点面距离的几种求法
点面距离的几种求法
神奇中学 刘兴凤
距离的计算是历年高考的重点与热点，求距离问题可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点。而点到平面的距离是是距离问题中的重中之重，线到面的距离及面到面的距离都转化为点到面的距离，线面角、二面角，多面体的体积等都可以借助点面距离使之得以解决。
求点到面的距离方法多而且灵活，可以根据定义从改点作平面的 垂线，有时直接利用已知点求距离比较困难，我们可以把点到平面的距离转化到其它点到面的距离或用空间向量法、或利用三棱锥等体积法等。下面通过几道例题介绍常用的点到面的距离求法： 1、 利用定义作垂线，解三角形。 例1， 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD
-中,点P 在棱1CC 上，且
1CC =4CP
,求点P 到平面1ABD 的距离。
解: ∵!DC //AB ,∴平面1ABD 与平面D ABC 1是一个平面，∴点P 到平面11D ABC 的距离即为所求。过点P 作PM ⊥!BC 于M ，∵AB ⊥面
C C BB 11,PM ?面C
C BB 11,∴AB ⊥PM 。AB
1C B ?=B ，
1
C 1
D 1
A P
M
D A
B
C
1
B ，
∴PM ⊥1!D ABC ，∴PM 就是所求的距离，又∵
!
45
=∠BCC
，
4
3!=
P C ,在
PM
C R t !?中，
8
23432
245
10
=?
=
?=
PM P
C PM Sin .
2、 转化成其它点到面的距离：
2
C
A
A
、向量法：
例3、 在棱长为1的正方体1
111D C B A ABCD
-中,点E, F 分别是
11,D A BC 的中点，求点A
到平面
EDF
B 1的距离。∥⊥
解: 建系，如图,设点A 到平面
EDF
B 1的距离为 d , 平面
EDF
B 1的法
向量 =(x,y,z),则：
AB →?，
y
n →
)1,2
1,0(),0,2
1,1(=→-=→DF
DE
∵
解得=（1,2，-1）∴
=
4、利用三棱锥等体积法：
点P到平面BQD的距离。
解：设点Ｐ与点Ａ到平面ＢＤＱ距离为h。
B
,
0=
→
?
→
=
→
?
→
n
DF
n
DE
n
→
n
n
A
d
→
→
→
=
?
D
3
6
A
C
P
PBC
A
ABC
P
V
V
-
-
=
求异面直线间距离的几种常用方法
求异面直线间距离的几种常用方法 1 辅助平面法 (1)线面垂直法，用于两条异面直线互相垂直情况．若已知两条异面直线互相垂直，那么可以寻找一个辅助平面，使它过其中一条直线且垂直于另一条直线，在辅助平面上，过垂足引前一条直线的垂线，就得到这两条异面直线的公垂线，并求其长度． 例1 如图1所示正三棱锥V－ABC的底面边长为a，侧棱为b，求AB与VC的距离． 解：在正三棱锥V－ABC中，△AVC≌△BVC，作BE⊥VC，连AE，则AE⊥VC，且AE ＝BE， ∴VC⊥平面AEB ∴VC⊥AB 取AB中点D，连DE，则DE⊥AB，又VC⊥DE． ∴DE是异面直线AB与VC的公垂线． 分析：这样求异面直线间距离就化为平面几何中求点到直线的距离了． 作VF⊥BC，则有
(2)线面平行法，用于一般情况．其用法为：过其中一条直线作与另一条直线平行的平面，这样可把求异面直线间的距离转化为求点到面的距离． 例2 如图2所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BB1＝a，BC＝b，试求异面直线AB与A1C之间的距离． 解：∵AB∥A B，∴AB∥平面A B C，于是AB与平面A B C间的距离即为异面 直线AB与A C之间的距离． (3)面面平行法，求两异面直线的距离，除了上面(2)介绍的转化为线面的距离外，还可以转化为面面的距离，即作两平行的辅助平面，分别过其中的一条，两平行平面间的距离就为此两异面直线的距离． 例3 如图3所示，夹在两平行平面α和β间的异面直线AB、CD，在平面β的射影分别是12cm和2cm，它们与平面β的交角之差是45°，求AC与BD之间的距离．
点到平面的距离的几种求法 高中数学 高考 立体几何教学内容
点到平面的距离的几种求法 求‘点到平面的距离’是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》(必修本)中的概念、习题，概括出求‘点到平面的距离’的几种基本方法． 例：已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离． 一、直接通过该点求点到平面的距离 １．直接作出所求之距离，求其长． 解法1．如图1，为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结GM，作BN⊥BC，交GM于N，则有BN∥CG，BN⊥平面ABCD．作BP⊥EM，交EM于P，易证平面BPN⊥平面EFG．作BQ⊥PN，垂足为Q，则BQ⊥平面EFG．于是BQ是点B到平面EFG 的距离．易知BN＝，BP＝，PZ＝，由BQ·PN＝PB·BN，得BQ ＝． 图1 图2 ２．不直接作出所求之距离，间接求之． （１）利用二面角的平面角． 课本Ｐ．４２第4题，Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2，二面角Ｍ-ＣＤ-Ｎ的大小为α，Ａ∈Ｍ，ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝ａ，点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ，则有ｄ＝ａｓｉｎα．① ①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角． 解法2．如图3，过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知ＢＰ＝，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ，易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝４，ＡＨ＝，∴ＣＨ＝３，ＧＨ＝，ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝２/，于是由①得所求之距离ｄ＝ＢＰ·ｓ ｉｎ∠ＧＨＣ＝·＝．解略．
