Sylow子群的极大子群s_置换嵌入的有限群_李长稳
有限群的Mp-嵌入子群
于 Ｈ 的任 意 Ｓ ｙ ｌ ｏ ｗ子群 Ｐ， 在 Ｇ 中都 有一 个 Ｓ 一 拟正 规子群 Ｋ ，使得 Ｐ 也是 Ｋ 的 Ｓ ｙ ｌ ｏ ｗ子群 ， 则 称 子
群 Ｈ在Ｇ中 ｓ 一 拟 正 规 嵌 入 ；Ａｓ ａ ａ ｄ等 ＿ ２ ］ 利 用 拟 正 规嵌 入 得 到 了 Ｐ 一 幂零 的 一 些 结 论 ；李 样 明等 Ｌ ３ ］
可解 群 的若 干充分 条件 ．结果 表 明 ，子群 的 Ｍ 一 嵌 入性 质对 有 限群 的 构造有 重 要影响．
关 键 词 ：超 可 解 群 ； 巾 图 分 类 号 ：Ｏ１ ５ ２ ． １ 一 嵌 入 子 群 ；饱 和 群 系 ；有 限 群 文 献标 志码 ： Ａ 文章编 号 ： １ ６ ７ １ ． ５ ４ ８ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６ — １ ０ ０ ９ — ０ ４
Ａｂｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｕｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈｅ Ｍ — ｅ ｍｂｅ ｄ ｄ ｉ ｎｇ ｐ ｒ ｏ ｐｅ ｒ ｔ ｉ ｅ ｓ ｏ ｆ ｓ ｏｍｅ ｐｒ ｉ ｍａ ｒ ｙ ｓ ｕｂ ｇｒ ｏ ｕｐ ｏ ｆ Ｆｉ ｔ ｔ ｉ ｎｇ ｓ ｕｂ ｇｒ ｏ ｕｐ ａ ｎｄ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ Ｆｉ ｔ ｔ ｉ ｎｇ ｓ ｕｂ ｇｒ ｏ ｕｐ ｔ ｏ ｓ ｔ ｕｄｙ ｔ ｈｅ ｓ ｔ ｒ ｕｃ ｔ ｕ ｒ ｅ ｏ ｆ ｆ ｉ ｎｉ ｔ ｅ ｇｒ ｏｕ ｐ ｓ， ｗ ｅ ｏｂ ｔ ａ ｉ ｎｅ ｄ ｓ ｏ ｍｅ ｓ ｕｆ ｆ ｉ ｃ ｉ ｅ ｎ ｔ
通俗理解 sylow 定理 知乎
通俗理解 sylow 定理
Sylow定理是有限群论中的重要定理，它在理解有限群的结构和性质方面起着关键作用。
简单来说，Sylow定理允许我们通过考察群的某些特定子群来了解整个群的结构。
具体来说，它涉及到群的不同阶子群的存在性和数量问题，即对于群G的阶n的任意因子d，G中都存在d阶子群。
此外，Sylow定理还揭示了不同Sylow子群之间的关系，并对其个数进行了估计。
这些Sylow子群是G的p-子群的一种特殊形式，其中p是某个质数。
通过Sylow定理，我们可以更好地理解有限群的结构和性质，从而进一步研究有限群的分类和表示等问题。
此外，Sylow定理在数学的其他领域也有广泛应用，例如在同构理论、方程可解性等方面。
总之，Sylow定理为我们提供了一种通过研究群的特定子群来理解整个群的结构的强大工具。
关于有限群的π-拟正规嵌入子群
关于有限群的π-拟正规嵌入子群刘熠;钟纯真;王坤仁;秦亚【期刊名称】《重庆师范大学学报：自然科学版》【年(卷),期】2009(26)1【摘要】设G是有限群,称G的子群H在G中π-拟正规嵌入,如果对于│H│的每个素因子p,H的Sylow p-子群也是G的某个π-拟正规子群的Sylow p-子群。
利用极大(小)子群的π-拟正规嵌入性,得到了如下包含超可解群类和幂零群系的饱和群系的充分条件。
1)设是包含超可解群类的一个饱和群系,且N是有限群G的一个正规子群使得G/N∈F。
如果F*(N)的任意奇阶Sylow子群Q的所有极大子群均在NG(Q)中π-拟正规嵌入,F*(N)的Sylow2-子群的极大子群在G中π-拟正规嵌入,则G∈F。
2)设是包含的一饱和群系,且H是有限群G的一个正规子群使得G/H∈。
如果H的极小子群或4阶循环子群均在G中π-拟正规嵌入,则G∈F。
推广并加深了一些已知结果。
【总页数】4页(P57-60)【关键词】π-拟正规嵌入子群;极大(小)子群;超可解群系;饱和群系;超可解群;p-幂零群【作者】刘熠;钟纯真;王坤仁;秦亚【作者单位】内江师范学院数学与信息科学学院,四川内江641112;四川师范大学数学与软件科学学院,成都610068【正文语种】中文【中图分类】O152.1【相关文献】1.c*-拟正规嵌入子群对有限群结构的影响 [J], 古丽洁合热姆·阿卜来;郭继东2.s-拟正规嵌入子群与有限群的xφ-中心性 [J], 李先崇;黎先华3.弱s*-拟正规嵌入子群对有限群结构的影响 [J], 李春浦;钱方生4.有限群的π-拟正规嵌入子群 [J], 苏跃斌;许文俊5.S-拟正规嵌入子群与有限群的p-幂零性 [J], 袁媛;唐康;刘建军因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
有限群的s-正规子群Ⅱ
有限群的s-正规子群Ⅱ
张新建
【期刊名称】《淮阴师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2004(003)002
【摘要】群G的一个子群H称为在G中s-正规,如果存在G的一个次正规子群K 使得G=HK且H∩K≤HSG,其中HSG是包含在H中的G的最大次正规子群.本文继续利用子群的s-正规性研究群的结构.
