第七册---22数轴
数轴的知识点归纳
数轴的知识点归纳
数轴是数学中非常重要的一个概念，它可以帮助我们更好地理解数的大小关系和运算规律。
以下是关于数轴的知识点归纳：
1. 数轴的定义：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。
2. 数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。
3. 数轴的画法：
- 画一条水平直线，在直线上取一点表示 0（原点）。
- 确定正方向，并用箭头表示。
- 选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示-1，-2，-3，…。
4. 数轴上的点与数的关系：数轴上的每一个点都对应一个数，反过来，每一个数也都可以用数轴上的点来表示。
5. 数轴的作用：
- 帮助理解相反数：数轴上位于原点两侧，且到原点距离相等的两个点表示的数互为相反数。
- 比较数的大小：数轴上右边的数总比左边的数大。
- 理解绝对值的意义：一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点到原点的距离。
6. 数轴的应用：数轴可以应用于许多数学领域，如解方程、不等式、函数等。
总之，数轴是数学中的一个基础工具，它为我们提供了一个直观的图形化表示数的方式，帮助我们更好地理解和处理数学问题。
人教版 七年级上 1.2.2 数轴
03 便捷操作
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04 亮点功能
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CONTENTS
目
录
01
课堂讲练 夯基础
02
当堂小练 验成效
1
2
3
4
5
6
7
5. [新考法 分类讨论法]点 A 在数轴上距离原点3个单位长
度，将点 A 沿着数轴向右移动2个单位长度得到点 B ，点
B 表示的数是
.
5或－1
1
2
3
4
5
6
7
6. [母题 教材P11练习T2] 请把如图所示不完整的数轴画完
整，并在数轴上标出下列各数：
－2.5，－ ，4，0，－3 .
红家、小英家的位置；
【解】如图.
(2)小英家与小刚家的距离为多少千米？
【解】由图知小英家与小刚家的距离为7 km.
1
2
3
4
5
6
7
1
C. 4
2
3
4
5
6
7
D. －4
4. 如图，点 O ， A ， B 在数轴上，分别表示数0，1.5，
4.5，数轴上另有一点 C ，到点 A 的距离为1，到点 B 的距
离小于3，则点 C 位于(
C
)
(第4题)
A. 点 O 的左边
B. 点 O 与点 A 之间
C. 点 A 与点 B 之间
人教版七级上册数学说课课件： 数轴(共17张PPT)
本节数学新授课模式 复习导入、明确目标；
新知导学、合作探究；
巩固练习、拓展提高； 课堂小结、当堂达标；
第8页，共17页。
六、教学设计：
时间预设： 复习导入、明确目标； 4′ 新知导学、合作探究； 25′ 巩固练习、拓展提高； 6′ 课堂小结、当堂达标；10′
第9页，共17页。
引入1
观察下面三幅图中的温度计，并读数？
1、在所给数轴上画出表示下列各数的点
+4 -2 0 1 3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
2、指出数轴上A、B、C、D、E、F各点分别表示什么数?
A
EB F
DC
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
第13页，共17页。
练习
1）画出数轴并表示下列有理数
1.5 3 -2 0 1
2）指出数轴上A、B、C、D各点分别表示 什么数
七、板书设计：
变量数与轴函数
1.数轴定义：
No 2.数轴三要素：原点、正方向、单位长度
3.画数轴
Image
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
第17页，共17页。
教法分析
学法分析
数轴
第6页，共17页。
四、教学方法：
总结归纳法：注重对常用规律性知识方法的梳理。 （导学案导方法、导规律）
教法分析
学法分析
数 轴
第7页，共17页。
五、教学模式：
践行真实课堂—和谐五环节教学模式
和谐五环节教学模式
单元导入、明确目标；
自学指导、合作探究； 大组汇报、教师点拨；
巩固练习、拓展提高； 达标测试、课堂小结。
“直观化”。通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫 做数轴。
1.2.2数轴(课件)七年级数学上册(人教版2024)
人教版七年级数学上册
感谢聆听
主讲：
（1）
（3）
（2）
0
0
（5）
－1
没有原点
1
2
没有正方向
没有单位长度
（4）
1
－1
0
－1
√
0
1
包含数轴三要素
（6）
－1 －2 0 1 2
1
单位长度不统一
数字顺序错误
随堂检测
2.一个点从数轴上表示-2的点开始，先向左移动5个单位长度，
再向右移动10个单位长度，那么终点表示的数是（ C ）
A.-2
B.-3
C.3
D.2
3.数轴上点A，B，C分别表示数-1，m，-1-m，下列说法正确
的是（ D ）
A.点C一定在点A的右边
B.点C一定在点A的左边
C.点C一定在点B的右边
D.点C一定在点B的左边
随堂检测
4.关于数轴，下列说法最准确的是( D )
A.一条直线
B.有原点、正方向的一条直线
C.有单位长度的一条直线
原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的
部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴.