面间距的计算
面间距的计算 该文主要探讨三个方面的问题： 1 面指数为（123h h h ）的晶面族的面间距的计算 2 密勒指数指数为（h k l ）的晶面族的面间距的计算 3 复式格子中指定的两族相互平行的晶面之间面间距的多值性分析 第一个问题的分析 同老师课堂上所讲，正格子中的一族晶面（123 h h h ）与一个倒格矢点 123112233h h h K h b h b h b =++ 相对应；正格子中的一族晶面（123h h h ） 与倒格矢 1 2 311 22 33h h h K h b h b h b =++ 正交；并且正格子（123h h h ）晶面系的面间距为123 123 2h h h h h h d K π=。 第二个问题的分析 首先明确密勒指数与面指数的区别。两者均可以用来标志不同族的晶面，且标志方法相 同。即取定原点和坐标轴，找出晶面族中任一晶面在轴矢上的截距，截距取倒数，再化为互质的整数。两者的区别在于表示晶面时的参考坐标系不同，即选取坐标轴的基矢不同：面指数取原胞的基矢方向为坐标轴的方向，密勒指数取晶胞的基矢方向为坐标轴的方向。原胞是晶体的最小重复单元，而晶胞则是对称性较高的单元，通常比原胞大。同一个晶面，参考坐标系不同，面指数与密勒指数一般不相同。例如对于面心立方晶格，密勒指数为（100）和（001）的面，其面指数分别为（101）和（110）。相同的指数，不同的参考坐标系，晶面一般不同，面间距也有差别。 对于简单格子，它的晶胞即原胞，所以密勒指数（h k l ）的晶面族的面间距的计算即面指数（h k l ）的晶面族的面间距计算，此时可用公式2hkl hkl d K π= 来计算。 然而对于非简单格子（即体心，面心，底心格子），晶胞除顶角位置（可设想为基元的位置）有原子外，非顶角的面心（体心，底心）还有原子。所有原子的位置不能全用 R h a k b lc =++ （h, k, l 取整数）去概括。这样再用公式2hkl hkl d K π=来计算就会出现问题。 从图一可以很清楚地说明这个问题。 如果晶体是简立方晶体，则在一个立方体内(即在一个晶胞内)只能画出一个（110）面ABCD ， 这时的面间距为 110 2a K π=个（110）晶面A ’B ’C ’D ’和A ”B ”C ”D ”，这时其面间距仅是前者的1/2 ，即/a
点面距离的几种求法
点面距离的几种求法 距离的计算是历年高考的重点与热点，求距离问题可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点。而点到平面的距离是是距离问题中的重中之重，线到面的距离及面到面的距离都转化为点到面的距离，线面角、二面角，多面体的体积等都可以借助点面距离使之得以解决。 求点到面的距离方法多而且灵活，可以根据定义从改点作平面的 垂线，有时直接利用已知点求距离比较困难，我们可以把点到平面的距离转化到其它点到面的距离或用空间向量法、或利用三棱锥等体积法等。下面通过几道例题介绍常用的点到面的距离求法： 1、 利用定义作垂线，解三角形。 例1， 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,点P 在棱1CC 上，且 1CC =4CP ,求点P 到平面1ABD 的距离。 解: ∵!DC //AB ,∴平面1ABD 与平面D ABC 1是一个平面，∴点P 到平面11D ABC 的距离即为所求。过点P 作PM ⊥!BC 于M ，∵AB ⊥面 C C BB 11,PM ?面C C BB 11,∴AB ⊥PM 。AB 1C B ?=B ， 1 C 1 D 1 A P M D A B C 1 B ，
∴PM ⊥1!D ABC ，∴PM 就是所求的距离，又∵ 0!45=∠BCC ，4 3!= P C ,在PM C R t !?中， 8 2 343224510= ?=?= PM P C PM Sin . 2、 转化成其它点到面的距离： 2 C A A
、向量法： 例3、 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,点E, F 分别是 11,D A BC 的中点，求点A 到平面EDF B 1的距离。∥⊥ 解: 建系，如图,设点A 到平面EDF B 1的距离为 d , 平面EDF B 1的法 向量 =(x,y,z),则： AB → →?， y n → )1,2 1,0(),0,2 1,1(=→-=→DF DE
点到平面的距离的几种求法_人教版
点到平面的距离的几种求法 2 基本概念 从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段.其实点到平面的距离就是这点到平面的垂线段长. 例：（如图1）若PA ⊥α于A ，则P 点到平面α的距离就是线段PA 的长． 点到平面的距离有如下三条性质： (1)存在性 对于任意一个平面和这个平面外任意一点 都存在着距离. (2)唯一性 一个平面和平面外一点间的距离是唯一的. (3)最小性 平面外一点的距离是这点到这个平面内任意一点的连接线段长度的最小值. 3 例题求解 已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、Ａ Ｄ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B 到平面ＥＦＧ的距离. 3.1 直接用定义求点到平面的距离 3.1.1 直接作出所求距离求其长 解法一：（如图2）为了作出点B 到平面EFG 的距离，延长FE 交CB 的延长线于Ｍ， 连 结GM ，作ＢＮ⊥ＢＣ，交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ ∴ＢＮ⊥平面ABCD ∴ＢＮ⊥ＥＭ 作ＢＰ⊥ＥＭ，交EM 于P ∴平面ＢＰＮ⊥平面EFG 作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ ∴ＢＱ⊥平面ＥＦＧ ∴ＢＱ是点Ｂ到平面EFG 的距离 易求出ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝ 2， 32222=+=BN BP PN 在PBN Rt ?中 BN PB BQ PN ?=? 11112=∴BQ 图 1