【总页数】3页(P87-89)
【作者】张新建
【作者单位】淮阴师范学院,数学系,江苏,淮安,223001
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
【相关文献】
1.弱s-拟正规子群对有限群的p-幂零性的影响 [J], 王丽芳;张慧芳
2.某些s-正规子群对有限群结构的影响 [J], 高辉;高胜哲
3.s-正规子群与有限群的p-可解性 [J], 张雪梅;李长稳
4.s-正规子群与有限群结构 [J], 王超;钱方生
5.有限群的s-正规子群与群的结构 [J], 殷霞
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sylow第一定理证明
sylow第一定理证明摘要：I.前言- 引入Sylow 定理及其证明的重要性II.Sylow 第一定理的描述- 定理的表述- 定理中的关键概念：Sylow 子群、Sylow 定理的p-子群III.Sylow 第一定理的证明- 证明思路与方法1.基本情况：p 是素数2.一般情况：p 是合数- 证明过程中的关键引理及其证明1.引理12.引理23.引理3IV.结论- 总结Sylow 第一定理的证明过程- 强调Sylow 第一定理在群论中的重要地位正文：I.前言Sylow 定理是群论中的一个重要定理，它为我们研究群结构提供了有力的工具。
本文将详细介绍Sylow 第一定理的证明过程，帮助读者更好地理解和掌握这一定理。
II.Sylow 第一定理的描述Sylow 第一定理描述了有限群的Sylow 子群，它指出：若G 是有限群，p 是G 的正规元素，那么G 中存在一个p-子群，这个p-子群的阶是p 的某个正整数次幂。
III.Sylow 第一定理的证明为了证明Sylow 第一定理，我们需要分两种情况讨论：p 是素数和p 是合数。
1.当p 是素数时，Sylow 第一定理的证明相对简单。
我们只需证明G 中存在一个p-子群，其阶为p 的某个正整数次幂。
假设H 是G 的一个p-子群，|H|=p^a，其中a 是正整数。
由于p 是素数，H 中任意两个元素的乘积都是p 的倍数，即H 是G 的p-子群。
另一方面，由于p^a 是|H|的因子，根据拉格朗日定理，G 中存在一个元素x，使得x^a=1。
因此，G 中的元素可以表示为x^a * h，其中h 是H 的元素。
这说明G 是H 的扩展，即G=H。
所以，当p 是素数时，Sylow 第一定理成立。
2.当p 是合数时，我们需要利用一些关键引理来完成证明。
首先，我们证明引理1：若G 的元素g 满足|g|=p^a，其中p 是合数，a 是正整数，则G 中存在一个p-子群，其阶为p 的某个正整数次幂。
有限群的π-拟正规嵌入子群
有限群的π-拟正规嵌入子群苏跃斌;许文俊【摘要】设G是有限群,称G的子群H在G中π-拟正规嵌入,如果对于｜H｜的每个素因子p,H的Sylow p -子群也是G的某个π-拟正规子群的Sylow p -子群.利用子群的π-拟正规嵌入性,得到了有限群G为p -幂零群的一些充分条件:设G是有限群,P是G的一个Sylow p -子群,其中p是｜ G｜的一个素因子且使得(｜G｜,p-1) =1.若P的所有极大子群皆在NG (P)中π-拟正规嵌入且NG(P)′也在G 中π-拟正规嵌入,则G为p -幂零群.推广并加深了一些已知结果.%Let G be a finite group. A subgroup H of C is said to be π-quasinormally erabeddable in G, if for each prime divisor p of the order of H, a Sylow p-subgroup of H is also a Sylow p-subgroup of some π-quasinormal subgroup of (7. In terms o f the properties of π-quasinormally embeddability, some sufficient conditions for p-nilpotent of finite groups are obtained. Let G be a finite group and p a prime divisor of I G with ( 1Cl ,p - 1) = 1. If there exists a Sylow p-subgroup P of G such that ev ery maximal subgroup of P is π-quasinormal embeddable in NG(P) and NC(P)' is π-quasinonnally embeddable in C, then, G isp-nilpotent. And some known results are generalized and improved.