23无穷小量与无穷大量
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无穷大量与无穷小量
3. 若两个无穷小量在
x
2
sin
1 x
是同阶无穷小量.
U ( x0 ) 内满足:
f (x) L, g( x)
则记 f ( x) O( g( x)) ( x x0 ).
f ( x) 为 x x0 时的有界量时 , 我们记
f ( x) O(1) ( x x0 ) .
应当注意，若
f ( x) , g( x) 为 x x0 时的同阶无
U ( x0 ) 内，有
L f (x) M , g( x)
则称 f与( x) 是 g( x) x x0 时的同阶无穷小量.
根据函数极限的保号性，特别当
f (x)
lim
c0
xx0 g( x)
时，这两个无穷小量一定是同阶的.
例如: 当 x 0 时, 1 cos x 与 x2是同阶无穷小量;
当 x 0 时，x 与
x 0
x x 0 x 0 x
从几何上看，曲线
y
x sin
1 x
在
x 近0旁发生无
限密集的振动，其振幅被两条直线
y x 所限制.
y
0.1 y x
0.05
y x sin 1 x
-0.1 -0.05 O
0.05 0.1
x
-0.05 -0.1
y x
二、无穷小量阶的比较 、 、 两个相同类型的无穷小量，它们的和 差 积仍
一、无穷小量
定义1 设 f 在点x0 的某邻域 U ( x0 ) 内有定义，
若 lim f x 0, x x0
则称 f 为 x x0 时的无穷小量 .
若 f 在点 x0的某个空心邻域内有界，则称 f 为
x x0 时的有界量.
x
2
sin
1 x
是同阶无穷小量.
U ( x0 ) 内满足:
f (x) L, g( x)
则记 f ( x) O( g( x)) ( x x0 ).
f ( x) 为 x x0 时的有界量时 , 我们记
f ( x) O(1) ( x x0 ) .
应当注意，若
f ( x) , g( x) 为 x x0 时的同阶无
U ( x0 ) 内，有
L f (x) M , g( x)
则称 f与( x) 是 g( x) x x0 时的同阶无穷小量.
根据函数极限的保号性，特别当
f (x)
lim
c0
xx0 g( x)
时，这两个无穷小量一定是同阶的.
例如: 当 x 0 时, 1 cos x 与 x2是同阶无穷小量;
当 x 0 时，x 与
x 0
x x 0 x 0 x
从几何上看，曲线
y
x sin
1 x
在
x 近0旁发生无
限密集的振动，其振幅被两条直线
y x 所限制.
y
0.1 y x
0.05
y x sin 1 x
-0.1 -0.05 O
0.05 0.1
x
-0.05 -0.1
y x
二、无穷小量阶的比较 、 、 两个相同类型的无穷小量，它们的和 差 积仍
一、无穷小量
定义1 设 f 在点x0 的某邻域 U ( x0 ) 内有定义，
若 lim f x 0, x x0
则称 f 为 x x0 时的无穷小量 .
若 f 在点 x0的某个空心邻域内有界，则称 f 为
x x0 时的有界量.
高数第一节第四章 无穷大量和无穷小量
f ( x ) < − M , 我们可以得到正无穷大量或负无穷大量
-9-
第四节
无穷大量与无穷小量
的定义, 记为 lim f ( x ) = +∞ 或 lim f ( x ) = −∞ . 注意 1 无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
第一章 函数 极限 连续
2 切勿将 lim f ( x ) = ∞认为极限存在.
y = f ( x)
第一章 函数 极限 连续
例2 证
证明 lim e x = ∞ .
x →+∞
o
∀M > 0, 取 X = ln M , 当 x > X 时，恒有
x x X
x0
x
| e |= e > e = M , x e = ∞. 所以 xlim →+∞
无穷小与无穷大的关系 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒
第一章 函数 极限 连续
第四节
无穷大量与无穷小量
1 (2) 取 x0 = ( k = 0,1, 2, 3,L) 当k充分大时, xk < δ , 2kπ 但 y( xk ) = 2kπ sin 2kπ = 0 < M . 不是无穷大．
1 例1 证明 lim = ∞. x →1 x − 1 1 > M, 证 ∀ M > 0. 要使 x −1
第一章 函数 极限 连续
∃X 1 > 0, X 2 > 0, 使得 当 x > X 1时恒有 α < ; 2 ε 当 x > X 2时恒有 β < ; 取 X = max{ X 1 , X 2 }, 2 当 x > X 时,恒有 ε ε = ε, α±β ≤ α + β< + 2 2 ∴ α ± β → 0 ( x → ∞)
-9-
第四节
无穷大量与无穷小量
的定义, 记为 lim f ( x ) = +∞ 或 lim f ( x ) = −∞ . 注意 1 无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
第一章 函数 极限 连续
2 切勿将 lim f ( x ) = ∞认为极限存在.
