我国民航客运量的变化趋势及其成因

2011—2012学年第二学期《数据分析》期末论文

题目我国民航客运量的变化趋势及其成因

姓名杨艳

学号20091021202

系（院）数学系

专业数学与应用数学

2012年 6 月 27日

我国民航客运量的变化趋势及其成因

摘要：随着经济的发展，人民的生活水平也发生了很大的变化；经济的发展带动了人民消费观念的改变。民航一直是交通运输中的一种不可少的方式，一定程度上也反映了人民的生活水平的提高，此题主要研究我国民航客运量的变化趋势及其成因，数据来源于《1994年统计摘要》，利用Eviews软件拟合数据，主要是根据线性回归和非线性回归的知识分析利用软件得出的结果。

关键词：（非）线性回归、相关性、最小二乘估计、逐步回归

一、前言

伴随着经济的发展，人们的生活水平也随之增加了，同时带来了消费水平和消费观念的改变；与此同时也促进了经济的增加。为了研究我国民航客运量的变化趋势及其成因，我们以民航客运量作为因变量y ，以国民收入、消费额、铁路客运量、民航航线里程、来华旅游入境人数为影响民航客运量的主要因素.

利用Eviews 软件通过建立回归模型分析我国民航客运量主要受到哪些因素的影响，通过回归模型的建立反映我国经济水平的发生的变化，在此也可以了解到我国居民的消费观念和消费水平。

二、预备知识

2.1多元线性回归模型

2.1.1多元回归模型定义：

根据多个自变量的最优组合建立回归方程来预测因变量的回归分析称为多元回归分析。多元线性回归分析的模型为： εββββ+++++=p p x x x y (22110)

其中：p 为解释变量的数目，0β为回归常数，p βββ,...,,10称为回归参数

（regression coefficient ）,ε为随机变量。

回归估计估计方程为：

p p x b x b x b b y ++++=∧

(22110)

其中：∧

y 为根据所有自变量计算出的估计值。0b 为常数项，p b b b ..,,21称为y 对应

于p x x x ...,,21的偏回归系数估计。

2.1.2多元线性回归模型的基本假定

假设1解释变量是非随机的或固定的，且各X 之间互不相关（无多重共线性）。 假设2随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性 0)(=i u E

2

2

)()(σ==i i u E u Var n j i j i ,...,2,1,,=≠

0),(),(==j i j i u u E u u Cov 假设3解释变量与随机项不相关

,0),(=i ji u X Cov n j ..,2,1= 假设4随机项满足正态分布

),0(2

σN u i -

2.2多元线性回归参数估计

2.2.1回归参数的普通最小二乘估计

对于回归模型εβ+=X y 所谓最小二乘法，就是寻找参数p βββ,...,,10的估计值∧

∧

∧

p βββ,...,,10使离差平方和 2

1110,10)...()...,(∑----=

n

i ip p i i

p x x y

Q ββββββ

达到极小，即寻找∧

∧

∧

p βββ,...,,10满足 2

1

11010)...(),...,(∑-∧

∧

∧

---=

n

i ip p i i

P x x y

Q ββββββ

2

1

110,...,)...(min

10∑----=n

i ip p i i

x x y

p

ββββββ

求出的∧

∧

∧

p βββ,...,,10就称为p βββ,...,,10回归参数的最小二乘估计。

当1

)(-'

X X 存在时，即得回归参数的最小二乘估计为y X X X ''=-∧

1

)(β 称

p p x x y ∧

∧∧∧--=βββ (110)

为经验回归方程。 2.2.2参数估计量的性质

性质1 ∧

β是随机向量y 的一个线性变换。 性质2 ∧β是的β无偏估计。

性质3 1

2)()(-∧

'

=X X D σβ 性质4 高斯-马尔柯夫（G-M ）定理

在假定n I y D X y E 2

)(,)(σβ==时，β的任一线性函数βc '的最小方

差线性无偏估计为∧'βc ，其中，c 是任一1+p 维常数向量，∧

β是β的最小二乘估计。

性质5 0),cov(=∧

e β

性质6 当),(2

n I X N y σβ-时，则

（1）))(,(1

2-∧

'-X X N σββ

（2）)1(2

2

---p n SSE χσ

2.3多元回归分析中的统计指标

2.3.1决定系数的性质

决定系数是对回归模型拟合程度的综和度量，决定系数越大，模型拟合程度越高；决定系数越小，则模型对样本的拟合程度越差，决定系数R 具有如下性质： （1）决定系数R 具有非负性；

