沈阳市中考数学试卷第题说题稿东北育才
2022-2023学年辽宁省沈阳市浑南区东北育才外国语学校九年级(上)期中数学试卷
2022-2023学年辽宁省沈阳市浑南区东北育才外国语学校九年级（上）期中数学试卷一.选择题（共10小题）1．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，﹣1），则该反比例函数的表达式为（）A．y＝B．y＝C．y＝﹣D．y＝﹣2．下列事件中，是必然事件的是（）A．任意抛掷两枚质地均匀的硬币，正面都朝上的概率为B．2022年11月1日，杭州一定会下大雨C．从装有一个蓝球四个黄球的袋子中任取两个球，则至少有一个是黄球D．投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是63．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向上B．对称轴是直线x＝3C．当x＞﹣4时，y随x的增大而减小D．顶点坐标为（﹣3，0）4．如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（4，﹣6）、B（6，0）、O（0，0），以原点O为位似中心画一个三形△A′B′O′，使它与△ABO位似，且位似比是2：1，则点A的对应点A'的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（8，﹣12）或（﹣8，12）C．（2，﹣3）或（﹣2，3）D．（8，：12）5．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与﹣次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c 的图象可能是（）A．B．C．D．6．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（）A．B．C．D．7．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2022年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（）A．4月份的利润为50万元B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元D．9月份该厂利润达到200万元8．如图，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，则tan∠CBD的值为（）A．5B．2C．3D．9．如图，作Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan∠ADB＝，则tan∠CAD 的值（）A．B．C．D．10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，DE⊥BC交BC的延长线于点E．连结AE交BD于点F，交CD于点G、FH⊥CD于点H，连结CF．有下列结论：①AF＝CF；②AF2＝EF•FG；③FG：EG＝4：5；④＝．其中正确结论有（）A．①③④B．①②④C．①②③D．①②③④二.填空题（共8小题，32分）11．若某人沿坡度i＝1：2的斜坡前进10m，则他所在的位置比原来的位置升高m．（注：坡面的垂直度h和水平方向的离l的比叫做坡度）12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则sin A＝．13．在平面角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣3先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是．（用一般式表达）14．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE＝60°，若AD＝2，＝，则DE 的长度为．15．抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2，若其顶点在坐标轴上，则m＝．16．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴的负半轴上，直线AB交y轴于点C，若＝，△AOB的面积为9，则k＝．17．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF＝EH，那么EH的长为．18．如图，l1，l2分别是反比例函数y＝（k＞2）和y＝在第一象限内的图象，点A在l1上，线段OA 交l2于点B，作AC⊥x轴于点C，交l2于点D，延长OD交l1于点E，作EF⊥x轴于点F，下列结论：①S△AOD＝S四边形CDEF；②BD∥AE；③＝；④EF2＝AC•CD．其中正确的是．（填序号）三.解答题（19题12分，20题8分，21题8分，22题10分，23题12分，24题10分）19．计算：（1）2sin230°﹣﹣（tan30°﹣1）：（2）sin218°+cos218°+（cos45°+1）20．小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动，该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A，B，C表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D，E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．（1）小明在第一阶段随机抽取一个项目，恰好抽中“书法展示”的概率是．（2）请用画树状图或列表的方法，求小明恰好抽中B，D两个项目的概率．21．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．（1）求∠BAD的度数．（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）22．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E．连接CE，点F是BE上一动点，过点F作FG∥CE交BC于点G．将△BFG绕点B旋转得到△BF'G'．（1）连接CG'，EF'，求证：△BEF'∽△BCG'；（2）当点G'恰好落在直线AE上时，若BF＝3，求EG'的值．23．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0），B（5，0），C（0，5）三点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣，y1），（7，y2），则y1，y2的大小关系是．（3）若过点C的直线y＝kx+b与抛物线相交于点E（4，m），请求出△CBE的面积S的值．（4）P是抛物线上的点，当△CEP的面积为8时，直接写点P的坐标．。
辽宁省沈阳市东北育才学校高一上学期第一次阶段考试数学试题
东北育才学校高中部高一学年上学期第一阶段数学考试试卷使用时间：2016.10.13 命题人：高一数学备课组 答题时间：120分钟一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．有四个集合：A ＝{棱柱}，B ＝{四棱柱}，C ＝{长方体}，D ＝{正四棱柱}，它们之间的包含关系是( )A ．C ⊆D ⊆A ⊆B B ．D ⊆C ⊆B ⊆AC ．C ⊆A ⊆D ⊆B D ．B ⊆D ⊆C ⊆A2．已知水平放置的△ABC 是按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么△ABC 是一个( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．三边互不相等的三角形3．若一个三角形的平行投影仍是三角形，则下列命题：①三角形的高线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的高线；②三角形的中线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中线；③三角形的角平分线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的角平分线；④三角形的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线．其中正确的命题有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④4.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )A ．2πB ．πC ．2D ．15．连接平面外一点P 和平面α内不共线的三点A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1分别在PA ，PB ，PC 的延长线上，A 1B 1，B 1C 1，A 1C 1与平面α分别交于D ，E ，F ，则D ，E ，F 三点( )A ．成钝角三角形B ．成锐角三角形C ．成直角三角形D ．共线6.设n m ,是不同的直线，βα,是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若n m n m ⊥⊥,,//βα，则βα⊥；B ．若n m n m //,,//βα⊥，则βα⊥；C ．若n m n m ⊥⊥,,//βα，则βα//；D ．若n m n m //,,//βα⊥，则βα//；7．在四面体A BCD 中,棱AB ，AC ，AD 两两互相垂直,则过顶点A 作H BCD AH 于点平面⊥，则H 为△BCD 的( )A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心 8．过平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( )A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条9．在正四面体P －ABC 中，点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则下面四个结论不成立的是( )．A.BC ∥平面PDFB.DF ⊥平面PAE C .平面PDF ⊥平面ABC D.平面PDF ⊥平面PAE10．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( C )11. 若空间中有(5)n n 个点，满足任意四个点都不共面，且任意两点的连线都与其它任意三点确定的平面垂直，则这样的n 值（ ）A .不存在B .有无数个C .等于5D .最大值为812.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a 且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是( )A. (0,2)B. (0,3)C. (1,2)D. (1,3)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸相应题号后面的横线上．13.如图是一个正方体盒子的平面展开图，在其中的四个正方形内标有数字1,2,3和－3，要在其余正方形内分别填上－1，－2，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则A 处应填________．14．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ．若圆M 的面积为3π，则球O 的半径等于________．15．已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F ．已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝________．第15题 第16题 16.如图所示，已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ， AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的表面积等于________．三、解答题：本大题包括6小题，共70分，解答应在答题纸上指定位置写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分10分）如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)求证：AB ⊥C 1F ；(2)求证：C 1F ∥平面ABE ；解析hslx3y3h (1)如图所示，连接B 1M 、B 1N 、AC 、BD ，则BD ⊥AC ．∵BM MA ＝BN NC，∴MN ∥AC ． ∴BD ⊥MN ．∵DD 1⊥平面ABCD ，MN ⊂面ABCD ，∴DD 1⊥MN ．∴MN ⊥平面BDD 1．∵无论P在DD1上如何移动，总有BP⊂平面BDD1，故总有MN⊥BP．(2)存在点P，且P为DD1的中点，使得平面APC1⊥平面ACC1．∵BD⊥AC，BD⊥CC1，∴BD⊥平面ACC1．取BD1的中点E，连接PE，则PE∥BD.∴PE⊥面ACC1．又∵PE⊂面APC1，∴面APC1⊥面ACC1．22．(本小题满分12分)如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)画出主视图；(2)若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME；(3)求证：平面BDE⊥平面BCD.(1)主视图略(2)证明：连接MN，则MN∥CD，AE∥CD，又MN＝AE＝12CD，所以四边形ANME为平行四边形．所以AN∥EM．因为AN 平面CME，EM⊂平面CME，所以AN∥平面CME．(3)证明：因为AC＝AB，N为BC的中点，所以AN⊥BC．又平面ABC⊥平面BCD，所以AN⊥平面BCD．由(2)知：AN∥EM，所以EM⊥平面BCD．又EM⊂平面BDE，所以，平面BDE⊥平面BCD．。
辽宁省沈阳市东北育才学校科学高中部2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题
2021-2022学年度下学期期中考试高一年级数学科试卷一､单选题（本大题共8小题，共40.0分）1．在边长为1的正方形ABCD 中，向量11,23DE DC BF BC →→→→==，则向量,AE AF →→的夹角为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．512π2．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1b c a c a b+≥++，则角A 的取值范围是（）A ．π0,6⎛⎤⎥⎝⎦B ．ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π0,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．下列各式正确的是（）A ．tan2tan3>B ．3tantan 55ππ>C ．sin sin 1018ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1723cos cos 43ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．复数z 满足z z z z +=⋅，则z 的范围为（）A ．[]0,1B ．⎡⎣C ．[]0,2D ．⎡⎣5．为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛A 出发，沿南偏东70︒的方向航行40海里后到达海岛B ，然后再从海岛B 出发，沿北偏东35︒的方向航行了C .若巡逻舰从海岛A 出发沿直线到达海岛C ，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（）A ．北偏东80︒，B ．北偏东65︒，2)C ．北偏东65︒，D ．北偏东80︒，2)+6．函数()sin f x a x x =+，将()f x 图像向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图像，若对任意R x ∈，都有()6g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则a 的值为（）A ．1-B ．1±C ．2-D ．2±7．函数6cos (0)y x x π=<<与y x =的图像相交于M N ､两点，则MN 中点坐标为（）A ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,32π⎛⎫⎪⎝⎭D ．23,32π⎛⎫-⎪⎝⎭8．在ABC 中，内角,,A B C的对边分别为,,,sin cos2,1a b c b A b A a ==，且AC 边上的中线2BM =，则c =（）A ．3B C ．1或2D ．2或3二､多选题（本大题共4小题，共20.0分）9．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i +C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限10．已知平面向量()1,0a =，(b = ，则下列说法正确的是（）A ．||16a b +=B ．()2a b a +⋅= C ．向量+a b 与a 的夹角为30°D ．向量+a b 在a 上的投影向量为2a11．已知函数()22cos 22f x x =-，下列命题中的真命题有（）A ．R β∃∈，()f x β+为奇函数B ．30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()()2f x f x α=+对x R ∈恒成立C ．1x ∀，2x R ∈，若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为4πD ．1x ∀，2x R ∈，若()()120f x f x ==，则()12x x k k Z π-=∈12．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且23cos 3cos b C c B a +=，则下列说法正确的是（）A ．若2BC A +=，则ABC 的外接圆的面积为12πB ．若2b c a +=，则ABCC ．若2C A =，且ABC 为锐角三角形，则边c 的长度的取值范围为(D ．若2A C =，且sin 2sin B C =，O 为ABC 的内心，则AOB 三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知02πβα<<<，点(1,P 为角α终边上的一点，且sin sin cos cos 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，则角β=________．14．已知函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图像如图所示，且()1f α=，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.15．设复数z 满足1z =，且使得关于x 的方程2230zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______.16．如图所示，已知在四边形ABCD 中，2AB =，6BC =，4AD CD ==，且点A 、B 、C 、D 共圆，点M ，N 分别是AD 和BC 的中点，则MN BC ⋅的值为______．四､解答题（本大题共6小题，共72.0分）17．已知θ为锐角，()()()cos 2sin 312sin tan 2πθπθπθπθ-+=⎛⎫+- ⎪⎝⎭.(1)求θ的值；(2)求函数()tan 2y x θ=+的对称中心和单调区间.18．已知z 为复数，i z +和2iz-均为实数，其中i 是虚数单位.（1）求复数z 和z ；（2）若117i 12z z m m =+--+在第四象限，求m 的范围.19．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin cos c B b A =+．(1)求B ；(2)若ABC 是锐角三角形，3b =，求ABC 周长的取值范围．20．函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象的一条对称轴为12x π=，一个零点为43x π=，最小正周期T 满足43T ππ≤≤．(1)求()f x 的解析式；(2)若()5212f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭对任意[],x m n ∈恒成立，求n m -的最大值．21．在平面四边形ABCD 中，90,60,6,A D AC CD ∠=︒∠=︒==．(1)求ACD 的面积；(2)若9cos 16ACB ∠=，求34AB BC +的值；22．借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB 中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB 的半径为20米，圆心角为π4.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ ，另一部分是三角形观赏台AO C ．现计划在弧AB 上选取一点M ，作MN 平行OA 交OB 于点N ，以MN 为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ ，NP 长为5米；同时在水池岸边修建一个满足AO OC =且2COA AOM ∠=∠的三角形观赏台AOC ，记ππ64AOM x x ⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭.（1）当π6AOM ∠=时，求矩形观赏台MNPQ 的面积；（2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值.1．B 【分析】由向量关系知E 为DC 的中点，F 为BC 靠近B 端的三等分点，可以求得向量,AE AF →→的模长，然后求得数量积AE AF →→⋅，从而求得向量夹角.【详解】由向量关系知E 为DC 的中点，F 为BC 靠近B 端的三等分点，则12DE =，13BF =，2AE ==，3AF ==则由0AB AD →→⋅=知，1()()(1)()23AE AF AD DE AB BF AD AB AB AD →→→→→→→→→→⋅++=+⋅=+⋅221(15())263AB AD →→==+则5,6cos 2AE AF AE AF AE AF→→→→→→<>==⋅故向量,AE AF →→的夹角为4π故选：B 2．C 【分析】由已知，整理可得：222b c a bc +-≥，由余弦定理可解得1cos 2A ≥，结合A 为三角形内角即可解得A 的取值范围.【详解】解：因为1b c a c a b+≥++，整理可得：222b c a bc +-≥，∴由余弦定理可得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-=≥=，∴由A 为三角形内角，即()0,πA ∈，可得：π0,3A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：C ．