一次函数(第一课时)教学设计
人教版八年级数学下册一次函数《课题学习 选择方案(第1课时)》示范教学设计
课题学习选择方案（第1课时）教学目标1．会建立实际问题的数学模型，将实际问题转化为数学问题．2．会综合运用一次函数的图象和性质、方程（组）和不等式（组）等知识解决方案设计问题．教学重点会建立实际问题的数学模型，将实际问题转化为数学问题．教学难点会综合运用一次函数的图象和性质、方程（组）和不等式（组）等知识解决方案设计问题．教学过程知识回顾1．一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解．2．由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标．因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解．3．用图象法解二元一次方程组的步骤：第1步：转化，将方程组中的每个方程分别转化成一次函数解析式的形式；第2步：画图象，在同一平面直角坐标系中分别画出这两个一次函数的图象；第3步：找交点，分别写出这两个图象的交点的横、纵坐标，这两个值就是二元一次方程组的解中的两个数值．若没有交点，则方程组无解．新知探究一、探究学习【问题】怎样选取上网收费方式？下表中给出A ，B ，C 三种上宽带网的收费方式．选择哪种方式能节省上网费用？【师生活动】教师引导学生一步步思考回答问题，进而选取最合适的上网收费方式． 教师提问：上表中哪些方式的上网费用是变化的，哪些是不变的？学生作答：方式A ，B 的上网费用是随着时间的变化而变化的，方式C 的上网费用是不变的．教师提问：方式A ，B 的上网费用是怎样构成的？学生作答：方式A ，B 的上网费用是由月使用费用和超时费用构成的．教师提问：设上网时间为x h ，A ，B ，C 三种方式的上网费用分别为y 1，y 2，y 3，其中y 1，y 2都是关于x 的函数，想要知道这三种方式哪种更优惠，应该怎样比较？学生分析：x 代表上网时间，则需要在x ＞0的范围内比较y 1，y 2，y 3的大小关系，费用最少的即为最优惠的．【答案】解：从表中可以看出，当0≤x ≤25时，y 1＝30；当x ＞25时，y 1＝30＋0.05×60(x －25)＝3x －45．∴方式A 满足的函数解析式为130********.x y x x ⎧=⎨-⎩，≤≤，，＞ 从表中可以看出，当0≤x ≤50时，y 2＝50；当x ＞50时，y 2＝50＋0.05×60(x －50)＝3x －100．∴方式B 满足的函数解析式为250050310050.x y x x ⎧=⎨-⎩，≤≤，，＞ 从表中还可以看出，选择方式C ，无论上网时间多久，每月只需要交一次费用即可． ∴方式C 满足的函数解析式为y 3＝120(x ≥0)．在同一坐标系中分别画出y 1，y 2，y 3的函数图象，并进行比较．从图中可以看出，在直线l1的左侧，方式A最省钱．方式A和方式B在直线l1上有交点，此时有3x－45＝50，解得x＝3123．在直线l1和直线l2之间，方式B最省钱．方式B和方式C在直线l2上有交点，此时有3x－100＝120，解得x＝7313．在直线l2的右侧，方式C最省钱．综上所述：（1）当上网时间为0≤x＜3123时，选择方式A最省钱；（2）当上网时间为3123＜x＜7313时，选择方式B最省钱；（3）当上网时间x＞7313时，选择方式C最省钱；（4）当上网时间x＝3123时，方式A和方式B费用一样，比方式C省钱；（5）当上网时间x＝7313时，方式B和方式C费用一样，比方式A省钱．【新知】解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量．然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型．应用一次函数的性质选择最佳方案的一般步骤：1．建模：从数学的角度分析实际问题，建立函数模型（往往有两个或两个以上模型）．2．列式：列出不等式或方程，求出自变量在取不同值时对应的函数值的大小关系．3．选择：结合实际需求，选择最佳方案．【设计意图】上述函数问题，需要在画出函数图象、观察函数图象的基础上对上网时间进行分段讨论，让学生体会根据函数图象进行整体时间分段规划，应用方程和不等式完成在具体时间段中比较函数值的大小、精细分析数量关系的过程．二、典例精讲【例题】某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x≥2)个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A，B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动．A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y A（单位：元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y B（单位：元）．请解答下列问题：（1）分别写出y A，y B与x之间的函数解析式；（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．【答案】解：（1）由题意，得y A＝(10×30＋10x×3)×0.9＝27x＋270，y B＝10×30＋10(x－2)×3＝30x＋240．（2）当y A＝y B时，27x＋270＝30x＋240，解得x＝10；当y A＞y B时，27x＋270＞30x＋240，解得x＜10；当y A＜y B时，27x＋270＜30x＋240，解得x＞10．所以当2≤x＜10时，在B超市购买更划算；当x＝10时，在两家超市购买一样划算；当x＞10时，在A超市购买更划算．（3）由题意知，不限制只在一家超市购买，所以既可以只在一家购买，也可以在两家混合购买，因此分两种情况讨论：①若只在一家购买：因为x＝15＞10，所以选择在A超市购买划算，费用为27×15＋270＝675（元）；②若在两家混合购买：首先在B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，然后在A 超市购买剩下的羽毛球10×15－20＝130（个），则共需费用10×30＋130×3×0.9＝651（元）．因为651＜675，所以最省钱的方案是：先在B超市购买10副羽毛球拍，再在A超市购买130个羽毛球．【设计意图】检验学生综合运用一次函数的性质、方程和不等式等知识解决方案设计问题的掌握情况．课堂小结板书设计一、实际问题二、一次函数问题三、一次函数问题的解四、实际问题的解课后任务完成教材第109页复习题19第15题．。
教学设计
概念教学：一次函数教学设计课时：3个课时。
本次课进行的是概念教学，即第一节课让学生了解、知道一次函数的定义及实例，能够判别哪些函数关系式是一次函数，熟练掌握其本质特征。
第二课时则研究一次函数的图像，利用它的图像来更加深刻的挖掘、认识一次函数的性质特点。
第三课时则是利用前2次课时所学的知识，来解决生活中一些实际的可转化为一次函数的应用问题，让同学们体会一次函数在生活中的广泛应用，本次主讲第一课时，概念教学：课题：一次函数。
出处：八（上）《一次函数》第2节作者：南京师范大学10级数学师范吕杰李金凯应晓波李祎宸鄂振乾史成宇殷华清王凯一、学生起点分析：学生知识技能基础：学生已经探索了变量之间关系，并且，前一节继续通过对变量关系的考察 让学生初步体会函数的概念，能判断两变量之间的关系是否可看作函数。
本节课进一步研究其中最简单的一种函数——一次函数。
由于有前面内容的铺垫，学生已经会建立变量之间的关系，可能有部分学生表述上还不太规范，在教学中，教师要注意纠正学生的一些错误习惯。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经利用函数的概念及其表达式解决了一些实际生活中的简单应用问题，感受到了一次函数在解决问题中的必要性和作用。
同时在以前的数学学习中，已经具有了合作探究的经验，具备了抽象思维和简单代数运算的能力。
二、学习任务分析：《一次函数》是义务教育课程标准苏科版实验教科书八年级(上) 第五章《一次函数》的第二节。
本节内容安排了1个课时，提出了具体的学习目标：让学生理解一次函数和正比例函数的概念，能根据已知信息写出简单的一次函数表达式，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.。
但这仅仅是这堂课外显的教学目标，或者说是一个近期目标。
数学教学由一系列相互联系、相互推进的内容组成。
因此，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。
本课《一次函数》从属于函数这一数学学习领域，因而务必服务于函数教学的远期目标，从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的。
《一次函数的图象》第1课时示范课教学设计【数学八年级上册北师大】
第四章一次函数3 一次函数的图象第1课时一、教学目标1.经历函数图象的作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线，能熟练画出正比例函数的图象.2.能根据正比例函数的图象和表达式y=kx（k≠0）理解k>0和k<0时，函数的图象特征与增减性，培养学生数形结合的意识和能力.3.理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系.4.掌握正比例函数的性质，并能灵活运用解答有关问题.二、教学重难点重点：能熟练画出正比例函数的图象.难点：理解函数的图象特征与增减性，掌握正比例函数的性质.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计(1)y =2πx ； (2)y =2x －5； (3)147y x =+； (4)y =8x ; (5)y =5x 2－4x +1. (6)y =(x +1)2 预设答案：(1)(2)(4)是一次函数.(1)(4)是正比例函数.问题3：若函数y =(6－3m )x +4n －4是一次函数，则m ，n 满足什么条件？若是正比例函数，则m ，n 应满足什么条件？预设答案：解：根据y =(6－3m )x +4n －4是一次函数得：6－3m ≠0，则m ≠2，n 取任何实数；若是正比例函数，得6－3m ≠0且4n －4=0， 则m ≠2，n =1. 【思考】把摩天轮上一点的高度h （m ）与旋转时间t （min ）之间的函数关系通过下列图形表示：教师活动：如何定义这种图形？【探究】把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.教师活动：这是摩天轮上一点的高度h 与旋转时间t之间函数关系的图象.【例1】画出正比例函数y=2x的图象.解：列表：描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点.连线：把这些点依次连接起来，得到y=2x的图象，它是一条直线.画函数图象的步骤可以概况为三步：教师活动：这种画函数图象的方法叫做描点法.【做一做】画出正比例函数y=－3x的图象.列表：描点：连线：在所画的图象上任意取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否都满足关系y=－3x.教师活动：通过两个点(－1.5，4.5)，(0.5，－1.5)得出结论：它们都满足关系y=－3x.正比例函数的表达式与图象是一一对应的.【议一议】(1) 满足关系式y=－3x的x，y所对应的点(x，y)都在正比例函数y=－3x的图象上吗？预设答案：都在正比例函数y=－3x的图象上.(2) 正比例函数y=－3x的图象上的点(x，y)都满足关系式y=－3x吗？预设答案：都满足.(3) 正比例函数y=kx的图象有何特点？你是怎样理解的？预设答案：都经过原点.【探究】观察上述两组正比例函数图象，说一说正比例函数y=kx的图象有何特征？特征：正比例函数y=kx的图象是一条经过原点（0，0）的直线.因此，画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过这点与原点画直线就可以了.不同点：函数y=2x的比例系数k>0，图象经过第一、三象限；函数y=－3x的比例系数k<0，图象经过第二、四象限.【归纳】教师活动：由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点(1，k)，连线即可.【做一做】在同一直角坐标系内画出正比例函数y=x，y=3x，12y x=-和y=－4x的图象.教师活动：这四个函数中，随着x的增大，y 的值分别如何变化?相应图象上的点的变化趋势如何？当k＞0时，x增大时，y的值也增大；y随x的增大而增大.当k＜0时，x增大时，y的值反而减小；y随x的增大而减小.【归纳】在正比例函数y=kx中：1. 当k>0时，y的值随着x值的增大而增大，相应图象上的点从左往右呈上升趋势；2. 当k<0时，y的值随着x值的增大而减小，相应图象上的点从左往右呈下降趋势.【想一想】正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增【典型例题】教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后再小组交流探讨.教师板书一道例题书写过程，其余题目可由学生代表板书完成，最终教师展示答题过程.【例2】 在同一直角坐标系内画出正比例函数12y x =与13y x =-的图象，并指出随着x 值的增大，y 的值分别如何变化？解：画图：对于函数12y x =，y 的值随着x 值的增大而 增大；对于函数13y x =-，y 的值随着x 值的增大而减小.所以－6=4k，解得32k=-，所以32y x=-.当x=－4时，y=6，所以点(－4，6)在此正比例函数图象上.故选B.4.在正比例函数y=－3mx中，y随x的增大而增大，则点P(m，5)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B.解析：因为y随x的增大而增大，所以－3m>0，所以m<0，所以点P(m，5)在第二象限.故选B.5.画出函数y=－2x的图象.解：列表，描点、连线，得到y=－2x的图象如图所示:6.已知正比例函数y=mx的图象经过点(m，9)，且y的值随着x值的增大而减小，求m的值.解：因为正比例函数y=mx的图象经过点(m，9)所以9=m∙m，解得m=±3.又因为y的值随着x值的增大而减小，所以m<0，故m=－3.。
《一次函数的图象和性质》教学设计(优秀7篇)
《一次函数的图象和性质》教学设计（优秀7篇）一次函数篇一教学目标：1、知道与正比例函数的意义。
2、能写出实际问题中正比例关系与关系的解析式。
3、渗透数学建模的思想，使学生体会到数学的抽象性和广泛的应用性。
4、激发学生学习数学的兴趣，培养学生分析问题、解决问题的能力。
教学重点：对于与正比例函数概念的理解。
教学难点：根据具体条件求与正比例函数的解析式。
教学方法：结构教学法、以学生“再创造”为主的教学方法教学过程：1、复习旧课前面我们学习了函数的相关知识，(教师在黑板上画出本章结构并让学生说出前三节的内容)2、引入新课就象以前我们学习方程、一元一次方程；不等式、一元一次不等式的内容时一样，我们在学习了函数这个概念以后，要学习一些具体的函数，今天我们要学习的是。
顾名思义，谁能根据这个名字，类比一元一次方程、一元一次不等式的概念能举出一些的例子？（学生完全具备这种类比的能力，所以要快、不要耽误太多时间叫几个同学回答就可以了。
教师将学生的正确的例子写在黑板上）这些函数有什么共同特点呢？(注意根据学生情况适当引导，看能否归纳出一般结果。
)不难看出函数都是用自变量的一次式表示的，可以写成（）的形式。
一般地，如果（是常数，）（括号内用红字强调）那么y叫做x的。
特别地，当b＝0时，就成为（是常数，）3、例题讲解例1、某油管因地震破裂，导致每分钟漏出原油30公升（1）如果x 分钟共漏出y 公升，写出y与x之间的函数关系式（2）破裂3.5小時后，共漏出原油多少公升分析：y与x成正比例解：（1）（2）（升）第1 2 页一次函数篇二课题一次函数的应用教学内容：知识与技能：巩固所学的一次函数的定义、图象和性质。
能够用一次函数的知识解决实际问题。
过程与方法：掌握用待定系数法求函数解析式的一般方法。
情感态度与价值观：继续渗透数形结合的数学思想。
教学重点和难点：重点：用待定系数法求一次函数的解析式是本节课的重点。
难点：根据解析式中待定字母的取值研究函数图象在坐标系中的位置，要进行讨论，要运用数形结合的思想，是本节课的难点。
八年级数学下册 18.3 一次函数教学设计1 华东师大版 教案
18.3.1 一次函数复习导入、解读目标(复习谈话式切入)通过前面的学习，同学们了解了什么是函数，学会了函数图象的画法，初步感受了函数图象在解决实际问题时的作用．并且知道了函数的三种表示方法，（列表法、图像法、解析式法）在此基础上，从这节课起我们将对一些函数进行具体的学习和研究．这节课我们研究的是函数家庭中最简单、最基础的函数——一次函数。
（板书课题） 本节课的目标为：1、理解一次函数和正比例函数的概念；掌握一次函数和正比例函数之间的关系。
2、能根据已知条件，写出简单的一次函数表达式，进一步发展学生的数学应用能力。
3、通过本节课的学习激发学生对现实生活中的问题进行探索的兴趣。
并强调本节课的重点是：一次函数,正比例函数的概念；难点是：能写出一次函数关系式及自变量的取值范围。
培养学生的抽象思维能力。
自主学习、合作探究1、自学指导：用5分钟左右的时间，先阅读课本P 39---40页，再勾画一次函数的概念，完成本节课后的练习题。
如果你有困难，可以先标记下来，以备和同学交流。
2、合作探究：【基础知识探究】（重点）探究点一：一次函数和正比例函数概念探究下列问题：（探究过程：独立组学——小组交流——代表汇报——教师点拨）（1）磁悬浮列车自上海浦东站出发，运行1000米后，便以110米/秒的速度匀速行驶．如果从运行1000米后开始计时，请写出该列车离开浦东站的距离s （米）与时间t （秒） 之间的函数关系式．（2）小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元,从现在起每个月节存12元．试写出小张的存款y 与从现在开始的月份x 之间的函数关系式． 问题1.请分别列出上面两题的函数关系式 解：（1）()01000110≥+=t t s(2)()的整数05012≥+=x x y问题2.上述函数关系式有哪些共同特点？它们的一般形式可以概括为什么？答：函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数．一次函数通常可以表示为y kx b =+的形式，其中k 、b 是常数，k ≠0．特别地，当0b =时，一次函数y kx =（常数k ≠0）也叫做正比例函数．正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例．探究点二：概念应用（学以致用）1、下列函数哪些是y 关于x 的一次函数？哪些是y 关于x 的正比例函数？系数k 和常数项b 的值各是多少？解：（1）（3）（6）是一次函数；（1）（3）是正比例函数。
人教版八年级下册数学第十九章 《一次函数》教学设计
人教版八年级数学下册第十九章一次函数19．1函数19．1.1变量与函数第1课时变量与常量理解变量、常量的概念．重点变量与常量的概念，变量之间的关系．难点理解并掌握变量以及变量之间的关系．一、创设情境，引入新课情境问题：一辆汽车以60千米/时的速度行驶，行驶路程为s千米，行驶时间为tt/时 1 2 3 4 5s/千米生：变化的量是时间和路程，不变的量是速度．师：1小时路程为60千米，2小时路程为2×60千米，…，所以t小时路程为60t千米，即s＝60t.这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程随时间变化的过程，在现实生活中，有许多类似的问题，在这些问题中都有变化着的量和始终不变的量．二、讲授新课1．每张电影票零售价为10元，如果早场售出150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各是多少元？设一场电影售出x张票，如何用含x的式子表示票房收入y元？生：早场收入为150×10＝1500(元)，午场收入为205×10＝2050(元)，晚场收入为310×10＝3100(元)，当售出的票数为x张时，收入y＝10x.师：在这个过程中有没有变化着的量与始终不变的量？生：有，售出的张数与票房收入是变化着的量，每张电影票的售价是始终不变的量．2．活动一：请大家动手画出一个面积为10 cm2，20 cm2的圆各一个．生：必须先根据圆的面积公式算出半径，再画圆．师：那么它们的半径各是多少呢？生：第一个圆的半径为103.14≈1.8 (cm)；第二个圆的半径为203.14≈2.5(cm)．师：如果圆的面积为S，怎样表示出半径r?生：r＝S π.师：在这个过程中，变量与常量各是什么？生：这里变量是S 和r ，常量是π.3．活动二：用10 m 长的绳子围成长方形，改变长方形的长度，观察长方形面积的变化，并记录不同长方形的长度值，计算相应的面积．生1：当长为4 m 时，宽为1 m ，面积为4×1＝4(m 2)．生2：当长为3 m 时，宽为2 m ，面积为3×2＝6(m 2)．师：设长方形的长度为x m ，如何求出它的面积S?生：当长为x m 时，它的宽是(5－x) m ，因此它的面积是S ＝x(5－x)m 2. 师：长方形的长与宽以及面积是变量，绳子的总长是常量．这些问题反映了不同事物的变化过程，其中有些量的值是按照某种规律变化的，像这种数值发生变化的量称为变量，有些量的数值始终不变，像这种数值始终不变的量称为常量．三、巩固练习1．购买一些练习本，单价0.5元/本，总价y(元)随练习本本数x 的变化而变化，指出其中的常量与变量，并写出关系式．【答案】y ＝0.5x ，其中x ，y 是变量，0.5是常量．2．一个三角形的底边长10 cm ，高h 可以任意伸缩，写出面积S 随h 变化的关系式，并指出其中的常量与变量．【答案】S ＝12×10h ＝5h ，其中，S ，h 是变量，5是常量．四、课堂小结变量：在一个变化过程中数值发生变化的量．常量：在一个变化过程中数值始终保持不变的量．本节课从学生熟知的生活出发，抽象出函数中基本的两个概念：常量与变量，然后通过练习进一步掌握．像这样取材于学生生活，结合学生已有的经验进行教学，正是新课标所要求的．第2课时 函 数理解函数的概念，准确写出函数的关系式．重点函数的概念，函数解析式的求法．难点函数概念的理解．一、创设情境，引入新课师：上一节课中的每个问题都涉及两个变量，这两个变量之间有什么联系呢？当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否也随之确定呢？这将是我们这节课要研究的内容．二、讲授新课师：观察问题(1)中的表格，时间t 和路程s 是两个变量，但当t 取定一个值时，s 也随之确定一个值. t/时 1 2 3 4 5s/千米60 120 180 240 300生：是的，当t＝5时，s＝300.师：问题(2)也是一样的，当早场x＝150时，收入y＝1500；当午场x＝205时，y＝2050；当晚场x＝310时，y＝3100.也就是说售票张数x与票房收入y是两个变量，但当x取定一个值时，票房收入y也就确定一个值．师：问题(3)中，当圆的半径r＝10 cm时，S＝100πcm2，当r＝20 cm时，S＝400πcm2等，也就是说…生：也就是说当圆的半径r取定一个值时，面积S也随之确定，并且S＝πr2.师：问题(4)中，当长为4 m时，面积为4 m2；当长为3 m时，面积S为6 m2；当长x为2.5 m时，面积S为6.25 m2，也就是说…生：也就是说当长x取定一个值时，面积S也就随之确定一个值．师：当长取定为x m时，面积S等于多少呢？生：S＝x·(5－x)＝5x－x2.师：像这样，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数．前面的几个问题中，哪个是自变量，哪个是函数呢？它们之间的关系如何用式子表示？生1：问题(1)中，时间t是自变量，路程s是t的函数，s＝60t.生2：问题(2)中，售票数量x是自变量，收入y是x的函数，y＝10x.生3：问题(3)中，圆的半径r是自变量，面积S是r的函数，S＝πr2.生4：问题(4)中，长方形的长x是自变量，面积S是x的函数，S＝x(5－x)．师：其实，现实生活中某些函数关系是用图表的形式给出的，比如说：心脏部位的生物电流，y是x的函数吗？生：y是x的函数，因为在心电图里，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应．师：很好！再比如说下面是我国的人口统计表，人口数量y是年份x的函数吗？中国人口数统计表年份人口数/亿1984 10.341989 11.061994 11.761999 12.522010 13.71生：是的，都对应着一个确定的人口数．教师总结：(再一次叙述函数的定义)像这样，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数．如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当自变量x＝a时的函数值，例如在问题(1)中当t＝1时的函数值s＝60，当t＝2时的函数值s＝120.在人口统计表中当x ＝1999时，函数值y＝12.52亿．【例】教材第73页例1师：关于自变量的取值范围我们再来看两个题目．求下列函数中自变量x的取值范围：y＝2x2－5；y＝1x＋4；y＝x＋3.生1：对于y＝2x2－5，x没有任何限制，x可取任意实数．生2：对于y＝1x＋4，(x＋4)必须不等于0式子才有意义，因此x≠－4.生3：对于y＝x＋3，由于二次根式的被开方数大于等于0，因此x≥－3.三、巩固练习下列问题中，哪些是自变量？哪些是自变量的函数？写出用自变量表示函数的式子．1．改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变．【答案】S＝x2，x是自变量，S是因变量．2．秀水村的耕地面积为106m2，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化．【答案】y＝106n，n是自变量，y是因变量．四、课堂小结本节课我们通过对问题的思考、讨论，认识了自变量、函数及函数值的概念，并通过两个活动，加深了对函数意义的理解，学会了确定函数关系式以及求自变量取值范围的方法，从而提高了运用函数知识解决实际问题的能力．本节课引入新课所设计的一些问题都来自于学生生活，函数的概念也是在教师引导下学生自主发现的，这样做能充分调动学生学习的积极性，同时能让学生更加热爱生活，增强学生利用所学知识解决实际问题的意识．19.1.2函数的图象第1课时函数的图象(1)准确地运用列表、描点、连线等步骤画出函数的图象．重点函数图象的画法，观察分析图象的信息．难点函数图象的理解，概括图象中的信息．一、创设情境，引入新课下面是一张心电图，其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，变量y随x的变化而变化．师：这个问题中的函数关系很难用式子表示，但是可以用图象直观地反映出来．事实上即使对能用函数关系式表示的函数，如果用图形表示，则会使函数关系更清晰．这就是我们这节课所要学习的内容——函数的图象．二、讲授新课师：如何表示出正方形的面积S与边长x的函数关系呢？自变量x的取值范围又如何？生：正方形的面积S与边长x的函数关系式为S＝x2，其中自变量的取值范围是x＞0.师：我们如何用画图的方法来表示S与x的关系呢？既然对于自变量x的每x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4S 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 12.25 16面直角坐标系中对应9个点，请大家画出这样的9个点．学生画出平面直角坐标系并描出这样的9个点．师：这个图形上只有这9个点吗？生：不是的，因为x的取值不止这9个，点也就不止9个．师：那么其他的点我们还可以像这样一一地描出来吗？生：不能，因为有无数个点．师：其他的点我们怎样画出来呢？生：…师：其他的点我们不是一一描出的，而是根据这9个特殊点的位置来确定的，也就是用平滑的曲线把这9个点按从左到右的顺序连接起来．教师一边讲一边用平滑的曲线连接这些点，并要求学生跟着连线．师：这个图形我们就称作是函数S＝x2的图象．由于x≠0，所以原点不在图象上，应用空心圆圈表示．教师总结：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内的这些点组成的图形就是这个函数的图象．师：函数图象为我们利用数形结合的思想研究函数提供了便利，另外，函数图象也给我们带来许多信息，大家从下面的图象中可以得到哪些信息？生1：我知道这天的最高气温是8℃，是中午14点时产生的；最低气温是－3℃，是凌晨4点产生的．师：请大家仔细观察，看还能得到哪些信息？如果学生不能回答，提醒学生从气温的变化趋势上考虑．生2：我知道从0时至4时，气温呈下降状态；从4时至14时，气温呈上升状态；从14时至24时，气温又呈下降状态．师：我们还可以从图象中看出这一天任一时刻的气温大约是多少，另外长期观察这样的气温图象，我们还能掌握气温的变化规律．三、例题讲解【例1】教材第76页例2【例2】教材第77页例3四、巩固练习用描点法画出函数y＝3x(x≠0)的图象．【答案】略五、课堂小结用描点法画函数图象的步骤：第一步：列表，在自变量取值范围内选定一些值，求出对应的函数值；第二步：描点，在平面直角坐标系中，以自变量的值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，描出对应各点；第三步：连线，按照自变量从小到大的顺序把所描各点用平滑曲线连接起来．本节课让学生自己动手一步一步地按照列表、描点、连线的步骤画出函数的图象，并且在老师的详细讲解下理解了图象的概念．这种通过学生自己动手来接受新知识的方法以后还要加强．第2课时函数的图象(2)进一步理解并掌握函数的不同表示方法，会发现函数图象所提供的信息．重点从图象中提取信息，利用图象解决问题．难点利用函数的图象解决问题．一、创设情境，引入新课师：我们在前面几节课已经看到或亲自动手用列表格、写式子和画图象的方法表示了一些函数，这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析法和图象法．大家思考一下，从前面的例子看，这三种表示函数的方法各有什么优缺点？在遇到实际问题时又该如何选择这些方法？这就是我们这节课要研究的问题．二、讲授新课师：从以前的活动可以看出，函数的表示方法有三种：列表法、解析法和图象法，下面我们通过一个活动来探究这三种方法的优缺点．活动：水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5个小时的水位高度.t/时0 1 2 3 4 5 …y/米 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 …生：列表法．师：它比较直观，如果我们要更准确地了解这5个小时中水位高度y(米)随时间t(时)的关系，我们可以用什么方法？生：解析法．师：下面我们就来求y与t的函数关系式．由于开始时水位高度为3米，以后每隔1小时水位升高0.3米，于是我们有y＝0.3t＋3，由于这段时间是指5小时内，因此0≤t≤5.如果我们要想更形象、更直观地了解这两个变量间的关系，进而预测水位，哪种方法比较好呢？生：图象法．师：好，下面我们就来看这个函数的图象，如下图所示．师：如果估计这种上涨规律还会持续2小时，那么利用哪种方法还可以预测出再过2小时以后的高度呢？生1：利用函数解析式可以得到，当t＝7小时时，y＝0.3×7＋3＝5.1(米)．生2：利用图象也可以预测出当t＝7小时时水位的高度．师：两个同学讲得都很好！利用解析式求2小时后的水位比较准确，通过图象估算比较直接、方便．刚才这个活动，我们主要了解的是函数的三种表示方法的优缺点以及相互转化．具体说，列表法比较直观地反映出函数中两个变量的关系，但它不够全面，也不如图象法形象；解析法能比较全面、准确地表示出两个变量的关系，但它不够直观形象；图象法能形象、直观地反映出两个变量的关系，但它不够准确．也就是说这三种方法各有优缺点，在实际问题中我们要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要同时使用几种方法．三、巩固练习1．用列表法、解析法表示n边形的内角和m是边数n的函数．2．用解析法与图象法表示等边三角形的周长l是边长a的函数．四、课堂小结通过本节课的学习，我们认识了函数的三种不同表示方法，学会根据具体情况选择适当的方法来解决问题，另外我们进一步根据图象发现其中所蕴含的信息．本节课中函数的三种表示方法的优缺点是学生在比较中自己发现的，爬山问题中图象的信息也是学生通过交流、讨论以及老师的适当提醒发现的，像这样让学生在交流、探究中学习知识的方法是值得提倡的．19.2一次函数19．2.1正比例函数第1课时正比例函数(1)理解并掌握正比例函数的概念及图象．重点正比例函数的概念、图象及性质．难点正比例函数的图象及性质．一、创设情境，引入新课问题：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318 km.设列车的平均速度为300 km/h.考虑以下问题：(1)乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时？(结果保留小数点后一位)(2)京沪高铁列车的行程y(单位：km)与运行时间t(单位：h)之间有何数量关系？(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过了距始发站1100 km 的南京南站？分析：(1)京沪高铁列车全程运行时间约需1318÷300≈4.4(h)．(2)京沪高铁列车的行程y是运行时间t的函数，函数解析式为y＝300t(0≤t≤4.4)．(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h的行程，是当t＝2.5时函数y＝300t 的值，即y＝300×2.5＝750(km)．这时列车尚未到达距始发站1100 km的南京南站．师：这个函数中，t是自变量，y是t的倍数(300倍)．尽管实际情况可能会与此有一些小的不同，但这个函数基本上反映了列车的行程与运行时间的对应规律．像这样的函数就是我们今天所要讲的函数——正比例函数．二、讲授新课思考：下列问题中的两个变量可用怎样的函数表示？师：圆的周长l随半径r的大小变化而变化，l是r的函数吗？生：l ＝2πr ，l 是r 的函数．师：铁的密度为7.8 g /cm 3，铁块的质量m(g )随它的体积V(cm 3)的变化而变化，铁块的质量m 是体积V 的函数吗？生：m ＝7.8V师：每本练习本的厚度为0.5 cm ，一些练习本的总厚度h(cm )随本数n 的变化而变化的函数关系是怎样的？生：h ＝0.5n.师：冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度T(℃)随冷冻时间t(分)的变化而变化，那么它的函数关系式是怎样的呢？生：T ＝－2t.师：这些函数有什么共同特点呢？学生思考并回答，教师予以总结．师：上面这些函数与y ＝300x 一样，函数都是自变量的倍数，或者说都是常数与自变量的乘积，像这种函数就是正比例函数．一般地，形如y ＝kx(k 是常数，k ≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．师：y ＝kx(k 是常数，k ≠0)是正比例函数的一般形式，注意k ≠0的条件．下列函数是正比例函数吗？①y ＝x 3，②y ＝3x ，③y ＝kx ，④y ＝kx 2，⑤y ＝k 2x(k ≠0)．生：①⑤是的，其他的都不是． 三、例题讲解(1)若y ＝5x 3m －2是正比例函数，则m ＝________；(2)若y ＝(m －1)xm 2是正比例函数，则m ＝________.解：(1)3m －2＝1，即m ＝1时，它为正比例函数；(2)由题意可知⎩⎨⎧m 2＝1，m －1≠0，解得m ＝－1.四、课堂小结1．正比例函数的定义2．正比例函数的应用本节课从实际问题中提出了正比例函数，让学生自主的分析发现函数的定义和规律，激发了学生的学习兴趣，提高了学生的归纳能力．第2课时 正比例函数(2)会画正比例函数的图象．重点一次函数图象的画法．难点根据一次函数的图象特征理解一次函数的性质．一、复习引入师：什么样的函数是正比例函数？生：形如y ＝kx(k 是常数，k ≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．师：前面我们讲函数图象的画法时，是通过把解析式中的x ，y 的值分别取出来，作为横、纵坐标在直角坐标系中描点、连线来得到函数图象，那么对于正比例函数我们同样可以用列表、描点、连线的方法来画出它的图象．二、讲授新课操作：画出正比例函数y ＝2x ，y ＝－2x 的图象．师：由于k ≠0，所以k ＞0或k ＜0，这两个函数刚好一个k ＞0，一个k ＜0.显然这里的图象和前面一样是通过列表、描点、连线完成的．第一个图象老师带学生画，第二个图象由学生独立完成，教师巡视指导．1．函数y ＝x －3 －2 －1 0 1 2 3y －6 －4 －2 0 2 4 62．y ＝－x －3 －2 －1 0 1 2 3y 6 4 2 0 －2 －4 －6师：比较这两个图象的相同点与不同点．学生讨论以后教师再进行总结．师生共同总结：两图象都是经过原点的一条直线；函数y ＝2x 的图象从左到右上升，经过第一、第三象限；函数y ＝－2x 的图象从左到右下降，经过第二、第四象限．为了更好地发现并总结规律，师生一起在同一坐标系中画出函数y ＝12x 和y＝－12x 的图象． x －6 －4 －2 0 2 4 6y ＝12x－3 －2 －1 0 1 2 3 y ＝－12x3 2 1 0 －1 －2 －3【例】请同学们在同一直角坐标系中画出函数y＝－1.5x和y＝－4x的图象．函数y＝－1.5x中自变量x可为任意实数．下表是y与x的几组对应值.x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …y … 4.5 3 1.5 0 －1.5 －3 －4.5 …如图，在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，将这些点连接起来，得到一条经过原点和第二、第四象限的直线，它就是函数y＝－1.5x的图象．用同样的方法，可以得到函数y＝－4x的图象．它也是一条经过原点和第二、第四象限的直线．分析后得出结论．师：一般地，正比例函数y＝kx(k为常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx.当k＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大；当k＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即y随x的增大反而减小．既然我们已经知道正比例函数的图象是一条直线，那么我们以后画正比例函数的图象时，只需要描出两点，然后过这两点作一条直线即可．比如说，画直线y＝3x只需先指出两点(0，0)、(1，3)，然后过这两点作出直线即可．三、巩固练习用简单的方法画出下列函数的图象，并对照两图象说出图象与函数的性质．1．y＝3 2x.2．y＝－3x.四、课堂小结本节课通过具体的正比例函数的图象探索出正比例函数的图象及其性质，这符合解决问题的一般途径．本节课教师带领学生画正比例函数的图象，又通过对函数图象的观察、总结，得到比例系数与函数图象间的关系．19.2.2一次函数第1课时一次函数(1)了解一次函数的一般形式．重点一次函数的一般形式．难点探索实际问题中的一次函数关系．一、创设情境，引入新课问题：某登山队大本营所在地的气温是5℃，海拔每升高1 km气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y℃，试用解析式表示y与x的关系．师：每升高1 km气温下降6℃，那么升高x km，气温下降6x℃，因此所在位置的气温为5－6x，即y＝－6x＋5.自变量是x，右边是自变量的一次式，像这样的函数就是我们今天所要学的一次函数．