（2）决定系数的取值范围为10<

（3）判断系数是样本观测值得函数，它也是一个统计量；

偏相关系数也可以用来作为筛选自变量的指标，即通过比较偏相关系数的大小，判别哪些

变量对因变量具有较大的影响。

2.4 多元线性回归分析的检验

2.4.1方差分析

方差分析是对整个方程的显著性检验。检验假设：总体的回归系数为0或不都为非

0。使用统计量F 进行检验：

检验的零假设为：0...:100====p H βββ 检验统计量:)

1(--=

p n SSE p

SSR F

它服从于自由度为)1,(--p n p 的F 分布。

若F 大于临界子)1(--p n F α，则拒绝零假设，认为在显著性水平下，y 对对自

变量有显著的线性关系，回归方程式显著的；反之则不能拒绝原假设，认为回归方程不显著。

2.4.2 偏回归系数与常数项的检验

检验假设：总体回归方程各自变量偏回归系数为0，常数项为0，检验使用t 统计量。 偏回归系数和常数项的t 检验的公式分别是 常数项的标准误

常数项

，偏回归系数的标准误偏回归系数==

t t

2.4.3 方差齐性检验:

方差齐性是指残差的分布是常数，与自变量或因变量无关。一般用绘制因变量预测值

与学生式残差的散点图来检测。残差应随机地分布在一条穿过零点的水平直线的两侧。

2.5异常值、影响点、共线性诊断

2.5.1 异常值的查找

异常值是指标准化残差过大的观察量。在SPSS 软件中，默认的判断是标准化残差的

绝对值大于3。 2.5.2 影响点的查找

影响点是指那些对参数估计有较大影响的点，因此要仔细考虑在模型拟合时是保留

还是剔除影响点。

2.5.3 共线性问题

回归方程中，各自变量对因变量虽然都是有意义，但某些自变量彼此相关，即存在共

线性的问题。此时给评价自变量的贡献率带来困难。因此，需要对回归方程中的变量进行共线性诊断，并且确定它们对参数估计的影响。 (1)多重共线性的含义：

多重共线性（multicollinearity ）是在p 个回归变量p x x x ,...,,21间存在严格的或近似的线性关系，即满足

0...2211=+++p p x x x λλλ 或0...2211≈+++p p x x x λλλ

其中0,...,,21不全为p λλλ

（2）多重共线性的处理方法：

剔除法；差分法；重新定义方程；有偏估计

诊断方法：

方差膨胀因子（VIF ）:一般认为，方差膨胀因子5≥时可能存在共线性问题；当方差

膨胀因子10≥时存在严重的共线性问题。其值越大，自变量之间存在共线性的可能

性越大。

2.6 违背基本假设的情况

一种是异方差性，即n i j i ,...,2,1),var()var(=≠εε 另一种是自相关性，即时当j i j i ≠≠,0),cov(εε。 2.6.1 当存在异方差时，普通最小二乘估计存在以下问题： （1）参数估计值虽然是无偏的，但不是最小方差线性无偏估计； （2）参数的显著性检验失效； （3）回归方程的应用效果极不理想。 检验异方差是否存在的方法：

