概率与概率分布
教育与心理统计学第六章：概率分布
举例：
1、我们队将可能赢得今晚的这场比赛。 2、今天下午下雨的机会有40％。 3、这个冬天的周末我很可能有个约会。 4、我有50比50的机会通过今年的英语四
级考试。
概率的分类
1、后验概率(empirical definition of Probability)
以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率值作 为随机事件A的概率估计值，这样求得的概率称为 后验概率。
进行推论，从而确定推论正确或错误的概率。
一、正态分布及渐近正态分布
（一）样本平均数的分布
1、总体分布为正态， δ2已知，样本平均数 的分布为正 态分布
标准误，即样本均数的标准差，是描述均数抽样分布的 离散程度及衡量均数抽样误差大小的尺度，反映的是 样本均数之间的变异。
标准误用来衡量抽样误差。标准误越小，表明样本统计 量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性， 用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。
第六章 概率分布
第一节 概率的基本概念 第二节 正态分布 第三节 二项分布 第四节 样本分布
第一节 概率的基本概念
一、什么是概率 随机现象（或随机事件）——在心理学研究中，通过实
验、问卷调查所获得的数据，常因主试、被试、施测 条件等因素的随机变化而呈现出不确定性，即使是相 同的被试在相同的观测条件下，多次重复测量结果也 还是上下波动，我们一般都无法事先确定每一次测量 的结果。 概率（probability）：随机事件出现可能性大小的客观 指标
2、计算概率时 ，每一个正态分布都需要有自己 的正态概率分布表，这种表格是无穷多的
3、若能将一般的正态分布转化为标准正态分布， 计算概率时只需要查一张表
（三）标准正态分布表的编制与使用
概率分布的种类与性质
概率分布的种类与性质概率分布是概率论中的重要概念，用于描述随机变量的取值与其对应的概率。
不同的随机变量具有不同的概率分布，而概率分布又可以分为多种种类。
本文将介绍常见的概率分布种类及其性质。
一、离散型概率分布离散型概率分布是指随机变量取有限个或可数个值的概率分布。
常见的离散型概率分布有以下几种：1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）伯努利分布是最简单的离散型概率分布，它描述了只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果（正面或反面）。
伯努利分布的概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中k=0或1，p为成功的概率。
2. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是一种重要的离散型概率分布，它描述了n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
二项分布的概率质量函数为： P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中k=0,1,...,n，C(n,k)为组合数，p为成功的概率。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是一种用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生次数的离散型概率分布。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中k=0,1,2,...，λ为平均发生率。
二、连续型概率分布连续型概率分布是指随机变量取值为连续区间内的概率分布。
常见的连续型概率分布有以下几种：1. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是一种简单的连续型概率分布，它在给定区间内的取值概率相等。
均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a)，其中a为区间下界，b为区间上界。
2. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是一种重要的连续型概率分布，也被称为高斯分布。
正态分布具有钟形曲线，对称分布于均值周围。
概率空间和概率分布的关系
概率空间和概率分布的关系Probability space and probability distribution are closely related concepts in the field of probability theory. A probability space consists of three components: a sample space, a set of events, and a probability measure. The sample space is the set of all possible outcomes of an experiment, the set of events is a collection of subsets of the sample space, and the probability measure assigns probabilities to each event in the set of events. The probability distribution, on the other hand, describes the likelihood of each possible outcome of a random variable. It provides a mathematical model for the randomness inherent in a system or process.概率空间和概率分布在概率论领域密切相关。
概率空间包括三个组成部分：样本空间、事件集和概率度量。
样本空间是实验的所有可能结果的集合，事件集是样本空间的子集的集合，概率度量给事件集中的每个事件分配概率。
另一方面，概率分布描述了随机变量每个可能结果的可能性。
它为系统或过程中固有的随机性提供了数学模型。
In a probability space, the sample space represents all the possible outcomes of an experiment, which is the foundation of the entireprobability theory. It provides a framework for analyzing uncertainty and making predictions based on statistical data. The set of events in a probability space is crucial for determining the probability of various outcomes and understanding the likelihood of different scenarios. The probability measure assigns a numerical value to each event in the set of events, representing the likelihood of that event occurring. It is a fundamental concept that enables us to quantify uncertainty and make informed decisions.在概率空间中，样本空间代表实验的所有可能结果，这是整个概率论的基础。
概率及其分布与二项分布
概率的加法定理
? 若事件Ａ发生，则事件Ｂ就一定不发生， 这样的两个事件为互不相容事件。
? 两互不相容事件 和的概率，等于这两个
事件概率之和，即
P ?P ?P
( A? B )
( A)
(B)
（6．3）
A
B
P( A1 ? A2 ?? An ) ? P?A1 ? ? P?A2 ? ? ? ? P?An ? （6．4）
例３：从男生占２/５的学校中随机抽取６ 个学生，问正好抽到４个男生的概率是多 少？最多抽到２个男生的概率是多少？
解：将n=6，p=2/5 ，q=3/5，X=4代入 （6．7）式，则恰好抽到 4个男生的概率为
P( 4 )
?
