专题07 平行四边形的判定(专题测试)(解析版)

1 2 专题07 平行四边形的判定 专题测试 1．（2018春•鞍山期末）已知四边形ABCD是任意四边形，若在下列条件中任取两个，使四边形ABCD是平行四边形，①AB∥CD；②BC∥AD，③AB＝CD；④BC＝AD，则符合条件的选择有（ ） A．2组 B．3组 C．4组 D．6组 【答案】C 【解析】解：∵AB∥CD，BC∥AD， ∴四边形ABCD是平行四边形； ∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； ∵BC∥AD，BC＝AD， ∴四边形ABCD是平行四边形； ∵BC＝AD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； 即使得ABCD是平行四边形，一共有4种不同的组合； 故选：C． 2．（2018春•苍南县期末）如图，在3×3的正方形网格中，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【解析】解：在直线AB的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故选：D． 3．（2018春•隆尧县期末）如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，1 2 构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）

A．（3，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（1，1） D．（﹣2，﹣1） 【答案】D 【解析】解：A、∵以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，

当第四个点为（3，﹣1）时， ∴BO＝AC1＝2， ∵A，C1，两点纵坐标相等， ∴BO∥AC1， ∴四边形OAC1B是平行四边形；故此选项正确； B、∵以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，

当第四个点为（﹣1，﹣1）时， ∴BO＝AC2＝2， ∵A，C2，两点纵坐标相等， ∴BO∥AC2， ∴四边形OC2AB是平行四边形；故此选项正确； C、∵以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形， 1 2 当第四个点为（1，1）时， ∴BO＝AC1＝2， ∵A，C1，两点纵坐标相等， ∴C3O＝BC3， 同理可得出AO＝AB， 进而得出C3O＝BC3＝AO＝AB，∠OAB＝90°， ∴四边形OABC3是正方形；故此选项正确； D、∵以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形， 当第四个点为（﹣1，﹣1）时，四边形OC2AB是平行四边形； ∴当第四个点为（﹣2，﹣1）时，四边形OC2AB不可能是平行四边形； 故此选项错误． 故选：D． 4．（2018春•奈曼旗期末）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF ⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③四边形ABCD是平行四边形：④图中共有四对全等三角形．其中正确结论是________（填序号）

【答案】①②③ 【解析】解：∵DE＝BF， ∴DF＝BE， 在Rt△DCF和Rt△BAE中， 1 2 ， ∴Rt△DCF≌Rt△BAE（HL）， ∴FC＝EA，（故①正确）； ∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F， ∴AE∥FC， ∵FC＝EA， ∴四边形CFAE是平行四边形， ∴EO＝FO，（故②正确）；

∵Rt△DCF≌Rt△BAE， ∴∠CDF＝∠ABE， ∴CD∥AB， ∵CD＝AB， ∴四边形ABCD是平行四边形，（故③正确）； 由以上可得出：△CDF≌△BAE，△CDO≌△BAO，△CDE≌△BAF， △CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE，△DOA≌△COB等．（故④错误）． 故正确的有3个． 故答案为①②③． 5．（2018春•南平期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝12cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t＝_____秒（s）时，点P、Q、C、D构成平行四边形．

【答案】3或6 1

2 【解析】解：由运动知，AP＝3t，CQ＝t，

∴DP＝AD﹣AP＝12﹣3t， ∵四边形PDCQ是平行四边形， ∴PD＝CQ， ∴12﹣3t＝t， ∴t＝3秒； 当P运动到AD线段以外时，AP＝3t，CQ＝t，

∴DP＝3t﹣12， ∵四边形PDCQ是平行四边形， ∴PD＝CQ， ∴3t﹣12＝t， ∴t＝6秒， 故答案为：3或6 6．（2018春•宜宾期末）如图，在平行四边形ABCD中，分别过A、C两点作对角线BD的垂线，垂足分别为M、N，连结AN、CM．求证： （1）BM＝DN； （2）四边形AMCN为平行四边形．

【答案】见解析 【解析】解：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD， 1 2 ∴∠ABM＝∠CDN， ∵AM⊥BD，CN⊥BD， ∴∠BMD＝∠DNC＝90°， 在△ABM和△DCN中，

， ∴△ABM≌△DCN（AAS）， ∴BM＝DN． （2）证明：连结AC交BD于点O

在平行四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝ON， ∵BM＝DN， ∴BM﹣OB＝DN﹣OD， ∴OM＝ON， ∴四边形AMCN为平行四边形． 7．（2018春•长安区期末）如图1，在▱ABCD中，E，F分别为BC，AD上的点，且BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）在（1）的基础上小明继续探究发现：如图2，连接BF，DE，分别交AE，CF于点G，H，得到的新四边形EHFG也是平行四边形． 请补全小明的证明思路 由（1）知：四边形AFCE是平行四边形，可得AE∥CF，要证明四边形EHFG为平行四边形，只要再证_______________ 由已知，BE＝DF，又由_______，所以四边形BEDF为平行四边形，进而可证得四边形EHFG为平行四边形． 1

2 【答案】见解析 【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形； ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴AF∥CE，∵BE＝DF， ∴AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）由（1）知：四边形AFCE是平行四边形，可得AE∥CF， ∵BE＝DF，BE∥DF， ∴四边形BEDF为平行四边形， ∴BF∥DE， ∴四边形EHFG为平行四边形． 故答案为：四边形BEDF为平行四边形，BE∥DF． 8．（2018春•定兴县期末）已知：如图1，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是线段AC的中点，连接BD并延长至点E，使BE＝2BD．连接AE，CE． （1）求证：四边形ABCE是平行四边形； （2）如图2所示，将三角板顶点M放在AE边上，两条直角边分别过点B和点C，若∠MEC＝∠EMC，BM交AC于点N．求证：△ABN≌△MCN．

【答案】见解析 【解析】解：（1）∵点D是线段AC的中点，BE＝2BD， ∴AD＝CD，DE＝BD， ∴四边形ABCE是平行四边形． （2）∵四边形ABCE是平行四边形， 1 2 ∴CE＝AB， ∵∠MEC＝∠EMC， ∴CM＝AB， 在△ABN和△MCN中，

， ∴△ABN≌△MCN（AAS）； 9．（2018春•萍乡期末）如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接得到四边形DEFG． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）若OB⊥OC，∠EOM和∠OCB互余，OM＝3，求DG的长度．

【答案】见解析 【解析】解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，

∴DG∥BC，DGBC， ∵E、F分别是OB、OC的中点，

∴EF∥BC，EFBC， ∴DG＝EF，DG∥EF， ∴四边形DEFG是平行四边形； 1

2 （2）∵OB⊥OC， ∴∠BOC＝90°， ∵∠EOM+∠COM＝90°，∠EOM+∠OCB＝90°， ∴∠COM＝∠OCB， ∵EF∥BC， ∴∠OFE＝∠OCB， ∴∠MOF＝∠MFO， ∴OM＝MF， ∵∠OEM+∠OFM＝90°，∠EOM+∠MOF＝90°， ∴∠EOM＝∠MEO， ∴OM＝EM， ∴EF＝2OM＝6． 由（1）有四边形DEFG是平行四边形， ∴DG＝EF＝6． 10．（2018春•市南区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，过A，C分别作AD和BC的垂线，交对角线BD于点E，F，AE＝CF，BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若BC＝4，∠CBD＝45°，且E，F是BD的三等分点，求四边形ABCD的面积．（直接写出结论即可）