把2

e 作为因变量，原先的自变量和自变量的平方项作为新的自变量建立回归模型。 解决方法：怀特（White ）检验 2.6.2 自相关性带来的问题：

（1）参数的估计值不再具有最小方差线性无偏性； （2）均方误差可能严重低估误差项的方差；

（3）容易导致对t 值评价过高，常用的F 检验和t 检验失效。如果忽视这一点，可能

导致得出回归参数统计检验为显著，但实际上并不显著的严重错误结论；

（4）当存在序列相关时，∧

β仍然是β的无偏估计量，但在任一特定的样本中，∧

β可

能严重歪曲β的真实情况，即最小二乘估计量对抽样波动变得非常敏感；

（5）如果不加以处理地运用普通最小二乘估计模型参数 ，用此模型进行预测和结构

分析将会带来较大的方差甚至错误的解释。

自相关性的检验方法：

D-W 检验：在对回归模型诊断中，需要诊断回归模型中误差项的独立性。如果误差项不成立，那么对回归模型的任何估计与假设所作出的结论是不可靠的。

自相关问题的处理方法：

三、模型的建立与分析

3.1绘制散点图：

由以上的散点图看出：数据y 与3x 是非线性的，但与其它几个变量基本是线性的。所以首先考虑用多元线性的方法拟合数据。

3.2简单相关系数

Correlation Y X1 X2 X3 X4 X5 Y

1.000000

0.989468 0.985483 0.227175 0.987197 0.924168 X1 0.989468 1.000000 0.998958 0.257825 0.983609 0.930167 X2 0.985483 0.998958 1.000000 0.288990 0.977804 0.942293 X3 0.227175 0.257825 0.288990 1.000000 0.212927 0.504331 X4 0.987197 0.983609 0.977804 0.212927 1.000000 0.881798 X5 0.924168

0.930167

0.942293

0.504331

0.881798

1.000000

由以上的简单相关系数看出：y 与5421,,,x x x x 的相关系数都在0.9以上，说明所选自变量与y 高度线性相关，用y 与自变量作多元线性回归是适合的。y 与3x 的相关系数

227175.03 y r 偏小，3x 是铁路客运量，这说明铁路客运量对民航客运量无显著影响。一

般认为铁路客运量与民航客运量之间应呈负相关，铁路和民航共同拥有旅客，乘了火车就乘不了飞机。但就中国当时的实际情况分析，我国居民的收入还很低，一般人外出旅游、出差都乘火车。今年来乘飞机的人虽逐渐增多，但我国民航客运量最大的一部分是来华旅游入境

人数。国内尽管有些旅客乘坐飞机增多，但对火车客运量不会有有大的影响，一是铁路运力十分紧张；二是今年来外出民工增多，而民工主要乘火车，所以不会因民航客运量增加而导致火车客运量下降。因此铁路客运量与民航客运量之间的关系部密切是正常的。那么在回归方程中是否还应该包含3x 呢？仅凭简单相关系数的大小是不能决定变量的取舍的，在初步建模时还是应该包含3x 在内。

3.3最小二乘估计：

3.3.1 建立回归方程

利用Eviews 软件得出上表 （1）回归方程为：

54321*)6(*)5(*)4(*)3(*)2()1(x c x c x c x c x c c y +++++=

即：

5

4321434171.067301.21007171.0562353.0354215.00259.443x x x x x y ++--+=（2）决定系数

由决定系数99827.02

=R 看回归方程高度显著。 （3） 回归系数的显著性检验（t 检验）：

回归系数的显著性检验由Prob 一列看出自变量的回归系数都通过了t 检验（即收尾

概率小于规定的显著性水平0.05），说明5个自变量对y 的影响显著。其中3x 铁路客运量的Prob=0.0056最大，但仍在1%的显著性水平上对y 高度显著，这充分说明在多元线性回归中不能仅凭简单相关系数的大小而决定变量的取舍。 （4） 回归方程的显著性检验（F 检验）：