y = f ( x)
第一章 函数 极限 连续
例2 证
证明 lim e x = ∞ .
x →+∞
o
∀M > 0, 取 X = ln M , 当 x > X 时，恒有
x x X
x0
x
| e |= e > e = M , x e = ∞. 所以 xlim →+∞
无穷小与无穷大的关系 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒
第一章 函数 极限 连续
第四节
无穷大量与无穷小量
1 (2) 取 x0 = ( k = 0,1, 2, 3,L) 当k充分大时, xk < δ , 2kπ 但 y( xk ) = 2kπ sin 2kπ = 0 < M . 不是无穷大．
1 例1 证明 lim = ∞. x →1 x − 1 1 > M, 证 ∀ M > 0. 要使 x −1
第一章 函数 极限 连续
∃X 1 > 0, X 2 > 0, 使得 当 x > X 1时恒有 α < ; 2 ε 当 x > X 2时恒有 β < ; 取 X = max{ X 1 , X 2 }, 2 当 x > X 时,恒有 ε ε = ε, α±β ≤ α + β< + 2 2 ∴ α ± β → 0 ( x → ∞)
(完整版)无穷小量与无穷大量
第周第学时教案授课教师：贾其鑫第周第学时教案授课教师：贾其鑫第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 1.3.2 无穷大量定义：1.13 如果在x 的某一变化过程中，1()y f x =是无穷小量，则在该变化过程中，()f x 为无穷大量，简称无穷大，记作：lim ()f x =∞ 如果在x 的某一变化过程中，对应的函数值的绝对值|f (x )|无限增大（函数）, 就称函数 f (x )为当x →x 0(或x →∞)时的无穷大. 记为∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ). 应注意的问题: 当x →x 0(或x →∞)时为无穷大的函数f (x ), 按函数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ). 讨论: 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大? 提示: ∞=→)(lim 0x f x x ⇔∀M >0, ∃δ>0, 当0<|x -0x |<δ时, 有|f (x )|>M .正无穷大与负无穷大:+∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x , -∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x . 例2 证明∞=-→11lim 1x x . 证 因为∀M >0, ∃M 1=δ, 当0<|x -1|<δ 时, 有 M x >-|11|, 所以∞=-→11lim 1x x . 提示: 要使M x x >-=-|1|1|11|, 只要M x 1|1|<-.第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 铅直渐近线:如果∞=→)(lim 0x f x x , 则称直线0x x =是函数y =f (x )的图形的铅直渐近线.例如, 直线x =1是函数11-=x y 的图形的铅直渐近线. 定理2 (无穷大与无穷小互为倒数关系)在自变量的同一变化过程中, 如果f (x )为无穷大,则)(1x f 为无穷小; 反之, 如果f (x )为无穷小, 且f (x )≠0, 则)(1x f 为无穷大.简要证明:如果0)(lim 0=→x f x x , 且f (x )≠0, 那么对于M 1=ε, ∃δ>0, 当0<|x -0x |<δ时,有M x f 1|)(|=<ε, 由于当0<|x -0x |<δ时, f (x )≠0, 从而 M x f >|)(1|, 所以)(1x f 为x →x 0时的无穷大. 如果∞=→)(lim 0x f x x , 那么对于ε1=M , ∃δ>0,当0<|x -0x |<δ时, 有ε1|)(|=>M x f , 即ε<|)(1|x f , 所以为x →x 时的无穷小. 简要证明:如果f (x )→0(x →x 0)且f (x )≠0, 则∀ε >0, ∃δ>0,当0<|x - x 0|<δ时, 有|f (x )|<ε , 即, 所以f (x )→∞(x →x 0). 如果f (x )→∞(x →x 0), 则∀M >0, ∃δ>0,当0<|x - x 0|<δ时,有|f (x )|>M , 即, 所以f (x )→0(x →x 0).1.3.3无穷小量的性质第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 性质1.1 有限个无穷小的和也是无穷小，性质1.2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小，性质1.3 常数与无穷小的乘积是无穷小，性质1.4 有限个无穷小的乘积也是无穷小。
无穷小量与无穷大量
证明Q g( x)( x a)是有界量 1 0, M 0, x : 0 x a 1 , g( x) M;又Q f ( x)( x a)是无穷
大， B 0,2 0,, f ( x) B; min1,2 0,
x : 0 x a , f ( x) g( x) f ( x) g( x) B M
B
B
x3
即
lilim a x ,(a 1) x
证明 B 0,解不等式 a x B, x loga B.