有理数可以用数轴上的点表示，例如- ，6.5.
总结归纳
归纳
一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在
数轴的______上，与原点的距离是___个单位长度；表示数-a的
正半轴
a
点在数轴的______上，与原点的距离是___个单位长度.
D.规定了原点、正方向、单位长度的直线
5.数轴上的点A到原点的距离是4个单位长度，则点A表示的数
是______．
《数轴》优秀教案
22、数轴1数轴的定义2理解有理数与数轴上的点的对应关系3会根据数轴上两点的位置比较其所对应的有理数的大小4相反数的意义一、课前导学：同学们都会读温度计吧？同温度计类似，可以在一条直线上画出刻度标上数，用直线上的点表示有理数定义：画一条水平直线，在直线上取一点，表示0（叫做原点）选取某一长度为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到一条数轴，画数轴的具体方法：1画直线（一般水平方向），标出一点为原点02规定从原点向右的方向为正方向，那么向左方为负方向3选择适当的长度单位为单位长度思考：，左边的数是_____、B、C、D、E各点分别表示什么数：解：A 点表示______，B 点表示______，C 点表示______，D 点表示______，E 点表示______ 总结：一条正确的数轴，必须要有______，______，______二、基础训练：一、填空题1在数轴上，－点，－点，则离原点较近的是_______4在数轴上有一个点，已知离原点的距离是3个单位长度，这个点表示的数为_______ 5已知数轴上的一个点表示的数为3，这个点离开原点的距离一定是_______个单位长度二、判断题1－31的相反数是3（ ） 2规定了正方向的直线叫数轴（ ） 3数轴上表示数0的点叫做原点（ ） 、B 两点表示两个相邻的整数，那么这两点之间的距离是一个单位长度（ ）、B 两点之间的距离是一个单位长度，那么这两点表示的数一定是两个相邻的 整数（ ）三、选择题1每个有理数都可以用数轴上的以下哪项来表示（ ）A 一个点B 线C 单位D 长度 2下列图形中不是数轴的是（ ）3下列各式中正确的是（ ）A －31421－1 C35>－34 D －21<－24下列说法错误的是（ ）A 零是最小的整数B 有最大的负整数，没有最大的正整数C 数轴上两点表示的数分别是－231与－2，那么－2在右边D 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来四、下图是一个长方体纸盒的展开图，请把－5,3,5,－1,－3,1分别填入六个长方形，使得按虚线折成长方体后，相对面上的两数互为相反数三、能力提升：一、填空题1若数轴规定了向右为正方向，则原点表示的数为______，负数所对应的点在原点的______，正数所表示的点在原点的______ 点表示－31，B 点表示21，则离原点较近的点是_____，它们互为_____、B 、C 三点所对应的实数为－32，－43，54，则此三点距原点由近及远的顺序为_____6数轴上－1所对应的点为A ，将A 点右移4个单位再向左平移6个单位，则此时A 点距原点的距离为_____8比较大于（填写“＞”或“＜”号） （1）－1 （2）－－43（3）－21_____－31 （4）－41_____0二、选择题10下面正确的是（）A数轴是一条规定了原点，正方向和长度单位的射线B离原点近的点所对应的有理数较小C数轴可以表示任意有理数D原点在数轴的正中间11关于相反数的叙述错误的是（）A两数之和为0，则这两个数为相反数B如果两数所对应的点到原点的距离相等，这两个数互为相反数C符号相反的两个数，一定互为相反数D零的相反数为零、B、C、D所对应的数为a、b、c、d，则a、b、c、d的大小关系为（）A a＜c＜d＜bB b＜d＜a＜cC b＜d＜c＜aD d＜b＜c＜a13下列表示数轴的图形中正确的是（）、B两点所对应的有理数分别为a、b，且B在A的右边，则a－b一定（）A大于零B小于零C等于零D无法确定三、解答题15写出大于－41小于25的所有整数，并把它们在数轴上表示出来16请指出下列各数的相反数，并把它们在数轴上表示出来3，21，0，－221是最小的正整数，b 的相反数还是它本身，c 比最大的负整数大3，计算2a 3c ·b 的值。
数轴知识点
数轴1.一、知识点概括总结2.（一）数轴的观点3.定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。