F-statistic=1154.29，说明方程通过F 检验。 （5） 检验残差序列的自相关性（D-W 检验）：

D-W=2.00144，由于DW 值在2左右，所以模型不存在序列的自相关性 （6） 回归系数

2x 的回归系数:-O62353是负2的，2x 是消费额，负的回归系数显然是不合理的，其

原因可能是自变量之间的共线性，因而回归方程还要在多重共线性部分进行改进。 3.3.2 模型分析：

利用SPSS 得到上表

（1） 可以看出各变量的方差扩大因子（VIF ），显然，除3x 外，其他变量都与别的变量

存在程度不同的共线性，其中1x 的共线性最为严重。这也验证了前面说到的3x 是

铁路客运量，这说明铁路客运量对民航客运量无显著影响。

3.4. 后退逐步回归法

Dependent Variable: Y

Method: Stepwise Regression

Date: 06/16/12 Time: 14:16

Sample: 1978 1993

Included observations: 16

Number of always included regressors: 1

Number of search regressors: 5

Selection method: Stepwise backwards

Stopping criterion: p-value forwards/backwards = 0.5/0.5

Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.*

C 443.0259 176.0006 2.517185 0.0305

X1 0.354215 0.084236 4.205059 0.0018

X4 21.67301 3.983043 5.441318 0.0003

X5 0.434171 0.050958 8.520138 0.0000

X2 -0.562353 0.123922 -4.537966 0.0011

X3 -0.007171 0.002043 -3.510628 0.0056 R-squared 0.998270 Mean dependent var 1158.813 Adjusted R-squared 0.997405 S.D. dependent var 960.3196 S.E. of regression 48.91511 Akaike info criterion 10.89805 Sum squared resid 23926.88 Schwarz criterion 11.18777 Log likelihood -81.18437 Hannan-Quinn criter. 10.91288 F-statistic 1154.290 Durbin-Watson stat 2.001440 Prob(F-statistic) 0.000000

Selection Summary

No regressors were chosen by the stepwise routine

*Note: p-values and subsequent tests do not account for stepwise selection.

由后进逐步回归表分析： 综上所述：

（1）回归方程为：

y=c(1)+c(2)*x1+c(3)*x2+c(4)*x3+c(5)*x4+c(6)*x5 即：

5

4321434171.067301.21007171.0562353.03542215.00259.443x x x x x y ++--+=（2）可以看出5个变量都不用移出，这也验证了利用最小二乘估计得出的结论。即通过了t 检验、F 检验、D-W 检验。

3.5 利用怀特（White ）检验回归模型是否存在异方差性：

Heteroskedasticity Test: White

F-statistic 0.276846 Prob. F(5,10) 0.9155 Obs*R-squared 1.945471 Prob. Chi-Square(5) 0.8566 Scaled explained SS

0.435880 Prob. Chi-Square(5)

0.9943

Test Equation:

Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 06/16/12 Time: 14:44 Sample: 1978 1993 Included observations: 16

Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 2184.656 2850.693 0.766360 0.4612 X1^2 -6.56E-05 0.000132 -0.498084 0.6292 X4^2

0.480310

1.877850

0.255777

0.8033

X5^2 0.000223 0.000409 0.546027 0.5970 X2^2 0.000131 0.000275 0.477402 0.6433 X3^2

-1.63E-07

3.25E-07

-0.502032

0.6265

R-squared

0.121592 Mean dependent var 1495.430 Adjusted R-squared -0.317612 S.D. dependent var 1654.194 S.E. of regression 1898.805 Akaike info criterion 18.21583 Sum squared resid 36054587 Schwarz criterion 18.50555 Log likelihood -139.7267 Hannan-Quinn criter. 18.23067 F-statistic 0.276846 Durbin-Watson stat 2.325608 Prob(F-statistic)

0.915493

由怀特检验的结果：

由于收尾概率远远大于显著性水平，则可以看出回归模型不存在异方差性 ，所以用最小二乘估计的方法估计的模型理论上是有效的。

3.5 综上所述：

（1）模型虽然通过了方程的显著性检验（F ）、回归系数的显著性检验（t 检验）、由决定系数看回归方程也高度显著、通过怀特（White ）检验回归模型不存在异方差性，通过了D-W 检验不存在序列自相关性，再进行后退逐步回归得出理论模型

5

4321434171.067301.21007171.0562353.0354215.00259.443x x x x x y ++--+= （2）由回归模型中知道562353.02-=x 的回归系数是负的，而2x 表示消费额，负的回归系数显然不是合理的，其原因可能是自变量之间的多重共线性，因而回归方程在进行了多重共线性检验时，证明自变量之间确实存在多重共线性。 所以接下来主要进行消除自变量之间的多重共线性：

