反其道而行之巧解题

第 1页
反其道而行之巧解题
四川省广元市宝轮中学 唐明友
有的数学问题，从正面思考，困难重重，甚至会陷入山重水复之中。此时，若转换思维
角度，打破常规，从问题的反面思考，就会柳暗花明。经常训练这种反其道而行之所获得的
解决问题的方法，有利于培养学生的逆向思维能力，应予以重视。
一.反向分式方程转化

例1.解方程：6x4－25x3＋12x2＋25x＋6=0

解：显然x=0不是原方程的解，因此x≠0。两边都除以x2得
6x2－25x＋12＋x25＋26x=0
6（x2＋21x）－25（x－x1）＋12=0，
设x－x1=y，则此方程化为6y2－25y＋24=0,
∴y=23或y=38,
当x－x1=23时，解得x1=2,x2=-21
当x－x1=38时，解得x3=3,x4=-31
评注：本题是一元四次方程，各项系数分别为6，-25,12,25,6，具有对称性（有一对
互为相反数），这里反而向分式方程转化后，其特征十分明显，再运用常规方法解即可。
二.反从结果思考
例2.某校有128名乒乓球选手，采用淘汰制（即输一场就被淘汰）争夺单项冠军，问
共需安排多少场比赛？

解：因每两人比赛一场，则第1轮要赛2128场，第2轮要赛22128，第3轮要赛32128场，……。
再将每一轮比赛场数相加求和，这样解较繁杂。
若从问题的结果思考，就简单多了。从淘汰制看，每场比赛总要淘汰一名选手，现在
128名选手中要决出冠军，需要淘汰127名选手，因此，共需要安排127场比赛。
评注：有些问题如果由题意盲目进入探索，问题就会复杂化。此时，若能从整体上把握
方向，反从结果思考，常会找到问题的简明解法。
三.反证法

例3.设a≠b≠c≠0,求证：三个方程ax2＋2bx＋c=0,bx2＋2cx＋a=0,cx2＋2ax＋b=0
不可能均有两个相等的实数根。
证明：假设这三个方程均有两个相等的实数根，则

△1=4b2－4ac=0 ①

△2=4c2－4ab=0 ②
第 2页

△3=4a2－4bc=0 ③
①＋ ②＋ ③ 得
a2＋b2＋c2－ab―ac―bc=0
两边同乘以2后再配方得
（a－b）2＋(b－c)2＋(c－a)2=0
则a=b=c，这与题设a≠b≠c相矛盾。
故假设不成立，原命题得证。
评注：本题从正面进攻很难奏效，又是否定性命题。因此，从反面考虑，用反证法则轻
松获得解决。
四.反将常数当未知数

例4.已知：a≥2，解关于x的方程：x4-3x3+(4-2a)x2+4ax+a2-9=0
解：把方程化为以a为未知数的方程：
a2-2(x2-2x)a+(x4-4x3+4x2-9)=0

a2-2(x2-2x)a+(x2-2x+3)(x2-2x-3)=0
[a-(x2-2x+3)][a-(x2-2x-3)]=0,
∴a=x2-2x+3,a=x2-2x-3
当a≥2时，原方程的解为：x=1±2a或x=1±4a
评注：此方程未知数x的次数太高，无从下手。而常数a的最高次数是2次，如果将常
数a反当成未知数，整理成关于a的一元二次方程，通过因式分解化为关于x的两个一元二
次方程，再解这两个一元二次方程就水到渠成了。
五.不消元，反增元

例5.解方程：x=(x2+3x-2)2+3(x2+3x-2)-2

解：设y=x2+3x-2,则有









②①232322xxy
yyx

①－②得：（x-y）(x+y+4)=0
当x=-y时，由②解得：x=-1±3

当x+y+4=0时，将y=-(x+4)代入②得：x2+4x+2=0,解之得：x=-2±2
∴原方程的解为：x=-1±3, x=-2±2
第 3页

评注：本题若直接去括号就会变成一元四次方程，再解相当困难，必须另辟蹊径。而解
方程的通常做法是消元，这里反而增设了一个元y，但过程中的y只起到桥梁的作用，不用
求出来。