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(034)006【总页数】3页(P841-843)【关键词】有限群;极大子群;正规化子;p-幂零;π-拟正规嵌入【作者】苏跃斌;许文俊【作者单位】四川理工学院理学院,四川自贡643000;四川理工学院理学院,四川自贡643000【正文语种】中文【中图分类】O152.1本文所涉及到的群均为有限群.所用术语和符号都是标准的，见文献［1］.设G是群，H和K是G的两个子群.H和K称为在G中是可换的，如果HK=KH，显然G的两个子群H和K是可换的当且仅当HK是G的一个子群.称H在G中π－拟正规(s－拟正规)，如果H同G的每个Sylow－子群可换.O.H.Kegel［2］引入了这一概念后，许多学者进行了研究，得到了丰富的结果［3－7］.后来A.Ballester-Bolinches等［8］将这一概念推广为π－拟正规嵌入.称H在G中π－拟正规嵌入，如果对于|H|的每个素因子p，H的Sylow p－子群也是G的某个π－拟正规子群的Sylow p－子群.并得到了如下结果：设G是有限群.若G的Sylow－子群的极大子群均在G中π－拟正规嵌入，则G是超可解群.近年来，许多学者在π－拟正规嵌入条件下研究了有限群的结构［8－13］.例如，M.Asaad等［9］得到了如下结果：设G是有限群，p是G的阶的最小素因子.若G的Sylow p－子群极大子群均在G中π－拟正规嵌入，则G是p－幂零群.在本文里，讨论G的Sylow p－子群的极大子群在G的某个子群里π－拟正规嵌入性.1 相关引理及其证明引理1［8］假设U在G中π－拟正规嵌入，H≤G且K◁G，则有：1)如果U≤H，则U在H中π－拟正规嵌入;2)UK在G中π－拟正规嵌入且UK/K在G/K中π－拟正规嵌入;3)设K≤H且H/K在G/K中π－拟正规嵌入，则H在G中π－拟正规嵌入.引理2 设N是群G的正规子群，Q是G的Sylow－子群.如果Q的极大子群都在NG(Q)中π－拟正规嵌入，那么QN/N的每个极大子群都在NG/N(QN/N)中π－拟正规嵌入.证明假设T/N是QN/N的一个极大子群，由于T=T∩(QN)=N(T∩Q)，所以q=|QN/N：T/N|=|QN：N(T∩Q)|=|Q：(T∩Q)|.比较阶，则有T∩ Q＜Q.又因为NG/N(QN/N)= NG(Q)N/N，应用引理1，有(T∩Q)N/N=T/N在NG(Q)N/N=NG/N(QN/N)是π－拟正规嵌入的.引理3［14］设G是群，p是|G|的一个素因子且(|G|，p－1)=1，那么：1)若N◁G且|N|=p，则N≤Z(G);2)若G的Sylow p－子群循环，则G为p－幂零;3)若M≤G且|G：M|=p，则M◁G.引理4［11］设G是有限群，p是|G|的素因子且(|G|，p－1)=1.若G的Sylow p －子群极大子群均在G中π－拟正规嵌入，则G是p－幂零群.引理5［1］设群G=H1×H2×…×Hn，则G' =H'1×H'2×…×H' n.引理6［1］设G是群，N◁G.如果存在H≤G使得N≤Φ(H)，那么N≤Φ(G).引理7［11］设H是G的π－拟正规嵌入子群，P是H的Sylow p－子群.若HG=1，则P是G的π－拟正规子群.引理8［15］设P是群G的π－拟正规p－子群，其中p是一个素数，则Op(G)≤NG(P).2 主要结果定理1 设G是有限群，P是G的一个Sylow p－子群，其中p是|G|的一个素因子且(|G|，p－1)=1.若P的极大子群皆在NG(P)中π－拟正规嵌入且NG(P)'在G中π－拟正规嵌入，则G为p－幂零群.证明设G是极小阶反例，记NG(P)=N.则：1)Op'(G)=1.若否，Op'(G)≠1.记 N1= Op'(G)并考虑商群¯G=G/N1.由引理2知¯P= PN1/N1的极大子群皆在¯N=NG/N1(PN1/N1)中π－拟正规嵌入，又因为¯N'=(N¯G(¯P))'=N'N1/N1，所以由引理1知¯N'在¯G中π－拟正规嵌入.从而¯G满足定理的假设.由G的极小性知¯G为p－幂零，从而G亦为p－幂零，矛盾.2)N'G=1.由引理4知N为p－幂零，再由条件(|G|，p－1)=1知N可解.若N'G≠1，取L为G的极小正规子群且L≤N' G，因N可解，L为初等交换q－群，其中q为一个素数.