3．D【分析】根据三角函数的单调性以及每个选项对应角所在的象限逐项分析.【详解】对于A ，2,3,3222ππππ<<<<>，tan y x =在第二象限是增函数，tan 3tan 2∴>，错误；对于B ，325πππ<<，3tan 05π∴<，0,tan 0525πππ<<∴>，错误；对于C ，sin sin ,sin sin ,01010181818102πππππππ⎛⎫⎛⎫-=--=-<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin y x =在第一象限是增函数，sin sin ,sin sin 10181018ππππ⎛⎫⎛⎫∴>-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，错误；对于D ，1717cos cos cos 4cos 4444ππππ⎛⎫⎛⎫-==π+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23231cos coscos 8cos 33332πππππ⎛⎫⎛⎫-==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2317cos cos 34ππ⎛⎫⎛⎫∴-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确；故选：D.4．C 【分析】设i z x y =+，由z z z z +=⋅得x y ，，后可得答案.【详解】设i z x y =+，则i z x y =-.则[]22222200,2z z z z x x y x x y x ⇒=+⇒≥=⇒⋅-∈+=.则[]0,2z ==.故选：C 5．C 【分析】在ABC 中，7035105ABC ︒︒︒∠=+=，40AB =，BC =AC 的长度，在ABC 中，可由正弦定理建立方程sin 105BC ACCAB sin ︒=∠，求出CAB ∠．【详解】据题意知，在ABC 中，7035105ABC ︒︒︒∠=+=，40AB =海里，BC =所以2222cos AC AB BC AB BC ABC=+-⨯⨯∠22402404=+-⨯⨯3200=+所以AC ==海里，又sin CAB =∠sin 2CAB ∠=，又因为CAB ∠为锐角，所以45CAB ︒∠=，所以航行的方向和路程分别为北偏东65︒，海里.故选：C .【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.6．A 【分析】先求出()g x 的解析式，再求出6g π⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意6g π⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 的最大值，运用辅助角公式求出()g x 的最大值即可.【详解】依题意()sin 333g x f x a x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，33,622622a ag g ππ⎛⎫⎛⎫∴=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333g x x x x πππϕ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦，其中cos ϕϕ==，∴()g x 322a =-，即()210a +=，1a ∴=-；故选：A.7．A 【分析】根据cos y x =和tan y x =的对称性确定MN 中点的位置即可.【详解】由于()()cos cos ,tan tan x x x x ππ-=--=-，所以6cos y x =和=y x 都是关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称的，所以M ，N 也是关于,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称的，M ，N 的中点就是,02π⎛⎫⎪⎝⎭；故选：A.8．C 【分析】由正弦定理及sin cos2b A b A =可得sin B =，在ABM ACM 、中由余弦定理列式cos cos 0AMB CMB ∠+∠=可得2221b c =-，在ABC 中由余弦定理可得2212cos b c c B =+-，综上即可求解c 【详解】由sin cos2b A b A =得()22sin sin 12sin B A B A -=-，∴(22sin sin 0B A =，∵sin 0A ≠，∴2sin 0B =，即sin B =在ABM ACM 、中，由余弦定理可得22222222cos cos 0bb c a AMB CMB 骣骣+-+-琪琪琪琪桫桫Ð+Ð=，整理得2221b c =-，在ABC 中，2212cos b c c B =+-，∴222112cos c c c B -=+-，即22cos 20c c B +-=（*），当1cos 2B ==时，（*）式可解得1c =，()0c >；当1cos 2B ==-时，（*）式可解得2c =，()0c >；故选：C 9．CD 【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||2z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z在复平面内的对应点为13(,22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD 【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.10．BD 【分析】根据向量模长的坐标计算即可判断A ，根据数量积的坐标运算可判断B,由夹角公式可判断C ，由投影向量的求解公式可判断D.【详解】((11,0a b +=++= ，所以4a b += ，故A错误；()1202a a b ⋅+=⨯+⨯=，故B 正确；()1cos ,2a a b a a b aa b⋅+<+>==+，(),0,πa a b <+>∈ ，a ∴< ，π3a b +>=，故C 错误；向量+a b在a 上的投影向量为()2·21a ab a a a a a ⋅+=⨯=，故D 正确．故选：BD 11．BC 【分析】先化简函数()22cos 22cos 41f x x x =-=-；作出函数()cos 41f x x =-的图象，再逐项判断，；由函数()f x β+的图象是()f x 的图象向左或向右平移β个单位，它不会是奇函数的，故A 错误；由()()2f x f x α=+，得()cos 41cos 481x x α-=+-，82k απ=，4k πα=，Z k ∈；又30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，取4πα=或2π时成立B 正确；由()()1212cos 4cos 42f x f x x x -=-=时，得12x x -的最小值为22244T ππ==⨯，所以C 正确；当()()120f x f x ==时，()12242k x x kT k k Z ππ-==⋅=∈，所以D 错误.【详解】由题意()22cos 22cos 41f x x x =-=-；∵()cos 41f x x =-的图象如图所示；函数()f x β+的图象是()f x 的图象向左或向右平移β个单位，它不会是奇函数的，故A 错误；若()()2f x f x α=+，∴()cos 41cos 481x x α-=+-，∴82k απ=，∴4k πα=，Z k ∈；又30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，∴取4πα=或2π时，∴()()2f x f x α=+对x R ∈恒成立，故B 正确；()()1212cos 4cos 42f x f x x x -=-=时，12x x -的最小值为22244T ππ==⨯，故C 正确；当()()120f x f x ==时，()12242k x x kT k k Z ππ-==⋅=∈故D 错误；故选:BC.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.12．BCD 【分析】根据条件23cos 3cos b C c B a +=求出3a =.选项A ：根据条件2B C A +=求角A ，根据正弦定理求外接圆的半径，从而求外接圆的面积；选项B ：把ABC 的面积表示成bc 的一个函数，利用二次函数求最值；选项C ：根据正弦定理把边c 表示为6cos A ，利用ABC 为锐角三角形求角A 的范围，从而求边c 的范围；选项D ：利用正弦定理求出角C ，从而判断出ABC 是直角三角形，利用直角三角形内切圆半径公式求ABC 的内切圆半径，从而求AOB 的面积.【详解】因为23cos 3cos b C c B a +=，所以由正弦定理，得3sin cos 3sin cos sin B C C B a A +=,即()3sin sin B C a A +=，因为A B C π++=，所以()sin sin B C A +=，且sin 0A ≠，所以3a =.选项A ：若2B C A +=，则3A π=，所以ABC 的外接圆的直径2sin aR A==，所以R =所以ABC 的外接圆的面积为23ππ⨯=，选项A 错误；选项B ：若2b c a +=，则6b c +=，又因为3a =，所以由余弦定理，得2292cos b c bc A =+-，即()2922cos b c bc bc A =+--，所以27cos 12A bc=-，所以111sin 222ABCS bc A bc bc ===所以当3b =时，ABC S B 正确；选项C ：由正弦定理，得sin sin 2a cA A=，即2cos 6cos c a A A ==，因为ABC 为锐角三角形，所以020202A B C πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即02032022A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，所以64A ππ<<，所以(6cos c A =∈，故选项C 正确；选项D ：因为sin 2sin B C =，所以2b c =，因为2A C =，所以()sin sin sin 3B A C C =+=，所以由正弦定理sin sin b cB C=，得2sin 3sin c c C C =，即sin 32sin C C =，所以sin 2cos cos 2sin 2sin C C C C C +=，即222sin cos 2cos sin sin 2sin C C C C C C +-=，所以222cos 2cos 3C C +=，所以23cos 4C =，又因为2A C =，所以6C π=，3A π=，2B π=，b c =，即ABC 是直角三角形，所以内切圆的半径为()12r a c b =+-=所以AOB的面积为1122S cr ==⨯D 正确.故选：BCD.13．3π．【分析】由三角函数定义可得sin ,cos αα，已知等式用诱导公式变形得可得sin()αβ-，结合角的大小及范围求得cos()αβ-，然后由两角差的正弦公式求得sin β后可得β．【详解】∵(1,P ，∴||7OP =，∴sin α=，1cos 7α=．又sin cos cos sin 14αβαβ-=，∴sin()αβ-=∵02πβα<<<，∴02παβ<-<，∴13cos()14αβ-=，∴sin[(]sin )ααββ=--sin cos()cos sin()ααβααβ=---1317147142=-⨯．∵02βπ<<，∴3πβ=．故答案为：3π.【点睛】本题考查已知三角函数值求角，要求角，一般先求出这个角的某个三角函数值，这里有一个技巧，由角的范围（也可先缩小范围），确定在此范围内三角函数是单调的函数值，这样所求角唯一易得．14．-13【分析】根据图像求出()f x 的解析式即可.【详解】由图可知：723,,,241234T A T Tπππππω==-=∴===，()()3sin 2f x x ϕ∴=+，又()2533sin ,0,,336f πππϕϕπϕ⎛⎫⎛⎫=-=+∈∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()53sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()555113sin 2,sin 2sin 2sin 266663f ππππααααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+∴-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；故答案为：-13.15．74-【解析】首先设z a bi =+(a ，b ∈R 且221a b +=)，代入方程，化简为()()222320ax ax bx bx i +++-=，再分0b =和0b ≠两种情况求,a x 验证是否成立.【详解】设z a bi =+，(a ，b ∈R 且221a b +=)则原方程2230zx zx ++=变为()()222320ax ax bx bx i +++-=.所以2230ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去；从而1a =-，2230x x --=此时=1x -或3，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得38a =-，b =所以83z =-.综上满足条件的所以复数的和为3371884⎛⎫⎛⎫-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：74-【点睛】思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数z a bi =+后代入方程，再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0，建立方程求复数z .16．367##157【分析】应用余弦定理及圆的性质可得1cos 2C =、1cos 7ABC ∠=，再由1122MN AB CD =- ，应用向量数量积的运算律求值即可.【详解】由题设180A C ∠+∠=︒，则cos cos A C =-，在△ABD 中222220cos 216AB AD BD BD A AB AD +--==⋅，在△BCD 中222252cos 248BC CD BD BD C BC CD +--==⋅，所以2220521648BD BD --=，可得228BD =，故1cos 2C =，同理得1cos 7ABC ∠=，又MN AB BN AM =+-，M ，N 分别是AD 和BC 的中点，所以1111()2222MN AB BC AB BC CD AB CD =+-++=- ，所以1111236()()(12)22277AB DC AB D MN BC BC BC B C C +⋅=⋅=⋅⋅+=⨯-+= .故答案为：367【点睛】关键点点睛：应用余弦定理及圆的性质求四边形相关内角的余弦值，再转化1()2AB MN BC B D C C ⋅=⋅+求值.17．(1)3π；(2)对称中心为(),0Z 46k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭,单调增区间为()5,Z 212212k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，无减区间.【分析】（1）利用诱导公式化简可得1cos 2θ=，即求；（2）利用正切函数的性质即得.【详解】（1）∵()()()cos 2sin 312sin tan 2πθπθπθπθ-+=⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∴()()cos sin 1cos cos tan 2θθθθθ-==-，又θ为锐角，∴3πθ=；（2）由题知函数tan 23y x π⎛⎫=+ ⎝⎭，由2Z 32k x k ππ+=∈，得,Z 46k x k ππ=-∈，∴函数tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心为(),0Z 46k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭；由2,Z 232k x k k πππππ-<+<+∈，得5,Z 212212k k x k ππππ-<<+∈，∴函数tan 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调增区间为()5,Z 212212k k k ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭，无减区间.18．（1）2i z =-，|z |=（2）()12,1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭U 【分析】（1）设i(,)z a b a b R =+∈，依据题设，建立方程求出,a b ，即可求得z ，再求其模；（2）先求出1215+i 12m m z m m --=-+，再根据题意建立不等式组2101502m m m m -⎧>⎪⎪-⎨-⎪<⎪+⎩求解即可：【详解】（1）设i(,)z a b a b R =+∈，则i (1)i z a b +=++，由i z +为实数，得10b +=，则1b =-，由i 212i 2i 2i 55z a a a -+-==+--为实数，得205a -=，则2a =，∴2i z =-，则|z |=（2）11717215i 2+1i +i 121212m m z z m m m m m m --⎛⎫=+-=+-= ⎪-+-+-+⎝⎭由1z 在第四象限，得211011252502m m m m m m m -⎧>⎧⎪><⎪⎪-⇒⎨⎨-⎪⎪-<<<⎩⎪+⎩或，解得122m -<<或15m <<，故m 的取值范围为()12,1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭U ．【点睛】思路点睛：本题考查复数的有关概念及加减乘除等基本运算等有关知识的综合运用，考查利用复数在复平面上对应点所在象限求参数范围，求解时先设()i ,z a b a b R =+∈，然后依据题设建立方程求出，属于基础题.19．(1)3B π=(2)(3,9⎤+⎦【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等变换即可求解；(2)结合已知条件利用正弦定理表示出a c +，再利用三角恒等变换求值即可.【详解】（1）由正弦定理得，sin sin sin sin cos 3C A B B A =+，在ABC 中，A B C π++=，C A Bπ=--故()()sin sin πsin sin cos cos sin C A B A B A B A B =--=+=+，∴sin cos cos sin sin sin sin cos 3A B A B A B B A +=+，∴sin cos sin A B A B =，sin 0A ≠，从而cos B B =，tan B =∵()0,B π∈，∴3B π=；（2）由正弦定理得，2sin bR B==2π3A C +=，其中R 为ABC 的外接圆半径，故)2π2sin 2sin sin sin 2sin sin 3a c R A R C A C A A ⎤⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎥⎝⎭⎦3πsin cos 6sin226A A A ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎭，因为ABC 是锐角三角形，02A π<<，02C π<<，即02A π<<且2032A <-<ππ，故ππ62A <<，ππ2π363A <+<，所以πsin 126A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，从而6a c <+≤，故39a b c <++≤，故三角形周长的取值范围为(3,9⎤+⎦．20．(1)()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)23π.【分析】（1）首先根据周期的范围求出322ω≤≤，然后再结合函数的对称轴和零点即可求出ω和ϕ的值，从而可求出函数()f x 的解析式；（2）首先根据()f x 的解析式把条件()5212f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭转化为7sin 4sin 263x x ππ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再结合变名的诱导公式及余弦的二倍角公式即可得到sin 212sin 21033x x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++-≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即得到11sin 232x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的图象即可求出x 的取值范围，从而可求n m -的最大值．【详解】（1）因为函数()f x 的最小正周期T 满足43T ππ≤≤，所以243πππω≤≤，即322ω≤≤；因为函数()f x 图象的一条对称轴为12x π=，所以11,Z 122k k ππωϕπ+=+∈①，因为函数()f x 的一个零点为43x π=，所以224,Z 3k k πωϕπ+=∈②，②-①，得()212124,,Z 55k k k k ω=-+-∈，所以当213k k -=时，2ω=，因为2πϕ<，所以把2ω=代入①，得3πϕ=.所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）因为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以由()5212f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，得7sin 4sin 263x x ππ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2sin 4sin 2323x x πππ⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos 22sin 233x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即212sin 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫-+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22sin 2sin 21033x x ππ⎛⎫⎛⎫+++-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 212sin 21033x x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++-≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以11sin 232x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以513222,Z 636k x k k πππππ+≤+≤+∈，即11,Z 412k x k k ππππ+≤≤+∈，所以n m -的最大值为1121243πππ-=.21．