E，F表示.从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种.从中选出的2名教师性别相同的结果有(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率P＝49.(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.解从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种.从中选出的2名教师来自同一学校的结果有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种.所以选出的2名教师来自同一学校的概率P＝615＝2 5.反思感悟解决古典概型问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.跟踪训练3甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢.(1)若用A 表示和为6的事件，求P (A )；解基本事件个数与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N ，1≤x ≤5，1≤y ≤5}中的元素一一对应，所以S 中点的总数为5×5＝25(个)，所以基本事件总数n ＝25.事件A 包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共有5个，故P (A )＝525＝15.(2)现连玩三次，若用B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件，为什么？解B与C不是互斥事件.因为B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次时，B，C同时发生.(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由.解这种游戏规则不公平.由(1)知和为偶数的基本事件有13个：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，所以甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1225，所以这种游戏规则不公平.题型四几何概型例4在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为_____.23解析 由题意，得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝4p 2－4(3p －2)≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，解得23<p ≤1或2≤p ≤5，所以所求概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23＋(5－2)5＝23.反思感悟对于概率问题的计算，首先应判断概率模型.若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特点，则此试验为几何概型.由于其结果的无限性，概率就不能应用P (A )＝求解，故需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解.m n跟踪训练4如图所示的大正方形的面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为A.413 B.313 C.213 D.113√解析设阴影小正方形的边长为x，则在直角三角形中，有22＋(x＋2)2＝(13)2，解得x＝1或x＝－5(舍去)，∴阴影部分的面积为1，∴飞镖落在阴影部分的概率为1 13.典例甲、乙两艘轮船都要停靠在一个不能同时停泊两艘船的泊位上，它们可以在一昼夜的任意时刻到达，设甲、乙两艘船停靠泊位的时间分别是3h 和5h ，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率.核心素养之直观想象HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG 数形结合思想求概率素养评析(1)数形结合思想主要包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，在本章中，主要是借助形的生动性和直观性来阐明基本事件之间的联系.数形结合思想在本章中的应用有：借助树状图列举基本事件，利用Venn图理解各种事件之间的关系；利用一维图形求线型几何概型的概率；利用二维图形求面积型几何概型的概率；利用三维图形求体积型几何概型的概率等.(2)直观想象能提升学生数形结合的能力，形成数学直观，是学生数学核心素养的直接体现.3达标检测PART THREE1.下列事件：①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a，b都不为0，但a2＋b2＝0；④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温，其中为随机事件的是√A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④2.不透明袋子中放有大小相同的5个球，球上分别标有号码1,2,3,4,5，若从袋中任取3个球，则这3个球号码之和为5的倍数的概率为A.110B.15C.29D.14 √解析基本事件有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种，满足要求的基本事件有(1,4,5)，(2,3,5)，共2种，故所求概率为.故选B.153.任取一个三位正整数N ，则对数log 2N 是一个正整数的概率是A.1225B.3899C.1300D.1450 √解析三位正整数有100～999，共900个，而满足log 2N 为正整数的N 有27，28，29，共3个，故所求事件的概率为3900＝1300.4.已知a ，b ∈(0,1)，则函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为________.解析函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，由二次函数的单调性可知－－4b 2a ＝2b a ≤1，即a ≥2b .14由题意得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 0<a <1，0<b <1，a ≥2b ，即图中阴影部分.