由1)，只有q=p.又因为N为p－幂零群，设K为N的正规p －补，则N=P ×K，从而由引理5知N'=P'×K'.这样L≤P'≤Φ(P).由引理2.6，L≤Φ(G).容易验证G/L满足定理的条件，因而由G的极小性得G/L为p幂零，这样G为p－幂零，矛盾.3)最终矛盾.由引理7以及2)可知P'在G中π－拟正规.于是由引理2.8，Op(G)≤NG(P').但是P≤NG(P')，故P'◁G.又因为P'≤N'且N'G= 1，故P'=1，则P交换，由N为p－幂零群，从而CG(P)=NG(P).由Burnside定理知，G为p－幂零，矛盾.完成证明.注1 定理中的假设“(|G|，p－1)=1”这一条件是必不可少的.例如，设G为3次对称群S3，P为G的Sylow 3－子群，则P的极大子群是单位元群，但是G不是3－幂零群.由定理的证明过程不难得出以下定理.定理2 设G是有限群，P是G的一个Sylow p－子群，其中p是|G|的一个素因子且(|G|，p－1)=1.若P的极大子群皆在NG(P)中π－拟正规嵌入且P'在G中正规，则G为p－幂零群.定理3 设G是有限群.如果对G的阶的任意素因子p都存在G的一个Sylow p－子群P，使得P的极大子群皆在NG(P)中π－拟正规嵌入且P'在G中正规，则G 是超可解群.证明设G是极小阶反例.根据定理2，显然G具有一个超可解型的Sylow塔，因此G是可解的.设N是G 的一个极小正规子群，那么根据引理2则知G/N满足定理假设，由G的极小性则知G/N是超可解的，这表明N是G的唯一的极小正规子群.如果N≤Φ(G)，那么G是超可解的，矛盾.不妨设N≤/Φ(G).因此存在G的一个极大子群M使得G=NM.设q是|G|的一个最大素因子，Q是G的一个Sylow q－子群，那么Q◁G.由N的唯一极小正规性有N≤Q.设Q1是Q的一个极大子群并且使得N≤ Q1，那么 q=|Q：Q1|= |(Q1N)：Q1|=|N：(Q1∩N)|，所以Q1∩N是N的一个极大子群并且Q1∩N◁Q.根据假设Q1在NG(Q)=G中是一π－拟正规嵌入，所以存在H≤G使得H在G中π－拟正规且Q1是H的Sylow q－子群.于是对于G 的任意Sylow r－子群R(这里r≠q)，HR=RH.又因为Q1◁Q◁G，所以Q1◁◁G.进而Q1◁◁HR，显然Q1是HR的Sylow q－子群，Q1◁HR.从而Q1R=RQ1.即Q1在NG(Q)=G中是π－拟正规，又因为N◁G，不难验证N∩Q1在G中是π－拟正规.如果(Q1∩N)≠1，由于M＜·G，那么G=(Q1∩N)M，所以G=NM.这表明Q1∩N =1，即|N|是一个素数.由于G/N是超可解的并且|N|=q，因此有G是超可解的，矛盾.定理4 设H是群G的正规子群使得G/H为p－幂零群，其中p是G的一个素因子且(|G|，p－1) =1.如果存在H的Sylowp－子群P，使得P的极大子群都在N=NG(P)中π－拟正规嵌入，并且N'在G中π－拟正规嵌入，那么G是p－幂零群.证明设G是极小阶反例，则：1)Op'(G)=1.假如Op'(G)≠1，设Op'(G)= N1并考虑商群¯G=G/N1，有¯N=NG/N1(PN1/N1)= NG(P)N1/N1=NN1/N1.设P1N1/N1为PN1/N1的极大子群，其中P1为P的极大子群.由题设，P1在N中π－拟正规嵌入，由引理1知P1N1/N1在NN1/N1中π－拟正规嵌入.这样¯G满足定理的条件.由G的极小性得¯G为p－幂零，从而G为p－幂零的，矛盾.2)H=P.显然H满足定理1的条件，故H为p－幂零的.从而H有正规p－补T.又因为H◁G，所以H的正规p－补T也是G的正规p－补.由1)知T=1，故H=P.3)最终矛盾.由2)H=P且H◁G，故P◁G，从而NG(P)=G.由引理4知G为p－幂零的，矛盾.完成证明.注2 定理中的假设“N'在G中π－拟正规嵌入”这一条件是必不可少的.例如，设G为特殊射影线性群PSL(2，17)为单群，P为G的Sylow 2－子群.显然P的极大子群都在NG(P)=P中正规，但不是2－幂零的.致谢四川理工学院人才引进项目(2009xjkRL011)对本文给予了资助，谨致谢意. 参考文献［1］Robinson D J S.A Course in the Theory of Groups［M］.New York：Springer-Verlag，1993.［2］Kegel O H.Sylow-gruppen and subnormal endlicher gruppen ［J］.Math 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Hungar，2005，108(4)：107-110.