(2)8.【分析】（1）在ACD 中，由余弦定理求得得AD ，再根据三角形的面积公式可求得答案；（2）在ACD 中，由正弦定理求得sin DAC ∠，再由正弦和角公式求得sin B ，在ABC 中，根据正弦定理求得AB BC ，，由此可求得答案.【详解】（1）解：在ACD中，60,6,D AC CD ∠=︒==22221cos 22CD AD AC D AD CD +-===⋅⋅，解得AD =，所以11sin 22ACD S AD CD D =⋅⋅⋅∠=⨯（2）解：在ACD中，60,6,D AC CD ∠=︒==sin sin AC DCD DAC=∠，即sin DAC =∠，解得3sin 4DAC ∠=，又90A ∠=︒，所以3cos cos sin 24CAB DAC DAC π⎛⎫∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭，所以sin 4CAB ∠=，又9cos 16ACB ∠=，所以sin 16ACB ∠=，所以()()sin sin +sin +B ACB CAB ACB CAB π=-∠∠=∠∠⎡⎤⎣⎦sin cos +cos sin ACB CAB ACB CAB=∠∠∠∠39416==在ABC 中，sin sin sin AB BC ACACB CAB B==∠∠==所以6564164AB BC =⨯=⨯=，，所以335+4844AB BC +=⨯=.22．（1）)501平方米；（2）212.5平方米.【分析】（1）过M 作OA 的垂线，交AO 于点E ,过N 作OA 的垂线，交AO 于点F ，分别计算出MN 、NP ，即可求出矩形MNPQ 的面积（2）由题意可知，AOM x ∠=，利用正弦定理表示出各边，把观赏台面积表示为x 的函数，()100cos sin 200sin 2S x x x =-+，利用三角函数求最值.【详解】（1）当π6AOM ∠=时，过M 作OA 的垂线，交AO 于点E .则π1sin 201062ME OM =⋅=⨯=.πcos2062OE OM =⋅=⨯.过N 作OA 的垂线，交AO 于点F ，NF ME =.∵π4AOB ∠=，10OF NF ==，∴10MN OE OF =-=.5NP =.矩形MNPQ 的面积())510501S MN NP =⋅=⨯=-平方米.所以矩形观赏台MNPQ 的面积)501平方米.（2）由题意可知，AOM x ∠=，π4AOB ∠=，π4MON x ∠=-，3π4MNO ∠=，在OMN 中，由sin sin MN OMMON MNO=∠∠，得()cos sin 20cos sin MN OM x OM x x x =-=-.矩形MNPQ 的面积()()1520cos sin 100cos sin S MN NP x x x x =⋅=⨯-=-.答案第17页，共17页观赏台AOC 的面积211sin 2020sin 2200sin 222S OA OC AOC x x =⋅⋅∠=⨯⨯=.整个观赏台面积()12100cos sin 200sin 2S S S x x x =+=-+.设πcos sin cos 4t x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，π64E x ≤≤，∴04t ≤≤.()2222cos sin cos sin 2sin cos 1sin 2t x x x x x x x =-=+-=-.∴2sin 21x t =-.∴()100cos sin 200sin 2S x x x=-+()2211002001200212.54t t t ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭.当10,44t ⎡=∈⎢⎣⎦时，整个观赏台观赏台S 取得最大值为212.5平方米.∴整个观赏台的面积S 的最大值为212.5平方米.【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键．。
2020学年辽宁省沈阳市沈北新区东北育才双语学校九年级(上)第二次分流考数学模拟试卷(附答案详解)
2019-2020学年辽宁省沈阳市沈北新区东北育才双语学校九年级（上）第二次分流考数学模拟试卷1.如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是()A.B.C.D.2.2019年，我国国内生产总值达到98.3万亿元，数据98.3万亿元用科学记数法表示为()A. 98.3×1012B. 9.83×1013C. 98.3×1013D. 9.83×10153.下列实数中是无理数的是()B. 5−2C. sin60°D. 6.1⋅8⋅A. 2114.下列说法正确的是()A. 三角形的外角一定大于它的内角B. 甲、乙两射击运动员分别射击10次，他们成绩的方差分别为S甲2=4，S乙2=9，这过程中乙发挥比甲更稳定C. 8，9，10，11，11这组数的众数是2D. 两个图形位似也一定相似5.如图在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BDA=90°，∠CBE=30°，∠CEB=45°，AE=4EC，BC=4，则CD的长为()6.已知方程1−a2−a +2=2−aa−1，且关于x的不等式组{x>ax≤b只有3个整数解，那么b的取值范围是()A. 3<b≤4B. 4<b≤5C. 4≤b<5D. 3≤b<47.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)所示).图(2)由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=108，则S2的值是()A. 48B. 36C. 24D. 258.已知二次函数y=x2，点A(m,k)在其第一象限的图象上，点B(n,k+1)在其第二象限的图象上，则关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0的两根x1，x2，判断正确的是()A. x1+x2>1，x1⋅x2>0B. x1+x2<0，x1⋅x2>0C. 0<x1+x2<1，x1⋅x2>0D. x1+x2与x1⋅x2的符号都不确定9.如图，直线y=x−6分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数y=kx(x>0)的图象上位于直线上方的一点，MC//x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC⋅BD=24，则k的值为()A. −10B. −11C. −12D. −1310.如图，在正方形ABCD中，P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，将线段PB以点B为旋转中心逆时针旋转90°，得到线段BP′，下列结论：①P与P′的距离为2√2，②∠APB=150°，③正方形边长为√5+2√2，④S△CBP=2+√22，其中正确的是()A. ①B. ①③C. ①②④D. ①③④11.(−1)6−2tan60°+(√3−1)0+√27=______．12.在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球，为估计白球个数，小张向其中投入11个黑球，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球420次，其中77次摸到黑球，则估计袋中大约有白球______．13.如图，在等边△ABC中，AC=14，点D、E、F分别在三边AB、BC、AC上，且AF=5，FD⊥DE，∠DFE=60°，则AD的长为______．14.已知|6−3a|+(b−4)2=3a−6−√(a−3)(b−4)2，则b a=______．15.如图是矩形纸片ABCD中，BC=20，AB=8，M是边BC的中点，沿过M的直线翻折，若点B恰好落在边AD上，那么折痕长度为______．16.设直线nx+(n+1)y=√2(n为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为S n(n=1,2，……，2019)，在S1+S2+⋯+S2019的值为______．17.如图，在平面直角坐标系A，B为x轴上两点，以AB为直径的⊙M交y轴于C，D两点，C为弧AE的中点，弦AE交y轴于点F，且点A坐标为(−2,0)，CD=8，当EP平分∠AEB时，则EP=______．18. 已知函数y ={x 2+nx +p,x ≥52mx 2−3x +154,x <52，关于x =52成轴对称，直线y =k 与其图象从左至右交于A 、B 、C 、D 四个不同的点．若存在这样的条件：AB =2BC ，则k =______． 19. 如果关于x 的方程x 2−3x+a(x+1)(x−2)=0有增根，求a 的值．20. 在面积为12的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF垂直于直线CD 于点F ，若AB =4，BC =6，求CE +CF 的值．21. 如图，AB 是⊙O 的直径，DE 切⊙O 于点E ，交AB 的延长线于点C ，OD//BE ．(1)求证：直线AD 是⊙O 的切线；(2)若BC =4，tan∠ABE =√2，求OC 的长．22.为了弘扬巴中红色革命文化，某中学举办了色革命文化知识大赛，其规则是：每位参赛选手回答100道选择题，答对一题得1分，不答或错答为得0分，赛后对全体参赛选手的答题情况进行了相关统计，整理并绘制成如下图表：组别分数段频数(人)频率150≤x<60300.1260≤x<70450.15370≤x<8060n480≤x<90m0.4590≤x<100450.15请根据以图表信息，解答下列问题：(1)表中m=______，n=______；(2)补全频数分布直方图；(3)全体参赛选手成绩的中位数落在第______组；(4)若得分在90分以上(含90分)的选手可获奖，其中甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名发表获奖感言，求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用画树状图或列表法解答)．23. 沈阳市某公司生产某环保产品的成本为每件40元，经过市场调研发现：这件产品在未来两个月(60天)的日销量m(件)与时间t(天)的关系为：m ={−2t +100(1≤t ≤30,t 为整数)t +40(31≤t ≤60,t 为整数).未来两个月(60天)该商品每天的价格y(元/件)与时间t(天)的函数关系式为：y ={14t +80(1≤t ≤30,t 为整数)−13t +90(31≤t ≤60,t 为整数).根据以上信息，解决以下问题：(1)请预测未来第一月日销量利润W 1(元)的最小值是多少，第二个月日销量利润W 2(元)的最大值是多少？(2)为创建“两型社会”，政府决定大力扶持该环保产品的生产和销售，从第二个月开始每销售一件该产品就补贴a 元，有了政府补贴以后，第二个月内该产品日销售利润W 3(元)随时间t(天)的增大而增大，求a 的取值范围．24. 已知，如图，直线l 1：y =−√33x +4√3与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点M 、N ，l 2过原点O 且垂直l 1于A ，以线段OA 为边，∠AOM 为一内角作等边△OAC ，将等边△OAC 从图1的位置沿x 轴正方向以1个单位每秒的速度平移，记平移后的三角形为△ABC ，边AB 、AC 分别与线段MN 交于点E 、F(如图2所示)，设△ABC 平移时间为t(s)． (1)在图1中，求A 的坐标；(2)若在△ABC 平移的同时，点P 从△ABC 的顶点B 出发，以2个单位每秒的速度沿折线BA →AC 运动，当点P 边到点C 时，点P 停止运动，BC 也随之停止平移； ①当点P 在线段BA 上运动时，若△PEF 与△MNO 相似，求t 的值；②△ABC 的BC 边上的中垂线恰好与OM 的中垂线重合时，在此中垂线上有两个动25.已知：菱形ABCD的边长为3，∠BAD=60°，等边△BEF两边分别交边AD、CD于点E、F，且点E、F分别在AD、CD上移动．(1)如图(1)：四边形DEBF的面积是否发生改变，若改变，说明理由；若不变，请求出面积的值；(2)如图(2)：设点P为等边△BEF的外心，求点P的运动路径长；(3)如图(3)：连接AC分别交BE，BF于N，M，过点C作BF所在直线的对称点Q，当QN⊥AC时，请直接写出CN的长．)，抛物线经过A，B，F三点．26.已知：如图，A(1,0)、B(3,0)、F(0,34(1)求经过A、B、F三点的抛物线解析式；(2)点C为抛物线上对称轴右侧一点．FM，将直线AC向下平移至直线l处，使得①连接AC交BF交于点M，且BM=32l与抛物线有且仅有一个公共点，求直线l的解析式；②若C点坐标为(6,4)点D为直线AC下方抛物线一点，作DE垂直AC于E，连接AD，是否存在点D，使得△ADE中有一个锐角与∠AFO相等？若存在，求出点D的横坐标，若不存在，请说明理由；(3)G、N是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线AG，AN分别交y轴于K、P两点，若OK⋅OP=3，判断直线GN是否通过定点，如果通过，求出定点，如果4没有，说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：从上面看易得左侧有2个正方形，右侧有一个正方形．故选：A．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．2.【答案】B【解析】解：98.3万亿=983000亿=98300000000000=9.83×1013，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】C【解析】解：A、2是分数，是有理数，故此选项不符合题意；11B、5−2=1是分数，是有理数，故此选项不符合题意；25C、sin60°=√3，是无理数，故此选项符合题意；2D、6．1⋅8⋅是循环小数，是有理数，故此选项不符合题意；故选：C．根据无理数的三种形式，结合选项找出无理数的选项．本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．4.【答案】D【解析】解：A、三角形的外角大于与之不相邻的任意一个的内角，所以A选项错误；B、甲、乙两射击运动员分别射击10次，他们成绩的方差分别为S甲2=4，S乙2=9，这过程中甲发挥比乙更稳定，所以B选项错误；C、8，9，10，11，11这组数的众数是11，所以C选项错误；D、两个图形位似也一定相似图形，所以D选项正确．故选：D．根据三角形外角性质对A选项进行判断；根据方差的意义对B选项进行判断；根据众数的定义对C选项进行判断；根据位似图形的性质对D选项进行判断．本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行(或共线).也考查了众数和方差．5.【答案】B【解析】解：如图，过点C作CH⊥BD于点H．∵∠CBE=30°，BC=4，BC=2，∴CH=12又∵∠CEB=45°，∴EH=CH=2，则CE=2√2，∵AE=4EC=8√2．AE=8，在直角△ADE中，∠EDA=90°，∠AED=∠CEB=45°，则AD=DE=√22∴DH=DE+EH=10，在直角△DCH中，根据勾股定理得到CD=√DH2+CH2=√102+22=2√26．故选：B．BC=2，则CE=√2CH=2√2.在等腰直利用等腰直角三角形的性质得出EH=CH=12角△ADE中，根据勾股定理可以求得线段DE的长度，然后再在直角△DCH中，利用勾股定理来求线段CD的长度．本题考查了勾股定理、等腰直角三角形以及含30度角的直角三角形．根据题意，作出6.【答案】C【解析】解：解方程1−a2−a +2=2−aa−1，两边同时乘以a −2得a −1+2(a −2)=2−a ， 去括号，得a −1+2a −4=2−a ， 移项，得a +2a +a =2+1+4， 合并同类项，得4a =7， 系数化成1得a =74．∴关于x 的不等式组{x >ax ≤b则解集是74<x ≤b ．∵不等式组有3个整数解，则整数解是2，3，4． 则4≤b <5． 故选：C ．首先解分式方程求得a 的值，然后根据不等式组的解集确定x 的范围，再根据只有3个整数解，确定b 的范围．此题考查的是一元一次不等式的解法和分式方程的解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．7.【答案】B【解析】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形， ∴CG =KG ，CF =DG =KF ， ∴S 1=(CG +DG)2 =CG 2+DG 2+2CG ⋅DG =GF 2+2CG ⋅DG ， S 2=GF 2，S 3=(KF −NF)2=KF 2+NF 2−2KF ⋅NF ，∴S 1+S 2+S 3=GF 2+2CG ⋅DG +GF 2+KF 2+NF 2−2KF ⋅NF =3GF 2=108， ∴GF 2=36， ∴S 2=36． 故选：B ．根据八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，得出CG =KG ，CF=DG=KF，再根据S1=(CG+DG)2，S2=GF2，S3=(KF−NF)2，S1+S2+S3= 108得出3GF2=108，求出GF2的值即可．此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出3GF2=108是解决问题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵点A(m,k)在其第一象限的图象上，则m>0，k>0，k=m2，∵点B(n,k+1)在其第二象限的图象上，则n<0，k+1=n2，即n2=m2+1，则(nm )2=1+1m2>1，∵m、n异号，nm<0，设x=nm<0，即x2>1，即x2−1>0，则x<−1，故−nm>1，∵m>0，k>0，则km>0，由mx2+nx+k=0得，x1+x2=−nm >1，x1x2=km>1，故选：A．点A(m,k)在其第一象限的图象上，则m>0，k>0，k=m2，点B(n,k+1)在其第二象限的图象上，则n<0，k+1=n2，即n2=m2+1，则(nm )2=1+1m2>1，进而求解．本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征和求表达式等，由n2=m2+1得到(nm )2=1+1m2>1是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，令x=0代入y=x−6，∴y=−6，∴B(0,−6)，∴OB=6，令y=0代入y=x−6，∴x=6，∴(6,0)，∴OA=OB=6，∴∠OAB=∠OBA=45°，设M(x,y)，∴CF=−y，ED=x，∴−y=√22AC，x=√22BD，∴AC=−√2y，BD=√2x，∵AC⋅BD=24，∴−√2y⋅√2x=24，∴xy=−12，∵M在反比例函数的图象上，∴k=xy=−12，故选：C．过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，然后求出OA与OB的长度，即可求出∴∠OAB=∠OBA=45°，再设M(x,y)，从而可表示出BD与AC的长度，根据AC⋅BD=24列出即可求出k的值．本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是表示出BD、AC，本题属于中等题型．10.【答案】D【解析】解：如图，连接AP′，过点A作AH⊥BP，交BP的延长线于H，∵将线段PB以点B为旋转中心逆时针旋转90°，∴PB=P′B=2，∠PBP′=90°，∴P′P=√P′B2+PB2=√4+4=2√2，∴P与P′的距离为2√2，故①正确；∵∠PBP′=∠ABC=90°，∴∠ABP′=∠CBP，又∵AB=BC，P′B=PB，∴△P′BA≌△PBC(SAS)，∴PC=P′A=3，∵P′A2=9，PA2+P′P2=9，∴P′A2=PA2+P′P2=9，∴∠APP′=90°，∵PB=P′B=2，∠PBP′=90°，∴∠BPP′=45°，∴∠APB=135°，故②错误；∴∠APH=45°，∵AH⊥BH，∴∠APH=∠PAH=45°，∴AH=PH，∵PA2=PH2+AH2，∴1=2AH2，∴AH=PH=√22，∴AB=√AH2+BH2=√12+(2+√22)2=√5+2√2，故③正确；∵S四边形APBP′=S△APP′+S△BPP′=S△AP′B+S△ABP，∴12×2×2+12×2√2×1=S△AP′B+12×2×√22，∴S△AP′B=2+√22，∵△P′BA≌△PBC，∴S△AP′B=S△PBC=2+√22，故④正确，故选：D．由旋转的性质看得到PB=P′B=2，∠PBP′=90°，利用勾股定理可求P′P=2√2，故①正确；由“SAS”可证△P′BA≌△PBC，可得PC=P′A=3，利用勾股定理的逆定理可得∠APP′=90°，可求∠APB=135°，故②错误；利用勾股定理可求AH的长，即可求AB=√5+2√2，故③正确；由面积的和差关系可求S△AP′B=2+√22，由全等三角形的性质可求S△AP′B=S△PBC=2+√22，故④正确，即可求解．本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及勾股定理的逆定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．11.【答案】2+√3【解析】解：原式=1−2√3+1+3√3=2+√3，故答案为：2+√3．利用乘方的意义、零次幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值进行计算，再算加减即可．此题主要考查了实数的运算，关键是掌握乘方的意义、零次幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值．12.【答案】49【解析】解：设袋子中白球约有x个，根据题意，得：1111+x =77420，解得x=49，经检验x=49是分式方程的解，所以估计袋子中白球约有49个，故答案为：49．设袋子中白球约有x个，根据重复摸球420次，其中77次摸到黑球可得1111+x =77420，解之可得答案．此题考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．13.【答案】4.5【解析】解：∵等边△ABC中，AC=14，∴AB=BC=AC=14，∠A=∠C=60°，又∵AF=5，∴FC=AC−AF=14−5=9，∵FD⊥DE，∠DFE=60°，∴DFEF =cos60°=12，又∵∠AFD+∠AFE=180°−60°=120°，∠AFE+∠AEF=180°−60°=120°，∴∠AFD=∠AEF，∴△AFD∽△CEF，∴ADAF =DFEF=12，即AD9=12，∴AD=4.5，故答案为：4.5．根据“30°的角所对的直角边等于斜边的一半”可得出DFEF =12，再由△AFD∽△CEF，对应边成比例，进而求出AD的长．本题考查等边三角形的性质，含有30°角的直角三角形以及相似三角形的性质和判断，掌握等边三角形的性质和相似三角形的判断和性质是解决问题的关键．14.【答案】64【解析】解：∵√(a−3)(b−4)2=|b−4|√a−3，∴a−3≥0，即a≥3，∴6−3a<0，∴3a−6+(b−4)2=3a−6−|b−4|√a−3，∴(b−4)2+|b−4|√a−3=0，当b≥4时，有(b−4)2+(b−4)√a−3=0，即(b−4)(b−4+√a−3)=0，∴b−4=0或b−4+√a−3=0，∵b−4≥0，且b−4+√a−3=0，∴b=4，a=3，当b<4时，有(b−4)2−(b−4)√a−3=0，即(b−4)(b−4−√a−3)=0，∵b−4<0，√a−3≥0，∴b−4−√a−3<0，因此不存在a、b的值使b−4+√a−3=0，综上所述，a=3，b=4，∴b a=43=64，故答案为：64．