Q A loga B,x A,有a x B.
即
lim a x .
x
例3.证明 lim ln(1 x) . x1
证明 B 0,解不等式 ln(1 x) B, 1 x eB ,
Q eB ,x : 0 1 x ,有ln(1 x) B.
即
lim ln(1 x) .
x1
定义 设 f ( x)在点x0的某邻域 U o(a)内有定义， 若 f ( x) 在点 a的某个空心邻域内有界,则称 f ( x)( x a)为有界量.
类似地可以分别定义 f ( x)为 x x0 , x x0 , x , x , x
B f (x)
即
1 ( x a)是无穷大量.
f (x)
同法可证另一种情况.
例4
求
lim
x 1
x
2
4x 1 2x
3
.
解 lim( x 2 2x 3) 0, x1 又 lim(4x 1) 3 0, x1
商的法则不能用
lim x2 2x 3 0 0.
x1 4x 1
3
由无穷小与无穷大的关系,得
• 证明: lim f ( x) b lim( f ( x) b) 0
无穷小量与无穷大量的概念
又如：lim 2x
x
在x 时， 2x是无穷大量.
— 不是数，只是个记号， 是表示2x具有的一种变化趋势.
几点注意：
（2）无穷小量和无穷大量都与极限过程有关。
例如limln x 0 在x 1时ln x是无穷小量. x1
又 lim ln x x
在x 时ln x是无穷大量.
而：lim ln x lne 1 此时，ln x 既不是无穷大量，
lim ln x
x0
0 a 1 y loga x
lim ex
x
a 1
0 a 1 y ax
y ax
0 a 1 y loga x
几点注意：
（1）无穷小量与无穷大量都是变量，是函 数，而不是它的极限。
例如：lim ln x 0
x1
即：在x 1时 ln x是无穷小量. 0是无穷小量 ln x的极限。
第二章 第五、六讲 3.2.3（1）、无穷小量 3.2.3（2）、无穷大量
第二节 函数的极限
3.2.4、无穷小量
定义5:以零为极限的变量,称为无穷小量1x（在x 时） 为无穷小量，记为
1 x
o(1), (x
)
例(1)在
y arc cot x是无穷小量
x
例(2)在
y ex是无穷小量
x
3.2.5、无穷大量 定义6： 在某个极限过程中,绝对值无限变大的变量, 称为在此极限过程中的无穷大量（无穷大）。
记为lim f ( x) ,或f ( x)
注]又若f 0,则为f 若f 0,则为f
例如:
lim x3
x
lim 1 x0 x
xe
也不是无穷小量
几点注意：
无穷小量和无穷大量wuqiongdahewuqiongxia
•
f xogx
(4) 如果
lim
f g
xx ，则称f是比g低阶的无穷小量。
例如 lim xsinx2lim0
xsinx2与x 为同阶无穷小量。
时x 0
limtanxlimsinx 1 1， 所以，当 x 0 x x 0 x cosx
x 时0
tanx x
无穷小量的性质
•性质１ 有限个无穷小量的和也是无穷小量。 •性质２ 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。 •性质３ 常数乘以无穷小量仍是无穷小量。 •性质４ 有界函数乘以无穷小量仍是无穷小量。
例如 由性质4可得
cos x lim 0 x x
二、无穷大量
定义 若 x x0 时，函数 | f x |，则称函数f(x)
2、limxsin11 1、limsin x 0
x x
x x
填空题
x 为曲x 0 线y＝f(x)的垂直渐
三、无穷小量与无穷大量的关系
定理 如果当 x x0 或 x 时，f(x)为无穷大量, 则
为无 且
穷1小量；反之，如果当
f x
为无穷大f 量x。
0,则
时x ， f(xx)0为或 无x 穷 小量，
1
f x
说明 据此定理，关于无穷大的问题都可以转化无穷小来讨论。
第四节 无穷小量和无穷大量 一、无穷小量
定义 若 x x0或x时 ，函数 f x则称0函, 数 f(x)为 x x0 或x 时的无穷小量。
例如： limx20 ，函数 x2当x2 时为无穷小 x2
li m 1 0 ，函数 x x
1 当 x时为无穷小。
x
说明 除0以外任何很小的常数都不是无穷小量。
例11 求
第4讲无穷大量与无穷小量
2
故 | a | | f (x) | | a | 2
1 2 f (x) | a |
x U(x0,0 ) ,
即 x x0
时,
1 f (x)
有界 .