［12］刘熠，钟纯真，秦亚，等.关于有限群的π-拟正规嵌入子群［J］.重庆师范大学学报：自然科学版，2009，26(1)：57-60.［13］Li Y M，Peng K T.π-quasinormally embedded and c-supplemented subgroup of finite group［J］.Front Math China，2008，3(4)：511-521. ［14］Wei H Q，Wang Y M.On c-normality and its properties［J］.J Group Theory，2007，10(2)：211-223.［15］Schmid T P.Subgroups permutable with all Sylow subgroups［J］.J Algebra，1998，207：285-293.。
有限群的Mp-嵌入子群
有限群的Mp-嵌入子群鲍宏伟;缪利云【摘要】利用Fitting子群和广义Fitting子群中某些准素子群的Mp-嵌入性质,得到了有限超可解群的若干充分条件.结果表明,子群的Mp-嵌入性质对有限群的构造有重要影响.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2013(051)006【总页数】4页(P1009-1012)【关键词】超可解群;Mp-嵌入子群;饱和群系;有限群【作者】鲍宏伟;缪利云【作者单位】蚌埠学院数理系,安徽蚌埠233030;扬州大学数学科学学院,江苏扬州225002【正文语种】中文【中图分类】O152.1对子群嵌入性质的探讨是群论研究的热点问题之一.利用嵌入性质研究有限群的结构，目前已取得许多成果.例如：Ballester－Bolinches等［1］引入了s－拟正规嵌入的概念：设H是群G的子群，如果对于H的任意Sylow子群P，在G中都有一个s－拟正规子群K，使得P也是K的Sylow子群，则称子群H在G 中s－拟正规嵌入；Asaad等［2］利用s－拟正规嵌入得到了p－幂零的一些结论；李样明等［3］将s－置换嵌入子群、c－正规子群及弱s－置换子群定义统一推广为弱s－置换嵌入子群，并得到了超可解研究的一些重要成果；缪龙等［4］给出了M－可补子群的概念并获得了一些关于包含超可解群系的饱和群系的一些新刻画；特别地，Monakhov等［5］根据文献［4］的M－可补概念又提出了Mπ－可补的概念，当π＝｛p｝时，称Mπ－可补为Mp－可补；郭文彬等［6］利用Σ－嵌入子群的概念得到了关于可解群与p－幂零群的新结果.本文利用子群的Mp－嵌入性质研究有限群的构造，得到了有限超可解群的若干充分条件.本文所有的群均为有限群，所用概念和符号参见文献［7－8］.1 预备知识定义1［5］设π为素数集，对于群G的子群H，如果存在B≤G，使得G＝HB，并且对于H的任意极大子群H1，H1B＜G，其中H1满足π（H∶H1）⊆π，则称子群H 在G中Mπ－可补.当π＝｛p｝时，称Mπ－可补为Mp－可补.定义2 设G是有限群，对于群G的子群H，如果存在群G的一个p－幂零子群B，使得Hp∈Sylp（B），且B在G中Mp－可补，则称子群H 在G中Mp－嵌入.群G的Mp－嵌入子群在G中并非都是Mp－可补的.例如：设群G是36阶交换群，且G＝C2×C2×C9，C9是G的循环Sylow 3－子群，令H＝C2×C2×C3，则H 是G 的M3－嵌入子群，H 在G 中却不是M3－可补的.引理1 设G是有限群，则下述结论成立：1）已知NG且N≤H，如果H 在G中Mp－嵌入，则H／N在G／N中Mp－嵌入；2）令π是一个素数集合，N是G的正规π′－子群，H 是G的π－子群，如果H 在G中Mp－嵌入，则HN／N 在G／N 中Mp－嵌入.证明：1）由Mp－嵌入的定义易知结论正确.2）因为H在G中Mp－嵌入，所以存在群G的一个p－幂零子群B，使得Hp∈Sylp（B），且B在G中Mp－可补.又由N是G的正规π′－子群，H 是G 的π－子群及文献［4］中引理2.1可知，BN／N在G／N中Mp－可补.此外，显然（HN／N）p ∈Sylp（BN／N），故HN／N 在G／N中Mp－嵌入.引理2［8］设N是群G的非平凡可解正规子群，如果N∩Φ（G）＝1，则N的Fitting子群F（N）是G的包含在N中的极小正规子群的直积.引理3 设R是群G的可解极小正规子群.如果存在R的极大子群R1，使得R1在G中Mp－嵌入，则R是素数阶循环群.证明：因为R是群G的可解极小正规子群，所以R是初等交换p－群，其中p∈π（G）.由假设，R1在G中Mp－嵌入，则存在G的一个p－幂零子群B，使得R1∈Sylp（B），且B在G中Mp－可补.