由√(a−3)(b−4)2=|b−4|√a−3，可得a−3≥0，进而将原式转化为(b−4)2+|b−4|√a−3=0，再分两种情况进行解答，即b≥4和b<4两种情况求出a、b的值，代入计算即可．本题考查二次根式的性质，非负数的意义，理解非负数的意义和二次根式的性质是正确解答的关键．15.【答案】5√5或4√5【解析】解：如图1中，当折痕与AB交于N时，过点B′作B′T⊥BC于T，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABT=90°，∵B′T⊥BC，∴∠B′TB=90°，∴四边形ABTB′是矩形，∴AB=B′T=8，AB′=BT，∵BM=MC=MB′=10，∴TM=√B′M2−B′T2=√102−82=6，∴BT=BM−TM=10−6=4，设BN=NB′=x，则AN=8−x，在Rt△ANB′中，AN2+AB′2=NB′2，∴(8−x)2+42=x2，∴x=5，∴BN=5，∴MN=√BN2+BM2=√52+102=5√5．如图2中，当折痕交AD于N时，过点B′作B′T⊥BC于T，同法可得MT=6，∴AB′=BT=BM+MT=10+6=16，BB′=√AB2+AB′2=√82+162=8√5，设BN=NB′=y，则AN=16−y，在Rt△ANB′中，AN2+AB′2=NB′2，∴(16−y)2+82=y2，∴y=10，∴BN=NB′=10，∵S四边形BMB′N =10×8=12⋅BB′⋅MN，∴MN=4√5，综上所述，满足条件的的值为5√5或4√5．故答案为：5√5或4√5．分两种情形：如图1中，当折痕与AB交于N时，过点B′作B′T⊥BC于T，如图2中，当折痕交AD于N时，过点B′作B′T⊥BC于T，同法可得MT=6，分别求出MN即可．本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．16.【答案】20192020【解析】解：当n =1，则直线解析式为x +2y =√2，它与坐标轴的交点为(0,√22)，(√2,0)，S 1=12×√22×√2=12；当n =2，则直线解析式为2x +3y =2√2，它与坐标轴的交点为(0,2√23)，(√2,0)，S 2=12×2√23×√2=23，当n =3，则直线解析式为3x +4y =3√2，它与坐标轴的交点为(0,3√24)，(√2,0)，S 3=12×3√24×√2=34；所以当n =2019，则直线解析式为2019x +2020y =2019√2，它与坐标轴的交点为(0,2019√22020)，(√2,0)，S 2019=12×2019√22020×√2=20192020；所以S 1+S 2+⋯S 2019=12+23+⋯+20192020=1−12+12−13…+12019−12020=1−12020=20192020．故答案为：20192020．分别求出n =1、2、3，…2019时直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式计算出S 1、S 2、S 3、…、S 2019，然后利用分数的加减法计算它们的和．本题考查了一次函数图形上点的坐标特征的应用，解此题的关键是能求出直线和坐标轴的交点坐标，注意：一次函数y =kx +b ，(k ≠0，且k ，b 为常数)的图象是一条直线．它与x 轴的交点坐标是(−bk ,0)；与y 轴的交点坐标是(0,b).直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y =kx +b ．17.【答案】7√2【解析】解：如图，∵AD⏜=AC ⏜=CE ⏜． ∴AE⏜=CD ⏜，∴AE =CD =8， ∵AB 是直径， ∴∠AEB =90°，过P 点作PG ⊥AE ，连接AP 、BP ．当EP 平分∠AEB 时，∠BAP =∠BEP =∠AEP =∠ABP =45°， ∴△BAP 和△EGP 均为等腰直角三角形， ∵AB =10， ∴AP =5√2，设EG =PG =b ，在Rt △AGP 中，PG 2+AG 2=AP 2， 即：(8−b)2+b 2=(5√2)2， 解得：b =7，b =1(舍去)． ∴EP =√2EG =7√2． 故答案是：7√2．过P 点作PG ⊥AE ，连接AP 、BP.当EP 平分∠AEB 时，可得△BAP 和△EGP 均为等腰直角三角形，由勾股定理可求PG =GE =7，进而可得EP 的长．本题主要考查了勾股定理，垂径定理，坐标与图形性质等知识点，难度不大，注意题中辅助线的作法．18.【答案】3518【解析】解：设函数y =x 2+nx +p 图象上任意一点P(x,y)，则P 点关于x =52的对称点为P′(5−x,y)，∵当x ≥52时，y =x 2+nx +p ， ∴点P′(5−x,y)在函数y =mx 2−3x +154上，∴y =m(5−x)2−3(5−x)+154=mx 2+(−10m +3)x +p +25m −15， ∴m =1，n =−7，p =554，∴函数y ={x 2−7x +554,x ≥52x 2−3x +154,x <52，令x 2−3x +154=k 时，x A =32−√4k−62，x B =32+√4k−62，∴AB =√4k −6， ∵x B +x C =5，∴BC =x C −x B =5−2x B =5−2×(32+√4k−62)=2−√4k −6，∵AB =2BC ，∴√4k −6=2(2−√4k −6)， ∴k =3518，故答案为3518．设函数y =x 2+nx +p 图象上任意一点P(x,y)，则P 点关于x =52的对称点为P′(5−x,y)，则点P′(5−x,y)在函数y =mx 2−3x +154上，从而求出函数y ={x 2−7x +554,x ≥52x 2−3x +154,x <52，令x 2−3x +154=k 求出x A =32−√4k−62，x B =32+√4k−62，即可求AB =√4k −6，BC =2−√4k −6，即可求解．本题考查二次函数的图象的几何变换，理解图象的变换实质是点的变换，从而求出函数解析式，并数形结合解题是关键．19.【答案】解：方程两边都乘(x +1)(x −2)，得x 2−3x +a =0， ∵原方程有增根，∴最简公分母(x +1)(x −2)=0， 解得x =−1或x =2， 当x =−1时，a =−4， 当x =2时，a =2， 故a 的值为−4或2．【解析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母(x +1)(x −2)=0，所以增根是x =2或−1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出a 的值．本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．20.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4，BC=AD=6，①如图，由平行四边形面积公式得：BC×AE=CD×AF=12，∴6⋅AE=4⋅AF=12，∴AE=2，AF=3，在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，把AB=4，AE=2代入求出BE=2√3，同理DF=3√3>4，即F在DC的延长线上(如上图)，∴CE=6−2√3，CF=3√3−4，即CE+CF=2+√3；②如图，∵AB=4，AE=2，在△ABE中，由勾股定理得：BE=2√3，同理DF=3√3，∴CE=6+2√3，CF=4+3√3，∴CE+CF=10+5√3．综上可得：CE+CF=2+√3或10+5√3．【解析】根据平行四边形面积求出AE和AF，有两种情况，求出BE、DF的值，求出CE和CF的值，相加即可得出答案．此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，关键是分类讨论．21.【答案】(1)证明：连接OE，∵DE切⊙O于点E，∴OE⊥DC，∴∠OED=90°，∵OD//BE，∴∠OBE=∠AOD，∠EOD=∠OEB，∵OE=OB，∴∠OEB=∠OBE，∴∠AOD=∠EOD，在△AOD和△EOD中，{OA=OE∠AOD=∠EOD OD=OD，∴△AOD≌△EOD(SAS)，∴∠OAD=∠OED=90°，∴OA⊥DA，∴直线AD是⊙O的切线；(2)解：∵OB=OE，∴∠OEB=∠OBE，∵∠BEC+∠OEB=90°，∠OBE+∠EAB=90°，∴∠BEC=∠EAB，∵∠C=∠C，∴△AEC∽△EBC，∴AEBE =ECBC=ACBC，∵tan∠ABE=AEBE=√2，BC=4，∴EC4=√2，∴EC=4√2，∴AC=8，∴AB=AC−BC=4，∴OB=2，∴OC=OB+BC=6．【解析】(1)连接OE，由切线的性质得出∠OED=90°，证明△AOD≌△EOD(SAS)，由全等三角形的性质得出∠OAD=∠OED=90°，则可得出结论；(2)证明△AEC∽△EBC，由相似三角形的性质得出AEBE =ECBC=ACBC，求出EC的长，则可得出答案此题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．22.【答案】(1)1200.2(2)补全的频数分布直方图如右图所示，(3)四；(4)树状图得：∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，∴P(选中甲、乙)=212=16．【解析】【分析】本题考查频数分布直方图、频数分布表、中位数、概率公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．(1)根据表格可以求得全体参赛选手的人数，从而可以求得m的值，n的值；(2)根据(1)中的m的值，可以将补全频数分布直方图；(3)根据表格可以求得全体参赛选手成绩的中位数落在第几组；(4)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：(1)由表格可得，全体参赛的选手人数有：30÷0.1=300，则m=300×0.4=120，n=60÷300=0.2，故答案为：120，0.2；(2)见答案(3)∵35+45=75，75+60=135，135+120=255，∴全体参赛选手成绩的中位数落在80≤x<90这一组；故答案为：四；(4)见答案23.【答案】解：(1)由题意得：W1=(14t+80−40)(−2t+100)=−12t2−55t+4000，∵对称轴为直线t=−−552×(−12)=−55，∴未来第一月日销量利润W1(元)随t的增大而减小，∴当t=30时，W1(元)有最小值为：−12×302+4000=1900(元)；W2(元)=(−13t+90−40)(t+40)=−13(t−55)2+90253，∴当t=55时，W2(元)的最大值为90253元．(2)由题意得W3=(t+40)(−13t+90−40+a)=−13t2+(1103+a)t+2000+40a，∵对称轴为直线t=−1103+a2×(−13)=110+3a2，31≤t≤60，∴在对称轴左侧，W3随t的增大而增大，∴当110+3a2>59.5，即a>3时，W3随t的增大而增大．∴a的取值范围为a>3．【解析】(1)根据利润等于每件的利润×销售量，可得W1(元)与W2(元)关于t的二次函数，根据二次函数的性质可得答案；(2)根据利润等于(每件的利润+补贴a元)×销售量，可得W3(元)关于t的二次函数，根据二次函数的性质可得答案．本题考查了二次函数在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系及二次函数的性质是解题的关键．24.【答案】解：(1)∵OA所在直线过原点，且∠AOC=60°，∴tan∠AOC=√3，∴OA所在直线解析式为y=√3x，联立方程{y=−√33x+4√3y=√3x，解得{x=3y=3√3，∴点A坐标为(3,3√3).(2)①由l1：y=−√33x+4√3得M(12,0)，N(0,4√3)，∴ON=4√3，OM=12，tan∠OMN=ONOM =√33，即∠OMN=30°，∠ONM=60°，∵∠ABC=60°，∴∠PEF=90°，∵∠A=60°，∴∠AFE=30°．由(1)得OA=OM2=6，∵BP=2t，BM=12−t，∴BE=12BM=6−t2，AE=AB−BE=t2，∴EF=√3AE=√3t2．如图，当∠PFE=60°时，△EFP∽△OMN，∵EP=BE−BP=6−52t，PE=√3EF=32t，∴6−52t=32t，解得t=32．当PF//OM时，△EFP∽△OMN，△APF为等边三角形，∵PE⊥AP，∴AE=PE，∵EP=BE−BP=6−52t，∴6−52t=t2，解得t=2．当点P与点A重合时，△EFP∽△OMN，2t=6，解得t=3，综上所述，t=32或t=2或t=3．②如图，当BC边上的中垂线恰好与OM的中垂线重合时，AG⊥OM且点G为OM，BC 中点．OG=12OM=6，AG所在直线解析式为x=6，将点N 向下移动√3个单位得点N′(0,3√3)，再将点N′关于直线x =6对称得到N′′(12,3√3)，连接N′′O 交直线x =6于点Q ，设ON′′所在直线解析式为y =kx ，将N′′(12,3√3)代入解得k =√34，即y =√34x ，当x =6时y =3√32， ∴点Q 坐标为(6,3√32)， 将点Q 向上平移√3个单位得到点H(6,5√32)， ∴NH =√35√32)=9√22，OQ =(3√32=9√22，∴HN +HQ +OQ 的最小值为9√22+√3+9√22=√3+9√2．【解析】(1)求出OA 所在直线解析式，联立方程求解．(2)当点P 在EF 下方有两种情况△PEF 与△MNO 相似，当点P 与A 重合△PEF 与△MNO 相似．(3)将点N 向下平移√3个单位再关于直线x =6对称得到N′′，连接ON′′交直线x =6于点Q ，点Q 向上平移√3个单位得到点H ，本题考查一次函数的综合应用，解题关键是应用数形结合及分类讨论的解题方法．25.【答案】解：(1)四边形DEBF 的面积不变，如图1，连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴CB =CD ，∠BAD =∠C ， ∵∠BAD =60°， ∴∠C =60°，∴△BCD 是等边三角形， ∴∠CBD =60°，BD =BC ， ∵△BEF 是等边三角形， ∴∠EBF =60°，BE =BF ， ∴∠EBD =∠CBF ， 在△EBD 和△FBC 中， {BE =BF∠EBD =∠FBC BD =BC， ∴△EBD≌△FBC(SAS)， ∴S △EBD =S △FBC ，∴S 四边形DEBF =S △BED +S △BDF =S △BCD ， 过点D 作DH ⊥BC 于点H ， ∵CD =3，∴CH =32，DH =3√32，∴S △BCD =12×3×3√32=9√34，∴四边形DEBF 的面积不变，为定值9√34；(2)如图2，连接AC ，PE ，PB ，过点P 作PH ⊥AD 于点H ，PG ⊥AB 于点G ，∵点P为等边△BEF的外心，∴PB=PE，∠EPB=120°，∵PH⊥AD，PG⊥AB，∴∠AHP=∠AGP=90°，∵∠BAD=60°，∴∠GPH=360°−60°−180°=120°，∴∠EPB=∠GPH，∴∠BPG=∠HPE，在△BPG和△EPH中，{∠BGP=∠PHE ∠BPG=∠EPH PB=PE，∴△BPG≌△EPH(AAS)，∴PH=PG，∵PH⊥AD，PG⊥AB，∴点P在∠BAD的平分线上运动，当点E与A重合时，点P为△ABD的外心M，当点E与D重合时，点P为△CBD的外心N，在Rt△ODN中，OD=32，∠ODN=30°，∴ON=OD×tan30°=32×√33=√32，∵OM=ON，∴MN=√3，∴点P的运动路径长为√3；(3)如图3，∵过点C作BF所在直线的对称点Q，连接BQ，QM，∴CB=BQ，∠CBF=∠QBF，∠BCA=∠BQM，CM=QM，∴AB=QB，∵∠ABE+∠CBF=∠EBQ+∠QBF=60°，∴∠ABN=∠QBN，∴△ABN≌△QBN(SAS)，∴∠BQN=∠BAN=30°，AN=QN，∴∠NQM=60°，∵QN⊥AC，∴∠QNM=90°，设QN=x，则QM=2x，MN=√3x，∵AC=3√3，∴x+√3x+2x=3√3，，解得x=3√3−32∴CN=(2+√3)x=3√3+3．2【解析】(1)连接BD，通过SAS证明△EBD≌△FBC，则S四边形DEBF=S△BCD，求△BCD 的面积即可；(2)连接AC，PE，PB，过点P作PH⊥AD于点H，PG⊥AB于点G，通过AAS证明△BPG≌△EPH，得PH=PG，由PH⊥AD，PG⊥AB，从而点P在∠BAD的平分线上运动，找到起始点即可求出路径长；(3)根据对称和三角形全等可证∠NQM=60°，设QN=x，则QM=2x，MN=√3x，由AC=3√3，解出x即可得出答案．本题主要考查了菱形和等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外心等知识，证明出点P在∠BAD的平分线上运动是解题的关键．26.【答案】解：(1)设抛物线解析式为y =a(x −1)(x −3)，将点F(0,34)代入得： 34=(0−1)×(0−3)a ，解得a =14， ∴抛物线的解析式为y =14(x −1)(x −3)=14x 2−x +34； (2)①过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，则MN//OF ，∴△BMN∽△BFO ，∴MNOF =BN OB =BM BF ， ∵BM =32FM ，∴BM BF =35， ∴MN34=BN 3=35，解得MN =920，BN =95， ∴ON =OB −BN =65，∴M(65,920)， 设直线AC 的解析式为y =kx +b ，将点A(1,0)，M(65,920)代入得：{0=k +b 920=65k +b ，解得{k =94b =−94， ∴直线AC 的解析式为y =94x −94，设直线AC 向下平移后得到的直线l 的解析式为y =94x +m ，联立方程{y =94x +m y =14x 2−x +34， 整理得：x 2−13x +3−4m =0，∵直线l 与抛物线有且仅有一个公共点，∴(−13)2−4(3−4m)=0，解得：m =−15716， ∴直线l 的解析式为y =94x −15716；②存在，理由如下：当∠DAE =∠AFO 时，则tan∠DAE =tan∠AFO =OA OF =43，过点C 作CH ⊥AC ，使CH CA =OA OF =43， 过点C 作LK//x 轴，过A 、H 分别作AL ⊥LK 、HK ⊥LK ，则△ALC∽△CKH ，∴AL CK =LC KH =AC CH =43，∵点A(1,0)，点C(6,4)，∴AL =4，CL =5，∴4CK =5KH =43， ∴CK =163，KH =203， ∴H(343,−83)，连接AH 与抛物线的交点即为D 点，直线AH 过点A(1,0)，H(343,−83)，∴直线AH 的解析式为y =−831x −831，联立方程{y =−831x +831y =14x 2−x +34， 解得x =6131，∴点D 的横坐标为6131，当∠DAE =∠FAO 时，则tan∠DAE =tan∠FAO =OF OA =34，同理得点D 的横坐标为258；综上所述，D 点的横坐标为6131或258；(3)通过定点，理由如下：∵OK ⋅OP =34， ∴设K(0,−3m)，P(0,−14m )，A(1,0)，∴直线AP 解析式为：y =14m x −14m ，直线AK 解析式为：y =3mx −3m ，联立方程{y =14x 2−x +34y =3mx −3m ，{y =14x 2−x +34y =14m x −14m ，解得G(12m +3,36m²+6m)，N(1m +3,14m 2+12m )，∴直线GN 的解析式为y =(3m +14m +12)(x −3)−3，∴直线GN 过定点(3,−3)【解析】(1)根据抛物线与x 轴的交点坐标，设抛物线解析式为y =a(x −1)(x −3)，将点F(0,34)代入即可求出a 的值；(2)①先根据BM =32FM 求出点M 的坐标，求出直线AC 的解析式，联立方程判别式为0即可求出直线l 的解析式；②根据AC 为定线段，以AC 为边作Rt △ACH 使其中有一个锐角等于∠AFO ，再构造K 型相似求出点H 坐标，直线AH 与抛物线的交点即为点D ，这里注意分类讨论；(3)设点K(0,−3m)，P(0,−14m )，求出直线AG 、AN ，在联立方程求出点G 、N 的坐标，即可求出直线GN 的解析式，从而得出定点坐标．本题是二次函数综合题，考查了二次函数的解析式，韦达定理以及相似三角形的应用，第(3)问表示出AG 、AN 的解析式是解题的关键，要求综合能力比较较强．。