C64
?p4 ?q2
?
6!
?
??
2
4
? ?
?
??
3
2
? ?
4!? 2! ? 5 ? ? 5 ?
计算
? 抽到第一题或第二题的概率应为抽到第一题 的概率和抽到第二题的概率之和，即
P?A? B? ?
P?A ? ?
P?B? ?
1? 5
1 5
?
2 5
? 四个学生都抽到第一题即四个学生同时抽到第
一题，其概率应为抽到第一题的概率的乘积，即
P?A1 ?A2 ?A3 ?A4 ??
1? 5
1? 5
1? 5
1 5
一、概率的定义
? 后验概率（或统计概率）
? 随机事件的频率
m W( A) ? n
? 当n无限增大时，随机事件 A的频率会稳定在
一个常数 P，这个常数就是随机事件 A的概率。
P?A? ?
Lim
n? ?
第3章概率概率分布、均值与方差
随机变量的标准差 D(X )
继续例2
D( X 2 ) 2.4 1.549
三、 连续型随机变量
1. 连续型随机变量
•连续型随机变量：一个随机变量取值的集合为无穷不
频率（%） 1.0 0.5 1.0 10.5 14.0 14.0 16.5 13.0 10.5 9.5 5.0 3.0 1.0 0.0 0.5
总计
200
100.0
尺矩数据的图表描述
频 率
尺矩数据的图表描述
观测值无限增多，组 数无限增多，组距无限 缩小，分布特征不变， 则图形趋近平滑曲线。
钟形的对称分布
3. 离散型随机变量的数字特征
（1）数学期望 反映随机变量取值的集中趋势——平均状态
离散型随机变量的数学期望可以看作为随机变量
的取值与其相应的概率作为权数的一个加权平均 数。定义如下：
E( X ) X i Pi X 1 P1 X 2 P2 X n Pn
i
继续例2.