即存在G的一个子群K，使得其中Bp′是B的正规p－补，并且对于R1的任意极大子群T，因为R是G的极小正规子群，所以R＜TBp′K 或R∩TBp′K＝1.如果R＜TBp′K，则矛盾.如果R∩TBp′K＝1，则因此引理4［9］设F是包含U的饱和群系，群G有可解正规子群H，使得G／H∈F.如果对于G的任意极大子群M，使得F（H）≤M或F（H）∩M是F（H）的极大子群，则G∈F.当F＝U时，逆命题也成立.引理5［10］设N是群G的子群.如果群G的广义Fitting子群F＊（G）是G的唯一极大正规拟幂零子群，则下述结论成立：1）若NG，则F＊（N）≤F＊（G）；2）若G≠1，则F＊（G）≠1，事实上，3）F＊（F＊（G））＝F＊（G）≥F（G）；若F＊（G）可解，则4）CG（F＊（G））≤F＊（G）；5）PG，P≤Op（G），则6）若K≤Z（G），则2 主要结果定理1 设F是包含U的饱和群系，N是群G的可解正规子群，且满足G／N∈F.若F（N）的任意非循环Sylow子群P在G中Mp－嵌入，其中则G∈F.证明：假设结论不真且G为极小阶反例.分两种情形考虑.情形1）N∩Φ（G）≠1.由N∩Φ（G）≠1，存在G的一个极小正规子群R，使得R≤N∩Φ（G）.由N可解知R是一个初等交换p－群.显然，设P／R是F（N／R）的一个Sylowp－子群，则P是F（N）的一个Sylowp－子群.已知P在G中Mp－嵌入，根据引理1中结论1）可知P／R在G／R中Mp －嵌入.再设Q／R是F（N）／R的一个非循环Sylowq－子群，其中q≠p，则Q ＝Q1R，Q1是F（N）的一个非循环Sylowq－子群.由假设，Q1在G中Mq－嵌入，根据引理1中结论2），Q／R＝Q1R／R在G／R中Mq－嵌入.由G的极小选择表明G／R∈F，又由于F是饱和群系，因此G∈F，矛盾.情形2）N∩Φ（G）＝1.此时，群G的包含在Op（N）中的每个极小正规子群是p阶循环群，其中p是的素因子.显然N≠1，根据N可解可知F（N）≠1.由引理2知，F（N）是G包含在N 中的极小正规子群的直积.由引理4知，至少存在G的一个不包含F（N）的极大子群W 和的一个素因子p，使得再由引理4即得为非素数.设P＝Op（N），则P是G一些极小正规子群的直积.设其中Ri（i＝1，2，…，t）是G的极小正规子群.设是R1的极大子群，则P1＝×R2×…×Rt是P的极大子群.令M＝R2×…×Rt.因为P在G中Mp－嵌入，所以存在群G的一个p－幂零子群B，使得P∈Sylp（B），同时存在G的一个子群K，使得其中Bp′是B的正规p－补，并且对于P的任意极大子群T，TBp′K＜G.设B1＝R1Bp′是p－幂零的，并且R1∈Sylp（B1），则存在子群K1＝MK，使得G＝B1K1，且对于R1的任意极大子群T，TBp′K1＜G，从而可得R1在G中Mp－嵌入，由引理3，因此R1 是p阶循环群.同理，Ri（i＝2，3，…，t）均为p阶循环群.对于G包含在P中的任意极小正规子群R，存在G的极大子群M，使得G＝RM且R∩M＝1.显然由引理4，G∈F，矛盾.证毕.推论1 设G是可解群，若F（G）的任意非循环Sylow子群P在G 中Mp－嵌入，其中则G是超可解的.定理2 设G是有限群，如果F＊（G）是可解的，并且F＊（G）的任意Sylow子群在G中Mp－嵌入，则G是超可解的.证明：假设结论不真且G为极小阶反例.1）对于任意的p∈π（F＊（G）），Φ（Op（G））＝1且F＊（G）＝F（G）是可交换的.若Φ（Op（G））≠1，则由引理5可得显然，G／Φ（Op（G））满足定理的条件，由G 的极小选择可知G／Φ（Op （G））超可解，所以G超可解，矛盾.此外，Op（G）是初等交换群，F＊（G）是可解群，易知F＊（G）＝F（G）是可交换的.2）P∩Φ（G）≠1.设P是F＊（G）的Sylow子群，则存在G包含在P∩Φ（G）中的极小正规子群L.由1）知L Φ（P）.因为P在G中Mp－嵌入，故存在G的一个p－幂零子群B，使得P∈Sylp（B），同时存在G的一个子群K，使得其中Bp′是B的正规p－补，并且对于P的任意极大子群因为所以存在P的极大子群T，使得P＝LT.显然可得矛盾.3）P∩Φ（G）＝1.由引理2，P是G包含在P中的一些极小正规子群的直积.由式（1）知Ri Φ（P）且Ri Φ（G）.因为P在G中Mp－嵌入，所以存在G的一个p－幂零子群B，使得P∈Sylp（B），同时存在G的一个子群K，使得G＝BK＝PBp′K，其中Bp′是B 的正规p－补，并且对于P 的任意极大子群P1，由于Ri Φ（P），故存在P的极大子群T，使得P＝RiT.