4.数轴的定义包括三层含义：5.数轴是一条直线，能够向两边无线延长6.数轴有三个因素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可以7.原点的选定、正方向的取向、单位长度大小确实定，都是依据实质需要“规定”的8.数轴三因素：9.原点：在直线上取一点表示0，叫做原点10.正方向：正数所在方向，一般规定直线上向右的方向为正方向11.单位长度：选用某一长度作为单位长度12.13.（二、）数轴的画法14. 1.步骤：15.第一步：画一条水平直线(画竖直的直线行不可以呢？也行，此刻为了读画方便，往常把数轴16.画成水平的)。
17.第二步：在直线上选用一点为原点，原点表示0（在原点下面标上“0”）。
18.第三步：规定从原点向右的为正方向那么相反的方向（从原点向左）则为负方向。
（用箭头19.表示出来）20.第四步：选择适合的长度为单位长度。
21. 2.注意：22.画数轴时必定要坚固地掌握数周的三个因素，缺一不可以23.常有的错误有：a.没有方向；b.没有原点；c.单位长度不一致；d.负数摆列错误24.原点的地点、正方向的取向、单位长度大小确实定，都是依据实质需要选用的25.26.（三、）用数轴表示数27.数轴上的点都能表示数，正半轴上的点表示的数都是正数；负半轴上的点表示的数都是负数，原点表示028.在数轴的正半轴和负半轴上都有无数个点，每一个点都只表示一个数。
29.任何一个实数都能够用数轴上的一个点来表示。
30.任何一个有理数都能用数轴表示，但数轴上的点不必定表示有理数31.32.（四、）用数轴比大小33.在数轴上表示的两个数，右侧的数总比左侧的数大。
34.正数都大于0，负数都小于0，正数大于全部负数。
（五）相反数的观点1.定义：一般地，数a的相反数是-a。
这里a表示随意一个数，它能够是正数、负数和0.2.数轴上的意义：两个相反的数在数轴上到原点的距离是相等的。
北京市重点中学初一数学数轴压轴题
数轴压轴题1、我们规定一种运算a b ad cb c d =−，如232534245=⨯−⨯=−，再14224x x −=−+−按照这种运算规定， 解答下列各题：（1）计算3245−−=_________．（2）若22235x x−=−，求x 的值； （3）若88123 332mx x −−+−与51n x −−的值始终相等，求m ,n 的值． （北师大实验中学）2、已知数轴上,A B 两点表示的数分别为,a b ，且,a b 满足2(10)|6|0a b ++−=，点C 表示的数c 是最小的正整数，点D 表示的数为2点E 表示的数为14−，请回答下面的问题：（1）请直接写出,,a b c 的值：a =________，b =________，c =________．（2）点,A B 同时沿数轴相向匀速运动、A 点的速度为每秒3个单位长度B 点的速度为每秒2个单位长度，运动的时间为r 秒①当点A 到点C 的距离与点B 到点C 的距离相等时求r 的值；②当A 点运动到点D 时，迅速以原来的速度返回，B 点运动至E 点后停止运动，这时点A 也停止运动。
求在此过程中．,A B 两点同时到达的点在数轴上对应的数．3、若一个两位数的十位和个位上的数字分别为x 和y ，我们可将这个两位数记为xy ．同理，一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为,a b 和c 则这个三位数可记为abc ．（1）若3x =，则23x x +=_____________；若2t =，则8359t t −=_____________．（2）ab ba +一定能被_______整除，ab ba −一定能被_______整除．（请从大于3的整数中选择合适的数填空）（3）任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同且不为零，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”①“卡普雷卡尔黑洞数”是_______． ②若设三位数为abc （不妨设0a b c >>>），试说明其可产生“卡普雷卡尔黑洞数”．4、在数轴上有A ，B 两点，点B 表示的数为b .对点A 给出如下定义：当0b ≥时，将点A 向右移动2个单位长度，得到点P ；当0b <时，将点A 向左移动b 个单位长度，得到点P .称点P 为点A 关于点B 的“联动点”.如图，点A 表示的数为-1.（1） 在图中画出当4b =时，点A 关于点B 的“联动点”P ；（2）点A 从数轴上表示-1的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动，点B 从数轴上表示7的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为t 秒.