2022-2023学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一上学期期中数学试题一、单选题1．2022°是第（ ）象限角． A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】C【分析】将2022︒表示为360k α⋅︒+（Z k ∈）的形式，由此确定正确答案. 【详解】20225360222︒=⨯︒+︒， 所以2022︒是第三象限角. 故选：C2．已知集合86A x NN x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，则集合A 的所有非空子集的个数为（ ） A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个【答案】C【分析】根据集合的描述可得{2,4,5}A =，由非空子集个数与集合元素个数的关系求A 的所有非空子集的个数. 【详解】由题设，86N x∈-，即8可被6x -整除且60x ->，x ∈N ， ∴{2,4,5}A =，故集合A 的所有非空子集的个数为3217-=. 故选：C3．已知0a >且1a ≠，则“()log 1a a b ->”是“()0a b b -⋅<”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】对a 进行分类讨论，求得()log 1a a b ->的等价条件，结合充分、必要条件的知识求得正确答案.【详解】对于()log 1log a a a b a ->=，当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上递减，所以0a b a <-<，则00a b b ->⎧⎨>⎩，当1a >时，log a y x =在()0,∞+上递增，所以1a a b <<-，则00a b b ->⎧⎨<⎩. 所以00a b b ->⎧⎨>⎩或00a b b ->⎧⎨<⎩. 对于()0a b b -⋅<，则00a b b -<⎧⎨>⎩或00a b b ->⎧⎨<⎩. 所以“()log 1a a b ->”是“()0a b b -⋅<”成立的既不充分也不必要条件. 故选：D4．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是1625，则该射手每次射击的命中率为（ ） A ．925B ．25C ．35D ．34【答案】C【分析】设该射手射击命中的概率为p ，两次射击命中的次数为X ，由()()201220161125C p p C p p -+-=可得答案.【详解】设该射手射击命中的概率为p ，两次射击命中的次数为X ，则()2,X B p ，由题可知：()()160125P X P X =+==，即()()201220161125C p p C p p -+-=， 解得35p =. 故选：C.5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A ．0.3 B ．0.4C ．0.6D ．0.7【答案】B【详解】设事件A 为不用现金支付， 则()10.450.150.4P A =--= 故选：B.6．2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要求，现已对18至59岁的人提供.根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如图）估计该地接种年龄的中位数为（ ）A ．40B ．39C ．38D ．37【答案】C【分析】利用中位数左右两边的小矩形的面积都等于0.5即可求解. 【详解】年龄位于[)18,24的频率为0.01360.078⨯=， 年龄位于[)24,30的频率为0.02360.138⨯=， 年龄位于[)30,36的频率为0.03460.204⨯=， 年龄位于[)36,42的频率为0.04060.240⨯=， 因为0.0780.1380.2040.420.5++=<，而0.0780.1380.2040.2400.420.660.5+++==>，所以中位数位于[)36,42，设中位数为x ， 则()0.0780.1380.204360.040.5x +++-⨯=， 解得：38x =， 故选：C.7．点P 是ABC 所在平面上一点，若1123AP AB AC =+，则ABP 与ACP △的面积之比是（ ） A ．32B ．3C ．13D ．23【答案】D【分析】如图，延长AP 交BC 于点D ，设AD AP λ=，则23AD AB AC λλ=+，根据平面向量共线定理得推理求出λ，从而可确定,D P 的位置，即可得出答案. 【详解】如图，延长AP 交BC 于点D ， 设AD AP λ=，则23AD AB AC λλ=+，因为,,B C D 共线，所以123λλ+=，解得65λ=， 所以56AP AD =，3255AD AB AC =+，则55,66ABPABDACPACDSS SS ==，由3255AD AB AC =+， 得()()3255AD AB AC AD -=-，即3255BD DC =， 所以23BD CD =， 所以23ABD ACD S S =， 所以526536ABDABP ACPACDS S SS ==. 故选：D.8．若对x ∀，y ∈R ，有()()()3f x y f x f y +=+-，则函数()()221xg x f x x =++在[]2022,2022-上的最大值与最小值的和为（ ） A ．4 B ．6 C ．9 D ．12【答案】B【分析】构造奇函数()()2231xh x f x x =+-+，根据其奇偶性与最值之间的关系，结合其与()g x 的关系，即可求得结果. 【详解】令()()223,1xh x f x x x =+-∈+[]2022,2022-，定义域关于原点对称； 又()()()()()()222233611x xh x h x f x f x f x f x x x +-=+--+--=+--++； 由x ∀，y ∈R ，有()()()3f x y f x f y +=+-可得：()()()00003f f f +=+-， 即()03f =，同时亦可得：()()()3f x x f x f x -=+--，则()()()036f x f x f +-=+=;故()()0h x h x +-=，则()h x 为奇函数，则其在对称区间[]2022,2022-上的最大值和最小值的和为0， 又()()3g x h x =+，故()g x 在[]2022,2022-上的最大值和最小值的和为6. 故选：B.二、多选题9．下列四个选项，正确的有（ ）A ．()tan ,cos P αα在第三象限，则α是第二象限角B ．已知扇形OAB 的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为12C ．若角α的终边经过点()(),20≠a a a ，则sin α=D ．sin3cos4tan50> 【答案】ABD【分析】根据三角函数在各个象限的正负，扇形周长和面积的计算公式，三角函数的定义，三角函数值的正负，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A ：由题可得tan 0α<，则α属于第二或者第四象限；cos 0α<，则α属于第二或者第三象限或角度终边落在x 轴的负半轴上；故α属于第二象限，A 正确；对B ：设扇形OAB 的圆心角为(0)αα>，半径为R ，圆心角对的弧长为l ，则142lR =，210l R +=，解得2,4l R ==，又l R α=，即24α=，解得12α=，B 正确；对C ：根据题意可得sin α===C 错误； 对D ：因为3,2ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，334,,5,222ππππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故sin 30,cos 40,tan 50><<，故sin3cos4tan50>，D 正确. 故选：ABD.10．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[]40,45，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，则下列结论正确的是（ ）A ．应从第3，4，5组中分别抽取3人、2人、1人B ．第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为815C ．第5组志愿者被抽中的概率为13D ．第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为23【答案】ABC【分析】根据分层抽样得定义即可判断A ；利用列举法结合古典概型计算即可判断ABC. 【详解】第3组的人数有0.06630.060.040.02⨯=++人，第4组的人数有0.04620.060.040.02⨯=++人，第5组的人数有0.02610.060.040.02⨯=++人，故A 正确；设第3组的人分别为,,a b c ，第4组的人分别为,d e ，第5组的人分别为f ， 则6人中随机抽取2人有()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b e b d b f ，()()()()()(),,,,,,,,,,,c d c e c f d e d f e f 共15种抽法，其中第4组志愿者恰有一人被抽中有8种， 则其概率为815，故B 正确； 第5组志愿者被抽中有5种， 其概率为51153=，故C 正确； 第3组志愿者至少有一人被抽中有12种， 其概率为124155=，故D 错误. 故选：ABC.11．已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，则以下判断正确的是（ ）A ．若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是(0,1)B ．函数()f x 在(,0)-∞上是增函数C ．方程()1f x =有两个实根D ．函数()f x 的图象与直线2y x =+有且只有一个公共点【答案】AC【分析】作出函数()f x 图象，借助图象判断A ，C ；探讨函数()f x 在(,0)-∞上单调性判断B ；在0x ≤时求方程()2f x x =+的根判断 D 作答.【详解】函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，当0x ≤时，()()22211f x x x x =--=-++，作出函数()f x 的图象，如图，函数()()g x f x m =-有3个零点，即函数()y f x =的图象与直线y m =有三个交点，由图象可得实数m 的取值范围是(0,1)，A 正确；直线1y =与函数()y f x =的图象有两个交点，即方程()1f x =有两个实根，C 正确； 函数()f x 在(,1)-∞-上是增函数，在(1,0)-上是减函数，在(,0)-∞上不单调，B 不正确；令222x x x --=+，即2320x x ++=，解得2x =-或1x =-，即2-和1-是方程()2f x x =+的两个根， 于是得函数()f x 的图象与直线2y x =+至少有两个公共点，D 不正确. 故选：AC12．在△ABC 中，3AB AC ==，4BC =，O 为△ABC 内的一点，设AO AB AC λμ=+，则下列说法正确的是（ ）A ．若O 为△ABC 的重心，则23λμ+= B ．若O 为△ABC 的内心，则25λμ+== C ．若O 为△ABC 的外心，则910λμ+= D ．若O 为△ABC 的垂心，则15λμ+=【答案】ACD【分析】对A ，由重心可知0OA OB OC ++=，根据AB OB OA =-，AC OC OA =-，整理可得11AO OB OC λμλμλμ=+----，即可判断；对B ，由内心可知0BC OA AC OB AB OC ⋅+⋅+⋅=，结合11AO OB OC λμλμλμ=+----，即可求解判断；对C ，由等腰三角形的性质可得λμ=，由外心可知2222222AO AB AC AB AC λλλ=++⋅，结合余弦定理可得AB AC ⋅，进而判断；对D ，由垂线可知OB AC ⊥，则()2AO AC OB OA AC AC λλ⋅=-⋅+，整理可得()21AO AC AC λλ-⋅=，而AO AE EO =+，代入求解，即可判断.【详解】对于A 选项，重心为中线交点，则0OA OB OC ++=，即AO OB OC =+， 因为()()AO AB AC OB OA OC OA λμλμ=+=-+-，则11AO OB OC λμλμλμ=+----，所以11λλμ=--，11μλμ=--， 所以23λμ+=，故A 正确； 对于B 选项，内心为角平分线交点，则0BC OA AC OB AB OC ⋅+⋅+⋅=，即4330OA OB OC ++=，所以3344AO OB OC =+，由A 选项，则314λλμ=--，314μλμ=--， 所以35λμ+=，故B 错误；对于C 选项，外心为垂直平分线交点，即ABC 的外接圆圆心， 因为3AB AC ==，设D 为边BC 的中点， 所以()12AD AB AC =+，//AO AD ， 所以λμ=，因为AO AB AC λμ=+，所以2222222AO AB AC AB AC λλλ=++⋅，在ABC 中，22299161cos 22339AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯，则sin A =，22sin BCR AO A==，所以22221992339λλλ⎛⎫ ⎪=++⋅⨯⨯，易知0λ>，所以920λ=，所以910λμ+=，故C 正确；对于D 选项，垂心为高线交点，设BE AC ⊥，垂足为边AC 上点E ，则B ，E ，O 共线，由C 选项，因为AO AB AC λμ=+，λμ=， 所以()2AO AC OB OA AC AC λλ⋅=-⋅+，因为OB AC ⊥，则2AO AC OA AC AC λλ⋅=-⋅+，即()21AO AC AC λλ-⋅=， 因为AO AE EO =+，所以()()21AE EO AC AC λλ-+⋅=，即()21AE AC AC λλ-⋅=， 因为11sin 22ABCSAB AC A AC BE =⋅⋅=⋅，所以453BE =， 所以2222451333AE AB BE ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()211333λλ-⨯⨯=⨯，解得110λ=，所以15λμ+=，故D 正确； 故选：ACD【点睛】知识点点睛：ABC 的“四心”，可知： （1）重心O 为中线交点，则0OA OB OC ++=；（2）内心O 为角平分线交点，内切圆圆心，则0BC OA AC OB AB OC ⋅+⋅+⋅=； （3）外心O 为垂直平分线交点，外接圆圆心，则OA OB OC ==； （4）垂心O 为高线交点，则0OA BC OB AC OC AB ⋅=⋅=⋅=.三、填空题13．甲、乙两位同学高三8次物理模拟考试成绩如图所示，甲同学的平均成绩与乙同学的众数相等，则m =______【答案】5.【分析】根据数据的平均数和众数的概念和计算，列出方程，即可求解. 【详解】由茎叶图和众数的概念，可得乙的众数为84， 因为甲同学的平均成绩与乙同学的众数相等，所以11(73798285(80)839293)848x m =++++++++=，解得5m =.故答案为：5.14． 设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.【答案】92.【分析】把分子展开化为(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+，再利用基本不等式求最值．【详解】由24x y +=，得24x y +=≥，得2xy ≤ (1)(21)221255592222x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=，等号当且仅当2x y =，即2,1x y ==时成立． 故所求的最小值为92．【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．15．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()21sin sin sin cos cos αβααβ+=，则tan β的最大值为______．【分析】由题意结合商数关系及平方关系可得2tan tan 2tan 1=+αβα，再利用基本不等式即可得出答案.【详解】解：由()21sin sin sin cos cos αβααβ+=，得2222sin cos sin cos tan tan 1sin 2sin cos 2tan 1αααααβαααα===+++，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()tan 0,α∈+∞，则2tan 1tan 12tan 12tan tan αβααα==≤++当且仅当12tan tan αα=，即tan α=时，取等号， 所以tan β16．若PAB 是边长为6的等边三角形，点C 满足PC xPA PB y =+，且234x y +=（其中0x >，0y >），则PC 的最小值为______．【分析】利用模的运算公式，结合二次函数的性质求得PC 的最小值. 【详解】依题意234x y +=（其中0x >，0y >），423xy()2P B C xPA y xPA PB y P =+=+2222236PA xyPA PB y PB =+⋅+====所以当42277x -=-=⨯，2428737y -⨯==时，PC 取得最小值为=四、解答题17．已知函数()22sin cos f x =π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦(1)化简()f x ；(2)若π,04α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()f α=44sin cos αα+的值．【答案】(1)()cos sin f x x x =- (2)1718【分析】（1）结合三角恒等变换的知识化简()f x 的解析式. （2）利用平方的方法求得正确答案.【详解】（1）ππ,0,,0428x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，cos 0,sin 0,tan 0222x x x ><<，πcos sin 0,cos sin 222224x x x x x ⎛⎫->+=+ ⎪⎝⎭，πππ,2484x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以πcos sin 02224x x x ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭，()22 sin cosf x=22 sin cos =22sin cos=22sin cos sin222sin coscos cos sin222x x xx xx x x-=-⋅+⋅+2222cos sinsin222sin cossin cos cos sin cos sin222222x xxx xx x x x x x⎛⎫-⎪⎝⎭=-⋅+⋅⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭222sin1sin2sin cos1cossin2xxx xxx-=-⋅+⋅()1cos2sin cos1sin2xx x x-=-⋅+⋅-cos sinx x=-.（2）π,04α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()cos sinfααα=-=两边平方得4112sin cos,sin cos36αααα-==-，()2442222sin cos sin cos2sin cosαααααα+=+-⋅2111712161818⎛⎫=-⨯-=-=⎪⎝⎭.18．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【答案】（1）3，2，2（2）（i ）见解析（ii ）521【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．（ii ）由题意结合（i ）中的结果和古典概型计算公式可得事件M 发生的概率为P （M ）=521． 详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i ）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．（ii ）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种． 所以，事件M 发生的概率为P （M ）=521． 点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．19．××市正在积极创建文明城市，市交警支队为调查市民文明驾车的情况，在市区某路口随机检测了40辆车的车速.现将所得数据分成六段：[6065)，､[6570)，､[7075)，､[7580)，､[8085)，､[8590)，，并绘得如图所示的频率分布直方图.（1）现有某汽车途径该路口，则其速度低于80km/h 的概率是多少？ （2）根据直方图可知，抽取的40辆汽车经过该路口的平均速度约是多少？（3）在抽取的40辆且速度在[)6070，km/h 内的汽车中任取2辆，求这两辆车车速都在[6570)，km/h 内的概率.【答案】（1）0.65；（2）77(km/h )；（3）25. 【分析】（1）计算出前四个小矩形的面积和即可；（2）平均数的估计方法：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和； （3）用列举法求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．然后可得概率. 【详解】（1）由频率分布直方图得速度低于80/km h 的频率为：(0.0100.0200.0400.060)50.65+++⨯=，∴现有某汽车途径该路口，则其速度低于80/km h 的概率是0.65； （2）根据直方图可知，抽取的40辆汽车经过该路口的平均速度约是：0.010562.50.020567.50.040572.50.060577.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 0.050582.50.020587.577+⨯⨯+⨯⨯=(/km h )；（3）在抽取的40辆且速度在[60)70，/km h 内的汽车共有： 40(0.01050.0205)6+⨯+⨯=辆，其中速度在[[6065)，/km h 内的汽车抽取400.01052⨯⨯=辆，设为A ､B ， 速度在[6570)，/km h 内的汽车抽取400.02054⨯⨯=辆，设为a ､b ､c ､d ， 从中任取2辆，其基本事件为：AB ､Aa ､Ab ､Ac ､Ad ､Ba ､Bb ､Bc ､Bd ､ab ､ac ､ad ､bc ､bd ､cd ，总数为15，这两辆车车速都在[6570)，/km h 内包含的基本事件为： ab ､ac ､ad ､bc ､bd ､cd ，总数为6，∴这两辆车车速都在[6570)，/km h 内的概率62155P ==. 20．如图，在△AOB 中，已知|OA |= 2，|OB | = 23，∠AOB = 90°，单位圆O 与OA 交于C ，AD = λAB ，λ（0，1），P 为单位圆O 上的动点.（1）若OC + OP = OD ，求λ的值；（2）记|PD |的最小值为f （λ），求f （λ）的表达式及f （λ）的最小值. 【答案】（1）0λ=或14λ=，（2）2()16841f λλλ=-+-，最小值为31- 【分析】（1）以O 为原点，,OA OB 所在的直线分别为,x y 轴，建立直角坐标，记POB α∠=，由OC + OP = OD ，可得cos 12(1)sin 23αλαλ+=-⎧⎪⎨=⎪⎩，从而可求得答案；（2）由216841PD OD OP λλ≥-=-+-,当且仅当P 在OD 上等号成立，可得2()16841f λλλ=-+-，再结合二次函数的性质可得答案【详解】解：（1）以O 为原点，,OA OB 所在的直线分别为,x y 轴，建立直角坐标，则(2,0),(0,23),(1,0)A B C ，记POB α∠=，则(cos ,sin )P αα，所以(2(1),23)OD OA AB λλλ=+=-，因为OC + OP = OD ，所以(1cos ,sin )OD αα=+， 所以cos 12(1)sin 23αλαλ+=-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以21640λλ-=，解得0λ=或14λ=， （2）因为216841PD OD OP λλ≥-=-+-，当且仅当P 在OD 上等号成立，所以2()16841f λλλ=-+-因为221168416334λλλ⎛⎫-+=-+≥ ⎪⎝⎭，所以1()()314min f f λ==-21．如图，在梯形ABCD 中，2AB DC =，E 、F 是DC 的两个三等分点，G ，H 是AB 的两个三等分点，线段BC 上一动点P 满足()01BP BC λλ=≤≤．AP 分别交EG 、FH 于M ，N 两点，记AB a =，AD b =．(1)当12λ=时，用a ，b 表示AP ； (2)若MN AP μ=，求μ的取值范围． 