故 lim (x) 0 .
xx0 f (x)
有界量与无穷小量之积
注意：
(i) 一般说来,有界量的倒数不一定有界. 例如, f (x) = x, x(0, 1).
n .
例4
在某极限过程中,
无穷大量是否一定是无界量 ?
无界量是否一定是无穷大量 ?
例如, {xn}: 0, 2, 0, 4, , 0, 2n, 0,
,
xn
n
(1)n n 2
.
不论 N 取多么大, 当n N 时, 总有等于 0 的项使
| xn | M 不成立, 故当 n 时, {xn} 不是无穷大量. 但该数列是无界的.
n
xn
.
定义2 M 0, 若 0, 当0 | x x0 | 时, 有
| f (x) | M
成立, 则称 f (x) 为 x x0 时的无穷大量, 记为
lim f (x) 或
xx0
f (x) (x x0) .
无穷大量描述的是变量的变化趋势, 不是指一个很大的数.
类似地可以定义
不着不急一, 定看再个是例无题穷: 大量.
当
x
( 不妨设
| x | 1) 时, |
g(x) |
1 x2
1,
f1(x) x (x ) , f2(x) x3 (x ) ,
而
f1(x)
g(x)
x
1 x2
1 x
0
(x ) .
f2(x)
第三节无穷小和无穷大
例. 求 解:
tan x − sin x lim . 3 x→0 x
原式
x−x 原 = lim 3 式 x→0 x
= lim x⋅ 1 x2 2 x3
x→ x→0
说明 只有对所求极限式相乘或相除的因式才能用等价无穷小 量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代. 量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.
( x > X ) 的 x , 总有
( x →∞) 时为无穷大, 记作
( lim f (x) = ∞ )
x→∞
若在定义中将 ①式改为 则记作
x→x0 ( x→∞ )
( f (x) < −M ),
( lim f (x) = −∞)
概念：在某个变化过程中，绝对值无限增大的函数， 概念：在某个变化过程中，绝对值无限增大的函数，称为在此变 化过程中的无穷大量 非正常极限). 无穷大量.(非正常极限 化过程中的无穷大量 非正常极限
limsin x = 1.
x→
π
因此， 因此，它不是x → 时的无穷小量. 2
(3)关于有界量. 关于有界量 关于有界量
π
2
2.无穷小量的运算性质 无穷小量的运算性质
定理1. 定理 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
∀ε > 0,
当 当
时,有 时,有
取 δ = min{ δ1 , δ2 }, 则当 0 < x − x0 < δ 时, 有
注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 例如 当 但 所以 时, 不是无穷大 !
第四节 无穷大量与无穷小量
二、无穷小量与无穷大量阶的比较
1、无穷小量阶的比较
x2 = 0 lim , lim 3x = ∞ , lim sin x = 1 . 观察 x →0 3x x→0 x 2 x →0 x
两个无穷小比值的极限的各种不同情况, 反映了不 同的无穷小趋于零的“快慢”程度. 在x→0的过程中, x2比3x趋于零的速度快些, 反过来 3x比x2趋于零的速度慢些, 而sin x与x趋于零的速度相仿.
当k充分大时 , y( x k ) > M . ( k ′ = 0,1,2,3,⋯)
π y ( x k ) = 2 kπ + , 2 1 ( 2) 取 x k ′ = 2k ′π
无界， 无界，
当 k ′ 充分大时 , x k ′ < δ ,
但 y( x k ′ ) = 2k ′π sin 2k ′π = 0 < M .
•定理2(等价无穷小替换定理)
β β′ β′ 设α~α ′, β~ β ′, 且 lim 存在, 则 lim = lim . α α′ α′ β β β ′ α′ 证明 lim =lim ⋅ ⋅ α β ′ α′ α β β′ α′ β′ = lim ⋅ lim ⋅ lim =lim . β′ α′ α α′
不是无穷大． 不是无穷大．
一、 无穷小量与无穷大量
例2: 试从函数图形判断下列极限.