x
P( X x) f (t)dt, x为任意实数
这个事件的概率随着 x的变化而变化，因此， 它是实数x的函数，记为
x
F（x） P( X x) f (t)dt，这个函数称为连续型 随机变量的概率分布
函数 随机事件{a X b}的概率P(a X b） P( X b) P( X a) F (b) F (a)
第三章 概率
第二节 概率分布、均值 与方差
一、随机变量的概念
对于随机试验，其样本空间Ω为所有试验结果的集 合： Ω={ω} 将随机试验的结果与一个变量X联系起来。这个变 量X的取值与随机试验的结果相对应。 例1. 抛硬币：Ω={正，反} 变量X: {X=1}={正}, {X=0}={反},
量子力学概率分布和概率密度
量子力学概率分布和概率密度量子力学是一门研究微观世界的物理学科，它描述了原子和分子等微观粒子的行为。
在量子力学中，概率分布和概率密度是非常重要的概念，它们能帮助我们理解微观粒子的运动和性质。
概率分布是描述一个随机变量可能取值的概率的分布情况。
在量子力学中，我们常用波函数来描述微观粒子的状态。
波函数的平方模的大小代表了在不同位置和状态上寻找微观粒子的概率分布。
波函数的平方模越大，表示在该位置或状态上找到微观粒子的概率越大。
以一个简单的例子来说明概率分布的概念。
考虑一个自由粒子，在一维空间内运动。
假设它的波函数是平面波，即在整个空间内都有非零的振幅。
我们可以通过计算波函数的平方模来得到概率分布。
在这个例子中，概率分布是均匀的，即在任何一个位置上找到微观粒子的概率都是相同的。
概率密度是概率分布函数对位置的导数，它描述了微观粒子在不同位置上的概率密度。
概率密度并不表示微观粒子在某个确定位置上的概率，而是表示在该位置附近单位长度内找到微观粒子的概率。
概率密度的大小可以用来描述不同位置上微观粒子的密度分布情况。
与概率分布相比，概率密度更加精细地描述了微观粒子的位置和状态。
在量子力学中，我们经常使用概率密度来计算一些物理量的期望值，例如位置的平均值和动量的平均值。
通过计算概率密度，我们可以得到微观粒子在不同位置上的平均分布情况，从而揭示微观世界的奇妙性质。
概率分布和概率密度是量子力学中非常重要的概念，它们帮助我们理解微观粒子的行为和性质。
通过计算波函数的平方模和概率密度，我们可以得到微观粒子在不同位置上的分布情况，并计算各种物理量的期望值。
这些概念和方法在量子力学的研究中发挥着重要的作用。
总结起来，量子力学中的概率分布和概率密度是描述微观粒子行为和性质的重要工具。
概率分布描述了微观粒子在不同位置和状态上的概率分布情况，而概率密度则更加精细地描述了微观粒子的位置和状态。
通过计算波函数的平方模和概率密度，我们可以揭示微观世界的奇妙性质，并计算各种物理量的期望值。
概率论中的概率分布与密度函数
概率论中的概率分布与密度函数概率论是一门研究随机现象的数学学科，而概率分布与密度函数则是概率论中重要的概念与工具。
在本文中，我们将探讨概率分布与密度函数的定义、属性以及它们在实际应用中的意义。
一、概率分布的定义与性质在概率论中，概率分布描述了一个随机变量在各个取值上的概率。
随机变量可以是离散的或连续的，因此概率分布也可以分为离散概率分布和连续概率分布两种情况。
1. 离散概率分布离散概率分布是指随机变量取有限个或可数个数值的情况。
对于离散概率分布，我们可以通过概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）来描述各个取值的概率。
设X是一个离散随机变量，其取值为x1、x2、...、xn，对应的概率为p1、p2、...、pn。
则该离散随机变量X的概率分布可以表示为：P(X=x1)=p1P(X=x2)=p2...P(X=xn)=pn离散概率分布的性质包括每个概率都介于0和1之间，并且所有概率的和等于1。
2. 连续概率分布连续概率分布是指随机变量取值为一个区间或实数集合的情况。
对于连续概率分布，我们需要引入概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）来描述取值区间内的概率密度。
设X是一个连续随机变量，其概率密度函数为f(x)。
则该连续随机变量X的概率分布可以表示为：P(a≤X≤b)=∫[a,b]f(x)dx其中，[a,b]表示包含a与b的区间。
连续概率分布的性质包括概率密度函数非负且在整个实数轴上积分为1。
二、概率分布的常见类型概率论中存在许多常见的概率分布类型，其中一些被广泛应用于建模与数据分析。
1. 二项分布二项分布是概率论中最基本的离散概率分布之一，用于描述具有“成功”与“失败”两种结果的多次试验。
例如，在n次独立的伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，则n次试验中成功k次的概率可以由二项分布来表示。
2. 正态分布正态分布是一种连续概率分布，也被称为高斯分布。
概率分布的特征与计算
概率分布的特征与计算概率分布是概率论和数理统计中的重要概念，用于描述随机变量的取值和其对应概率的关系。
概率分布的特征包括均值、方差、偏度和峰度等，在统计学和实际应用中有着重要的作用。
本文将介绍概率分布的特征以及如何计算它们。