【答案】(1)3142AP a b =+(2)31,103⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用向量的线性运算即可求解,（2）利用三点共线得到，11(1)36AM xAE x AG xb x a ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，21(1)33AN y AF y AH yb y a ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，再利用 ,BP BC MN AP λμ==, //AN AM ，得到,,,x y λμ之间的关系，用λ表示μ，然后利用函数的单调性求解取值范围即可 【详解】（1）当12λ=时，12BP BC =，则12AP AB BP AB BC =+=+1()2AB BA AD DC =+++11()22AB AB AD AB =+-++3142AB AD =+ 3142a b =+ 所以3142AP a b =+（2）连接,AE AF ,则11113326AE AD DC b a a b =+=+⨯=+，22113323AF AD DC b a a b =+=+⨯=+，因为,,E M G 三点共线，,,F N H 三点共线， 设,GM xGE HN yHF == ，所以11(1)36AM xAE x AG xb x a ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，21(1)33AN y AF y AH yb y a ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，因为//AN AM ，所以21331136y y x x -=-，得22xyx y =-因为BP BC λ=，所以()AP AB AC AB λ-=-, 所以(1)(1)2AP AC AB b a λλλλ=+-=+-，111()336MN AN AM y x b y x a ⎛⎫=-=-+-+ ⎪⎝⎭，因为MN AP μ=，所以1113362y x y x λμλμμ-=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，即26262y x λμμλμμ=-+⎧⎨=-+⎩，代入22xy x y =-得 2(3)(6)(36)0λλμλμ--+-=，因为0μ≠，所以解得3(2)34(3)(6)(2)52λμλλλλ---==---+--，因为[0,1]λ∈，令2t λ=-，则[2,1]t ∈--，因为4y t t=+在[2,1]--上单调递减，所以4[5,4]y t t =+∈--，所以31,103μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以μ的取值范围为31,103⎡⎤⎢⎥⎣⎦22．已知函数()2f x ax bx c =++()0a ≠满足()00f =,对于任意x ∈R 都有()f x x ≥,且1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令()()()10g x f x x λλ=-->. （1）求函数()f x 的表达式；（2）求函数()g x 的单调区间；（3）研究函数()g x 在区间()0,1上的零点个数.【答案】（1）()2f x x x =+；（2）当02λ<≤时，函数()g x 单调递增区间为1,2λ+⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭； 当2λ>时，函数()g x 单调递增区间为11,2λλ+⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2λ-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）当03λ<≤时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点；当3λ>时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点．【分析】（1）由()00f =，可得0c ，函数()f x 的对称轴为12x =-，得a b =. 由判别式()210b -≥，可得1,1b a ==，从而可得结论；（2）求得 ()()1g x f x x λ=--()()22111,,{111,.x x x x x x λλλλ+-+≥=++-<，结合二次函数的对称轴位置，分类讨论，分别得到单调区间即可；（3）分类讨论，结合（2）中的单调区间及零点存在定理进行判断函数()g x 的零点. 【详解】（1）∵()00f =，∴0c .∵对于任意x ∈R 都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴函数()f x 的对称轴为12x =-，即122b a -=-，得a b =. 又()f x x ≥，即()210ax b x +-≥对于任意x ∈R 都成立，∴0a >,且∆()210b =-≤． ∵()210b -≥， ∴1,1b a ==．∴()2f x x x =+．（2）()()1g x f x x λ=--()()22111,111,x x x x x x λλλλ⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎪++-<⎪⎩① 当1x λ≥时，函数()()211g x x x λ=+-+的对称轴为12x λ-=，若112λλ-≤，即02λ<≤，函数()g x 在1,λ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；若112λλ->，即2λ>，函数()g x 在1,2λ-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．② 当1x λ<时，函数()()211g x x x λ=++-的对称轴为112x λλ+=-<， 则函数()g x 在11,2λλ+⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，当02λ<≤时，函数()g x 单调递增区间为1,2λ+⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为 1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭； 当2λ>时，函数()g x 单调递增区间为11,2λλ+⎛⎫-⎪⎝⎭和1,2λ-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为 1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭． （3）① 当02λ<≤时，由(2)知函数()g x 在区间()0,1上单调递增， 又()()010,1210g g λ=-<=-->， 故函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点． ② 当2λ>时，则1112λ<<，而()010,g =-<21110g λλλ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，()121g λ=--，（ⅰ）若23λ<≤，由于1112λλ-<≤，且()211111222g λλλλ---⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21104λ-=-+≥， 此时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点； （ⅱ）若3λ>，由于112λ->且()121g λ=--0<，此时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点．综上所述，当03λ<≤时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点； 当3λ>时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． 【点睛】分类讨论思想的常见类型 ：⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.。
2019年辽宁省沈阳市中考数学试题及答案解析版
2019年辽宁省沈阳市中考数学试卷（总分120分）一、选择题（每小题2分，共20分） 1．（2分）﹣5的相反数是（ ） A ．5B ．﹣5C ．51D ．512．（2分）2019年1月1日起我国开始贯彻《国务院关于印发个人所得税专项附加扣除暂行办法的通知》的要求，此次减税范围广，其中有6500万人减税70%以上，将数据6500用科学记数法表示为（ ） A ．6.5×102B ．6.5×103C ．65×103D ．0.65×1043．（2分）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）4．（2分）下列说法正确的是（ ）A ．若甲、乙两组数据的平均数相同，S 甲2＝0.1，S 乙2＝0.04，则乙组数据较稳定 B ．如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨 C ．了解全国中学生的节水意识应选用普查方式 D ．早上的太阳从西方升起是必然事件 5．（2分）下列运算正确的是（ ） A ．2m 3+3m 2＝5m 5B ．m 3÷m 2＝mC ．m •（m 2）3＝m 6D ．（m ﹣n ）（n ﹣m ）＝n 2﹣m 26．（2分）某青少年篮球队有12名队员，队员的年龄情况统计如下：年龄（岁） 12 13 14 15 16 人数31251则这12名队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A ．15岁和14岁B ．15岁和15岁 C ．15岁和14.5岁D ．14岁和15岁7．（2分）已知△ABC ∽△A 'B 'C '，AD 和A 'D '是它们的对应中线，若AD ＝10，A 'D '＝6，则△ABC 与△A 'B 'C '的周长比是（ ）A ．3：5B ．9：25C ．5：3D ．25：98．（2分）已知一次函数y ＝（k +1）x +b 的图象如图所示，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜0B ．k ＜﹣1C ．k ＜1D ．k ＞﹣19．（2分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 和点D 是⊙O 上位于直径AB 两侧的点，连接AC ，AD ，BD ，CD ，若⊙O 的半径是13，BD ＝24，则sin ∠ACD 的值是（ ） A ．1312B ．512C ．125D ．13510．（2分）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．abc ＜0B ．b 2﹣4ac ＜0C ．a ﹣b +c ＜0D ．2a +b ＝0 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）因式分解：﹣x 2﹣4y 2+4xy ＝．12．（3分）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-52323y x y x 的解是．13．（3分）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有个白球． 14．（3分）如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，若AD ＝BC ＝52，则四边形EGFH 的周长是．15．（3分）如图，正比例函数y 1＝k 1x 的图象与反比例函数y 2＝xk 2（x ＞0）的图象相交于点A （3，23），点B 是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB ，AB ，则△AOB 的面积是．16．（3分）如图，正方形ABCD 的对角线AC 上有一点E ，且CE ＝4AE ，点F 在DC 的延长线上，连接EF ，过点E 作EG ⊥EF ，交CB 的延长线于点G ，连接GF 并延长，交AC 的延长线于点P ，若AB ＝5，CF ＝2，则线段EP 的长是．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：02)2019(|31|30cos 221-+-︒-+⎪⎭⎫⎝⎛--π18．（8分）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A ，B ，C ，D 依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B 的概率是．（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D 的概率．19．（8分）如图，在四边形ABCD 中，点E 和点F 是对角线AC 上的两点，AE ＝CF ，DF ＝BE ，且DF ∥BE ，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于点G ．（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形； （2）若tan ∠CAB ＝52，∠CBG ＝45°，BC ＝42，则▱ABCD 的面积是．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）“勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x 小时，将做家务的总时间分为五个类别：A （0≤x ＜10），B （10≤x ＜20），C （20≤x ＜30），D （30≤x ＜40），E （x ≥40）．并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了名学生；（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；（3）扇形统计图中m 的值是，类别D 所对应的扇形圆心角的度数是度；（4）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．21．（8分）2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元． （1）求甲种树苗每棵多少元？（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？五、（本题10分）22．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，直线MN 与⊙O 相切于点C ，过点B 作BD ⊥MN 于点D ． （1）求证：∠ABC ＝∠CBD ； （2）若BC ＝45，CD ＝4，则⊙O 的半径是．六、（本题10分）23．（10分）在平面直角坐标系中，直线y ＝kx +4（k ≠0）交x 轴于点A （8，0），交y 轴于点B ．（1）k 的值是；（2）点C 是直线AB 上的一个动点，点D 和点E 分别在x 轴和y 轴上．①如图，点E 为线段OB 的中点，且四边形OCED 是平行四边形时，求▱OCED 的周长； ②当CE 平行于x 轴，CD 平行于y 轴时，连接DE ，若△CDE 的面积为433，请直接写出点C 的坐标．七、（本题12分）24．（12分）思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB 交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E 在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是；②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2的值．八、（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；2，（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．2019年辽宁省沈阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分） 1．（2分）﹣5的相反数是（ ） A ．5B ．﹣5C ．51D ．51【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【解答】解：﹣5的相反数是5， 故选：A ．【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．（2分）2019年1月1日起我国开始贯彻《国务院关于印发个人所得税专项附加扣除暂行办法的通知》的要求，此次减税范围广，其中有6500万人减税70%以上，将数据6500用科学记数法表示为（ ） A ．6.5×102B ．6.5×103C ．65×103D ．0.65×104【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【解答】解：6500＝6.5×103， 故选：B ．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．（2分）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面左边有一个正方形．故选：A．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．4．（2分）下列说法正确的是（）A．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2＝0.1，S乙2＝0.04，则乙组数据较稳定B．如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨C．了解全国中学生的节水意识应选用普查方式D．早上的太阳从西方升起是必然事件【分析】根据方差、概率、全面调查和抽样调查以及随机事件的意义分别对每一项进行分析即可得出答案．【解答】解：A、∵S甲2＝0.1，S乙2＝0.04，∴S甲2＞S乙2，∴乙组数据较稳定，故本选项正确；B、明天降雨的概率是50%表示降雨的可能性，故此选项错误；C、了解全国中学生的节水意识应选用抽样调查方式，故本选项错误；D、早上的太阳从西方升起是不可能事件，故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了方差、概率、全面调查和抽样调查以及随机事件，熟练掌握定义是解题的关键．5．（2分）下列运算正确的是（）A．2m3+3m2＝5m5B．m3÷m2＝mC．m•（m2）3＝m6D．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2【分析】根据合并同类项、幂的乘法除法、幂的乘方、完全平方公式分别计算即可．【解答】解：A.2m3+3m2＝5m5，不是同类项，不能合并，故错误；B．m3÷m2＝m，正确；C．m•（m2）3＝m7，故错误；D．（m﹣n）（n﹣m）＝﹣（m﹣n）2＝﹣n2﹣m2+2mn，故错误．故选：B．【点评】本题考查了整式的运算，熟练掌握合并同类项、幂的乘除法、幂的乘方、完全平方公式是解题的关键．6．（2分）某青少年篮球队有12名队员，队员的年龄情况统计如下：则这12名队员年龄的众数和中位数分别是（）A．15岁和14岁B．15岁和15岁C．15岁和14.5岁D．14岁和15岁【分析】众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可求解．【解答】解：在这12名队员的年龄数据里，15岁出现了5次，次数最多，因而众数是14512名队员的年龄数据里，第6和第7个数据的平均数21514＝14.5，因而中位数是14.5．故选：C．【点评】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．7．（2分）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（）A．3：5B．9：25C．5：3D．25：9【分析】相似三角形的周长比等于对应的中线的比．【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，∴△ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3．故选：C．【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是记住相似三角形的性质，灵活运用所学知识解决问题．8．（2分）已知一次函数y＝（k+1）x+b的图象如图所示，则k的取值范围是（）A．k＜0B．k＜﹣1C．k＜1D．k＞﹣1【分析】根据一次函数的增减性确定有关k的不等式，求解即可．【解答】解：∵观察图象知：y随x的增大而减小，∴k+1＜0，解得：k＜﹣1，故选：B．【点评】考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是了解系数对函数图象的影响，难度不大．9．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O 的半径是13，BD ＝24，则sin ∠ACD 的值是（ ） A ．1312B ．512C ．125D ．135 【分析】首先利用直径所对的圆周角为90°得到△ABD 是直角三角形，然后利用勾股定理求得AD 边的长，然后求得∠B 的正弦即可求得答案． 【解答】解：∵AB 是直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵⊙O 的半径是13， ∴AB ＝2×13＝26， 由勾股定理得：AD ＝10， ∴sin ∠B ＝1352610==AB AD ∵∠ACD ＝∠B ， ∴sin ∠ACD ＝sin ∠B ＝135， 故选：D ．【点评】本题考查了圆周角定理及解直角三角形的知识，解题的关键是能够得到直角三角形并利用锐角三角函数求得一个锐角的正弦值，难度不大．10．（2分）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．abc ＜0B ．b 2﹣4ac ＜0C ．a ﹣b +c ＜0D ．2a +b ＝0【分析】由图可知a ＞0，与y 轴的交点c ＜0，对称轴x ＝1，函数与x 轴有两个不同的交点，当x ＝﹣1时，y ＞0；【解答】解：由图可知a ＞0，与y 轴的交点c ＜0，对称轴x ＝1， ∴b ＝﹣2a ＜0； ∴abc ＞0，A 错误；由图象可知，函数与x 轴有两个不同的交点，∴△＞0，B 错误； 当x ＝﹣1时，y ＞0，（由图像关于对称轴对称可知）∴a ﹣b +c ＞0，C 错误； ∵b ＝﹣2a ，D 正确； 故选：D ．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够从给出的图象上获取信息确定a ，b ，c ，△，对称轴之间的关系是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）因式分解：﹣x 2﹣4y 2+4xy ＝ ﹣（x ﹣2y ）2．【分析】先提取公因式﹣1，再套用公式完全平方公式进行二次因式分解． 【解答】解：﹣x 2﹣4y 2+4xy ， ＝﹣（x 2+4y 2﹣4xy ）， ＝﹣（x ﹣2y ）2．【点评】本题考查利用完全平方公式分解因式，先提取﹣1是利用公式的关键．12．（3分）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-52323y x y x 的解是⎩⎨⎧==5.12y x ．【分析】通过观察可以看出y 的系数互为相反数，故①+②可以消去y ，解得x 的值，再把x 的值代入①或②，都可以求出y 的值． 【解答】解：⎩⎨⎧=+=-②52①323y x y x ，①+②得：4x ＝8， 解得x ＝2，把x ＝2代入②中得：2+2y ＝5， 解得y ＝1.5， 所以原方程组的解为⎩⎨⎧==5.12y x ．故答案为⎩⎨⎧==5.12y x ．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是消元，消元的方法有两种：①加减法消元，②代入法消元．13．（3分）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有 3 个白球．【分析】从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． 【解答】解：由题意可得，红球的概率为70%．