因此由RiΦ（G）得从而P是G的一些p阶极小正规子群的直积.因为F＊（G）是自身的Sylow子群的直积，所以可以假设F＊（G）也是G的一些素数阶极小正规子群的直积.令其中Hi（i＝1，2，…，n）是G的素数阶极小正规子群.因此，F（G）≤Zu（G）.根据1），可得易见是可换的，因此，G／F（G）是超可解的.从而G是超可解的，矛盾.感谢扬州大学数学科学学院缪龙教授的悉心指导和有益讨论.参考文献【相关文献】［1］Ballester－Bolinches A，Pedraza Aguilera M C.Sufficient Conditions for Supersolubility of Finite Groups ［J］.J Pure Appl Algebra，1998，127（2）：113－118. ［2］Asaad M，Heliel A A.On S－Quasinormally Embedded Subgroups of Finite Groups ［J］.J Pure Appl Algebra，2001，165：129－135.［3］LI Yang－ming，QIAO Shou－hong，WANG Yan－ming.On Weakly S－Permutably Embedded Subgroups of Finite Groups［J］.Comm Algebra，2009，37（3）：1086－1097.［4］MIAO Long，Lempken W.On M－Supplemented Subgroups of Finite Groups［J］.J Group Theory，2009，12（2）：271－287.［5］Monakhov V S，Shnyparkov A V.On the p－Supersolubility of a Finite Group with a M－Supplemented Sylow p－Subgroup［J］.Siberian Math J，2009，50（4）：681－686. ［6］GUO Wen－bin，Skiba A N.Finite Groups with Systems ofΣ－Embedded Subgroups ［J］.Sci China Math，2011，54（9）：1909－1926.［7］Doerk K，Hawkes T.Finite Soluble Groups［M］.Berlin：Springer，1992.［8］GUO Wen－bin.The Theory of Classes of Groups［M］.Beijing：Science Press，2000. ［9］MIAO Long，Lempken W.On M－Permutable Maximal Subgroups of SylowSubgroups of Finite Groups［J］.Comm Algebra，2010，38：3649－3659.［10］MIAO Long.On p－Nilpotency of Finite Groups［J］.Bull Braz Math Soc，2007，38（4）：585－594.。
代数学(第11讲)
第十一讲§1.13 Sylow 定理复习有关内容：1，群的第二同构定理：设H 与K 是群G 的子群，且K 在G 中正规，那么 （1）{}|,HK hk h H k K =∈∈是G 中含K 的子群；（2）H K 是H 中的正规子群，映射|(),hK h H K h H →∈ 是HK K 到HH K的同构映射，即HKHKH K≅ 。
2，群的作用：设G 是一个群，S 是一个集合，我们说G 作用在S 上，如果存在一个映射,((,)),G S S g x gx ⨯→ 满足条件： （1）1x x =，（2）1212()()g g x g g x =。
3，设有限群G 作用在集合S 上，其所有不同的G -轨道为：12,,...,k Gx Gx Gx 。
则1[:]ki i S G Stabx ==∑。
4，有限群的类方程：设G 是有限群，则有 ()1[:]sij G C G C y ==+∑其中i y 是满足()i C y G Ø的元素，即i y C ∉．这里C 是群G 的中心． 新课：一、第一Sylow 定理１．问题的提出：设G 是有限群，且.G n H =是G 的子群，那么|H n ，即H 的阶是n 的因子．现在要问：对于G n =的任一个因子k ，即|k n ，是否存在G 的子群H ，使得H k =？当G 是循环群时，答案是肯定的（见P45, Th1.3）．但对一般的有限群G ，答案是否定的（见第79页）．２．Sylow 定理１：设G 是一个有限群，p 是素数，()1kp k ≥整除G ，即|k p G ，则G 含有一个阶为k p 的子群．Proof ：1 先证明：当G 可交换且|p G 时，G 含有一个阶是p 的元素．对||G 应用归纳法： 设,1,()a G a o a s ∈≠=．若|p s ，则s pt =．此时()1pta =．易知()t o a p =．若p 不整除s ，则(),1p s =，||a s 〈〉=。