一、概率分布的特征1. 均值：概率分布的均值是衡量随机变量取值集中趋势的指标。
对于离散型随机变量，均值的计算公式是E(X) = Σ(xP(x))，其中 x 为随机变量的取值，P(x) 为对应取值的概率。
对于连续型随机变量，均值的计算公式是 E(X) = ∫(x*f(x))dx，其中 f(x) 为概率密度函数。
2. 方差：概率分布的方差衡量随机变量取值的离散程度。
方差的计算公式为 Var(X) = E((X-E(X))^2)，其中 E(X) 为随机变量的均值。
3. 偏度：概率分布的偏度描述了分布曲线的对称性。
偏度为0表示分布为对称分布，大于0表示分布右偏，小于0表示分布左偏。
计算偏度的公式为 Skewness = E((X-E(X))^3)/(Var(X))^1.5。
4. 峰度：概率分布的峰度衡量了分布曲线的陡峭程度。
峰度大于3表示分布尖峭，峰度小于3表示分布平坦。
计算峰度的公式为 Kurtosis = E((X-E(X))^4)/(Var(X))^2。
二、概率分布的计算1. 二项分布：二项分布用于描述在 n 次重复且相互独立的伯努利试验中成功次数的概率分布。
计算二项分布的均值的公式是 E(X) = np，方差的公式是 Var(X) = np(1-p)，其中 n 为试验次数，p 为每次试验成功的概率。
2. 泊松分布：泊松分布用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生次数的概率分布。
计算泊松分布的均值和方差的公式都是λ，其中λ 表示单位时间或单位面积内事件平均发生次数。
3. 正态分布：正态分布是自然界中常见的分布，也称为高斯分布。
正态分布的均值、方差、偏度和峰度都具有特定的数值。
均值为μ，方差为σ^2，偏度为0，峰度为3。
几种常见的概率分布及应用
几种常见的概率分布及应用常见的概率分布有很多种，在统计学和概率论中，这些分布被广泛应用于各种领域，包括自然科学、工程、经济和社会科学等。
下面是几种常见的概率分布及其应用：1. 均匀分布（Uniform Distribution）：均匀分布是最简单的概率分布之一，它的概率密度函数在一个给定的区间内是常数。
这种分布广泛应用于统计推断、模拟和随机数生成等领域。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布适用于具有两个可能结果的离散试验，如抛硬币、打靶等。
在二项分布中，每个试验都是独立的，并且具有相同的概率。
二项分布在实验研究和贝叶斯统计等领域有广泛的应用。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布适用于描述单位时间或空间内稀有事件发生次数的概率分布。
它在复杂事件模型、风险评估和可靠性分析等领域有广泛的应用。
4. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最常见的连续概率分布之一，也被称为高斯分布。
它具有对称的钟形曲线，广泛应用于自然科学、社会科学和工程等领域。
正态分布在统计推断、回归分析、贝叶斯统计等方面发挥着重要作用。
5. 指数分布（Exponential Distribution）：指数分布适用于描述事件发生之间的时间间隔的概率分布。
它在可靠性工程、队列论、生存分析等领域有广泛的应用。
6. γ分布（Gamma Distribution）：γ分布是一类连续概率分布，用于描述正数随机变量的分布，如等待时间、寿命和利润等。
它在贝叶斯统计、过程控制和金融分析等领域被广泛使用。
7. t分布（T-Distribution）：t分布是一种用于小样本情况下的概率分布，它类似于正态分布，但考虑了样本容量较小的情况。
t分布在统计推断和假设检验等方面有广泛的应用。
8. χ²分布（Chi-Square Distribution）：χ²分布是一种用于度量变量之间的独立性和相关性的概率分布。
概率与分布列
概率与分布列（深圳）17．（本小题满分13分）随机调查某社区80个人，以研究这个社区居民在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这个时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望；（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别相关系”？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：解：（1闲方式的概率为56p =． …………………………………………2分方法一：2161)61()0(303===C X P ，725)65()61()1(213===C X P ，7225)65)(61()2(223===C X P ，216125)65()3(333===C X P ． ……………6分X ∴221637227212160=⨯+⨯+⨯+⨯=∴EX ． ……………………………8分方法二：根据题意可得)65,3(~B X ， ……………………………………4分k k k C k X P )65()61()(33-==∴，3,2,1,0=k ． ……………………………………6分∴25653=⨯==np EX ． …………………………………………8分(2) 提出假设0H ：休闲方式与性别无关系．