则白球的概率为30%， 这个口袋中白球的个数：10×30%＝3（个）， 故答案为3．【点评】本题考查了用样本估计总体，正确理解概率的意义是解题的关键．14．（3分）如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，若AD ＝BC ＝25，则四边形EGFH 的周长是 45．【分析】根三角形的中位线定理即可求得四边形EFGH 的各边长，从而求得周长． 【解答】证明：∵E 、G 是AB 和AC 的中点，∴EG ＝21BC ＝55221=⨯， 同理HF ＝21BC ＝5，EH ＝GF ＝21AD ＝55221=⨯．∴四边形EGFH 的周长是：4×5＝45． 故答案为：45．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 15．（3分）如图，正比例函数y 1＝k 1x 的图象与反比例函数y 2＝xk 2（x ＞0）的图象相交于点A （3，23），点B 是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB ，AB ，则△AOB 的面积是 23．【分析】把点A （3，23）代入y 1＝k 1x 和y 2＝xk 2（x ＞0）可求出k 1、k 2的值，即可正比例函数和求出反比例函数的解析式，过点B 作BD ∥x 轴交OA 于点D ，结合点B 的坐标即可得出点D 的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△AOB 的面积．【解答】解：（1）∵正比例函数y 1＝k 1x 的图象与反比例函数y 2＝xk 2（x ＞0）的图象相交于点A （3，23），∴23＝3k 1，23＝31k ， ∴k 1＝2，k 2＝6，∴正比例函数为y ＝2x ，反比例函数为：y ＝x6， ∵点B 是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3， ∴y ＝36＝2， ∴B （3，2）， ∴D （1，2）， ∴BD ＝3﹣1＝2． ∴S △AOB ＝S △ABD +S △OBD ＝21×2×（23﹣2）+21×2×2＝23， 故答案为23．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例（一次）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式以及三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；利用分割图形求面积法求出△AOB 的面积．16．（3分）如图，正方形ABCD 的对角线AC 上有一点E ，且CE ＝4AE ，点F 在DC 的延长线上，连接EF ，过点E 作EG ⊥EF ，交CB 的延长线于点G ，连接GF 并延长，交AC 的延长线于点P ，若AB ＝5，CF ＝2，则线段EP 的长是2213． 【分析】如图，作FH ⊥PE 于H ．利用勾股定理求出EF ，再证明△CEF ∽△FEP ，可得EF 2＝EC •EP ，由此即可解决问题．【解答】解：如图，作FH ⊥PE 于H ．∵四边形ABCD 是正方形，AB ＝5， ∴AC ＝52，∠ACD ＝∠FCH ＝45°， ∵∠FHC ＝90°，CF ＝2， ∴CH ＝HF ＝2， ∵CE ＝4AE ，∴EC ＝42，AE ＝2， ∴EH ＝52，在Rt △EFH 中，EF 2＝EH 2+FH 2＝（52）2+（2）2＝52， ∵∠GEF ＝∠GCF ＝90°， ∴E ，G ，F ，C 四点共圆， ∴∠EFG ＝∠ECG ＝45°， ∴∠ECF ＝∠EFP ＝135°， ∵∠CEF ＝∠FEP ， ∴△CEF ∽△FEP ， ∴EFECEP EF =， ∴EF 2＝EC •EP ，∴EP ＝22132452= 故答案为2213． 【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：02)2019(3130cos 221-+--︒+⎪⎭⎫⎝⎛--π【分析】直接利用负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝4+2×23﹣3+1+1＝6． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（8分）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A ，B ，C ，D 依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B 的概率是41． （2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D 的概率． 【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D 的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B 的概率＝41； （2）列表如下：由表可知共有12种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D 的结果数为6种， 所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D 的概率为21126 . 【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率19．（8分）如图，在四边形ABCD 中，点E 和点F 是对角线AC 上的两点，AE ＝CF ，DF ＝BE ，且DF ∥BE ，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于点G ．（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形； （2）若tan ∠CAB ＝52，∠CBG ＝45°，BC ＝42，则▱ABCD 的面积是 24 ．【分析】（1）根据已知条件得到AF ＝CE ，根据平行线的性质得到∠DFA ＝∠BEC ，根据全等三角形的性质得到AD ＝CB ，∠DAF ＝∠BCE ，于是得到结论；（2）根据已知条件得到△BCG 是等腰直角三角形，求得BG ＝CG ＝4，解直角三角形得到AG ＝10，根据平行四边形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AE ＝CF ， ∴AE ﹣EF ＝CF ﹣EF ， 即AF ＝CE ，∵DF ∥BE ， ∴∠DFA ＝∠BEC ， ∵DF ＝BE ，∴△ADF ≌△CBE （SAS ）， ∴AD ＝CB ，∠DAF ＝∠BCE ， ∴AD ∥CB ，∴四边形ABCD 是平行四边形； （2）解：∵CG ⊥AB ， ∴∠G ＝90°， ∵∠CBG ＝45°，∴△BCG 是等腰直角三角形， ∵BC ＝42， ∴BG ＝CG ＝4， ∵tan ∠CAB ＝52， ∴AG ＝10， ∴AB ＝6，∴▱ABCD 的面积＝6×4＝24， 故答案为：24．【点评】本题考查了平行相交线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）“勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x 小时，将做家务的总时间分为五个类别：A （0≤x ＜10），B （10≤x ＜20），C （20≤x ＜30），D （30≤x ＜40），E （x ≥40）．并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了 50 名学生；（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；（3）扇形统计图中m 的值是 32 ，类别D 所对应的扇形圆心角的度数是 57.6 度；（4）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．【分析】（1）本次共调查了10÷20%＝50（人）；（2）B 类人数：50×24%＝12（人），D 类人数：50﹣10﹣12﹣16﹣4＝8（人），根据此信息补全条形统计图即可； （3）%1005016⨯＝32%，即m ＝32，类别D 所对应的扇形圆心角的度数360°×508＝57.6°； （4）估计该校寒假在家做家务的总时间不低于20小时的学生数．800×（1﹣20%﹣24%）＝448（名）． 【解答】解：（1）本次共调查了10÷20%＝50（人）， 故答案为50；（2）B 类人数：50×24%＝12（人），D 类人数：50﹣10﹣12﹣16﹣4＝8（人），（3）%1005016⨯＝32%，即m ＝32， 类别D 所对应的扇形圆心角的度数360°×508＝57.6°，故答案为32，57.6；（4）估计该校寒假在家做家务的总时间不低于20小时的学生数． 800×（1﹣20%﹣24%）＝448（名），答：估计该校有448名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．（8分）2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元． （1）求甲种树苗每棵多少元？（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？ 【分析】（1）根据题意列出分式方程求解即可； （2）根据题意列出不等式求解即可．【解答】解：（1）设甲种树苗每棵x 元，根据题意得：6600800-=x x ， 解得：x ＝40，经检验：x ＝40是原方程的解， 答：甲种树苗每棵40元；（2）设购买乙中树苗y 棵，根据题意得： 40（100﹣y ）+36y ≤3800， 解得：y ≥3331， ∵y 是正整数， ∴y 最小取34，答：至少要购买乙种树苗34棵．【点评】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，难度不大． 五、（本题10分）22．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，直线MN 与⊙O 相切于点C ，过点B 作BD ⊥MN 于点D ． （1）求证：∠ABC ＝∠CBD ；（2）若BC ＝45，CD ＝4，则⊙O 的半径是 5 ．【分析】（1）连接OC ，由切线的性质可得OC ⊥MN ，即可证得OC ∥BD ，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠CBD ＝∠BCO ＝∠ABC ，即可证得结论；（2）连接AC ，由勾股定理求得BD ，然后通过证得△ABC ∽△CBD ，求得直径AB ，从而求得半径． 【解答】（1）证明：连接OC ， ∵MN 为⊙O 的切线， ∴OC ⊥MN ， ∵BD ⊥MN ， ∴OC ∥BD ， ∴∠CBD ＝∠BCO ． 又∵OC ＝OB ， ∴∠BCO ＝∠ABC ， ∴∠CBD ＝∠ABC ．； （2）解：连接AC ，在Rt △BCD 中，BC ＝4，CD ＝4， ∴BD ＝22CD BC -＝8， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠CDB ＝90°， ∵∠ABC ＝∠CBD ， ∴△ABC ∽△CBD ， ∴BD CB BC AB =，即85454=AB ， ∴AB ＝10， ∴⊙O 的半径是5， 故答案为5．【点评】本题考查了切线的性质和圆周六、（本题10分）角定理、三角形相似的判定和性质以及解直角三角形，作出辅助线构建等腰三角形、直角三角形是解题的关键．23．（10分）在平面直角坐标系中，直线y ＝kx +4（k ≠0）交x 轴于点A （8，0），交y 轴于点B ．（1）k 的值是21-； （2）点C 是直线AB 上的一个动点，点D 和点E 分别在x 轴和y 轴上．①如图，点E 为线段OB 的中点，且四边形OCED 是平行四边形时，求▱OCED 的周长； ②当CE 平行于x 轴，CD 平行于y 轴时，连接DE ，若△CDE 的面积为433，请直接写出点C 的坐标． 【分析】（1）根据点A 的坐标，利用待定系数法可求出k 值；（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B 的坐标，由平行四边形的性质结合点E 为OB 的中点可得出CE 是△ABO 的中位线，结合点A 的坐标可得出CE 的长，在Rt △DOE 中，利用勾股定理可求出DE 的长，再利用平行四边形的周长公式即可求出▱OCED 的周长； ②设点C 的坐标为（x ，421+-x ），则CE ＝|x |，CD ＝|421+-x |，利用三角形的面积公式结合△CDE 的面积为433可得出关于x 的方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）将A （8，0）代入y ＝kx +4，得：0＝8k +4，解得：k ＝21-． 故答案为：21-．（2）①由（1）可知直线AB 的解析式为y ＝21-x +4．当x ＝0时，y ＝21-x +4＝4，∴点B 的坐标为（0，4）， ∴OB ＝4．∵点E 为OB 的中点， ∴BE ＝OE ＝21OB ＝2． ∵点A 的坐标为（8，0）， ∴OA ＝8．∵四边形OCED 是平行四边形， ∴CE ∥DA ， ∴1==OEBEAC BC ， ∴BC ＝AC ，∴CE 是△ABO 的中位线， ∴CE ＝21OA ＝4． ∵四边形OCED 是平行四边形， ∴OD ＝CE ＝4，OC ＝DE ．在Rt △DOE 中，∠DOE ＝90°，OD ＝4，OE ＝2， ∴DE ＝5222=+OE OD ，∴C 平行四边形OCED ＝2（OD +DE ）＝2（4+25）＝8+45．②设点C 的坐标为（x ，x 21-+4），则CE ＝|x |，CD ＝|21-x +4|， ∴S △CDE ＝21CD •CE ＝|﹣41x 2+2x |＝433，∴x 2+8x +33＝0或x 2+8x ﹣33＝0． 方程x 2+8x +33＝0无解；解方程x 2+8x ﹣33＝0，得：x 1＝﹣3，x 2＝11， ∴点C 的坐标为（﹣3，211）或（11，23-）．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、勾股定理、平行四边形的周长、三角形的面积、解一元二次方程以及三角形的中位线，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出k 值；（2）①利用勾股定理及三角形中位线的性质，求出CE ，DE 的长；②利用三角形的面积公式结合△CDE 的面积为433，找出关于x 的方程． 七、（本题12分）24．（12分）思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作CD ∥AB 交AP 的延长线于点D ，此时测得CD ＝200米，那么A ，B 间的距离是 200 米．思维探索：（2）在△ABC 和△ADE 中，AC ＝BC ，AE ＝DE ，且AE ＜AC ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转，把点E 在AC 边上时△ADE 的位置作为起始位置（此时点B 和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点P 是线段BD 的中点，连接PC ，PE ．①如图2，当△ADE 在起始位置时，猜想：PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC ＝PE ，PC ⊥PE ． ； ②如图3，当α＝90°时，点D 落在AB 边上，请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论； ③当α＝150°时，若BC ＝3，DE ＝l ，请直接写出PC 2的值．【分析】（1）由由CD ∥AB ，可得∠C ＝∠B ，根据∠APB ＝∠DPC 即可证明△ABP ≌△DCP ，即可得AB ＝CD ，。
辽宁省沈阳市东北育才中学2024-2025学年高一上学期第一次月考(10月)数学试题(含解析)
东北育才高中2024-2025学年度上学期高一年级数学科第一次月考试卷时间：120分钟 满分：150分一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.1.已知集合，则中元素个数为（ ）A.2B.3C.4D.62.设集合，则集合的真子集的个数为（ ）A.3B.4C.15D.163.命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）A.B.C. D.4.设，则下列命题正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若则D.若，则5.若集合，若，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.6.对于实数，当且仅当时，规定，则不等式的解集是（）A. B.C. D.7.已知，则的最小值为（ ）(){}(){}*,,,,,8A x y x y y x B x y x y =∈≥=+=N ∣∣A B ⋂{}{}{}1,2,3,4,5,,,A B M xx a b a A b B ====+∈∈∣M x ∃∈R 2210ax x -+≤0a >1a >102a <<2a >,a b ∈R ,x y a b >>a x b y ->-a b >11a b<,x y a b >>ax by >a b >22a b >{}30,101x A xB x ax x ⎧⎫-===+=⎨⎬+⎩⎭∣B A ⊆a 13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭10,,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭x ()1n x n n ≤<+∈N []x n =[]24[]36450x x -+<{28}xx ≤<∣31522xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭{}27xx ≤≤∣{27}x x <≤∣0,0,23x y x y >>+=23x yxy+A. B.8.方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）A. B.C.D.或二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分，9.设均为非空集合，且满足，则下列各式中正确的是（ ）A. B.C.D.10.下列四个命题中正确的是（ ）A.由所确定的实数集合为B.同时满足的整数解的集合为C.集合可以化简为D.中含有三个元素11.已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A. B.的最大值为C.的最小值为8 D.的最小值为三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.的解集是__________.13.某班举行数学､物理､化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学､物理两科的有10人，同时只参加物理､化学两科的有7人，同时只参加数学､化学两科的有11人，而参加数学､物理､化学三科的有4人，则全班共有__________人.3-11-1+2210ax x ++=01a <≤1a <1a ≤01a <≤0a <A B U ､､A B U ⊆⊆()U A B U ⋃=ð()()U U U A B B ⋂=ððð()U A B ⋂=∅ð()()U U A B U⋃=ðð(),a b a b ab+∈R {}2,0,2-240,121x x x +>⎧⎨+≥-⎩{}1,0,1,2-(){},3216,,x y x y x y +=∈∈N N ∣()()(){}0,8,2,5,4,26,3A aa a ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N Z x ()()()2323100,0a m x b m x a b +---<>>11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭21a b +=ab 1812a b +224a b +1222150x x -->14.已知关于的不等式（其中）的解集为，若满足（其中为整数集），则使得集合中元素个数最少时的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知集合为全体实数集，或.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.16.（本小题15分）已知全集，集合，集合.（1）若，求实数的取值集合；（2）若集合，且集合满足条件__________（从下列三个条件中任选一个作答），求实数的取值集合.条件①是的充分不必要条件：②是的必要不充分条件：③，使得.17.（本小题15分）设，且.（1介于之间；（2）求；（3）你能设计一个比的吗？并说明理由.18.（本小题17分）对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点.（1）求二次函数的不动点：（2）若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值.x ()()2640mx m x --+<m ∈R A A B ⋂=Z Z B m U {2M xx =<-∣{}5},121x N x a x a >=+≤≤-∣3a =()U M N ⋃ðU N M ⊆ða U =R A x y ⎧⎪==⎨⎪⎩()(){}2440B x x m x m =---<∣B =∅m B ≠∅,A B m x A ∈x B ∈x A ∈x B ∈12,x A x B ∀∈∃∈12x x =10a >1a ≈21111a a =++12,a a 12,a a 2a 3a ()20y ax bx c a =++≠0x ∃∈R 2000ax bx c x ++=0x ()20y ax bx c a =++≠222y x x =+-()2221y x a x a =-++-12,x x 12,0x x >2112x x x x +19.（本小题17分）已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集.（1）判断集合是否为封闭集，并说明理由：（2）判断以下两个命题的真假，并说明理由：命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集：（3）若非空集合是封闭集合，且为实数集，求证：不是封闭集.A ,x y A ∈,x y A xy A +∈∈A {}{}0,1,0,1BC ==-p 12,A A 12A A ⋃q 12,A A 12A A ⋂≠∅12A A ⋂A ,A ≠R R A R ð东北育才高中2024-2025学年度上学期高一年级数学科第一次月考答案【解析】1.解：在集合中，观察集合的条件，当是正整数且时，有等4个元素，则中元素个数为4个.故选C.2.解：由题意可知，集合，集合中有4个元素，则集合的真子集有个，故选C.3.解：命题“，不等式”为假命题，则命题“，不等式”为真命题，所以，解得，所以使得命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为1，则命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是，故选：A.4.解：A ：令，则，故错误；B ：令，则，故错误；C ：令，则，故错误；D ：因为，所以即，故正确；故选D.5.解：由题可知：.