3.1.2 不直接作出所求距离间接求之 (1) 利用二面角的平面角 引理1：（如图3）若二面角N CD M --的大小为α，M A ∈，CD AB ⊥，a AB =点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ， 则有 αsin a d = （1） 其中的α也就是二面角的大小，而并不强 求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角. 解法二：（如图4）过点Ｂ作EF BP ⊥，交ＦＥ的延长线 于Ｐ，易知 2=BP ，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ 的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ 易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角． ∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝24，ＡＨ＝2， ∴ ＣＨ＝23 ，ＧＨ＝22 ∴ 222 sin =∠GHC ， 于是由（1）得所求之距离 11112222 2sin =?=∠?=GHC BP d (2) 利用斜线和平面所成的角 引理2 （如图5）OP 为平面α的一条斜线，OP A ∈，l OA =，OP 与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则有 θsin l d = （2） 注：经过OP 与α垂直的平面与α相交，交线 与OP 所成的锐角就是θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结OB 得θ． 解法三：（如图6），设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作 GM BR ⊥，Ｒ为垂足． 图3 图 4 图 5
“点面距离”的常用解法(文科)
“点面距离”常见求法（文科） ------南安新营中学李志参 背景: 在学生全面复习点、线、面的关系下讲，也是其它距离的基础，求点到平面的距离是立体几何教学中一个非常重要的基本问题，也是近几年文科高考的热点、难点。 教学目标：掌握点面距离常见求法 教学重、难点：点面距离的定义，求点面距离几种常见方法的综合运用 教学过程： 一：复习求点面距离常见求法 1：直接法（本质特征是证线面垂直，步骤是：找------证------求） 2：间接法（1）线面法 （2）等体积法（3）比例法 （4）面面法 二：典例分析 已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AC 与EF 交于H ，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，GC=2，求 （1）点E 到平面CHG 的距离（2）点O 到平面 EFG 的距离. （3）点B 到平面EFG 的距离 .（4）点A 到平面EFG 的距离. 解： （1） 直接法：证EH ⊥平面CHG 即可，∴EH 为 点E 到平面CHG 的距离，易求EH=2 （2） 直接法：∵ EG=FG ， ∴ GH ⊥EF. 又ABCD 是正方形，故BD ⊥AC ，从而EF ⊥AC. 所以EF ⊥平面GHO. 在平面GHO 内，过点O 作OK ⊥GH 于点K ，则由EF ⊥平面GHO 得EF ⊥OK ，从而OK ⊥平面EFG ， ∴OK 为点O 至平面E FG 的距离 在△GHO 中，OH ×GC=GH ×OK ， 得即点O 到平面EFG 的距离为 （3） 解法1：（线面法） ∵ EF ∥BD ， ∴ BD ∥平面EFG ， ∴ 点B 到平面EFG 的距离等于点O 到平面EFG 的距离，由上知为 解法2：（等体积法） 设四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AC 与EF 交于H ，则H 是EF 的中点. C G B D E F H O
等体积法求点到平面距离
等体积法求点到平面距离 用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要求的垂线段置于一个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平面上，这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。先用简单的方法求出四面体的体积，然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式 1 3 V Sh =求出点到平面的距离h 。在常规方法不能轻松获得结果的情况下，如果能用 到等体积法，则可以很大程度上提高解题效率，达到事半功倍的效果。特别是遇到四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时，首选此方法。