∴函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为12×1×121×1＝14.5.小明爱好玩飞镖，现有图形构成如图所示的两个边长为2的正方形ABCD 和OPQR ，如果O 点正好是正方形ABCD 的中心，而正方形OPQR 可以绕点O 旋转，若小明每次投镖都能射中图形，则小明射中阴影部分的概率是________.171.两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥.若事件A 1，A 2，A 3，…，A n 彼此互斥，则P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n ).2.关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题(1)本试验是不是等可能的？(2)本试验的基本事件有多少个？(3)事件A 是什么，它包含多少个基本事件？只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错.3.几何概型的试验中，事件A 的概率P (A )只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关.求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解.课堂小结KETANGXIAOJIE4.关于随机数与随机模拟试验问题随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法，用计算器或计算机模拟试验，首先要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的量，我们可以从以下两个方面考虑：(1)确定产生随机数组数，如长度型、角度型(一维)一组，面积型(二维)二组.(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围，由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式.。
2019-2020学年高中数学人教A版必修3练习：第三章 章末阶段质量检测 Word版含解析
(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列事件是随机事件的是( ) ①同种电荷，互相排斥； ②明天是晴天；③自由下落的物体作匀速直线运动；④函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在定义域上是增函数． A ．①③ B ．①④ C ．②④D ．③④解析：②④是随机事件；①是必然事件；③是不可能事件． 答案：C2．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P 1、P 2、P 3，则( ) A ．P 1＝P 2＜P 3 B ．P 1＜P 2＜P 3 C ．P 1＜P 2＝P 3D ．P 3＝P 2＜P 1解析：先后抛掷两颗骰子的点数共有36个基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，并且每个基本事件都是等可能发生的．而点数之和为12的只有1个：(6,6)；点数之和为11的有2个：(5,6)，(6,5)；点数之和为10的有3个：(4,6)，(5,5)，(6,4)，故P 1＜P 2＜P 3. 答案：B3．从一批产品中取出三件产品，设A ＝“三件产品全不是次品”，B ＝“三件产品全是次品”，C ＝“三件产品至少有一件是次品”．则下列结论正确的是( ) A ．A 与C 互斥 B ．任何两个均互斥 C ．B 与C 互斥D ．任何两个均不互斥解析：三件产品至少有一件次品包含三件产品全是次品，所以B 、C 不互斥，而A 与C 对立且互斥． 答案：A4．下列说法正确的是( )A ．由生物学知道生男生女的概率均约为12，一对夫妇生两个孩子，则一定为一男一女B ．一次摸奖活动中，中奖概率为15，则摸5张票，一定有一张中奖C ．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到的可能性大D ．10张票中有1张有奖，10人去摸，无论谁先摸，摸到有奖票的概率都是110答案：D5．(2012·临沂高一检测)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是( )A.12B.13C.14D.18解析：两枚硬币的情况如下：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．故出现两个正面朝上的概率P ＝14. 答案：C6．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8g 的概率是0.3，质量不小于4.85g 的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是( ) A ．0.62 B ．0.38 C ．0.70D ．0.68解析：记“取到质量小于4.8 g ”为事件A ，“取到质量不小于4.85 g ”为事件B ，“取到质量在[4.8,4.85)范围内”为事件C .易知事件A ，B ，C 互斥，且A ∪B ∪C 为必然事件．所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.3＋0.32＋P (C )＝1，即P (C )＝1－0.3－0.32＝0.38. 答案：B7．(2011·福建高考)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( ) A.14 B.13 C.12D.23解析：点E 为边CD 的中点，故所求的概率P ＝△ABE 的面积矩形ABCD 的面积＝12.答案：C8．从含有3个元素的集合的子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率为( ) A.310 B.112 C.4564D.38解析：设3个元素分别为a 、b 、c .所有子集共8个，含有两个元素的子集共3个． 答案：D9．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的是( )A ．都不是一等品B ．恰有一件一等品C ．至少有一件一等品D ．至多有一件一等品解析：从5件产品中任取2件，共有10种可能结果，2件都是二等品的可能结果只有1种，2件都是一等品的可能结果有3种，一件一等品、一件二等品的可能结果有6种．答案：D10．在区间(0,1)内任取一个数a ，能使方程x ？＋2ax ＋12＝0有两个相异实根的概率为( )A.12B.14C.22D.2－22解析：方程有两个相异实根的条件是Δ＝(2a )？－4×1×12＝4a ？