(1)
lim tanx,
x→
π
2
x→
lim+ tanx,
π
2
x→
lim− tanx,
π
2
(2)
(3)
x → +∞
lim e x ,
x → −∞
lim e x ,
2.4 无穷大量 无穷小量
sin x 3 arctanx x3 x 解 lim 2。 lim 2 x 0 x 0 1 1 cos x ( x2 )2 2 sin(ax) 练习 求极限 lim (b 0)。 x 0 tan( ) bx a 答案 b
7
2013年8月4日星期日
在代换时我们关注的不是自变量是否趋于零，而是保证
2
2013年8月4日星期日
3、比较
由无穷小量的性质，两个无穷小量的和、差、积仍是无 穷小量，但对两个无穷小量的商结果就复杂得多，例如当
x→1时f(x)=x-1、g(x)=x2-1、h(x)=(x-1)2都是无穷小量，但
f ( x) x 1 1 lim lim 2 ； x 1 g ( x ) x 1 x 1 2
则称x→x0时f(x)为无穷大量，记作
x x0
lim f ( x)
对x的其他变化趋势可类似定义。
10
2013年8月4日星期日
注 ①无穷大量是一个绝对值可以任意变大的变量, 而不
是一个很大的常量. 当ƒ(x)取正值无限增大(取负值绝对值无 限增大)时, 称为正无穷大量(负无穷大量)，记为
lim sin x sin x 1，但 lim 0。 x 0 x x x
③并非任意两个无穷小量都可以分阶；
1 1 如x 时无穷小量f ( x) 与g ( x) sin x无法比较。 x x
④阶的高低反映了无穷小量趋于零的速度。 高阶的较快，低阶的较慢；同阶的相当；等价的同步。
得出结果：对分子、分母分解因式，约去公因式直到代入时 分子、分母至少一个不为零为止。若分子、分母都不为零， 则得出非零极限值；若分子为零(分母不为零)，则函数为无 穷小量；若分母为零(分子不为零)，则函数为无穷大量。
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x 1
四、无穷小的比较
1 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x x2 2 lim 0, x 比3 x要快得多; 观 x0 3 x 察 各 lim sin x 1, sin x与x大致相同; 极 x0 x 限 1 2 x sin 1 0 x lim sin lim 不存在. 不可比. （ 型） 2 x 0 x0 x x 0
（1） 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
注意
：无穷多个无穷小的代数和未
必是无穷小.
1 例如, n 时, 是无穷小， n 1 1 1 但 lim ... 1不是无穷小 . n n n n
n个
（2） 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小. （3 ） 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
x x0 ( x )
如： lim
x 0
x 1
1 x
2
x
lim ( x 2 1)
lim ln( x 1)
x
lim ln(x 1)
注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
（2） 切 勿 将 lim f ( x ) 认 为 极 限 存 在 ;
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界 变量未必是无穷大.
x x0
1 1 例如, 当x 0时, y sin x x 是一个无界变量, 但不是无穷大.
(1) 取 x k 1 2k 2 ( k 0,1,2,3,)
1 1 sin x 1 cos x , lim lim lim 2 x 0 cos x x 0 2 x x 0 x
tan x sin x为x 的同阶无穷小 .
3
例２
解
ex 1 求 lim . x 0 x
令 e x 1 u, 即 x ln(1 u),
一、无穷小量 1、定义:
若在自变量 x 的某一变化过程中， 函数f (x)的极限为零， 则把函数 f (x) 称为在自变量的这一变化过 程中的无穷小量，简称无穷小。 即：极限为零的变量称为无穷小.
例如,
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小 .
x 0
1 lim 0, x x
例如 ,当x 0时, x, x , sin x 都是无穷小
2
lim( x sin x) 0
x0
lim x sin x 0
x 0
2
lim 5 x 0
x 0
2
例1、求下列极限
sin x 1. lim x x
1 解：因为 lim sin x 1 =0, 而 x x
即 sin x ~ x ( x 0).
当 x 0 时， sin x 与 x 是等价无穷小 ．
例1: 证明: 当x 0时, tan x sin x是x 3的同阶无穷小 .