下面用等体积法求解例子. 例：所示的正方体ABCD A B C D ''''- 棱长为a ，求点A '到平面ABD ''的距离 解法(等体积法):如图所示，作AH '垂直于平面ABD ''于点H ，则AH '长度为所求。对于四面体AABD '''，易见底面ABD ''的高为AH '，底面ABD '''的高为AA '。对四面体AABD '''的体积而言有： A A B D A AB D V V ''''''--= 即有: 1133A B D AB D AA S A H S '''''??''?=?，也即: A B D AB D AA S A H S ''' ?'' ?'?'= 由AB B D D A ''''===，从而ABD ''?为正三角形，060AB D ''∠=，进而可求得 202 11sin )sin60222 AB D S AB AD AB D a ''?''''= ?∠==
又易计算得到Rt A B D '''?的面积为212 A B D S a '''?= 所以2 13A B D AB D a a AA S A H a S ''' ?'' ??'?'= = 从上面的解答过程知道，我们在使用等体积法求点到平面距离时使用的点与平面间的垂线段只是概念上的，并不一定要知道点在平面射影的具体位置，从而也就不需要使用几何方法寻找或者求作垂线段，垂线段的长度在这种方法上只是作为几何体高的意义而存在的。 练习：1、如图所示，棱长均为a 的正三棱柱中，D 为AB 中点，连结 A 1D ，DC ，A 1C . (1) 求BC 1到面A 1DC 的距离． 2、如图所示，在三棱锥P －ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC .求点C 到平面APB 的距离． 3、如图，在长方体1111ABCD ABC D -，中，11 ,2AD AA AB ===，E 为AB 的中点，求
高中数学总结归纳 点面距离的几种求法
1 点面距离的几种求法 立体几何中的距离种类很多,最常见的也是最重要的当数点面距离.这里就对点面距离的求法进行一些探讨,供同学们参考. 一、直接法:即直接由点向面作垂线,求出垂线段的长度. 例1 如图1,PA 垂直于边长为4的正方形ABCD 所在的平面 求点A 到平面PBD 的距离. 解析:连结AC 、BD 交于点O,连结PO,则AC ⊥BD.又PA ⊥面则PA ⊥BD,BD ⊥面PAO.过A 作AH ⊥PO 于H,则BD ⊥AH,AH ⊥面即AH 就是点A 到平面PBD 的距离.在Rt △PAO 中,PA=3,AO=22,则 PO=17,∴ AH=1734 617 223= ?=?PO AO PA ,即点A 到平面PBD 的距离为17346. 二、间接法:即直接求解相对困难时,可采用间接转化的办法. 例2 如图2,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,求点A 1到面AB 1D 1的距离. 解析: ∵AB 1=B 1D 1=AD 1=2a , ∴= ?11D AB S 2 22 3)2(43a a =?. 由1111 11D AB A B AA D V V --=,易得 A 1到面A B 1D 1a 3 3 . 例3 如图3,已知斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面AA 1C 1C ABC 垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=23,且AA 1⊥A 1C,AA 1=A 1C. (1)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小; (2)求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小;
2 (3)求CC 1到侧面A 1ABB 1的距离. 解析:(1)问,(2)问解析略.(3)问因为CC 1∥面A 1ABB 1 ,所以CC 1到面A 1ABB 1的距离就等于点C 到面A 1ABB 1的距离.由B AA C ABC A V V 11--=,可得点C 到面A 1 ABB 1 的距离为 3,所以CC 1到侧面A 1ABB 1的距离为3. 总之,我们在求点面距离时,一方面注意能否直接求解,另一方面多从转化入手,增强转化意识,问题就一定能迎刃而解.
点到平面的距离的几种求法
点到平面的距离的几种求法 求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点.本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》（必修本）中的概念、习题，概括岀求点到平面的距离 的几种基本方法. 例已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AE、AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离. 一、直接通过该点求点到平面的距离 1 ?直接作岀所求之距离，求其长. 解法1.如图1,为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交CB的延长线于M, 连结GM,作 BN丄BC，交GM于N，则有BN//CG，BN丄平面ABCD .作BPXEM，交EM于P，易证平面BPN丄平面EFG .作BQXPN，垂足为Q,则BQ丄平面EFG .于 是BQ是点B到平面EFG r- 4BP2 BN2 =— 的距离?易知BN=2 / 3，BP=.l，PN= 二，由BQ?PN=PB?BN， 得BQ= …. 图1 图2 2 ?不直接作岀所求之距离，间接求之. （1）利用二面角的平面角. 课本P. 42第4题，P. 46第2题、第4题给岀了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”.