①点B 表示的数为__________（用含t 的式子表示）；②是否存在t ,使得此时点A 关于点B 的“联动点”P 恰好与原点重合？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由.（海淀）5、如图，在数轴上有两点A 、B ，分别表示2−，8，点P 从A 点出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位的速度运动．（1）AB =________；（2）_____秒时，点P 恰好在AB 的中点；（3）若点P 从点A 出发，同时点Q 从B 点出发，沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度运动，__________秒时，PQ =4；（4）若点P 从点A 出发，同时点Q 从B 点出发，沿数轴的负方向以每秒1个单位的速度运动，______秒时，点Q恰好是BP 的中点.（育才）6、（通州）B A（西城外国语学校）（丰台二中）9、（人大附朝阳分校）（二中）（陈经纶中学）12、（4中）13、（亦庄实验）15、（大兴）16、17、14中19、阅读下列材料：根据绝对值的定义，|x|表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为x1，x2时，点P与点Q之间的距离为PQ＝|x1﹣x2|．根据上述材料，解决下列问题：如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是﹣4，8（A、B两点的距离用AB表示），点M是数轴上一个动点，表示数m．（1）AB＝个单位长度；（2）若点M在A、B之间，则|m+4|+|m﹣8|＝；（3）若|m+4|+|m﹣8|＝20，求m的值；20、将连续的偶数2，4，6，8，…排成如图，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：（1）十字框中的五个数的和等于．（2）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和是．（3）在移动十字框的过程中，若框住的五个数的和等于2020，这五个数从小到大依次，，，，．（4）框住的五个数的和能等于2019吗？21. 对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以()0m m ≠，再把所得数对应的点沿数轴向右平移n 个单位长度，得到点P '，称这样的操作为点P 的“m n −变换”，对数轴上的点A ，B ，C ，D 进行“m n −变换”后得到的点分别为A '，B '，C '，D ¢．（1）当2m =，3n =时．①若点A 表示的数为4−，则它的对应点A '表示的数为______；②数轴上的点M 表示的数为1，若点C 到点M 的距离是点C '到点M 的距离的3倍，则点C 表示的数为______；（2）当4n =时，若点D 表示的数为2，点D ¢表示的数为8−，则m 的值为______；（3）若点A '到点B '的距离是点A 到点B 的距离的2倍，则m 的值为______．（陈经纶中学）22、对于数轴上点M ，线段AB ，给出如下定义：P 为线段AB 上任意一点，如果M ，P 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M ，线段AB 的“近距”，记作1(,)d M AB 点线段；如果M ，P 两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M ，线段AB 的“远距”，记作2(,)d M AB 点线段．特别的，若点M 与点P 重合，则M ，P 两点间距离为0．已知点A 表示的数为2−，点B 表示的数为3．例如图，若点C 表示的数为5，则1(,)2d C AB =点线段，2(,)7d C AB =点线段．（1）若点D 表示的数为3−，则1(d 点D ,线段)AB =_____，2(d 点D ,线段)AB =______；（2）若点E 表示数为x ，点F 表示数为1x +．2(,)d F AB 点线段是1(,)d E AB 点线段的3倍．求x 的值．（一六一）的23、已知有理数a ，b ，c 在数轴上所对应的点分别为点A ，B ，C ，且a b =−，()2130a c ++−=．（1）求a ，b ，c 的值；（2）若将数轴折叠，使点A 与点C 重合．数轴上M ，N 两点经过上述折叠后重合，且M ，N 两点之间的距离为2022，则M 表示的数为______，N 表示的数为______．