－2>0，解得|a |>22，又a ∈(0,1)，所以22<a <1，区间(22，1)的长度为1－22，而区间(0,1)的长度为1，所以方程有两个相异实根的概率为1－221＝2－22. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．从100件产品中抽查10件产品，记事件A 为“至少有3件次品”，则A 的对立事件是________． 答案：至多有2件次品12．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高分别为： (单位：cm)162,148,154,165,168,172,175,162,171,170,150,151,152,160,163,175,164,179,149,172. 根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级任抽一名同学身高在 155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率为__________．(用分数表示)解析：样本中有8人身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间，所以估计该校高二年级任抽一名同学身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率为820＝25. 答案：2513．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a 、b∈{0,1,2，…，9}．若|a －b |≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为__________．解析：此题可化为任意从0～9中取两数(可重复)共有10×10＝100种取法．若|a －b |≤1分两类，当甲取0或9时，乙只能猜0、1或8、9共4种，当甲取2～8中的任一数字时，分别有3种选择，共3×8＝24种，∴P ＝24＋410×10＝725. 答案：72514．随机向边长为2的正方形ABCD 中投一点M ，则点M 与A 的距离不小于1且使∠CMD 为锐角的概率是________．解析：如图所示，M 在阴影部分内，则 P ＝22－14·π·12－12·π·1222＝1－3π16.答案：1－3π16三、解答题(本大题共有4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(12分)在圆O ：x 2＋y 2＝1的某一直径上随机地取一点Q .试求过点Q 且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率． 解：如图所示：记事件过点Q 且与该直径垂直的弦的长度超过1为A . 设EF ＝1则在Rt △OQE 中， OE 2＝OQ 2＋QE 2， 1＝OQ 2＋14，∴OQ ＝32.由几何概型的概率公式得 P (A )＝32×22＝32.而过点Q 且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率为1－32. 16．(12分)A 、B 两个箱子分别装有标号为0、1、2的三种卡片，每种卡片的张数如表所示.(1)从A 、B 箱中各取1张卡片，用x 表示取出的2张卡片的数字之积，求x ＝2 的概率； (2)从A 、B 箱中各取1张卡片，用y 表示取出的2张卡片的数字之和，求x ＝0且y ＝2的概率． 解：(1)记事件A ＝{从A 、B 箱中各取1张卡片，2张卡片的数字之积等于2}． 基本事件总个数为6×5＝30，事件A 包含基本事件的个数为5. 由古典概型的概率公式得P (A )＝530＝16. 则x ＝2的概率为16.(2)记事件B ＝{从A 、B 箱中各取1张卡片，其数字之和为2且积为0}． 事件B 包含基本事件的个数为10.由古典概型的概率公式得P (B )＝1030＝13. 则x ＝0且y ＝2的概率为13.17．(12分)(2011·山东高考)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解：(1)甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)(C，F)共9种，从中选出的两名教师性别相同的结果有：(A，D)(B，D)(C，E)(C，F)共4种，选出的两名教师性别相同的概率为P＝4 9.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)(A，C)(A，D)(A，E)(A，F)(B，C)(B，D)(B，E)(B，F)(C，D)(C，E)(C，F)(D，E)(D，F)(E，F)共15种，从中选出两名教师来自同一学校的结果有：(A，B)(A，C)(B，C)(D，E)(D，F)(E，F)共6种，选出的两名教师来自同一学校的概率为P＝615＝2 5.18．(14分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.(1)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率；(2)将a，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．解：先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．(1)∵直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切，∴5a2＋b2＝1，整理得：a2＋b2＝25.由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件的情况只有a＝3，b＝4，或a＝4，b＝3两种情况．∴直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率是236＝1 18.(2)∵三角形的一边长为5，三条线段围成等腰三角形，∴当a＝1时，b＝5，共1个基本事件；当a＝2时，b＝5，共1个基本事件；当a＝3时，b＝3,5，共2个基本事件；当a＝4时，b＝4,5，共2个基本事件；当a＝5时，b＝1,2,3,4,5,6，共6个基本事件；当a＝6时，b＝5,6，共2个基本事件；∴满足条件的基本事件共有1＋1＋2＋2＋6＋2＝14个．14 36＝7 18.∴三条线段能围成等腰三角形的概率为。
2019-2020学年高中数学必修三第3章《概率》测试题及答案