3.6 消除多重共线性

消除多重共性性：剔除一些不重要的解释变量

在民航客运量中，1x 的方差扩大因子VIF=1963为最大，因此剔除1x ，建立y 对四个变量

5432,,,x x x x 的回归方程

Dependent Variable: Y

Method: Stepwise Regression

Date: 06/16/12 Time: 16:25

Sample: 1978 1993

Included observations: 16

Number of always included regressors: 1

Number of search regressors: 4

Selection method: Stepwise forwards

Stopping criterion: p-value forwards/backwards = 0.5/0.5

Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.*

C 687.3741 263.5471 2.608164 0.0243

X4 32.14148 4.932343 6.516474 0.0000

X5 0.397844 0.079669 4.993717 0.0004

X3 -0.011623 0.002771 -4.194107 0.0015

X2 -0.052995 0.041495 -1.277147 0.2278 R-squared 0.995212 Mean dependent var 1158.813 Adjusted R-squared 0.993471 S.D. dependent var 960.3196 S.E. of regression 77.59782 Akaike info criterion 11.79126 Sum squared resid 66235.64 Schwarz criterion 12.03270 Log likelihood -89.33010 Hannan-Quinn criter. 11.80363 F-statistic 571.5831 Durbin-Watson stat 2.208525 Prob(F-statistic) 0.000000

Selection Summary

Added X4

Added X5

Added X3

Added X2

从上表得出 （1）回归方程为：

5432397844.014148.32011623.0052995.03741.687x x x x y ++--=

（2）t 统计量的收尾概率除了2278.02=x 大于0.05外，其他自变量均小于0.05

（3）2x 的方差扩大因子VIF=77.546为最大，远大于10，结合（2）说明此回归模型中仍然存在强多重共线性，因此继续剔除变元。

3.7继续剔除变元x2

Dependent Variable: Y Method: Stepwise Regression Date: 06/16/12 Time: 16:45 Sample: 1978 1993 Included observations: 16

Number of always included regressors: 1 Number of search regressors: 3 Selection method: Stepwise forwards

Stopping criterion: p-value forwards/backwards = 0.5/0.5

Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.*

C 583.3856 257.1608 2.268564 0.0425 X4 26.49549 2.244175 11.80634 0.0000 X5 0.315682 0.048214 6.547466 0.0000 X3

-0.010277

0.002629

-3.908272

0.0021

R-squared

0.994502 Mean dependent var 1158.813 Adjusted R-squared 0.993127 S.D. dependent var 960.3196 S.E. of regression 79.61219 Akaike info criterion 11.80453 Sum squared resid 76057.20 Schwarz criterion 11.99768 Log likelihood -90.43623 Hannan-Quinn criter. 11.81442 F-statistic 723.5159 Durbin-Watson stat 1.904410 Prob(F-statistic)

0.000000

Selection Summary

Added X4 Added X5 Added X3

由上表有：

（1） 回归方程模型为：

543315682.049549.26010277.03856.583x x x y ++-=

3个方差扩大因子都小于10，t 统计量的收尾概率也都小于0.05.说明此回归模型不存在强多重共线性，回归系数也有合理的经济解释

3.8 模型预测：

上图的左边是预测图，两条虚线表示预测值的两倍标准误差带，右边是有关预测的一些评价指标，可以看到MAPE 的值为5.611463，表明的预测精度较高。 综上可以得出：

民航客运量的回归模型为543315682.049549.26010277.03856.583x x x y ++-=（*） 标准化回归模型543411.065.0119.0x x x y ++-=

由标准化回归系数看到，对民航客运量影响最大的因素是来华入境人数5x ，民航航线里程每增加1%，民航客运量会平均增加0.65%。来华旅游入境人数每增加1%，民航客运量会平均增加0.411%。而铁路客运量3x 对民航客运量的影响相对较小，铁路客运量每增加1%，民航客运量会平均减少0.119%。

此回归方程的样本决定系数994.02

=R ,调整的样本决定系数993.02

=a R 。而y 对5个自变量的全模型的样本决定系数998.02=R ，调整的样本决定系数997.02

=a R ，与全模型相比，（*）模型拟合优度仍然很高。

四、参考文献

[1] 易丹辉，《数据分析与Eviews应用》[M],中国人民大学出版社，2008年10月第一版。

[2] 何晓群，刘文卿，《应用回归分析》[M],中国人民大学出版社，2001年6月第一版。

[3] 李兴绪，殷溪源，石磊，《经济统计分析》[M]，中国统计出版社，2008年5月第一版。

五、附录

见下一页

数据出自《1994年统计摘要》：获得1978-1993年统计数据