关于弱s-可补子群的几个定理
前人的一些结果 ． 关 键 词 ：弱 ５可 补 子 群 ； 一 零 ； － 大 子 群 一 Ｐ幂 ２极 中图 分 类 号 ： １２ １ Ｏ ５ ． 文献标识码 ： Ａ
群 的概念 ： 群 Ｇ的一个 子群 在 Ｇ中是 弱 ｓ 可补 的 ， 称 一 如果存 在 Ｇ的一个 子 群 ， 使得 Ｇ ＝Ｈ Ｋ且 ｎ Ｋ ≤ ／ 。 其 中 是包 含 在 中 的 Ｇ的最 大 的 ｓ 置换 子群 ． ｋｂ 在其 文章 中只是利 用 弱 ｓ 可补子 群 提 出了 Ｌ， 一 Ｓ ｉａ －
基金项 目：国家 自然科 学资金项 目（０ ７ １０ ； 州师范大学科研基金资助项 目（ ９ Ｌ ０ ） １７ １ ８ ） 徐 ０Ｘ Ｂ１． 作者简介 ： 李长稳 （ ９ ８ ） 男 ， １７ 一 ， 江苏海安人 ， 徐州师范大学数学科 学学院讲师 ， 士 ， 硕 主要从事有 限群 方面的研究
（）如果 Ｈ 在 Ｇ 中弱 ｓ 可补 ， 日在 Ｋ 中弱 Ｓ 可 补 ； ｉ ． 则 一 （ｉ 果 Ｈ＜ Ｇ， Ｋ在 Ｇ中 弱 ｓ 可补 当且 仅 当 Ｋ Ｈ 在 Ｇ Ｈ 中弱 ｓ 可补 ； ｉ ）如 ３ 则 ． ／ ／ ．
（ｉ ｉ）如 果 日 Ｇ， ｉ 则对 于 每个 在 Ｇ中弱 ｓ可补 的且 满足 （ 日 ｌ Ｉ ） １的子群 Ｅ， Ｅ ／ 一 １ ， Ｅ１ 有 Ｈ Ｈ在 Ｇ Ｈ ／
本 文 中所有 的群都 是有 限群 ． Ｇ的一个 子群 日称 为在 Ｇ中是 可补 的 ， 果存 在 Ｇ的子群 Ｋ， 群 如 使得 Ｇ＝ Ｈ Ｋ且 日 ｎＫ ＝１ ．利用 可 补性 Ｈａｌ ｌＰ在文 献 ［ ］中证 明 了 ： Ｇ是 可解 的 当且仅 当 Ｇ的任 意 Ｓｌｗ子群 １ 群 ｙｏ 在 Ｇ中可 补． 近年来 ， 可补 子 群进行 推 广是 比较 热 门的工 作．００年 ， 燕 鸣教授 在 文献 ［ ］中引入 了 ｃ 将 ２０ 王 ２ 一 可 补子群 的概念 ： 群 Ｇ的一 个 子群 在 Ｇ中是 Ｃ 可补 的 ， 果存 在 Ｇ的一 个子 群 ， 称 一 如 使得 Ｇ ＝Ｈ Ｋ且 Ｈ ｎ ≤ ， 中 是 包含 在 中 的 Ｇ的最大 的正 规子 群． 其 利用 子群 的 ｃ可 补性 王燕 鸣证 明了 ： 果群 Ｇ ． 如 的每个 Ｓ ｌ ｙｏ 群 的极大 子群 在 Ｇ中 Ｃ可补 ， Ｇ超 可解．０ ７ ，ｋｂ 在 文 献 ［ ］中给 出了弱 一 ｗ子 ． 则 ２０ 年 Ｓ ｉａ ３ 可补子
第7讲置换群
?l置换的表示法3????????57468213876543215?1325648?1312565458n元置换的对换表示?任意轮换都可以表成对换之积?对换可以有交表法不唯变但是对换个数的奇偶性不6?表法不唯一但是对换个数的奇偶性不485717481715847514167832587654321???????????奇置换偶置换?奇置换
8
对称群、置换群、交错群
令Sn为{1,2,…,n}上所有n元置换的集合. Sn关于置换乘法构成群，称为n元对称群. Sn的子群称为n元置换群. 所有偶置换的集合做成Sn的子群称为n元
交错群An.
9
3元对称群
例 3元对称群 S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}
(1)
(1357)(2468)(9),(1753)(2864)(9)
(15)(37)(26)(48)(9)
(13)(57)(48)(2)(6)(9), (17)(35)(26)(4)(8)(9),
(37)(46)(28)(1)(5)(9), (15)(24)(68)(3)(7)(9) 1 2 3
S4子群 ？ 个
16
置换群S4子群
平凡子群：<(1)>, S4, 二阶子群：<(12)>, <(13)>, <(14)>, <(23)>,
<(24)>,<(34)>， <(12)(34)>, <(13)(24)>, <(14)(23)>， 三阶子群：<(123)>， <(124)>， <(134)> ，
解： x2y=yx yx2y=x (yx2y)(yx2y)=x2 yx4y=x2 =yxy x4=x x3=e |x|=3