如图2,二面角M - CD - N的大小为a，A€M, AB丄CD，AB=a，点A到平面N的距离AO=d, 则有d=asin a. ① ①中的a也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过AB的二面角的平面角. 解法2.如图3,过B作BP丄EF，交FE的延长线于P,易知BP= 亞，这就是点B到二面角 C - EF-G的棱EF的距离.连结AC交EF于H,连结GH,易证ZGHC就是二面角C -EF - G的平 面角.T GC=2,A求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考 的一个热点.本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》（必修本）中的概念、习题， 概括岀求点到平面的距离的几种基本方法. 例已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离. 一、直接通过该点求点到平面的距离 1 ?直接作岀所求之距离，求其长. 解法1.如图1,为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交CB的延长线于M, 连结GM,作 BN丄BC，交GM于N,则有BN//CG,BN丄平面ABCD .作BP丄EM，交EM于P,易证平
点面距离的几种求法
点面距离的几种求法 距离的计算是历年高考的重点与热点，求距离问题可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点。而点到平面的距离是是距离问题中的重中之重，线到面的距离及面到面的距离都转化为点到面的距离，线面角、二面角，多面体的体积等都可以借助点面距离使之得以解决。 求点到面的距离方法多而且灵活，可以根据定义从改点作平面的垂线，有时直接利用已知点求距离比较困难，我们可以把点到平面的距离转化到其它点到面的距离或用空间向量法、 或利用三棱锥等体积 法等。下面通过几道例题介绍常用的点到面的距离求法：1、 利用定义作垂线，解三角形。 例1，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD 中,点P 在棱1CC 上，且 1CC =4CP ,求点P 到平面1ABD 的距离。 解: ∵!DC //AB ,∴平面1ABD 与平 面D ABC 1是一个平面，∴点P 到平面11D ABC 的距离即为所求。过点 P 作PM ⊥!BC 于M ，∵AB ⊥面 C C BB 11,PM 面C C BB 11,∴AB ⊥PM 。AB 1C B =B ， 1 C 1 D 1 A P M D A B C 1 B ，
∴PM ⊥1!D ABC ，∴PM 就是所求的距离，又∵ !45 BCC ， 4 3!P C ,在 PM C R t !中， 8 2 34 32 245 10 PM P C PM Sin . 2、转化成其它点到面的距离： 2 B D C B C B C A A A
.a 4 33、向量法： （其中，为平面α的法向量） 例3、在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD 中,点E, F 分别是 11,D A BC 的中点，求点A 到平面EDF B 1的距离。∥⊥解: 建系，如图,设点A 到平面EDF B 1的距离为 d , 平面EDF B 1的法向量 =(x,y,z),则：A C D 1 A 1 D E F n n n AB d ， B x y z 1 B 1 C n )1,2 1 ,0(),0,21, 1(DF DE
计算点面距离的方法
九。计算点面距离的方法 1。在棱长为a的正方体中,E、F分别为 棱AB和BC的中点,G为上底面的中心. (I)求AD与BG所成角的余弦值; 求二面角的大小; 求点D到平面的距离. 2。已知四棱锥中,底面ABCD是矩形,平面 ABCD,,,E、F分别是AB、PD的中点. (1)求证:平面PEC; (2)求二面角的大小. 九。计算点面距离的方法 1。答案 解:建立如图所示的空间直角坐标系. 则 ,,,,,
,, (I),, 令AD与BG所成角为, . 与BG所成角的余弦值为. 设平面的法向量为. , 则,. 取,则,. 可取, 显然平面可取平面的法向量 ,.所求二面角的大小为. 由已求平面的法向量,又 .
点D到平面的距离. 点D到平面的距离为a. 解析 (I)以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,分别求出AD与BG 的方向向量,代入向量夹角公式,即可求出AD与BG所成角的余弦值; (II)分别求出平面的法向量和平面的法向量,代入向量夹角 公式,即可求出二面角的大小; 由中结论,平面的法向量,又由 .代入,即可求出点D到平面的距离. 本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角,异面直线及其所成的角,点到平面之间的距离,其中(I)的关键是求出AD与BG的方向向量,的关 键是求出平面的法向量和平面的法向量,的关键是求 出平面的法向量,及D与平面任一点连线 的方向向量,如. 2。解法一:(1)证明:取PC的中点O,连结OF、OE. ,且,.又是AB的中点,且 , .四边形AEOF是平行四边形,(5分) 又平面PEC,平面PEC, 平面(7分)
(2)解:作,交CE延长线于M,连结PM. 由三垂线定理,得. 是二面角的平面角.(11分) 由,可得. . 二面角的大小为(14分) 解法二:以A为原点,如图建立直角坐标系.则 ,,,,,, ,.(2分) (1)证明:取PC的中点O,连结OE.则 ,(5分) 又平面PEC,平面PEC,平面(7分) (2)解:设平面PEC的法向量为. . 由,可得 令,则(11分) 由题意可得平面ABCD的法向量是.
求异面直线的距离的各种方法
异面直线的距离 确定和计算两条异面直线间的距离，关键在于实现两个转化： 一是转化为一条异面直线和另一条异面直线所在而与它平行的平面之间的距离； 二是转化为两条异面直线分别所在的两个平行平面之间的距离。 1．直接法 根据定义，找出或作出异面直线的公垂线段，再计算此公垂线段的长。 例：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长为b(b＞a)． 求：底面对角线AC与侧棱SB间的距离． 解：作SO⊥面ABCD于O，则点O是正方形ABCD的中心． ∵SO⊥AC，BO⊥AC， ∴AC⊥面SOB． 在△SOB中，作OH⊥SB于H①， 根据①、②可知OH是AC与SB的距离． ∵OH·SB＝SO·OB，
2．转化法 把所求的异面直线间的距离转化为线面间的距离或转化为面面间的距离． 例：在等边圆锥(轴截面为等边三角形的圆锥叫做等边圆锥)S-ABC中，母线长为a，底面圆的直径为AC，∠CAB＝60°． 求：异面直线SA与BC的距离． 解：如图L2-17，易知SA与BC不垂直，可考虑过SA作一个平面与BC平行，转化为求直线与平面间的距离． 作AD∥BC交底面圆⊙O于D点．∵BC∥AD，∴BC∥平面SAD，取AD、BC的中点E、F，则平面ADS⊥平面SEF，过F点作FH⊥SE于H，则FH⊥ 平面SAD． 所以FH为直线BC与平面SAD间的距离，也就是异面直线SA与BC 的距离． 在△SEF中，由FH·SE＝EF·SO，
3．等积法 不用作出异面直线间的距离，利用同一个几何体的体积为定值，布列方程来求异面直线间的距离．例如上面的例2，在求SA与BC间的距离时，我们转化为求平行的BC与平面SAD间的距离，可由同一个三棱锥换取不同的底面来计算． 设BC与平面SAD间的距离为d，则以B为顶点，△SAD为底面的三棱锥的体积为 而以S为顶点，△ABD为底面的三棱锥的体积为 4．极值法
异面直线距离的四种解法
异面直线距离的四种解法 问题： 高中数学第二册下（B）第51页 4.已知正方体的棱长为1，求直线DA1与AC的距离。 分析：立体几何中包含点面、线面、面面和异面直线四种距离，其中点面距离是基础，异面直线距离是难点，但又常利用线面转化为点面。在教学大纲和考试大纲中，对于异面直线的距离，只要求会计算出给出的线或在坐标表示下的距离。此题恰为公垂线未知，宜采用转化的方法或坐标法，试述四种方法如下： 由课本P50知，两条异面直线的距离，等于其中一条直线（）到过另一条直线（）且与这条直线（）平行的平面的距离，可得两种转化： 一、转化为点面距离，利用三角形求解： 解：如图连结A1C1，则AC//面A1C1D连A1D,DC1,DO1过O作OE⊥O1D于E 因为：A1C1⊥B1B1D1D1 又OE⊥O1D 所以OE⊥面A1C1D 因此OE即为直线DA1与AC的距离，在Rt△OO1D在中求得OE= 3 3 二、转化为三棱锥的高，利用等体积求解。 解:如图连结A1C1,DC1,则AC//面A1C1D 因此三棱锥A-A1C1D高h即为直线DA1与AC的距离 V A-A1C1D=V C1-AA1D=1 3S△AA1D×C1D1 得h= 3 3 极易建立空间直角坐标系，运用向量代数推动十分方便 三、与异面直线均垂直求法向量，经连两点求距离 解：建立如图坐标系: 则：A（0,0,0）A1(1,0,1) B(1,0,1) C(0,1,0 ) 设DA1,AC确立的平面的向量为n=(X,Y ,Z) 则: 直线DA1与AC的距离d= 四、垂直相交求的垂线，距离公式求距离 解：设MN为DA1与AC的垂线，其中M在DA1上，N在AC上
邻井法面距离计算方法的改进
邻井法面距离计算方法的改进 夏泊洢 (中国石油长城钻探公司工程技术研究院,辽宁 盘锦 124010) 摘要：当邻井井段的两个端点都位于比较井某个计算点的法面之同侧时，现有的邻井法面距离扫描算法对于法面与邻井井段的交点的位置判断是不完善的，容易造成错误的判断，影响法面距离计算的可靠性。利用矢量代数工具推导出了法面与邻井上稳斜井段和圆弧井段的交点的解析计算公式，避开了原有算法中利用与端点坐标参数有关的一个不等式对法面与交点的位置关系的判断。对于其他曲线类型的比较井段，当井段端点位于法面同侧时，利用法面法矢量与比较井段切线夹角的连续单调性，使用数值迭代法能够求出比较井段与平行于法面的某个斜平面的切点(如果存在交点)，进而使用二分法求出法面与比较井段的两个交点。使用以上改进方法开发的邻井防碰扫描计算机软件增加了法面距离计算的可靠性。 关键词：法面距离；井眼轨道；轨迹监控；钻井设计；防碰扫描 作者简介：夏泊洢，男，1985年5月生。2008年毕业于中国石油大学(北京)计算机科学与技术专业，助理工程师，从事钻井工程计算及钻井软件研发等工作。 项目基金：本项研究受国家科技重大专项“大型油气田及煤层气开发”之课题21-6“钻井工程设计和工艺软件”(编号:2008ZX05021-006)和中国石油长城钻探工程有限公司科技开发项目“钻井数据管理系统配套与应用”(编号:2010A11)的资助。 Perfection of Calculating Normal Plane Distance between Wells XIA Bo-yi (Engineering & Technology Research Institute of Great Wall Drilling Corporation of PetroChina; Panjin Liaoning 124010) Key Words：normal plane distance；trajectory；drilling monitoring；drilling design；anti-collision scanning 在定向井、水平井的实钻监控过程中，法面距离是 衡量实钻井眼轨迹与设计轨迹之间的偏差的一个重要 依据。在丛式井防碰方面，法面距离也可以用来度量邻 井之间的接近程度。 1 XYZ O 法面距离的计算原理[1,2]比较简单：求基准井上某点(计算点)的法平面与比较井的交点，这两个交点之间的距离就是法面距离。法面距离扫描计算[3-6]主要包括两个步骤：(1)判断法面与比较井的交点所在的井段； (2)使用解析法或数值迭代法计算交点。 判断交点所在比较井段依据一个不等式判据，当将比较井段两个端点坐标值代入计算点的法面方程时，如果异号，则认为交点在该井段上。然而这个判别方法是不准确的，它隐含着假设比较井与基准井的走向相近，在考察实钻井与设计井之间的偏差情况时比较合适；但是在丛式井防碰扫描时，由于可能会出现两井轨迹接近垂直的情况，这时的法面距离计算会出现异常。 本文提出一种严密的数学方法，能够在任何情况下都能准确地判断出法面与比较井的交点的位置关系。 约定：除非特别指明，具有长度量纲的参数其单位为m，角度的单位为弧度(rad)。 1 法面方程 以基准井的井口为坐标原点建立整体坐标系?，X轴指向正北方向，Y轴指向正东方向，Z 轴垂直向下，形成右手坐标系。 井眼轨迹上任一点的井身参数包括：井深L，井斜角α，方位角?，北坐标X，东坐标Y，垂深Z。 井眼轨迹在该点的切线方向矢量为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = α ? α ? α cos sin sin cos sin n m l t 主法线方向矢量(即法面的法矢量)为：
异面直线间的距离(高中全部8种方法详细例题)
异面直线间的距离(高中全部8种方法详细例题) 百度文库中可以查到。 求异面直线之间距离的常用策略：求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。 常用方法有： 1、定义法 2、垂直平面法（转化为线面距） 3、转化为面面距 4、代数求极值法 5、公式法 6、射影法 7、向量法 8、等积法 1. 定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。 例1 已知：边长a为的两个正方形ABCD和CDEF成1200的二面角，求异面直线CD与AE间的距离。思路分析：由四边形ABCD 和CDEF是正方形，得 CD⊥AD，CD⊥DE，即CD⊥平面ADE，过D作DH⊥AE于H，可得DH⊥AE，DH⊥CD，所以DH是异面直线AE、CD的
公垂线。在⊿ADE中，∠ADE=1200 ，AD=DE=a，DH= 2 a。即异面直线CD与AE间的距离为 2 a。 2 .垂直平面法：转化为线面距离，若a、b是两条异面直线，过b上一点A作a的平行线a/，记a/与b确定的平面α。从而，异面直线a、b间的距离等于线面a、α间的距离。 例1 如图，BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d，求两条异面直线BF、AE间的距离。 思路分析：BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d，在平面Q内，过B作BH‖AE，将异面直线BF、AE间的距离转化为AE与平面BCD间的距离，即为A 到平面BCD间的距离，又因二面角P-AB-Q是直二面角，过A作 AC ⊥AB交BF于C，即AC⊥平面ABD，过A作AD⊥BD交于D，连结CD。设A到平面BCD的距离为h。由体积法VA-BCD=VC-ABD，得 h= 3.转化为面面距离若a、b是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a∈α、b∈β。求a、b两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离。 例3已知：三棱锥S-ABC中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，求异面直线AS与BC的距离。 思路分析：这是一不易直接求解的几何题，把它补成一个易求解的几何体的典型例子，常常有时还常把残缺形体补成完整形体；不规则形体补成规则形体；不熟悉形体补成熟悉形体等。所以，把三棱锥
立体几何的向量法(三)——求面面角与距离
，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面 组成.二面角的大小的取值范围是。二面角的大小用它的平面角来度量 2、二面角的平面角 (1)定义: 大小等于n,，n2夹角或其补角。 注意：最终的取值，要结合图形来判断。若图形中二面角为锐角或钝角，求出 来法向量所成的角也为锐角或钝角，则相等；若图形中二面角为锐角或钝角，求 出来法向量所成的角也为钝角或锐角，贝ffi则互补。 二、问题探究 1:在长方体ABCD —A i B i C i D i中，已知AB= 4, AD =3, AA i= 2. E是线段AB上的点，且 EB=1. (1)求直线CC,与平面C j DE所成角的正弦值; 学校年级学科 主备审核＞课人—授课时间 课题：立体几何的向量法(三)一一求面面角 【学习目标】 1、能理解面面角的向量公式 2、能在不同图形中用向量法求面面角 【学习过程】 一、自学理解 审核 导学案 姓名 新课课时：二 班级小组 (教师“复 备”栏或学生 笔记栏) 1 、 面角：从一条直线出发的两个所组成的图形叫做二面角.这条直 提示: (2)求二面角C—DE —C i的正切值。 A i C i B 线叫做二面角的 3 .求解方法： (1)几何法：在棱上 任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成 的角就是二面角的平面角或自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两 条射线所成的角就是二面角的平面角。 已知二面角l ，先求出半平面的法向量n,,门2，则二面角 提示： 注意总结法向 量的求法： 即 =n 1,门2或;―1— n i 门 n, n2 L
2:在三棱锥D —ABC 中，DA 平面ABC，且AB=BC=AD=1 , ABC=90 0 求二面角A — CD —B的大小。 课后练习： 1、（2007 ?全国I理）四棱锥S—ABCD中,底面ABCD为平行四边形，侧面SBCI底面ABCD. 已知/ ABC= 45°, AB= 2, BC 2近,SA= SB= 73 . ⑴证明： ⑵求直线 A SAI BC; SD与平面SAB所成角的正弦值. 2. (2008 年浙江）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直, BE // CF , BCF CEF 90 , AD 五EF 2.