当时，显然不成立即，则满足；B 8x y +=A ,x y y x ≥()()()()1,7,2,6,3,5,4,4A B ⋂{}5,6,7,8M =M 42115-=x ∃∈R 2210ax x -+≤x ∀∈R 2210ax x -+>0Δ440a a >⎧⎨=-<⎩1a >x ∃∈R 2210ax x -+≤a a >x ∃∈R 2210ax x -+≤0a >1,3,2,0x y a b ==-==13a x b y -=<-=0,0a b ><11a b>0,1,1,0x y a b ==-==0ax by ==a a b >…22||a b >22a b >{}3031x A xx ⎧⎫-===⎨⎬+⎩⎭0a =10…B =∅B A ⊆当时，，由可得：；综上所述实数的取值范围为.故选C.6.解：由，根据的定义可知：不等式的解集是.故选A.7.解：因为，则，当且仅当时，即当，且，等号成立，故的最小值为故选B.8.当时，方程为有一个负实根，反之，时，则于是得；当时，，若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于，于是得，若，由，即知，方程有两个实根，0a ≠1B x x a ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭B A ⊆1133a a -=⇒=-a 10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭[]24[]36450x x -+<[]()[]()232150x x ⇒--<[]31522x ⇒<<[]x []24[]36450x x -+<{28}xx <∣…0,0,23x y x y >>+=()22222322111x x y y x y x xy y x y xy xy xy y x +++++===+++=+…222x y =3x =-y =23x y xy+1+0a =210x +=12x =-12x =-0,a =0a =0a ≠Δ44a =-0a <Δ0>12,x x 1210x x a=<1x 2x 1a0,0a <0a <0a >Δ0≥01a <≤12,x x必有，此时与都是负数，反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有.所以方程至少有一个负实根的充要条件是.故选：9.解：因为，如下图所示，则，选项A 正确：，选项B 正确：，选项正确：，选项D 错误.故选ABC.10.解：分别取同正､同负和一正一负时，可以得到的值分别为，故A 正确；由得，12122010x x a x x a ⎧+=-<⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩1x 2x 2210ax x ++=12,x x 1212Δ4402010a x x a x x a ⎧⎪=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩01a <≤01a <≤1a ≤2210ax x ++=2210ax x ++=1a ≤2210ax x ++=1a ≤CA B U ⊆⊆()U U U ,B A A B U ⊆⋃=ððð()()UUUA B B ⋂=ððð()U A B ⋂=∅ðð()()UUUA B A U ⋃=≠ððð,a b (),a b a b ab+∈R 2,2,0-240,121,x x x +>⎧⎨+≥-⎩22x -<≤所以符合条件的整数解的集合为，故B 正确；由，可以得到符合条件的数对有，故C 正确；当时，；当时，，当时，；当时，；当时，；当时，，所以集合含有四个元素，故D 错误，故选ABC.11.解：由题意，，且方程的两根为和，所以，所以，所以A 正确；因为，所以，可得，当且仅当时取等号，所以的最大值为B 正确；，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为C 错误；，当且仅当时取等号，所以的最小值为，所以D 正确.故选ABD.12.解：由，，{}1,0,1,2-3216,,x y x y +=∈∈N N ()()()0,8,2,5,4,22a =666332a ==∈--N 1a =663331a ==∈--N 0a =662330a ==∈--N 1a =-66331a =∉-+N 2a =-6635a =∉-N 3a =-66136a ==∈-N A 2,1,0,3-30a m +>()()232310a m x b m x +---=1-12123111,12323b m a m a m--+=-⨯=-++32,231a m b m +=-=-21,a b +=0,0a b >>21a b +=≥18ab ≤122a b ==ab 1,8()121222255549b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭22b a a b =13a b ==12a b+9,22222114(2)(2)22a b a b a b +=+≥+=122a b ==224a b +1222150x x -->2||2150x x ∴-->()()530x x ∴-+>解得：或（舍去），或，即所求的解集为，故答案为.13.解：设参加数学､物理､化学三科竞赛的人分别组成集合，各集合中元素的个数如图所示，则全班人数为.故答案为43.14.解：分情况讨论：当时，，解得；当时，，当且仅当解得或；当时，，当且仅当由，解得.因为，集合中元素个数最少，所以不符合题意；所以要使集合中元素个数最少，需要，解得.故答案为：.15.（本小题13分）5x >3x <-5x ∴<-5x >()(),55,∞∞--⋃+()(),55,∞∞--⋃+,,A B C 24510711443++++++=0m =()640x -+<{}4A xx =>-∣0m <()2266640,4m m x x m m m m ⎛⎫++-+>=+-<- ⎪⎝⎭…m =26{|m A x x m +=<4}x >-0m >2664m m m m+=+≥>m =()2640m x x m ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭264m A x x m ⎧⎫+⎪⎪=-<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭A B ⋂=Z B 0m ≤B 265m m +≤23m ≤≤{}23mm ∣……【答案】解：（1）当时，，所以或，又或，所以或；（2）由题可得，①当时，则，即时，此时满足；②当时，则，所以，综上，实数的取值范围为.16.（本小题15分）【答案】解：（1）若，则，解得，所以实数的取值集合为（2）集合，集合，则此时，则集合，当选择条件①时，是的充分不必要条件，有 ，则，且不能同时取等，解得，所以实数的取值集合为当选择条件②时，是的必要不充分条件，有 ，则，且不能同时取等，解得，所以实数的取值集合为当选择条件③时，，使得，有，则，解得，所以实数的取值集合为3a ={}45N xx =≤≤∣U {4N x x =<∣ð5}x >{2M xx =<-∣5}x >()U {4M N x x ⋃=<∣ð5}x >{}U 25M xx =-≤≤∣ðN =∅121a a +>-2a <U N C M ⊆N ≠∅12112215a a a a +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩23a ≤≤a {}3aa ∣…B =∅244m m =+2m =m {}2{}2200{45}A xx x x x =-++>=-<<∣∣B ≠∅2,m ≠2244(2)0m m m +-=->{}244B xm x m =<<+∣x A ∈x B ∈A B 24445m m ≤-⎧⎨+≥⎩1m <-m (),1∞--x A ∈x B ∈B A 24445m m ≥-⎧⎨+≤⎩11m -<≤m (]1,1-12,x A x B ∀∈∃∈12x x =A B ⊆24445m m ≤-⎧⎨+≥⎩1m ≤-m (],1∞--17.（本小题15分）【答案】解：（1）证明：.之间.（2比.（3）令，则比.证明如下：由（2.故比18.（本小题17分）【答案】解：（1）由题意知：，，解得，所以，二次函数的不动点为和1.（2）依题意，有两个不相等的正实数根，即方程有两个不相等的正实数根，所以，解得，所以，所以))12111101a a a a ⎫=-⋅--=<⎪+⎭12a a ､11a --1a -2a ∴1a 32111a a =++3a 2a 32a a -=--3a 2a 222x x x +-=()()120x x ∴-+=122,1x x =-=222y x x =+-2-()2221x a x a x -++-=()22310x a x a -++-=()2Δ(3)810a a =+-->12302a x x ++=>1a >12102a x x -⎛⎫=> ⎪⎝⎭121231,22a a x x x x +-+==()222121221121212122x x x x x x x x x x x x x x +-++==，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为6.19.（本小题17分）【答案】（1）解：对于集合，因为，所以是封闭集；对于集合，因为，所以集合不是封闭集；（2）解：对命题：令，则集合是封闭集，但不是封闭集，故错误；对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集，所以，同理可得，所以，所以是封闭集，故正确；（3）证明：假设结论成立，设，若，矛盾，所以，所以有，设且，否则，所以有，矛盾，故假设不成立，原结论成立，证毕.()()()22231(1)41162132121212a a a a a a a a a +⎛⎫-+ ⎪-+-+++⎝⎭===---1822621a a -=++≥=-1821a a -=-5a =1221x x x x +{}0B =000,000B B +=∈⨯=∈{}0B ={}1,0,1C =-()112,112,C C -+-=-∉+=∉{}1,0,1C =-p {}{}122,,3,A xx k k A x x k k ==∈==∈Z Z ∣∣12,A A 12A A ⋃q ()12,a b A A ∈⋂1,a b A ∈1A 11,a b A ab A +∈∈22,a b A ab A +∈∈()()1212,a b A A ab A A +∈⋂∈⋂12A A ⋂2a A a A ∈⇒∈2R ()a A a A -∈⇒-∈R ðða A -∈0a a A -+=∈2R R b A b A ∈⇒∈ððR b A -∈ð2()b A b A -∈⇒-∈R 0b b A -+=∈ð。
2020-2021学年辽宁省沈阳市和平区东北育才本部九年级分流考第二次数学模拟试卷(解析版)
2020-2021学年辽宁省沈阳市和平区东北育才本部九年级分流考第二次数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列各数：，0，，0.2，cos60°，，0.303003…，中有理数个数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个2．今年肆虐全球的新冠肺炎（COVID﹣19）被世界卫生组织（WHO）标识为“全球大流行病”，它给全球人民带来了巨大的灾难．冠状病毒的直径约80﹣120nm，1nm为十亿分之一米，即10﹣9m．将120nm用科学记数法表示正确的是（）米．A．1.2×10﹣7B．1.2×10﹣8C．120×10﹣9 D．12×10﹣83．一个圆柱体钢块，正中央被挖去了一个长方体孔，其俯视图如图所示．则此圆柱体钢块的主视图可能是下列选项中的（）A．B．C．D．4．已知关于x，y的方程组的解都为非负数，若a+b＝4，W＝3a﹣2b，则W 的最小值为（）A．2B．1C．﹣3D．﹣55．一组数据：5，3，4，x，2，1的平均数是3，则这组数据的方差是（）A．B．C．10D．6．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝2，BC＝4，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．7．如果关于x的不等式组有且只有三个整数解，且关于x的方程2+a＝3（4﹣x）有整数解，那么符合条件的所有整数a的和为（）A．﹣5B．﹣6C．﹣9D．﹣138．若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3）五点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y19．以AB＝10为直径的⊙O中，定点C和动点P位于AB的两侧，且BC：AC＝4：3，动点P在（不含A、B）上运动，CP⊥CQ与PB的延长线交于点Q．下面说法错误的是（）A．当P点运动到的中点时，，B．当PC为⊙O的直径时，CQ最长C．动点P在运动过程中，∠Q是定值D．动点P在运动过程中，△ABC有可能与△PCQ全等10．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，动点P从点A出发向终点D运动，连BP，并过点C作CH⊥BP，垂足为H．①△ABP∽△HCB；②AH的最小值为﹣；③在运动过程中，BP扫过的面积始终等于CH扫过的面积；④在运动过程中，点H的运动路径的长为π，其中正确的有个（）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分。
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沈阳市中考数学试卷第题说题稿东北育才The following text is amended on 12 November 2020.【荣获说题比赛第一名】精讲·深剖·慎思——细说2018年沈阳市中考数学试卷第25题辽宁省沈阳市东北育才教育集团徐秋慧、何颀、陈熙嫄【原题】（2018沈阳）25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．【答案】（1）∵抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1）∴，解得：，∴抛物线C1：解析式为y=x2+x﹣1（2）∵动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M∴N（t，t2+t﹣1），M（t，2t2+t+1）∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2（3）共分两种情况：①当∠ANM=90°，AN=MN时，t2+t﹣1=1且t2+2=t+2，∴t=1②当∠AMN=90°，AN=MN时，2t2+t+1=1且t2+2=t+2，∴t=0故t的值为1或0（4）满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（，）、（，）一、就题讲题——精讲题目解法（一）整体分析抓脉络该题分4小题，依次为3分、1分、4分、4分，共计12分。
其中，第（1）、（2）题考查基本知识和基本技能；第（3）题难度有所提升，但仍属于常见题型，只是学生容易考虑不周全而漏解，所以这道小题是一个易错点；第（4）题要先根据题意画出图形，分类讨论的情况多，综合性强，无疑是本题的难点。
（二）逐题破解究对策第（1）小题——用待定系数法，通过解二元一次方程组得解，运用的是方程的思想。
第（2）小题——用点的坐标表示竖直方向上两点的距离，运用的是数形结合思想。
第（3）小题——尽管题中给出了直角边MN，仍要分两种情况讨论，再分别根据等腰直角三角形的性质和水平方向上两点的坐标关系列出t的方程，进而通过解一元二次方程得解。
经常听到老师这样的困惑：“这类题我都讲了多少遍了，一考试时还是有学生丢解。
”其实，我们只告诉学生解法是不够的，还要追溯一下，究竟是什么产生的多个解是没给定这个直角三角形中谁是直角吗其实，这不是根本原因！归根究底是因为这里的动直线！是它的不确定，带来的多种情况。
所以，更应该告诉学生：“遇到动态问题，就要注意不同位置考虑全。
”在教学中，培养学生运动变化的观点，才是避免漏解的关键。
第（4）小题——得进一步以运动变化的视角想出所有合理的情形，并尽量准确地画出图形，这不仅考查学生的思维严密性，对学生的空间想象能力、动手操作能力、逻辑思维能力和分类讨论能力的要求都很高；接着，还要结合所画图形，找到恰当的着手点，再结合适当的方法去得解，这对学生综合运用知识的能力、分析问题和解决问题的能力的要求都很高。
所以，本小题充分体现了“压轴”的作用。
因为第（4）小题在本压轴题中的压轴题，所以我们单独设置一个环节进行详细阐述——（三）合理猜想寻突破对于压轴题的最后一题，大多数学生头疼不已，甚至直接放弃。
作为老师，我们又该如何帮助学生突破这困境呢我会告诉学生：“按惯例，沈阳市中考压轴题的后面小题都要求‘直接写出’结果，而多数问题的结果并不繁杂，所以，准确作图，大胆猜想，往往就有意外收获。
”这道题也不例外。
如果有些学生根据题意画出了图形，但还是毫无头绪，那么请标上点的坐标看一看。
如果实在目测不出，请画几条网格再看看（如图1）。
没错，数感好、几何直观能力强的学生已经看出了四种情况中的两个。
卡尔·高斯说“若无某种大胆果敢的猜想，一般是不可能有知识进展的。
”“数学猜想是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素之一，是人类理性中最富有创造性的部分。
（来自百度百科）”所以，遇到综合题不放弃，通过观察或测量去合理猜想，就是我要教给学生们解这类问题的第一个策略。
图1 图2 图3当然，仅仅观察表面是不能解决全部问题的，另一关键是挖掘图中特殊的数量关系和位置关系。
比如，本题中的Q3、Q4与Q1、Q2就是俩俩对称的，只需求出其中一对点，另一对用求对称点的方法即可得。
这样，就利用转化的思想把问题进行了分解。
那么接下来先求Q1、Q2还是先求Q3、Q4呢其实，直接求哪个点都能求出来，但位置不规则时不好求。
所以在有限的考试时间内，在兼顾答整张试卷的前提下，能顺利解决这类代数几何综合题的唯一法宝一定是从特殊的数量关系和位置关系入手。
所以，要么利用所发现的全等三角形（如图2），要么利用所看出的轴对称（如图3），就将这道综合题进一步破解为分散的、基本的知识点，接下来再进行或几何推理、或代数运算，虽方法多样，但也就没有必要详说了。
综上，学生基础知识要学牢，运算、作图等基本技能要过关，书写过程要规范，这样才能在压轴题上“保（1）争（2）破解（3）”；勤练习的同时要多思考，学会分析、形成方法最重要，准确作图、合理猜想找特殊，这样才能在错综复杂的第（4）小题里把思绪找。
二、就题辨题——深剖题目内涵通过以上讲述，不难看出——（一）科学性本题考查的知识点：列代数式、解二元一次方程组、解数字系数的一元二次方程、求二次函数的解析式、坐标与图形位置、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质和图形的变换，还在不同解题方法中或用到一次函数解析式、或用到全等三角形的判定与性质、或用到圆的定义。
应用的数学思想方法：方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，以及待定系数法、观察法。
考查的数学核心素养：本题还对符号意识、运算能力、数感、空间观念、几何直观和推理能力这些新课标所提倡的十大中的六个都有所考查。
涉及到的四基三能：前两个小题考查基础知识、基本技能；后两小题考查基本思想、基本活动经验。
不仅如此，还考查了“四能”中的分析问题、解决问题和发现问题这“三能”。
我们还针对此题所在的整张试卷进行了横向分析：本题易、中、难题的分值分别是4分、4分、4分，放在整张卷纸中符合总体7:2:1的比例；总体知识点的分布情况也与往年没有太大出入。
再与前三年沈阳中考压轴题进行下纵向对比：跟以往压轴题一样，都是以二次函数为背景的代数与几何综合题，都是“低起点－坡度低－尾巴翘”的模式，而且都不是难在单一知识点的深度，而是难在将几个基本知识点组合在一起的综合性。
正像《沈阳市中考说明》说的那样——“试题稳定无变化”。
综上，本题既符合《新课程标准》和《沈阳市中考说明》，又切实贯彻了新课标理念，所以说这道题的命制具有科学性。
（二）有效性我们今天说的既然是一道中考题，就不得不分析一下它的评价功能。
批这道题的同事给我反馈：“就我批的试卷看，此题大约有六分之一至五分之一的空白卷，答题的同学平均分在5分左右，全答对得12分的大约200人中能有1人。
”可以看出，第(1)、(2)小题较简单，符合压轴题也要呈现出梯度的原则；第(3)小题难度提升适度，使中等生有能力答对；第（4）小题情况多、综合性强，很难全答对，但也不至于大家都一分不得而成为无效题。
总之，此题作为中考压轴题达到了一定的区分和选拔学生的目的。
可以说，这道题也具有有效性。
综上，教师教学要基于“两纲”，加强“四基”，努力确保学生得到压轴题前半部分分值；还要重视学生的数学活动，让学生切实地探究、思考和感悟，切实提高学生在复杂的综合题中分离出基本知识点并加以解决的能力。
只有这样才能提高学生对压轴题的破解能力。
三、就题议题——慎思题目外延我们刚才就此题本身说明了它的科学性和有效性，我们还从此题出发进行了谨慎深入的思考。
（一）理性审视设提议首先，压轴题中各小题的独立性问题——第(4)小问是“在(3)的条件下”，第(3)小题是利用第(2)小问的结果，第(2)小问中点N的坐标又来源于(1)中所求解析式。
这就使得，一旦第(1)小问算错，全题皆错。
那么思维水平高的学生和思维水平低的学生就等同起来。
这样一来，作为升学考试题本应实现的评价、区分和选拔效能会打折扣。
所以，命制中考压轴题时是不是稍顾一下各小问的独立性。
其次，同一题中能力考查的重复性问题——第(3)小问分两种情况讨论，第(4)小问分四种情况。
即便是为了考查分类讨论的思想和思维的严密性，是不是也应避免在同一题中对同一数学思想和能力的重复考查再次，一个坐标系中的双抛物线问题——一个坐标系中两条抛物线，沈阳近十年中考题中没有，在其他地区的中考题中也属罕见。
而抛物线C2在本题中的作用仅仅是提供了点M的坐标，其实这里直接改成“M是动直线x=t上一点”，也能通过三角形AMN是直角三角形确定M的坐标。
最后，同一题前后问关联的有机性问题——本题的抛物线C2只提供了M点坐标，之后再没什么用；第（4）问说“在（3）的条件下”，其实只用了第（3）小问的结论t=1，跟第（3）小问中的等腰直角三角形AMN也完全没关系。
这样是不是略有生硬拼凑之嫌（二）大胆延展练创新我们始终想培养学生识图、辨图的能力和创造力，其实我们自身也需要发展空间观念和创新精神。
通过研究，我们碰撞出很多改编此题的新思路，时间关系，在这里仅汇报一下我们就本题重中之重的第（4）小问进行的如下几种尝试——首先要指出的是，我们改编的出发点是源于本题中多处隐含45°特殊角，这往往是很好的命题和解题素材。
变式一：将全等改编成相似。
如图4，我们只需将“∠KNQ=∠BNP”改成“∠KAQ=∠BNP”，便由原题中利用全等三角形得解改编成利用相似三角形得解的问题。
变式二：将轴对称改编成旋转。
如图5，将“当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时”改成“当且∠KNM=∠ANQ时”，则由原题利用轴对称全等转变为利用旋转全等解决问题。
变式三：将无规律图形改编成教材中的经典模型。
如图6，只需将“∠KNQ=∠BNP”改成“∠KNQ=∠BNA”，便构造出教材中的半角模型（北师大版九年级上册第90页习题），进而有了更大改编的空间。
图4 图5 图6以上三种改编思路都是基于不改变问题背景、不改变难度系数的基础上，将第（3）小问中的等腰直角三角形AMN这一条件用得更充分。
总之，我们先站在学生学习的角度，明晰其解法、究透其策略；然后站在教师教学的角度，深剖其背景、得教学之侧重；最后，又站在命题者的角度，理性审视设提议、大胆延展练创新。