解
tan x sin x lim x 0 x3
sin x sin x 1 sin x 1 cos x cos x lim( ) lim 2 3 x 0 cos x x 0 x x x
不是无穷大．
三、无穷小与无穷大的关系
定理2 在同一过程中,无穷大的倒数 为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数 为无穷大. 意义 关于无穷大的讨论,都可归
结为关于无穷小的讨论.
1 例 求 lim . x 1 x 1
解： lim( x 1) 0.
x 1
由无穷小与无穷大的倒数关系得
lim( x 1)
1 函数 是当x 时的无穷小 . x
n ( 1) n ( 1 ) lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数. （3）无穷小必须指明自变量的变化趋势。
2、无穷小与函数极限的关系:
则当 x 0 时, 有 u 0,
ex 1 u lim lim lim u 0 x 0 u0 ln(1 u) x
1 ln(1 u)
1 u
u 0
1 lim ln(1 u)
1 u
1 1. ln e
即，当 x 0 时，x ~ ln(1 x ),
x ~ e x 1.
特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;
例如，
x2 lim 0， x 0 3 x
即 x o( 3 x ) ( x 0).
2
当 x 0 时，x 2 是比 3 x 高阶的无穷小 ;
sin x lim 1， x 0 x
y
1 1 sin x x
y( x k ) 2k , 2 1 ( 2) 取 x k 2k
当k充分大时, y( xk ) M .
( k 0,1,2,3,)
无界，
当 k 充分大时, xk ,
但 y( xk ) 2k sin 2k 0 M .
定理 1
x x0
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ),
其中 ( x ) 是当 x x 0 时的无穷小.
证 必要性 设 lim f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A, x x
0
则有 lim ( x ) 0,
x x0
x x 0 (或 x )时为无穷大量,简称无穷大。记
作
x x0
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x
即绝对值无限增大的变量称为无穷大.
例如,
x
lim x
2
lim
x 2
1 4 x2
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x x0 ( x )
即sin x 有界, 由无穷小性质得
原式= 0
2. lim e cos x
x
x
解： lim e 0
x
x
cos x 1,
∴ 原式 = 0
二、无穷大量
定义 2 若在自变量 x 的某一变化过程中，函数 f(x) 的绝对值 |f (x)| 无限地增大，则称函数 f ( x ) 当
常用等价无穷小:
当 0时,
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctanx ~ ln(1 x) 1 2 x x ~ e 1, 1 cos x ~ x 2
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容: 两个定义;两个定理;三个性质.
2、几点注意:
2 2
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义: 设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小 , 记作 o( )；
(2) 如果 lim C 0, 就说 与 是同阶的无穷小 ;
不能保证.
1 例 f ( x) x
x 0,
1 有 f ( x) 0 x
1 lim f ( x ) lim A 0. x x x
P57:习题2-3 1, 2, 3
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混
淆，零是唯一的无穷小的数；
（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；
（3） 无界变量未必是无穷大.
思考题
若 f ( x ) 0 ，且 lim f ( x ) A ，
x
问：能否保证有A 0 的结论？试举例说明.
思考题解答
f ( x ) A ( x ).
充分性 设 f ( x ) A ( x ),
其中 ( x )是当x x0时的无穷小 ,
则 lim f ( x ) lim ( A ( x )) A lim ( x ) A.
x x0 x x0
x x0
3、无穷小的运算性质:
四、无穷小的比较
1 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x x2 2 lim 0, x 比3 x要快得多; 观 x0 3 x 察 各 lim sin x 1, sin x与x大致相同; 极 x0 x 限 1 2 x sin 1 0 x lim sin lim 不存在. 不可比. （ 型） 2 x 0 x0 x x 0
（1） 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
注意
：无穷多个无穷小的代数和未
必是无穷小.
1 例如, n 时, 是无穷小， n 1 1 1 但 lim ... 1不是无穷小 . n n n n
n个
（2） 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小. （3 ） 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
x x0 ( x )
如： lim
x 0
x 1
1 x
2
x
lim ( x 2 1)
lim ln( x 1)
x
lim ln(x 1)
注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
（2） 切 勿 将 lim f ( x ) 认 为 极 限 存 在 ;
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界 变量未必是无穷大.
x x0
1 1 例如, 当x 0时, y sin x x 是一个无界变量, 但不是无穷大.
(1) 取 x k 1 2k 2 ( k 0,1,2,3,)
1 1 sin x 1 cos x , lim lim lim 2 x 0 cos x x 0 2 x x 0 x
tan x sin x为x 的同阶无穷小 .