根据样本提供的22⨯列联表得22()80(10101050)808.889 6.635()()()()602020609n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯．因为当0H 成立时，635.62≥K 的概率约为01.0，所以我们有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段性别与休闲方式相关”． ………………………13分（广州）17．（本小题满分12分）如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．（1）求a 的值； （2）求乙组四名同学数学成绩的方差；（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选择一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）． （温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．） （1）解：依题意，得11(87899696)(87909395)44a ⨯+++=⨯++++，……………………………1分 解得3a =.…………………………………………………………………………………………………2分（2）解：根据已知条件，能够求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =.……………………………3分所以乙组四名同学数学成绩的方差为()()()()222221879293929392959294s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦. ……………………………5分（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选择一名同学，共有4416⨯=种可能的结果．……………6分所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分 由表可得1(0)16P X ==，2(1)16P X ==，1(2)16P X ==，4(3)16P X ==， 图4 甲组 乙组 8 9 7 a 3 5 7 9 6 62(4)16P X ==，3(6)16P X ==，1(8)16P X ==，2(9)16P X ==. 所以随机变量随机变量X 的数学期望为121423012346161616161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12891616+⨯+⨯…………………………11分6817164==.…………………………………………………………………………………………12分（揭阳）17. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1,2,,8…，其中5ξ≥为标准A ，3ξ≥为标准B ，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准B 生产该产品，且该厂的产品都符合相对应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取30件，相对应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7该行业规定产品的等级系数7ξ≥的为一等品，等级系数57ξ≤<的为二等品，等级系数35ξ≤<的为三等品．（1）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率． 17．解：（1）由样本数据知，30件产品中等级系数7ξ≥有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件-----------------------------------------------------------3分 ∴样本中一等品的频率为60.230=，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2；-------4分二等品的频率为90.330=，故估计该厂生产的产品的二等品率为0.3；---------------5分三等品的频率为150.530=，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为0.5．-----------6分……………………10分（2）样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件，--7分记等级系数为7的3件产品分别为1C 、2C 、3C ，等级系数为8的3件产品分别为1P 、2P 、3P .