2019-2020学年高中数学必修三第3章《概率》测试题(时间:90分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球,若事件A 为“所取的3个球中至多有1个白球”,则与事件A 互斥的事件是( )A.所取的3个球中至少有一个白球B.所取的3个球中恰有2个白球1个黑球C.所取的3个球都是黑球3个球中恰有1个白球2个黑球,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N 中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 ( )A.815B.18C.115D.130={(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)},∴基15.∵正确的开机密码只有1个,∴P=115.( )A.甲、乙二人比赛,甲胜的概率为35,则比赛5场,甲胜3场B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈,则第10个病人一定治愈C.随机试验的频率与概率相等D.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗,结果有380人有明显疗效,现有胃溃疡的病人服用此76%,其发生具有随机性. ,A 地在今后的三天中,每一天有强浓雾的概率为30%,现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率,先利用计算器产生0~9之间整数值的随机数,并用0,1,2,3,4,5,6表示没有强浓雾,用7,8,9表示有强浓雾,再以每3个随机数作为一组,代表三天的天气情况,产生了如下20组随机数:402 978 191 925 273 842 812 479 569 683 231 357 394 027 506 588 730 113 537 779 则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为( ) A.14B.25C.710D.15,在20组随机数中表示三天中至少有两天有强浓雾的有978,479,588,779,共4组,故所求概率为420=15.500 m,途中要过一条宽为x m 的河流,他不小心把一件物品丢在途中,若物品掉在河里,则不能找到,若物品不掉在河里,则能找到,已知该物品能找到的概率为45,则河宽为( ) A.100 m B.80 m C.50 m D.40 mx m,则1-x 500=45,所以x=100.,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,则摸出黑球的概率是( ) A .0.42 B .0.28 D .0.71-0.42-0.28=0.3. 0到9的卡片,从中任取一张,则取到卡片上的数字不小于6的概率是( ) A.1B.2C.35D.146,有6,7,8,9共4个基本事件,而基本事件总数为10,故所求概率P=410=25. 6的圆形标靶射击,假设他每次射击必定会中靶,且射中靶内各点是随机的,则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为( )A.19B.14C.13D.122的概率为π×22π×62=19.2的正方形中作其内切圆,然后向正方形中随机撒一把芝麻,用随机模拟的方法来估计圆周率π的值.如果撒了1 000粒芝麻,落在圆内的芝麻总数是776粒,那么这次模拟中π的估计值是( ) A.2.972 B.2.983 D.3.130由题意知π4≈7761 000,解得π≈3.104.5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 ( )A.910B.45C.710D.35x ,则x ∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.甲的平均成绩为x 甲=15(88+89+90+91+92)=90,x 乙=5[83+83+87+(90+x )+99]=442+x5,设“甲的平均成绩超过乙的平均成绩”为事件A ,则此时有90>442+x5,解得x<8,则事件A 包含0,1,2,3,4,5,6,7,共8个基本事件,则P (A )=810=45.(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.将一枚骰子先后抛掷两次,观察向上的点数.设抛掷两次向上的点数分别为a 和b ,则等式2a-b =1成立的概率为 .2a-b =1,∴a-b=0.,出现的结果一共有36个,当a-b=0时,包含(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6个.∴所求概率为636=16.12.在利用整数随机数进行随机模拟试验中,整数a 到整数b 之间的每个整数出现的可能性是 ).(b-a+1)个整数,每个整数出现的可能性相等,故每个整数出现的可能性是1b -a+1. R ,2R ,3R 的同心圆组成,若向靶子内随机地掷一支飞镖,命中区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为p 1,p 2,p 3,则p 1∶p 2∶p 3= .解析:p 1∶p 2∶p 3=πR 2∶(π×4R 2-πR 2)∶(π×9R 2-π×4R 2)=1∶3∶5. ∶3∶514.在区间[0,3]上随机取一个数x ,满足函数y=lg (x -1)有意义的概率为 .函数y=lg (x -1)有意义, 1,∴x>2.又x ∈[0,3],∴所求概率P=3-23-0=13.15.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为√2的概率若使两点间的距离为√22,则为对角线一半,选择点必含中心,设中心为G ,四个顶点为A ,B ,C ,D ,基),(A ,C ),(A ,D ),(A ,G ),(B ,C ),…,(D ,G ),共10个,所求事件包含的基本事件有(A ,G ),(B ,G ),(C ,G ),(D ,G ),共4个,所求概率为410=25.(本大题共5小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)连续掷3枚硬币,观察这3枚硬币落在地面上是正面朝上还是反面朝上. (1)写出这个试验的所有基本事件; (2)求这个试验的基本事件的总数;恰有2枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件?这个试验包含的基本事件有(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,),(反,反,反).(2)这个试验包含的基本事件的总数是8.(3)“恰有2枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正). 17.(8分)(1)在4月份任取一天,估计该市在该天不下雨的概率;4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,该市不下雨的概率为30=1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为78. 以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为78.18.(9分)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个,现依次有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球.(1)一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果.2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得总分为5分的概率.一共有8种不同的结果,列举如下:(红、红、红),(红、红、黑),(红、黑、红),(红、黑、黑、红、红),(黑、红、黑),(黑、黑、红),(黑、黑、黑). (2)记“3次摸球所得总分为5分”为事件A ,事件A 包含的基本事件为:(红、红、黑),(红、黑、红),(黑、红、红),事件A 包含的基本事件数为3. 由(1)可知,基本事件总数为8, 所以发生事件A 的概率为P (A )=38.19.(10分)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,在正方体内随机取一点M.(1)求点M 与平面ABCD 及平面A 1B 1C 1D 1的距离都大于a3的概率; (2)求使四棱锥M-ABCD 的体积小于16a 3的概率.∵平面ABCD 与平面A 1B 1C 1D 1的距离为a ,∴点M 距离平面ABCD 及平面A 1B 1C 1D 1的距离都大于a 3的概率为13.(2)设点M 到平面ABCD 的距离为h ,由题意,得13a 2h<16a 3,∴h<a2.∴使四棱锥M-ABCD 的体积小于16a 3的概率为12.20.(10分)为预防某病毒爆发,某生物技术公司研制出一种抗病毒疫苗,为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%,,测试结果如下表:已知在全体样本中随机抽取1个,抽到B 组疫苗有效的概率是0.33. (1)求x 的值;(2)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果,问应在C 组抽取多少个? y ≥465,z ≥30,求不能通过测试的概率.∵在全体样本中随机抽取1个,抽到B 组疫苗有效的概率为0.33,即x2 000=0.33,660.(2)C 组样本个数为y+z=2 000-(673+77+660+90)=500,用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果,应在C 组抽取360×5002 000=90(个).(3)设测试不能通过为事件M ,C 组疫苗有效与无效的可能的情况记为(y ,z ),由(2)知y+z=500,且y ,z ∈N ,基本事件有(465,35),(466,34),(467,33),(468,32),(469,31),(470,30),共6个. 若测试不能通过,则77+90+z>2 000×(1-90%),即z>33.事件M 包含的基本事件有(465,35),(466,34),共2个,则P (M )=26=13. 故不能通过测试的概率为13.。
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1
习题课 几何概型的应用
课时目标
巩固几何概型的有关知识．能解决随机数与几何概型的问题．
课时作
业
一、选择题
1．关于几何概型和古典概型的区别，正确的说法是( )
A．几何概型中基本事件有有限个，而古典概型中基本事件有无
限个
B．几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有
限个
C．几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型
中每个基本事件出现的可能性相等
D．几何概型中每个基本事件出现的可能性相等，而古典概型中
每个基本事件出现的可能性不相等
答案：B
解析：几何概型和古典概型的相同点是每个基本事件出现的可能
性相等，区别是几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事
件有有限个，故选B.
2.
如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区
域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则
阴影区域的面积为( )
A.43 B.83
2
C.23 D．无法计算
答案：B
解析：由几何概率公式知，S阴S矩＝23，所以S阴＝23S矩＝83.
3．如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任
作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率是( )
A.13 B.14
C.15 D.16
答案：D
解析：射线OA落在直角坐标系的每个位置可能性是一样的，这
是与角度有关的几何概型问题．因为周角是360°，∠xOT＝60°，故
令“射线OA落在∠xOT内”为事件A，其概率为P(A)＝60°360°＝
1
6
.故
选D.
4．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面
积大于S4的概率是( )
A.14 B.12
C.34 D.23
答案：C
解析：如图所示在边AB上任取一点P，事件“△PBC的面积大
于
S4”等价于事件“|BPBA|＞1
4
”．因为△ABC与△PBC是等高的，
即
P(△PBC的面积大于S4)＝|BP||BA|＝34.
3
5．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30 s，黄灯亮的时间为5
s，绿灯亮的时间为40 s，当你到达路口时，事件A为“看见绿灯”，
事件B为“看见黄灯”，事件C为“看见的不是绿灯”的概率大小
关系为( )
A．P(A)＞P(B)＞P(C)
B．P(A)＞P(C)＞P(B)
C．P(C)＞P(B)＞P(A)
D．P(C)＞P(A)＞P(B)
答案：B
解析：在75 s内的每一时刻到达路口的机会是相同的，属于几何
概型．
则P(A)＝绿灯亮的时间全部时间＝4075＝815，
P(B)＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115.
P(C)＝不是绿灯亮的时间全部时间
＝1－
绿灯亮的时间
全部时间
＝1－815＝
7
15
.
6．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的
空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a2的圆弧，某人向此板
投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，
则它击中阴影部分的概率是( )
A．1－π8 B.π4
C．1－π4 D．与a的值有关联
4
答案：C
解析：图中阴影部分的面积为：a2－π×(a2)
2
，
则它击中阴影部分的概率是：
P＝a2－πa22a2＝1－π4.
二、填空题
7．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，以A为圆心，
1为半径作四分之一个圆弧DE，在∠DAB内任作射线AP，则射线
AP与线段BC有公共点的概率为________．
答案：13
解析：因为在∠DAB内任作射线AP，则等可能基本事件为
“∠DAB内作射线AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域H是
∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，
区域h为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为∠CAB∠DAB＝
30°90°＝1
3
.
8．一个路口的信号灯，红灯的时间间隔为30秒，绿灯的时间间
隔为40秒，如果你到达路口时，遇到红灯的概率为25，那么黄灯亮的
时间间隔为________秒．
答案：5
解析：设黄灯亮的时间间隔为t秒．P{遇见红灯}＝
25＝30
30＋40＋t
解得t＝5.
9．在半径为1的圆上随机取一条弦，则弦长超过圆内接等边三
角形的边长的概率是________．
答案：13
解析：在圆上随机取两点，可以看成先取定一点后，再随机地取
5
另一点．如图所示．
B为定点，△BCD是圆内接等边三角形，则当BE的弦端点E取
在劣弧CD上时，有|BE|＞|BC|.设事件A＝{弦长超过圆内接等边三角
形的边长}，全部试验结果构成的区域长度是圆周长，事件A构成的
区域长度是劣弧CD，又劣弧CD的长是圆周长的13，则P(A)＝
1
3
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三、解答题
10．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的发环，从外向内为白色、黑
色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛
靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm.假设射箭都能中靶，且射中
靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？
解：把射中靶面看成一次试验，其结果可以是靶面直径为122cm
的大圆内的任意一点，有无限个，属于几何概型．设射中黄心为事件
A，
全部结果构成的区域面积是14×π×1222cm2，
事件A的结果构成的区域面积是14×π×12.22cm2，
则P(A)＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01，
即射中黄心的概率为0.01.
11.
如图在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作
一条射线CM，与线段AB交于点M.
求AM＜AC的概率．
解：可先找到AM＝AC时∠ACM的度数，再找出相应的区域角，
利用几何概型的概率公式求解．
6
这是几何概型问题且射线CM在∠ACB内部
在AB上取AC′＝AC，
则∠ACC′＝180°－45°2＝67.5°.
设A＝{在∠ACB内部作一条射线CM，
与线段AB交于点M，AM∠AC}．
则所有可能结果的区域角度为90°，
事件A的区域角度为67.5°，
∴P(A)＝67.590＝34.
能力提升
12.
利用计算机随机模拟方法计算y＝x2与y＝4所围成的区域Ω的
面积时，可以先运行以下算法步骤：
第一步：利用计算机产生两个在0～1区间内的均匀随机数a，b；
第二步：对随机数a，b实施变换： a1＝4a－2，b1＝4b，得到点A(a1， 第四步：累计所产生的点A的个数m及满足b1 解析：设由g＝x 13．一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红 三个数字恰好是7，就表示第一次，第二次摸的是白球，第三次恰好
b1)；
第三步：判断点A(a1，b1)的坐标是否满足b1
第五步：判断m是否小于M(一个设定的数)．若是，则回到第一
步，否则，输出n并终止算法．
若设定的M＝100，且输出的n＝34，则据此用随机模拟方法可
以估计出区域Ω的面积为________(保留小数点后两位数字)．
答案：10.56
7
2
与y＝4围成的区域Ω面积为S，则S4×4＝1－
34
100
，∴S＝4×4×0.64＝10.56.
球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再
接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．
解：用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机
产生1到7之间取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的
概率，所以每三个随机数作为一组．例如，产生20组随机数．
666 743 671 464 571
561 156 567 732 375
716 116 614 445 117
573 552 274 114 622
就相当于做了20次试验，在这组数中，前两个数字不是7，第
是红球，它分别是567和117共两组，因此恰好第三次摸到红球的概
率约为220＝0.1.