3
例２
解
ex 1 求 lim . x 0 x
令 e x 1 u, 即 x ln(1 u),
一、无穷小量 1、定义:
若在自变量 x 的某一变化过程中， 函数f (x)的极限为零， 则把函数 f (x) 称为在自变量的这一变化过 程中的无穷小量，简称无穷小。 即：极限为零的变量称为无穷小.
例如,
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小 .
x 0
1 lim 0, x x
例如 ,当x 0时, x, x , sin x 都是无穷小
2
lim( x sin x) 0
x0
lim x sin x 0
x 0
2
lim 5 x 0
x 0
2
例1、求下列极限
sin x 1. lim x x
1 解：因为 lim sin x 1 =0, 而 x x
即 sin x ~ x ( x 0).
当 x 0 时， sin x 与 x 是等价无穷小 ．
例1: 证明: 当x 0时, tan x sin x是x 3的同阶无穷小 .
解
tan x sin x lim x 0 x3
sin x sin x 1 sin x 1 cos x cos x lim( ) lim 2 3 x 0 cos x x 0 x x x
不是无穷大．
三、无穷小与无穷大的关系
定理2 在同一过程中,无穷大的倒数 为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数 为无穷大. 意义 关于无穷大的讨论,都可归
结为关于无穷小的讨论.
1 例 求 lim . x 1 x 1
解： lim( x 1) 0.
x 1
由无穷小与无穷大的倒数关系得
lim( x 1)
1 函数 是当x 时的无穷小 . x
n ( 1) n ( 1 ) lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数. （3）无穷小必须指明自变量的变化趋势。
2、无穷小与函数极限的关系:
则当 x 0 时, 有 u 0,
ex 1 u lim lim lim u 0 x 0 u0 ln(1 u) x
1 ln(1 u)
1 u
u 0
1 lim ln(1 u)
1 u
1 1. ln e
即，当 x 0 时，x ~ ln(1 x ),
x ~ e x 1.
特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;
例如，
x2 lim 0， x 0 3 x
即 x o( 3 x ) ( x 0).
2
当 x 0 时，x 2 是比 3 x 高阶的无穷小 ;
sin x lim 1， x 0 x
y
1 1 sin x x
y( x k ) 2k , 2 1 ( 2) 取 x k 2k
当k充分大时, y( xk ) M .
( k 0,1,2,3,)
无界，
当 k 充分大时, xk ,
但 y( xk ) 2k sin 2k 0 M .
定理 1
x x0
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ),
其中 ( x ) 是当 x x 0 时的无穷小.
证 必要性 设 lim f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A, x x
0
则有 lim ( x ) 0,
x x0
x x 0 (或 x )时为无穷大量,简称无穷大。记
作
x x0
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x
即绝对值无限增大的变量称为无穷大.
例如,
x
lim x
2
lim
x 2
1 4 x2
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x x0 ( x )
即sin x 有界, 由无穷小性质得
原式= 0
2. lim e cos x
x
x
解： lim e 0
x
x
cos x 1,
∴ 原式 = 0
二、无穷大量
定义 2 若在自变量 x 的某一变化过程中，函数 f(x) 的绝对值 |f (x)| 无限地增大，则称函数 f ( x ) 当
常用等价无穷小:
当 0时,
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctanx ~ ln(1 x) 1 2 x x ~ e 1, 1 cos x ~ x 2
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容: 两个定义;两个定理;三个性质.
2、几点注意:
2 2
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义: 设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小 , 记作 o( )；
(2) 如果 lim C 0, 就说 与 是同阶的无穷小 ;
不能保证.
1 例 f ( x) x
x 0,
1 有 f ( x) 0 x
1 lim f ( x ) lim A 0. x x x
P57:习题2-3 1, 2, 3
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混
淆，零是唯一的无穷小的数；
（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；
（3） 无界变量未必是无穷大.
思考题
若 f ( x ) 0 ，且 lim f ( x ) A ，
x
问：能否保证有A 0 的结论？试举例说明.
思考题解答
f ( x ) A ( x ).
充分性 设 f ( x ) A ( x ),
其中 ( x )是当x x0时的无穷小 ,
则 lim f ( x ) lim ( A ( x )) A lim ( x ) A.
x x0 x x0
x x0
3、无穷小的运算性质: