2012期末二次函数综合应用

1 二次函数综合应用 25.（2012海淀期末） 如图, 已知抛物线经过坐标原点O及)0,32(A，其顶点为B(m,3),C是AB中点， 点E是直线OC上的一个动点 (点E与点O不重合)，点D在y轴上, 且EO=ED . （1）求此抛物线及直线OC的解析式； （2）当点E运动到抛物线上时, 求BD的长；

（3）连接AD, 当点E运动到何处时，△AED的面积为433，请直接写出此时E点 坐标. 解:

25（2012东城期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线235ymxxm与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0 , 4），D为OC的中点. （1）求m的值； （2）抛物线的对称轴与 x轴交于点E，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、B、F为顶点的三角形与ADE 相似？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△GBC中BC边上的高为522？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

CBAyxO2

25（2012丰台期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1：212.yxx （1）将抛物线C1先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线C2，求抛物线C2的顶点P的坐标及它的解析式． （2）如果x轴上有一动点M，那么在两条抛物线C1、C2上是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形（OP为一边）？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

22（2012西城期末）阅读下列材料： 题目：已知实数a，x满足a＞2且x＞2，试判断ax与ax的大小关系，并加以说明. 思路：可用“求差法”比较两个数的大小，先列出ax与ax的差()yaxax，再

说明y的符号即可 现给出如下利用函数解决问题的方法： 简解：可将y的代数式整理成(1)yaxa，要判断y的符号可借助函数(1)yaxa

的图象和性质解决.

参考以上解题思路解决以下问题： 已知a，b，c都是非负数，a＜5，且 2220aabc，2230abc． （1）分别用含a的代数式表示4b，4c； （2）说明a，b，c之间的大小关系．

yx12345678–1–2

123–1–2–3–4–5

O3

23（2012西城期末）．已知抛物线2(2)2ykxkx（其中0k）． （1）求该抛物线与x轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k的代数式表示)； （2）若记该抛物线的顶点坐标为(,)Pmn，直接写出n的最小值；

（3）将该抛物线先向右平移12个单位长度，再向上平移1k个单位长度，随着k的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）．

25（2012西城期末）已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为(2,3)A，

(,3)Cn（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O—A—B—C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形． （1）结合以上信息及图2填空：图2中的m= ； （2）求B，C两点的坐标及图2中OF的长； （3）在图1中，当动点P恰为经过O，B两点的抛物线W的顶点时， ① 求此抛物线W的解析式； ② 若点Q在直线1y上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，

P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标． 4

25（2012朝阳期末）（本小题满分8分） 已知抛物线y＝ax2＋bx＋6与x轴交于A、B两点（点A在原点的左侧，点B在原点的右

侧），与y轴交于点C，且OB=21OC，tan∠ACO=61，顶点为D． （1）求点A的坐标． （2）求直线CD与x轴的交点E的坐标. （3）在此抛物线上是否存在一点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． （4）若点M（2，y）是此抛物线上一点，点N是直线AM上方的抛物线上一动点，当点N运动到什么位置时，四边形ABMN的面积S最大? 请求出此时S的最大值和点N的坐标． （5）点P为此抛物线对称轴上一动点，若以点P为圆心的圆与（4）中的直线AM及x轴同时相切，则此时点P的坐标为 .

备用图① 备用图② xy8765-65-5-54321-1-2-3-4-1-2-3-41234Oxy8765

-65-5-54321-1-2-3-4-1-2-3-41234O5

25（2012石景山期末）如图，矩形'''OBCA是矩形ABCO绕点B顺时针旋转得到的．其中点CO,'在x轴负半轴上，线段OA在y轴正半轴上，B点的坐标为3,1． (1)如果二次函数02acbxaxy的图象经过'OO、两点且图象顶点M的纵坐标为1．求这个二次函数的解析式； (2)求边''AO所在直线的解析式； (3)在(1)中求出的二次函数图象上是否存在点P，使得DCOMPOSS''3,若存 在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

24（2012大兴期末已知ab、均为整数，直线baxy与三条抛物线,32xy762xxy和542xxy交点的个数分别是2,1,0，若.62222的最大值，求yxxaybx 6

25（2012大兴期末）已知二次函数21342yxx. （1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标； （2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，如图所示，设平移后的抛物线的顶点为M，与x

轴、y轴的交点分别为A、B、C三点，连结AC、BC,若∠ACB=90°.

①求此时抛物线的解析式； ②以AB为直径作圆，试判断直线CM与此圆的位置关系，并说明理由.

24（2012房山期末）探究 ： (1) 在图1中，已知点E，F分别为线段AB，CD的中点． ①若A (-1，0)， B (3，0)，则E点坐标为__________； ②若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F点坐标为__________； （2）若已知线段AB的端点坐标为A (1，3)， B (5，1) 则线段AB的中点D的坐标为 ； (3)在图2中，已知线段AB的端点坐标为A(a，b) ，B(c，d)， 则线段AB的中点D的坐标为 .（用含a，b，c，d的 代数式表示）．

归纳 ： 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置， 当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)， AB中点为D(x，y) 时， x=_________，y=___________．（不必证明） O x

y D B

第24题图2 A

第24题图1 O x y D B A

C 7

●运用 ： 在图2中，一次函数2xy与反比例函数 xy3的图象交点为A，B． ①求出交点A，B的坐标； ②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形， 请利用上面的结论求出顶点P的坐标．

25（2012房山期末） 已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1,最小值为3，此抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C． （1）求抛物线的解析式. （2）如图1．求点A的坐标及线段OC的长； （3）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ． ①若含45°角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一 个顶点E在PQ上．求直线BQ的函数解析式； ②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标． 8

24（2012门头沟期末）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E． （1）求证：AB·AF＝CB·CD； （2）已知AB＝15 cm，BC＝9 cm，P是射线DE上的动点．设DP＝x cm（0x），四边形BCDP的面积为y cm2． ①求y关于x的函数关系式； ②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．

25（2012门头沟期末） 在平面直角坐标系中，抛物线32bxaxy与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H. （1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由； （3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标.

A B H C xy OA B H

C xy

O（备用图）

A B

C

D E F P ·