点到平面的距离的几种求法 人教版
点到平面的距离的几种求法 https://www.360docs.net/doc/f711031914.html, 云南会泽实验高中方强 摘要线面距离及面面距离通常都是转化为点面距离进行求解.异面直线的距离也常常须转化为线面距离，进而转化为点面距离求解.所以点面距离是学习其它空间距离的基础.弄清点到平面的距离的概念及理解一些相关定理是掌握点面距离的前提条件,在教学过程中让学生掌握点面距离与线面距离、面面距离之间的相互转化是教学的重点. 关键词点平面距离 Abstract The distance between a line and a plane or two planes is always turned into the distance btween a point and a plane to solve. The distance between two to lines which are in different planes is also need to be turend into the distance between line and planes,and then point and plane to solve.so the distance between point and plane is the basic of learning other kinds of space distance,Clarifying the conception of the distance between point and plane and understanding some relatice theoms of it are the supposition of mastering the distance between point and lane.During teaching process,it is the focal point to let students master the transform the transform of distances between point and plane ,line and plane , plane and plane. Key words point plane distance 1引言 立体几何中的距离是建立在弄清概念、恰当作图、严格论证的基础上的.空间中的距离有八种点与点、点到直线、点到平面、两平行直线、两异面直线、平行平面、平行于平面的直线与该平面、两点间的球面距离；其中点与点、点到直线、点到平面的距离是基础，而异面直线的距离、线面平行的距离一般均可通过化为点到平面的距离来求.这些知识点及处理能力均为高考的重要内容，因此熟练掌握求点到平面的距离的常用方法是立体几何中应重视的课题. 点到平面的距离的求法是研究得比较多的一个问题，也是一个很陈旧的问题，在国内外探索“点面距离求法”通常是建立在定义的基础之上.通过一些例题进而总结出一些基本方法. 2 基本概念 从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距
线面角的几种求法
线面角的三种求法 河北 王学会 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角。 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, B M H S C A 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5
点到平面距离的若干典型求法
点到平面距离的若干典型求法 目录 1.引言 (1) 2.预备知识 (1) 3.求点到平面距离的若干求法 (3) 3.1定义法求点到平面距离 (3) 3.2转化法求点到平面距离 (5) 3.3等体积法求点到平面距离 (7) 3.4利用二面角求点到平面距离 (8) 3.5向量法求点到平面距离 (9) 3.6最值法求点到平面距离 (11) 3.7公式法求点到平面距离 (13) 1．引言 求点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握难点问题之一。点到平面的距离的求解方法是多种多样的，本讲将着重介绍了几何方法（如体积法，二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）及常用数学思维方法（如转化法、最值法）等角度等七种较为典型的求解方法，以达到秒杀得分之功效。 2．预备知识 (1)正射影的定义:(如图1所示)从平面外一点P向平面α引垂线，垂足为P'，则点P'叫做点P在平面α上的正射影，简称为射影。同时把线段PP'叫作点P与平面α的垂线段。
图1 (2)点到平面距离定义:一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。 (3) 四面体的体积公式 13 V Sh = 其中V 表示四面体体积，S 、h 分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。 (4)直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 (5)三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。 (6)二面角及二面角大小:平面内的一条直线l 把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。图2所示为平面α与平面β所成的二面角，记作二面角l αβ--，其中l 为二面角的棱。如图在棱l 上任取一点O ，过点O 分别在平面α及平面β上作l 的垂线OA 、OB ，则把平面角AOB ∠叫作二面角l αβ--的平面角，AOB ∠的大小称为二面角l αβ--的大小。在很多时候为了简便叙述，也把AOB ∠称作α与平面β所成的二面角。 图2 (7)空间向量内积: 代数定义: 设两个向量111(,,)a x y z = ，222(,,)b x y z = ，则将两个向量对应分量的乘积之和 定义为向量a 与b 的内积，记作a b ，依定义有a b =121212x x y y z z ++