（点M 在点N 的左侧）（3）若点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ，当点P 在点B 与点C 之间时，化简式子：31124x x x +−−+−（写出化简过程）．（8中）24、我们用xyz 表示一个三位数，其中x 表示百位上的数，y 表示十位上的数，z 表示个位上的数，即10010xyz x y z =++．（1）证明：abc bca cab ++一定是111的倍数；（2）①写出一组不全相等的a ，b ，c 的值，使abc bca cab ++能被7整除，这组值可以是=a ______，b =______，c =______； ②若abc bca cab ++能被7整除，则a b c ++的值是______．25、对于数轴上的点P ，Q ，给出如下定义：若点P 到点Q 的距离为d （0d ≥），则称d 为点P 到点Q 的追击值，记作[]d PQ ．例如，在数轴上点P 表示的数是5，点Q 表示的数是2，则点P 到点Q 的追击值为[]3d PQ =．（1）点M ，N 都在数轴上，点M 表示的数是1，且点N 到点M 的追击值[]d MN a =（0a ≥），则点N 表示的数是______（用含a 的代数式表示）；（2）如图，点C 表示的数是1，在数轴上有两个动点A ，B 都沿着正方向同时移动，其中A 点的速度为每秒4个单位，B 点的速度为每秒1个单位，点A 从点C 出发，点B 从表示数b 的点出发，且数b 不超过5，设运动时间为t （0t ≥）． ①当4b =且t =______时，点A 到点B 的追击值[]2d AB =；②当时间t 不超过3秒时，求点A 到点B 的追击值[]d AB 的最大值是多少？（用含b 的代数式表示）．26、我们规定：使得a b ab −＝成立的一对数a ，b 为“积差等数对”，记为(a ，b )．例如，因为1.5－0.6＝1.5×0.6，(－2)－2＝(－2)×2，所以数对(1.5，0.6)，(－2，2)都是“积差等数对”． （1）下列数对中，是“积差等数对”的是 ；① (2，23)； ② (1.5，3)； ③(－12，－1)． （2）若(k ，－3)是“积差等数对”，求k 的值；（3）若(m ，n )是“积差等数对”，求代数式224[32(1)]2(32)6mn m mn m n m −−−−−+的值．（35中）27、定义如下：存在数a ，b ，使得等式2424a b a b ++=+成立，则称数a ，b 为一对“互助数”，记为(,)a b ．比如：(0,0)是一对“互助数”．（1）若(1,)b 是一对“互助数”，则b 的值为_____________； （2）若(2,)x −是一对“互助数”，求代数式()22153151552x x x x ⎛⎫−+−−−+− ⎪⎝⎭的值； （3）若(,)m n 是一对“互助数”，满足等式1(622)04m n m n −−+−=，求m 和n 的值． （师大附中）28、【阅读与理解】张聪同学看到如下的阅读材料：1．若整数b 除以非零整数a ，商为整数k ，且余数为零，则b 能被a 整除．2．对于正整数A ，以下给出判断A 能否被11整除的简便方法“奇偶位差法”：若整数A 的奇位数字之和与偶位数字之和的差()M A 能被11整除，则整数A 能被11整除．例如：判断491678能否被11整除．先计算奇位数字的和96823++=，偶位数位的和41712++=，于是得(491678)231211M =−=，能被11整除，因此491678能被11整除．【操作与说理】（1）当910349A =，请你帮张聪写出判断过程．．．．．．；（2）张聪尝试说明方法的道理，他发现仅举例验证不足以证明一般结论，于是他列出如下表格分析了六位数的情况：说明：abcdef 表示10000010000100010010a b c d e f +++++，其中19a ≤≤，0b ≤，c ，d ，e ，9f ≤，a ，b ，c ，d ，e ，f 均为整数． 请帮张聪同学补全表格．．．．． （3）综合运用以上信息说明．．．．．．．．．．：当()M abcdef 是11的倍数时，abcdef 能被11整除．29、在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，定义1212||(1)||k x x k y y −+−−为点M 和点N 的“k阶距离”，其中01k 剟．例如：点(1,3)M ，(2,4)N −的15阶距离”为147|1(2)||34|555−−+−=．已知点(1,2)A −．（1）若点(0,4)B ，求点A 和点B 的“14阶距离”；（2） 若点B 在x 轴上，且点A 和点B 的“13阶距离”为4，求点B 的坐标；（3）若点(,)B a b ，且点A 和点B 的“12阶距离”为1，直接写出a b +的取值范围．（景山）30、阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合的两点A ，B 以及一条线段PQ ，（1）若数轴上存在一点M ，使得点M 到点A 的距离等于点M 到点B 的距离，则称点M 为点A 与点B 的“中位点”；（2）若点A 与点B 的“中位点”M 在线段PQ 上（点M 可以与点P 或Q 重合），则称点A 与点B 关于线段PQ “中位对称”．如图1，点A 表示的数为3−，点B 表示的数为1，点M 表示的数为1−，点M 到点A 的距离等于2，点M 到点B 的距离也等于2，那么点M 为点A 与点B 的“中位点”；点P 表示的数为2−，点Q 表示的数为2，点A 与点B 的“中位点”M 在线段PQ 上，那么点A 与点B 关于线段PQ “中位对称”．根据以上定义完成下列问题：已知：如图2，点O 为数轴的原点，点A 表示的数为2−，点R 表示的数为3．（1）①若点B 表示的数为5−，点M 为点A 与点B 的“中位点”，则点M 表示的数为_________；②若点A 与点B “中位点”M 表示的数为1，则点B 表示的数为_________；2）①点B ，C ，D 分别表示的数为1，132，6，在B ，C ，D 三点中，点A 与_________关于线段OR “中位对称”；②点N 表示的数为x ，若点A 与点N 关于线段OR “中位对称”，则x 的取值范围是_________；③点E 表示数为m ，点F 表示的数为2m +，若线段EF 上至少存在一点与点A 关于线段EF “中位对称”，直接写出m 的取值范围． （广渠门）31、将网格中相邻的两个数分别加上同一个数，称为一步变换．比如，我们可以用三步变换将网格1变成网格的的2，变换过程如图：（1）用两步变换将网格3变成网格4，请在网格中填写第一步变换后的结果；（2）若网格5经过若干步变换可以变成网格6，请直接写出a、b之间满足的关系．（15中）32、阅读材料，并回答问题钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法，例如现在是10点钟，4小时以后是几点钟？虽然10414+=，但在表盘上看到的是2点钟．如果用符号“⊕”表示钟表上的加法，则1042⊕=．若问2点钟之前4小时是几点钟，就得到钟表上的减法概念，用符号“!”表示钟表上的减法．（注：我们用0点钟代替12点钟）由．上述材料可知：（1）96⊕=___________，24=!___________；（2）在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则5的相反数是___________，举例说明有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，在钟表运算中是否仍然成立；（3）规定在钟表运算中也有01234567891011<<<<<<<<<<<．对于钟表上的任意数字a ，b ，c ，若a b <，判断a c b ⊕<是否一定成立（12中）33、结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于m n −．如果表示数a 和2−的两点之间的距离是3，那么=a ______；（2）若数轴上表示数a 的点位于4−与2之间，求42a a ++−的值；（3）当a 取何值时，514a a a ++−+−的值最小．34、 [背景知识]：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．在数轴上，若C 到A 的距离刚好是3，则C 点叫做A 的“幸福点”，若C 到A 、B 的距离之和为8，则C 叫做A 、B 的“幸福中心”1）如图1，点A 表示的数为﹣1，则A 的幸福点C 所表示的数应该是 ；2） 如图2，M 、N 为数轴上两点，点M 所表示的数为4，点N 所表示的数为﹣2，点C 是M 、N 的幸福中心， 则C 所表示的数是多少？3）如图3，点A 表示的数是0，点B 表示的数是4，若点A 、点B 同时以1个单位长度/秒的速度向左运动，与此同时点P 从10处以2个单位长度/秒的速度向左运动，经过多长时间后，点A 、点B 、点P 三点中其中一点是另外两点的幸福中心？（直接写出答案．）35、探究规律，完成相关题目．定义“*”运算：（+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]；（﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]；0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2．0*0＝02+02＝01）归纳*运算的法则：两数进行*运算时，．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，．2）计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝．3）是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．（朝阳外国语）36、阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．37、阅读下列材料:对于排好顺序的三个数:123x x x ，， 称为数列123x x x ，，.将这个数列如下式进行计算:1x −，12x x −+，123x x x −+−，所得的三个新数中，最大的那个数称为数列123x x x ，，的“关联数值”.例如：对于数列12 -3−，，，因为()11 −−=，()123−−+=，()()1236−−+−−=，所以数列12 -3−，，，的“关联数值”为6. 进一步发现:当改变这三个数的顺序时，所得的数列都可以按照上述方法求出“关联数值”，如:数列2,1,3−−的 “关联数值”为0； 数列3,1,2−−的“关联数值”为3... 而对于“123−−，，”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，“关联数值"的最大值为6.（1）数列432−，，的“关联数值”为_______； （2）将“432−，，”这三个数按照不同顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“关联数值”的最大值是_______， 取得“关联数值”的最大值的数列是______（3）将“36a −，，”(0)a >这三个数按照不同顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“关联数值”的最大值为10，求a 的值，并写出取得“关联数值”最大值的数列. （文汇）38、用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定2a b a ba b ++−=☆．（1）计算：(6)5−=☆______；（2）从9,8,7,6,5,4,3,2,1−−−−−−−−−，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选两个有理数做a ，()b a b ≠的值，并计算a b ☆，那么所有运算结果中的最大值是______．39. 如图，若点A 在数轴上对应的数为a ，点B 在数轴上对应的数为b ，且a ，b 满足22(1)0a b ++−=的的1）求线段AB的长；2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程12122x x−=+的解，在数轴上是否存在点P，使得PA+PB=PC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；3）在（1）（2）条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，请问：AB﹣BC的值是否随时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值．（陈经纶望京实验）40、已知数轴上两点A 、B ，若在数轴上存在一点C ，使得AC BC nAB +=，则称点C 为线段AB 的“n 倍点”．例如如图1所示：当点A 表示的数为2−，点B 表示的数为2，点C 表示的数为0，有224AC BC AB +=+==，则称点C 为线段AB 的“1倍点”．请根据上述规定回答下列问题：已知图2中，点A 表示的数为3−，点B 表示的数为1，点C 表示的数为x ．1）当31x −≤≤时，点C （填“一定是”或“一定不是”或“不一定是”）线段AB 的“1倍点”；2）若点C 为线段AB 的“n 倍点”，且4x =−，求n 的值；3）若点D 是线段AB 的“2倍点”，则点D 表示的数为 ；4） 若点E 在数轴上表示的数为t ，点F 表示的数为2t +，要使线段EF 上始终存在线段AB 的“3倍点”，求t 的取值范围（用不等号表示）（陈经纶分校）41、对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以()0m m ≠，再把所得数对应的点沿数轴向右平移n 个单位长度，得到点P '，称这样的操作为点P 的“m n −变换”，对数轴上的点A ，B ，C ，D 进行“m n −变换”后得到的点分别为A '，B '，C '，D ¢．