则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：121323(,),(,),(,),C C C C C C 12(,),P P 1323(,),(,)P P P P ,11121321(,),(,),(,),(,),C P C P C P C P 2223(,),(,)C P C P ,3132(,),(,),C P C P 33(,)C P .共15种，-------------------------------10分记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件A ，则A 包含的基本事件有 12(,),P P 1323(,),(,)P P P P 共3种，-------------------------11分故所求的概率31()155P A ==.-------------------------------------------------12分（东莞）18．（本小题满分14分）甲，乙两人实行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛实行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为1()2p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59． （1）求p 的值；（2）设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ． 解 （1）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故225(1)9p p +-=， 解得13p =或23p =． 又12p >，所以23p =．…………………6分 （2）依题意知ξ的所有可能取值为2，4，6．5(2)9P ξ==，5520(4)(1)9981P ξ==-⨯=， 52016(6)198181P ξ==--=，所以随机变量ξ的分布列为：所以ξ的数学期望2469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．………………12分（仲元）9．某市有A 、B 两所示范高中响应政府号召，对该市甲、乙两个教育落后地区展开支教活动．经上级研究决定：向甲地派出3名A 校教师和2名B 校教师，向乙地派出3名A 校教师和3名B 校教师．因为客观原因，需从拟派往甲、乙两地的教师中各自任选一名互换支教地区．（Ⅰ）求互换后两校派往两地区教师人数不变的概率；（Ⅱ）求互换后A 校教师派往甲地人数ξ的分布列和数学期望． 解：（Ⅰ）记“互换后派往两地区的两校的教师人数不变”为事件E ，有以下两种情况：①互换的是A 校的教师，记此事件为1E ，则1133111563()10C C P E C C =⋅=；②互换的是B 校的教师，记此事件为2E ，则1132211561()5C C P E C C =⋅=．则互换后派往两地区的两校的教师人数不变的概率为12311()()()1052P E P E P E =+=+=．（Ⅱ）ξ的可能取值为2,3,4．113311563(2)10C C P C C ξ==⋅=；11113332111156561(3)2C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=；113211561(4)5C C P C C ξ==⋅=．故ξ的分布列为：数学期望3234102510E ξ=⨯+⨯+⨯=．11． 深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球）， 3 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2 个球，用完后放回．（Ⅰ）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；（Ⅱ）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．（Ⅱ）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B ． 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件B A B A B A 210++．而事件B A 0、B A 1、B A 2互斥， 所以，)()()()(210210B A P B A P B A P B A B A B A P ++=++．由条件概率公式，得253535151|()()(261313000=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ），…9分 2581585353|()()(261412111=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ），……10分151315151|()()(261511222=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）．………11分所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为7538151258253)(210＝++=++B A B A B A P ．…12分21．（06安徽卷）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。
