初中数学总复习----直线与圆位置关系知识点与经典例题

初中数学总复习----直线与圆位置关系知识点与经典例题课标要求

1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；

3.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。

二．知识框架

相离 几何法 弦长 直线与圆的位置关系

相交 代数法 切割线定理

相切

直线与圆 代数法 求切线的方法

几何法 圆的切线方程

过圆上一点的切线方程 圆的切线方程 切点弦 过圆外一点的切线方程 方程

三．直线与圆的位置关系及其判定方法

1.利用圆心0),(=++C By Ax b a O 到直线的距离2

2

B

A C Bb Aa d +++=

与半径r 的大小来判

定。

（1）?r d 直线与圆相离

2.联立直线与圆的方程组成方程组，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过解的个数来判定。 （1）有两个公共解（交点），即?>?0直线与圆相交 （2）有且仅有一个解（交点），也称之为有两个相同实根，即0=??直线与圆相切 （3）无解（交点），即?

3.等价关系

相交0>???r d 练习

（位置关系）1.已知动直线5:+=kx y l 和圆1)1(:2

2

=+-y x C ，试问k 为何值时，直线与圆相切、相离、相交？

（位置关系）2.已知点),(b a M 在圆1:2

2

=+y x O 外，则直线1=+by ax 与圆O 的位置关

系是（）

A.相切

B.相交

C.相离

D.不确定

（最值问题）3.已知实数x 、y 满足方程0142

2

=+-+x y x ，

（1）求

x

y

的最大值和最小值； （2）求y x -的最大值和最小值；

（3）求2

2y x +的最大值和最小值。

〖分析〗考查与圆有关的最值问题，解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解，运用数形结合的方法，直观的理解。①转化为求斜率的最值；②转化为求直线b x y +=截距的最大值；③转化为求与原点的距离的最值问题。

（位置关系）4.设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(2

2=-+-y x 相切，则n m +的取值范围是（）

（位置关系）5.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线 1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是

6．直线0323=-+y x 截圆x 2

+y 2

=4得的劣弧所对的圆心角是 ( C )

A 、

6π B 、4π C 、3π D 、2

π

（位置关系）7．圆01222

2

=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）

A ．2

B ．21+

C ．2

2

1+

D ．221+ （最值问题）8.设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点，则A 到直线05=--y x 的最大距离为______.

9．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆

C 的方程为（ ） A ．0322

2

=--+x y x B ．042

2=++x y x

C ．0322

2

=-++x y x

D ．042

2

=-+x y x

10.若曲线21x y -=与直线b x y +=始终有两个交点，则b 的取值范围是__________. （对称问题）11.圆4)1()3(:2

2

1=++-y x C 关于直线0=-y x 对称的圆2C 的方程为:( )

A. 4)1()3(22=-++y x

B. 4)3()1(2

2=-++y x C. 4)3()1(22=++-y x D. 4)1()3(2

2=++-y x

12. 直线3y kx =+与圆22

(2)(3)4x y -+-=相交于N M ,两点，若≥||MN

则k 的取值范围是( )

A ．3[,0]4

-

B ．[

C ．[

D ．2[,0]3

-

13.圆C ：(x －1)2

＋(y －2)2

＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4 (m ∈R)．

(1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒相交于两点； (2)求⊙C 与直线l 相交弦长的最小值．

[解析] (1)将方程(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4，变形为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0. 直线l 恒过两直线2x ＋y －7＝0和x ＋y －4＝0的交点， 由?

????

2x ＋y －7＝0x ＋y －4＝0得交点M (3,1)． 又∵(3－1)2＋(1－2)2

＝5<25，∴点M (3,1)在圆C 内，∴直线l 与圆C 恒有两个交点． (2)由圆的性质可知，当l ⊥CM 时，弦长最短．

又|CM |＝(3－1)2＋(1－2)2

＝5，

∴弦长为l ＝2r 2－|CM |2

＝225－5＝4 5.

四．计算直线被圆所截得的弦长的方法

1.几何法：运用弦心距、半径、半弦长构成的?Rt 计算，即2

2

2d r AB -= 2.代数法：运用根与系数关系（韦达定理），即

[]

B A B A B A x x x x k x x k AB 4)()1(1222-++=-+=

（注：①当直线AB 斜率不存在时，请自行探索与总结；

②弦中点坐标为

）（2

,2B

A B A y y x x ++，求解弦中点轨迹方程。） 练习

1.直线32+=x y 被圆0862

2

=--+y x y x 所截得的弦长等于（） 2.过点)1,2(的直线中被圆0422

2

=+-+y x y x 截得的弦长最大的直线方程

是( )

A.053=--y x

B. 073=-+y x

C. 053=-+y x

D. 053=+-y x

3.已知圆C 过点)0,1(，且圆心在x 轴的正半轴上，直线1:-=x y l 被圆C 所截得的弦长为

22，则过圆心且与直线l 垂直的直线方程为（）

4.直线x －2y －3＝0与圆C ：(x －2)2

＋(y ＋3)2

＝9交于E 、F 两点，则△ECF 的面积为( ) A.32 B.34 C ．2 5 D.355

5.已知圆4)4()3(:2

2=-+-y x C 和直线034:=+--k y kx l

（1)求证:不论k 取什么值,直线和圆总相交;

(2)求k 取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.

6.若曲线x 2＋y 2

＋2x －6y ＋1＝0上相异两点P 、Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为

( )A ．1 B ．－1 C.1

2 D ．2

7.已知过点()3,3M --的直线l 与圆224210x y y ++-=相交于,A B 两点，

（1）若弦AB 的长为l 的方程； （2）设弦AB 的中点为P ，求动点P 的轨迹方程．

解：（1）若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为3x =-，此时有2

4120y y +-=，弦

()||||268A B AB y y =-=--=，所以不合题意．

故设直线l 的方程为()33y k x +=+，即330kx y k -+-=．

将圆的方程写成标准式得()2

2

225x y ++=，所以圆心()0,2-，半径5r =．

圆心()0,2-到直线l 的距离

d =

角形，所以

()2

2

231251

k k -+

=+，即()2

30k +=，所以3k =-．

所求直线l 的方程为3120x y ++=．

（2）设(),P x y ，圆心()10,2O -，连接1O P ，则1O P ⊥AB ．当0x ≠且3x ≠-时，

11O P AB

k k ?=-，又(3)

(3)

AB MP y k k x --==

--，

则有()()()23103y y x x ----?=----，化简得2

2

355222x y ????+++= ? ??

???．

．．．．．（1） 当0x =或3x =-时，P 点的坐标为()()()()0,2,0,3,3,2,3,3------都是方程（1）

的解，所以弦AB 中点P 的轨迹方程为22

355222x y ?

???+++= ? ??

???．

8.已知圆062

2

=+-++m y x y x 和直线032=-+y x 相交于Q P ,两点,O 为原点,且

OQ OP ⊥,求实数m 的取值.

五．已知切点，求切线方程

1.经过圆2

22r y x =+上一点）（00,y x P 的切线方程为200r y y x x =+

2.经过圆2

22)()(r b y a x =-+-上一点）（00,y x P 的切线方程为

200))(())((r b y b y a x a x =--+--

3.经过圆02

2

=++++F Ey Dx y x 上一点),(00y x P 的切线方程为

02

20000=++++++F y

y E x x D

y y x x 练习

1.经过圆上一点)8,4(--P 作圆9)8()7(2

2

++++y x 的切线方程为（）

2.圆042

2=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）

A ．023=-+y x

B ．043=-+y x

C ．043=+-y x

D ．023=+-y x

六．切点未知，过园外一点，求切线方程 1.k 不存在，验证是否成立；

2.k 存在，设点斜式，用圆到直线的距离r d =，即

)(00x x k y y -=-

1

)

(2

00+---=k x a k y b r

练习

1.求过)5,3(A 且与圆0744:2

2

=+--+y x y x C 相切的直线方程。

七．切线长

若圆2

2

2

)()(:r b y a x C =-+-，则过圆外一点),(00y x P 的切线长

22020)()(r b y a x d --+-=

练习

1.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（ B ） (A) 5

(B) 3 (C) 10 (D) 5

2.自直线y=x 上点向圆x 2+y 2

-6x+7=0引切线，则切线长的最小值为

八．切点弦方程

过圆2

22)()(:r b y a x C =-+-外一点),(00y x P 作圆C 的两条切线方程，切点分别为B A ,,

则切点弦AB 所在直线方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--

1．过点C (6，－8)作圆x 2＋y 2

＝25的切线于切点A 、B ，那么C 到两切点A 、B 连线的距离为( )

A ．15

B ．1 C.15

2

D ．5

九．切割线定理

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即

PD PC PT ?=2

练习

1.自动点P 引圆102

2=+y x 的两条切线PB PA ,，直线PB PA ,的斜率分别为21,k k 。 （1）若12121-=++k k k k ，求动点P 的轨迹方程；

（2）若点P 在直线m y x =+上，且PB PA ⊥，求实数m 的取值范围。 〖解析〗

（1）由题意设),(00y x P 在园外，切线101

),

(:2

0000=+--=-k y kx x x k y y l ，

102)10(2

000220=-+--∴y k y x k x

由12121-=++k k k k 得点P 的轨迹方程为052=±+y x 。

（2）),(00y x P Θ在直线m y x =+上，m y x =+∴00

又PB PA ⊥，110

10,1202

21-=---=∴x y k k ，即202

020=+y x ，将m y x =+代入化简得

02022202

0=-+-m mx x

又0≥?Θ，102102-≤≤∴m

又102

02

0>+y x Θ恒成立，522-<>∴m m 或

[](]

102,5252,102?--∴的取值范围是m