（1）当2m =，3n =时．①若点A 表示的数为4−，则它的对应点A '表示的数为______；②数轴上的点M 表示的数为1，若点C 到点M 的距离是点C '到点M 的距离的3倍，则点C 表示的数为______；（2）当4n =时，若点D 表示的数为2，点D ¢表示的数为8−，则m 的值为______；（3）若点A '到点B '的距离是点A 到点B 的距离的2倍，则m 的值为______． （陈经纶中学）42、如图，已知数轴上点A ，B ，C 所对应的数a ，b ，c 都不为0，点C 到点A 与点B 距离相等．（1）①4a =，10b =，则c =______；②4a =−，10b =，则c =______；③10a =−，4b =−，则c =______．（2）直接写出a ，b ，c 之间的关系式；（3） 如果2220a b a c b c a b c +−−+−−+−=，试分析原点O 的位置，并在数轴上标一个满足条件的原点O 的位置． （日坛中学）43、观察以下图案和算式，思考其中蕴含的对应关系，并解答问题：1111=⨯=13224+=⨯=135339++=⨯=13574416+++=⨯=135795525++++=⨯=（1）1357919+++++⋅⋅⋅+=___________；（2）1357921n +++++⋅⋅⋅+−=___________；（3）求和号是数学中常用的符号，用∑表示，例如5231n n =+∑，其中2n =是下标，5是上标，31n +是代数式， 5231n n =+∑表示n 取2到5的连续整数，然后分别代入代数式求和， 即：523132133134135146n n =+=⨯++⨯++⨯++⨯+=∑．结合你在（2）中发现的规律，求出25121n n =−∑的值，要求写出计算过程．（13中）。
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5
0
- 10
对于一个横放 的温度计与下 面图形的比较 我们能发现他 们有什么相同
点呢？
-15 -10 -5 0 5 10
-
画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做 原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上 向右的方向为正方向，就得到下面的数轴。
例1 指出数轴上A、B、C、D各点分别表示什么数？
AD
C
B
-3 -2 -1 0 1 2 3
A表示—- 3— B表示—2 — C表示—0—
D表示—-2 —
例2 画出数轴并用数轴上的点表示下列各数。
3/2、 -5、 0、 5、 -4、 - 3/2
此例留做课堂练习！ 同学们自己做！大家
能发现什么?
想一想
-3 -2 -1 0 1 2 3
越来越大
得出结论：数轴上两个点表示的数，右边的总 比左边的大，正数大于0，负数小于0，正数 大于负数。
例 3 比较下列每组数的大小。
（1） -2 和 +3
（2）0和-1.8
（3）- 3／2 和-3 解： （1） -2 < +3 (正数比负数大)
（2）0 > -1.8 （零大于负数 ）
（3）- 3／2 > -3 （右边的数大于左边的数）
-3 -2 -1
0
1
2
3Leabharlann E -1 0 1 2 3 4
01
（一） 画一条直线。
（二）在直线上取一点为原点，并用0表示。
（三） 确定正方向（一般规定向右为
正）用箭头表示。
（四） 选取适当的长度作为单位长度。
任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，反 过来不能说数轴上所有的点都表示有理数。
-3 -2 -1 0 1 2 3
正有理数可用原点右边的数表示，负有理数可 用原点左边的数表示，0用原点表示。
2与-2有什么相同点与不同点？ 在数轴上的位置关系如何呢？ 3／2与- 3／2 ，5与-5呢？
如果两个数只有符号不同，那么我 们称其中一个数是另一个的相反数。也 称这两个数互为相反数。
特别的0的相反数是0
在数轴上，表示互为相反数 的两个 点，位于原点的两侧，且与原点的距离 相等。
议一议
数轴上的两点，右边点表示的数与左边点 表示的数有什么样的大小关系？
-3 -2 -1 0 1 2 3
原点
数轴三要素
正方向 单位长度
简单定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线 就是数轴。
请你说说以下的几个图中—A —C—是数 轴，B—D—E——不是数轴。
A
-3 -2 -1 0 1 2 3
B
-3 -2 -1 1 2 3 4
C
- 4 --2 0 2 4
D -3 -2 -1 0 1 2 3