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1 第六章 概率与概率分布 第一节 概率论 随机现象与随机事件·事件之间的关系（事件和、事件积、事件的包含与相等、互斥事件、对立事件、互相独立事件）·先验概率与古典法·经验概率与频率法 第二节 概率的数学性质 概率的数学性质（非负性、加法规则、乘法规则）·排列与样本点的计数·运用概率方法进行统计推断的前提 第三节 概率分布、期望值与变异数 概率分布的定义·离散型随机变量及其概率分布·连续型随机变量及其概率分布·分布函数·数学期望与变异数
一、填空 1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设（ ）。
2．分布函数)(xF和)(xP或)(x的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。所不同的是，)(xF累计的是（ ）。 3．如果A和B（ ），总合有P(A/B)＝P〔B/A〕＝0。 4．（ ）和（ ）为抽样推断提供了主要理论依据。 5．抽样推断中，判断一个样本估计量是否优良的标准是（ ）、（ ）、（ ）。 6．抽样设计的主要标准有（ ）和（ ）。 7．在抽样中，遵守（ ）是计算抽样误差的先决条件。 8．抽样平均误差和总体标志变动的大小成（ ），与样本容量的平方根成（ ）。如果其他条件不变，抽样平均误差要减小到原来的1/4，则样本容量应（ ）。 9．若事件A和事件B不能同时发生，则称A和B是（ ）事件。 10．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（ ）；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是（ ）。
二、单项选择 1．古典概率的特点应为（ ）。 A 基本事件是有限个，并且是等可能的； B 基本事件是无限个，并且是等可能的； 2
C 基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性； D 基本事件是无限的，但可以是具有不同的可能性。 2．随机试验所有可能出现的结果，称为（ ）。 A 基本事件； B 样本； C 全部事件； D 样本空间。 3．以等可能性为基础的概率是（ ）。 A 古典概率； B 经验概率； C 试验概率； D 主观概率。 4．任一随机事件出现的概率为（ ）。 A 在–1与1之间； B 小于0； C 不小于1； D 在0与1之间。
5．若P（A）＝0.2，Ｐ（B）＝0.6，P（A/B）＝0.4，则)(BAP＝（ ）。 A 0.8 B 0.08 C 0.12 D 0.24。 6．若A与B是任意的两个事件，且P（AB）＝P（A）·P（B），则可称事件A与B（ ）。 A 等价 B 互不相容 C 相互独立 D 相互对立。 7．若两个相互独立的随机变量X和Y的标准差分别为6与8，则（X＋Y）的标准差为（ ）。 A 7 B 10 C 14 D 无法计算。 8．抽样调查中，无法消除的误差是（ ）。 A 登记性误差 B 系统性误差 C 随机误差 D 责任心误差 9． 对于变异数D(X)，下面数学表达错误的是（ ）。 A D(X)＝E(X2)―μ2 B D(X)＝E[(X―μ)2] C D(X)＝E(X2)―[E (X) ] 2 D D(X)＝σ 10．如果在事件A和事件B存在包含关系AB的同时，又存在两事件的反向包含关系AB，则称事件A与事件B（ ）
A 相等 B 互斥 C 对立 D 互相独立
三、多项选择 1．数学期望的基本性质有( ) A E(c)＝c B E(cX)＝c2E(X) C E (XY)＝E(X)E(Y) D E(XY)＝E(X)·E(Y) 2．概率密度曲线（ ）。 A 位于X轴的上方 B 位于X轴的下方 C 与X轴之间的面积为0 D 与X轴之间的面积为1 E 与X轴之间的面积不定。 3．重复抽样的特点是（ ）。 3
A 每次抽选时，总体单位数始终不变； B 每次抽选时，总体单位数逐渐减少； C 各单位被抽中的机会在每次抽选中相等； D 各单位被抽中的机会在每次抽选中不等； E 各次抽选相互独立。 4．对于抽样误差，下面正确的说法是（ ）。 A抽样误差是随机变量； B 抽样平均误差是一系列抽样指标的标准差； C 抽样误差是估计值与总体参数之间的最大绝对误差； D 抽样误差是违反随机原则而产生的偏差； E 抽样平均误差其值越小，表明估计的精度越高。 5．关于频率和概率，下面正确的说法是（ ）。 A．频率的大小在0与1之间； B．概率的大小在0与1之间； C．就某一随机事件来讲，其发生的频率是唯一的； D．就某一随机事件来讲，其发生的概率是唯一的； E．频率分布有对应的频数分布，概率分布则没有。 6．随机试验必须符合以下几个条件（ ）。 A．它可以在相同条件下重复进行； B．每次试验只出现这些可能结果中的一个； C．预先要能断定出现哪个结果； D．试验的所有结果事先已知； E．预先要能知道哪个结果出现的概率。