二、讲授新课思考：下列问题中变量间的关系可用怎样的函数表示？这些函数有哪些共同点？师：在20℃～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫的次数C与t(℃)有关，即C的值约是t的7倍与35的差．这个函数的关系式怎么写？生：C＝7t－35.师：一种计算成年人标准体重G(kg)的方法是：以厘米为单位量出身高h，再减去常数105，所得差是G的值，即：G＝h－105.某市的市内电话的月收费额y(元)包括月租费22元和拨打电话按0.1元/分收取，写出y与每月电话x(分钟)的函数关系式．生：y＝0.1x＋22.师：把一个长10 cm、宽5 cm的长方形的长减少x cm，宽不变，长方形的面积y(cm2)随x的变化的关系式是什么？生：y＝5(10－x)＝－5x＋50.师：上述这些函数有什么共同特点？比如说右边．生：右边都是自变量的倍数与一个常数的和．师：对，上述这些函数的右边都是关于自变量的一次式，像这样的函数是一次函数．一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数，当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．师：下面的函数是一次函数吗？如果是一次函数，说说其中k和b的值分别是多少．①y＝x－6；②y＝2x；③y＝x8；④y＝7－x.生1：y＝x－6是一次函数，其中k＝1，b＝－6.生2：y＝2x不是一次函数．生3：y＝x8是一次函数，其中k＝18，b＝0.生4：y＝7－x是一次函数，其中k＝－1，b＝7.师：值得注意的是y＝x8也是一次函数，它是当b＝0时的特殊情况．例题：(1)已知函数y＝(k－2)x＋2k＋1，当k为何值时它是正比例函数？当k为何值时它是一次函数？解决：当2k＋1＝0，即k＝－12时，它为正比例函数．当k－2≠0，即k≠2时，它为一次函数．(2)已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3，写出y与x的函数关系式并指出是什么函数．解：因为y与x－3成正比例，所以设y＝k(x－3)．由题意知当x＝4时，y ＝3，代入得k＝3.所以y＝3(x－3)，即y＝3x－9，y是x的一次函数．三、巩固练习写出下列函数关系式，并指出哪些是一次函数，其中哪些又属于正比例函数．1．面积为10 cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)．【答案】h＝20a，不是一次函数．2．一边长为8 cm的平行四边形的周长L(cm)与另一边长b(cm)．【答案】L＝16＋2b，是一次函数．3．食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨．【答案】y＝120－5x，是一次函数．4．汽车每小时行40千米，行驶的路程s(千米)和时间t(小时)．【答案】s＝40t，是一次函数，且是正比例函数．5．圆的面积y(平方厘米)与它的半径x(厘米)之间的关系．【答案】y＝πx2，不是一次函数．6．一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x个月后这棵树的高度为y(厘米)．【答案】y＝50＋2x，是一次函数．四、课堂小结本节课从实际出发得出一次函数的概念，并在实际问题中根据简单信息写出一次函数的表达式，进而解决问题．本节课主要学习了一次函数的概念和一次函数的一般形式．教学过程中充分调动了学生的学习积极性，让学生参与到学习活动中，在活动的过程中，理解并掌握知识，同时也培养了学生的学习能力及参与意识，取得了良好的教学效果．第2课时一次函数(2)会画一次函数的图象．重点一次函数图象的画法．难点根据一次函数的图象特征理解一次函数的性质．一、创设情境，引入新课师：正比例函数的一般形式是y＝kx(k≠0)，它的图象是经过原点的一条直线．一次函数的一般形式是y＝kx＋b(k≠0)，那么它的图象是什么呢？这就是我们这节课所要学的内容．二、讲授新课活动一活动内容设计：画出函数y＝－6x与y＝－6x＋5的图象，比较两个函数的图象，探究它们的联系并解释原因．教师活动：引导学生从图象的形状、倾斜程度以及与y轴的交点在坐标轴上的位置比较两个图象，从而认识两个图象的平移关系，进而了解解析式中的k，b在图象中的意义，体会数形结合在实际中的应用．学生活动：在教师的引导下利用列表、描点、连线作出两函数的图象，然后根据教师的引导从多方面比较两个函数的图象的相同点与不同点．生：函数y＝－6x与y＝－6x＋5中，自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值，x －2 －1 0 1 2y＝－6x 12 6 0 －6 －12y＝－6x＋5 17 1 5 －1 －7画出函数y结果：这两个函数的图象形状都是________，并且倾斜程度________．函数y＝－6x的图象经过原点，函数y＝－6x＋5的图象与y轴交于点________，即它可以看作由直线y＝－6x向________平移________个单位长度而得到．结论：一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b，它可以看作是由直线y＝kx平移|b|个单位长度而得到的(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移)．既然一次函数的图象是一条直线，所以今后画一次函数的图象时，只要取两点，再过这两点画直线即可．活动二。
华师大版八下17.3.1《一次函数》教学设计
华师大版八下17.3.1《一次函数》教学设计教学目标：知识目标：理解一次函数和正比例函数的概念；掌握一次函数和正比例函数之间的关系1．经历探索过程，发展学生的抽象思维能力．2．理解一次函敷和正比例函数的概念.能力目标:能根据已知条件，写出简单的一次函数表达式，进一步发展学生的数学应用能力.思想教育目标让学生体会数学来源于生活实践，反过来又指导实践的辩证唯物主义思想.情感目标：通过本节课的学习激发学生对现实生活中的问题进行探索的兴趣教学重点：正确理解一次函数和正比例函数的概念．根据已知条件写出一次函数解析式,因为后面学习的一次函数的图象、性质及其应用时，首先必须掌握一次函数的概念.教学难点：一次函数,正比例函数的概念的引入.因此,我认为发展学生的抽象思维能力是教学的难点.教学过程：一.情景创设: (谈话式切入)我们通过前面的学习，了解了什么是函数，学会了函数图象的画法，初步感受了函数图象在解决实际问题时的作用．在此基础上，从这节课起我们将对一些函数进行具体的学习和研究．二.探索归纳:环节一：看看我们身边的例子：1.小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现在起每个月节存12元．试写出小张的存款数y与从现在开始的月份数x之间的函数关系式2.小红每天做5道数学课外练习，试写出小红所做题目的总数y和练习天数x之间的函数关系式3.仓库内原有粉笔400盒,如果每个星期领出36盒,求仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t之间的函数关式(学生思考并写出解析式教师用课件1展示学生的结论) 环节二. 小明暑假第一次去北京．汽车驶上A地的高速公路后，小明观察里程碑，发现汽车的平均车速是95千米/小时．已知A地直达北京的高速公路全程为570千米，小明想知道汽车从A地驶出后，距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和北京的距离．分析我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化，要想找出这两个变化着的量的关系，并据此得出相应的值，显然．应该探求这两个变量的变化规律．为此，我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时，汽车距北京的路程为s千米，可知s和t的函数关系式是．(教师引导学生思考并画出路线图然后用课件2演示给学生)说明找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步，这里的s、t是两个变量，s是t的函数，t是自变量，s是因变量．环节三按下列问题引导学生思考：(1)这些式子表示的是什么关系? (2)这些函数中的自变量是什么?函数是什么? (3)在这些函数式中，表示函数的自变量的式子，分别是关于自变量的什么式呢? (4)x的一次式的一般形式是什么? 表示的这两个函数有什么共同点?(归纳)上述两个问题中的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的．函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数．一次函数通常可以表示为的形式，其中k、b是常数，k≠0．特别地，当时，一次函数（常数k≠0）也叫做正比例函数．正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例(教师板书一次函数的定义,并讲解需要注意的几个问题,学生理解记忆一次函数和正比例函数的一般形式,同时教师用课件3让学生归纳总结结论)三.例题讲解例1:下列函数中,哪些是一次函数? 哪些又是正比例函数?并指出一次函数中 k、b分别为多少?(1)y=-6x (2)s=50-3t (3)h= (4)y=2x-8 (5)y= (6)q=8p(通过课件4展示例题,学生通过刚才教师的讲解按照定义解答题目,学生可以小组之间互相讨论得出结果教师矫正,反馈)例2: 写出下列函数关系式，并判断哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数?(1)汽车以６０千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)) 之间的关系;(2)圆的面积y(平方厘米)与它的半径x(厘米)之间的关系;(3)一棵树现在高50厘米,每个月长高2厘米,x月后这棵树的高度为y(厘米)(教师提出问题：展示生活中的某个变化过程中，有两个变量之间的关系可以看成是一次函数的例子.并用课件5展示)四.巩固练习:例1.当为多少时,函数y=(a+2)x2a-3+6是一次函数.则该一次函数的解析式是多少?例2 已知y与成正比例，当时⑴写出y与x之间的函数关系式；⑵ y与x之间是什么函数关系；⑶求x=时，y的值．(教师提出问题：下面各题中关于函数定义的理解？你能独立完成吗?教师并指导、点拨、答疑并用课件6展示)五.矫正反馈:、2、3(见教材)六.本节小结: 谈话式：通过这节课的学习，你有什么收获？该掌握那些知识？。
一次函数的应用(1)教学设计
兴趣，同时培养学生应用数学的意识。
培养学生从图像中获取信息解决实际问题的能力。
二、想一想1、确定正比例函数的表达式需要几个条件？2、确定一次函数的表达式呢？展示问题让学生经历“解决问题的过程”，获得成就感，培养学生的研究精神。
三、例题讲解例1.在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数。
一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米。
请写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度。
解：设y=kx+b(k≠0)由题意得：14.5=b, 16=3k+b,解得：b=14.5 ; k=0.5.所以在弹性限度内，当x=4时，y＝０.５×４＋14.5=16.5（厘米）.即物体的质量为４千克时，弹簧长度为１６.５厘米.展示问题通过引导学生，总结求一次函数的表达式，加深理解和记忆。
四、小结设问:怎样求一次函数的表达式？（待定系数法）１. 设一次函数表达式；２. 根据已知条件列出有关方程;３. 解方程；４. 把求出的k，b代回表达式即可.2引例V/(米/秒)O某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（米/秒）与其下滑时间t （秒）的关系如右图所示：(1)请写出 v 与t的关系式；(2)下滑3秒时物体的速度是多少？(V=2.5t)(V=７.５米／秒)求设Ｖ＝kt;∵(2,5)在图象上∴５＝2251 3 431x=____-2（1）当y=0时，（2）当x=0时，y=____1213-1-2-3y0123-1-2x看图填空：解：设y=kx+b(k≠0)，过点（-2，0），（0，1）0=k ×（-2）+b, 1=k ×0+b,b=0.5 ; k=1所以y＝０.５x＋1。
华师大版数学八年级下册《一次函数的性质》教学设计1
华师大版数学八年级下册《一次函数的性质》教学设计1一. 教材分析《一次函数的性质》是华师大版数学八年级下册第6章的内容，本节内容主要让学生了解一次函数的图象与系数之间的关系，掌握一次函数的性质，并能运用一次函数解决实际问题。
教材通过实例引入一次函数的概念，引导学生探究一次函数的图象与系数之间的关系，从而得出一次函数的性质。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了初中数学的一些基本概念，如实数、方程、不等式等，并对函数有了初步的认识。
但学生对一次函数的图象与系数之间的关系，以及一次函数的性质还需进一步探究。
三. 教学目标1.了解一次函数的概念，掌握一次函数的性质。
2.能够运用一次函数解决实际问题。
3.培养学生的探究能力、合作能力以及解决问题的能力。
四. 教学重难点1.一次函数的图象与系数之间的关系。
2.一次函数的性质。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入一次函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.探究教学法：引导学生通过小组合作、讨论，探究一次函数的性质。
3.实践教学法：让学生通过动手操作，加深对一次函数的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作一次函数的性质的相关课件。
2.实例：准备一些与一次函数相关的实际问题。
3.练习题：准备一些有关一次函数的练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考一次函数的图象与系数之间的关系。
例如：某商店进行打折活动，原价为100元，打8折后的价格为80元，求打折后的价格与原价之间的关系。
2.呈现（10分钟）呈现一次函数的定义及性质，引导学生观察一次函数的图象，分析图象与系数之间的关系。
3.操练（10分钟）让学生动手操作，绘制一次函数的图象，观察图象与系数之间的关系。
同时，让学生解答一些与一次函数相关的问题，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生运用一次函数的性质解决问题。
教师及时给予反馈，帮助学生巩固知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考一次函数在实际生活中的应用，让学生举例说明。
一次函数图像与性质教学设计(8篇)
一次函数图像与性质教学设计（8篇）第1篇：一次函数图像性质教学反思《一次函数的图象和性质》教学反思从这节课的准备来看，针对教学内容从课题的引入、知识的呈现方式、学生的学习活动安排、知识的巩固练习等多方面进行了多次的修改。
通过课堂的实际实施感觉上也不是尽善尽美，还有许多令人不满意的地方。
究其原因，教师不能就这节课的知识而教这点知识，教师应该通观教材，把握知识的脉络体系，又要站在高于教材的位置统筹安排。
这样，教师才能灵活的把握课堂教学。
而现在，教师缺乏的正是这一点，还是为了教而教。
按部就班，设计的条条框框较多，多了一些稳重，少了一些灵活。
而在课堂上，教师面对的是数十名学生，师生之间、生生之间考虑问题的角度、方式要灵活的多、开放的多，有可能教师固定的设计会影响到学生的思维发展。
从这一角度讲，教师应在把握知识的基础上。
结合学生的表现，灵活多样的处理知识。
学生是学习的主体，学生活动是新教材的一大特点。
新教材在知识安排上，往往从实例引入，抽象出数学模型。
通过学生的观察、分析、比较、归纳，探究知识的发生、发展、形成的过程，得出结论，并能运用解决实际问题。
侧重于学生能力的培养，让学生知道学什么，如何学。
因此，教学过程中，如何安排学生的学习活动至关重要，本节课，学生活动设计了三个方面。
一是通过画函数图象理解一次函数图象的形状。
二是两点法画一次函数的图象。
三是探究一次函数的图象与 k、b 符号的关系。
在学生活动中，如何调动学生的积极性、互动性，提高学生活动的实效性。
值得老师们探讨。
为了达到上述目的，我结合每个活动，都给学生明确的目的和要求，而且提供操作性很强的程序和题目。
如在活动一中，要求学生观察图象的形状，两条直线的位置关系。
在活动二中，强调两点法（直线与坐标轴的交点）画直线。
在活动三中，探究 k、b 符号与直线经过的象限与增减性的关系。
学生目标明确，操作性强，受到了较好的效果。
本节课的重点是由一次函数的解析式确定函数图象，研究函数性质。
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1
一次函数（第一课时）教学设计
【设计说明】．
一次函数是中学阶段接触到的最简单、最基本的函数，它在实
际生活中有着广泛的应用．一次函数的学习是建立在学习了平面直
角坐标系、变量与函数和正比例函数的基础上的．一次函数的第一
课时主要内容是一次函数的有关概念， 本课是在学习正比例函数的
基础上，进一步学习一 次函数的概念．一次函数的概念是在观察
一类具体函数的解析式的特点的基础上，通过抽象得到的函数模
型．
【教学目标】
1．结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际 问题中的
数量关系写出一次函数的解析式；
2．能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系；
3．初步体会用待定系数法求一次函数解析式的方法．
【教学重难点】
重点：一次函数的概念．
难点：求一次函数解析式．
【课前准备】
多媒体、图片
2
【教学过程】
（－）导入新课
1、什么是正比例函数？能举例说明吗？
2、购买一枝钢笔需5.6元，付款总数y(元)随所购枝数x（枝）的变化而
变化，用解析式表示为： .
3、问题：某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下
降6℃．登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所处位置的气温是
y℃．试用解析式表示y•与x的关系．
师生共同分析：从大本营向上当海拔每升高1km时，气温从5℃就减少
6℃，那么海拔增加xkm时，气温从5℃减少6x℃．因此y与x的函数关
系式为：y=5-6x（x≥0）
当然，这个函数也可表示为：y=-6x+5 （x≥0）
当登山队员由大本营向上登高0．5km时，他们所在位置气温就是当x=0．5
时函数y=-6x+5的值，即y=-6×0．5+5=2（℃）．
这个函数叫什么函数，它与我们上节所学的正比例函数有何不同？我们这
节课将学习这些问题．
（二）探究新知
4、下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函
数解析式，这些函数解析式有哪些共同特征？
（１）．有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t（单位：℃）
3
有关，即C•的值约是t的7倍与35的差．
（２）．一种计算成年人标准体重G（单位：kg）的方法是，以厘米为单
位量出身高值h，再减常数105，所得差是G的值．
（３）．某城市的市内电话的月收费额y（单位：元）包括月租费22元和
拨打电话xmin的计时费（按0．1元／min收取）．
（４）．把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少xcm，宽不变，长方
形的面积y（单位：cm2）随x的值而变化．
师生活动:学生先独立思考，然后小组交流，可以得到这些问题的函数解
析式分别为：
（ １）．C=7t-35．（20≤t≤25） （２）．G=h-105．
（３）．y=0．1x+22． （４）．y=-5x+50（0≤x≤10）．
教师引导观察后请学生代表归纳：它们的形式与y=-6x+5一样，这些函数
都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式．
师：确实如此，如果我们用b来表示这个常数的话．•这些函数形式就可
以写成：y=kx+b（k≠0）
教师出示一次函数的定义： 一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0•）
的函数，•叫做一次函数（•linearfunction）．
教师引导学生继续思考 当b=0 时，y=kx+b是什么函数？
学生思考后回答：当b=0时，y=kx+b即y=kx．所以说正比例函数是一种
特殊的一次函数．
4
5、同桌合作探究：请写出若干个变量 y 与 x 之间的函数解析式，让同
桌判断是否是一次函数；如果是，请说出其一次项系数与常数项．
（三）新知应用
例1 下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
师生活动：学生先独立思考，然后小组讨论，教师根据学生讨论情况加以
点拨:如（7）和（8）这两种形式需要加以整理，最后根据学生的回答情
况得出答案;
解:一次函数：（4）、（5）、（7）、（8）。
正比例函数：（1）。
例2、 已知一次函数 y=kx+b，当 x=1时，y=5；当x=-1时，y=1．求 k
和 b 的值．
分析：与前面求正比例函数的解析式同样的方法，将已知的x、y的数值
代入即可求得。
师生活动：一生板演，其余学生独立完成。
解:把当 x=1时，y=5；当x=-1时，y=1代入y=kx+b，得：
15bk
bk
5
解这个方程组得32bk
例3、一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2 m/s．
（1）求小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数解析
式．它是一次函数吗？
（2）求第2.5 s 时小球的速度；
师生活动：学生先独立思考，教师加以点拨和分析：
v与t是正比例关系，若学生有困难，可出示下表帮助学生理解
解：（1）v=2t. (2)把t=2.5代入v=2t=2×2.5=5 （m/s）。
（四）课堂练习
1、
2、
3、
4、
6
5、
6、仓库内原有粉笔400盒，如果每个星期领出40盒，则仓库内余下的
粉笔盒数Q与星期数t之间的函数关
系是 ，
它是 函数。
7、
8、
9、
10、已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x-1成正比例；当x=-1
时，y=2；当x=2时，y=5.求当x=3时y的值。
参考答案：
1、-3，-5. 2、m≠3. 3、-3，-1 4、c。5、D. 6、Q=400-40t；一次。
7
7、m≠1. 8、（1）m=23
（2）m≠2. 9、（1）y=4x+60，是一次函数。（2）x每增加1，y相应的
增加4.（3）x=0时，y=60；此时y为三角形的面积。
10、y=x+3. x=3时，y=6.
（五）课堂小结
（1）什么叫一次函数？
（2）一次函数与正比例函数有什么联系？
（3）对于一次函数，需要变量的几对对应值才能确 定函数解析式？
怎样求函数解析式？
（4）一次函数中，当自变量每增加一个相同的值，函数值增加的值
是变化的还是不变的？
（六）布置作业
教材第99页习题第3题。预习教材91-92页例2、例3.
【板书设计】
19.2.2 一次函数
一、问题：某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气
温下降6℃．登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所处位置的气
温是y℃．试用解析式表示y•与x的关系．
二、一次函数的关系式：
三、例1、 例2
8
例3、