四、名词解释 1． 数学期望 2．对立事件 3．.随机事件 4． 事件和 5．事件积 6．互斥事件 7． 互相独立事件 8．先验概率 9．经验概率
五、判断题 1．对于连续型随机变量，讨论某一点取值的概率是没有意义的。 （ ） 2．把随机现象的全部结果及其概率，或者把随机现象的或几个结果及其概率列举出来，就可以称作概率分布。 （ ） 3．社会现象是人类有意识参与的后果，这一点只是改变概率的应用条件，并不改变社会现象的随机性质。 （ ） 4．在社会现象中，即使相同的意识作用也完全可能有不确定的结果，这就提供了概率论应用的可能性。 （ ） 5．抽样的随机原则就是指客观现象的随机性。 （ ） 6．样本均值是总体均值的一个无偏估计量。 （ ） 7．样本方差是总体方差的一个无偏估计量。 （ ） 8．样本容量的大小与抽样推断的可信程度成正比。 （ ） 9．重复抽样的误差一定大于不重复抽样的抽样误差。 （ ） 4
10．抽样误差的产生是由于破坏了抽样的随机原则而造成的。 （ ） 11．当样本容量n无限增大时，样本均值与总体均值的绝对离差小于任意正数的概率趋于零。 （ ） 12．所谓抽样分布，就是把具体概率数值赋予样本每个或每组结果的概率分布。
（ ） 六、计算题 1．某系共有学生100名，其中来自广东省的有25名；来自广西省的有10名。问任意抽取一名学生，来自两广的概率是多少？
2．为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响，某大学统计出学生中，父亲具有大学文化程度的占30％，母亲具有大学文化程度的占20％，而父母双方都具有大学文化程度的占10％。问学生中任抽一名，其父母有一人具有大学文化程度的概率是多少？
3．根据统计结果，男婴出生的概率为4322；女婴出生的概率为4321。某单位有两名孕妇，问两名孕妇都生男婴的概率是多少？
4．根据统计，由出生活到60岁的概率为0.8，活到70岁的概率为0.4。问现年60岁 的人活到70岁的概率是多少？
5．根据统计结果，男婴出生的概率为4322；女婴出生的概率为4321。某单位有两名孕妇，求这两名孕妇生女婴数的概率分布。
6．一家人寿保险公司在投保50万元的保单中，每千名每年由15个理赔，若每一保单 每年的运营成本与利润的期望值为200年，试求每一保单的保费。
7．位对全单位订报纸情况进行了统计，其中订《人民日报》的有45％，订《扬子晚报》的有60％，两种报纸都订的有30％。试求以下概率： 1）只订《人民日报》的； 2）至少订以上一种报纸的； 3）只订以上一种报纸的； 4）以上两种报纸都不订的。
8．根据某市职业代际流动的统计，服务性行业的工人代际向下流动的概率为0.07，静止不流动的概率为0.85，求服务性行业的代际向上流动的概率是多少？
9． 消费者协会在某地对国外旅游动机进行了调查，发现旅游者出于游览名胜的概率为 0.219；出于异族文化的吸引占0.509；而两种动机兼而有之的占0.102。问旅游动机为游览名胜或为异族文化吸引的概率是多少？
10．根据生命表，年龄为60岁的人，可望活到下年的概率为P＝0.95；设某单位年龄 5
为60岁的人共有10人，问：（1）其中有9人活到下年的概率为多少？（2）至少有9人活到下年的概率是多少？
11．假定从50个社区的总体中随机抽取一些社区（这些社区的规模和犯罪率之间关系的数据如下表），（1）用不回置抽样得到了一个4个社区的样本，试问其中恰好有一个大社区，一个中社区以及两个小社区的概率是多少？（2）在一个用回置法得到的3个社区的样本中，得到至少一个高犯罪率社区和两个小社区的概率是多少？
属性 大 中 小 高犯罪率 2 8 5 低犯罪率 16 4 15
12．已知随机变量x的概率分布如下： X 0 1 2 3 4 )(xP 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
试求：1）)(XE； 2）)(2XE；3）令Y＝2)1(X，求)(YE；4）)(XD； 5）)(2XD。
13．A、B、C为三事件，指出以下事件哪些是对立事件： 1）A、B、C都发生； 2）A、B、C都不发生； 3）A、B、C至少有一个发生； 4）A、B、C最多有一个发生； 5）A、B、C至少有两个发生； 6）A、B、C最多有两个发生。
14．从户籍卡中任抽1名，设： A＝“抽到的是妇女” B＝“抽到的受过高等教育” C＝“未婚” 求：（1）用符号表达“抽到的是受过高等教育的已婚男子”； （2）用文字表达ABC； （3）什么条件下ABC＝A。
15．1－1000号国库券已到期，须抽签还本付息，求以下事件的概率： （1）抽中701号； （2）抽中532号； （3）抽中小于225号； （4）抽中大于600号； （5）抽中1020号； （6）抽中大于或者等于700号； （7）抽中小于125号或者大于725号； （8）抽中小于50号或者大于700号。