多边形内角和

多边形内角和 柘汪二中 张波

培养学生自主学习能力关键在于课堂教学过程中渗透自主意识和自主学习方法.要让学生在课堂中充分发挥自己的主动性和创造性,须在课堂特定的文化环境和氛围中,去思维,去感受,去展现,充分发挥自己内在潜智,不至于在充满信息流的时空中迷茫.如何真正培养学生的自主探索精神呢?笔者就在“多边形内角和”的教学设计和教学反思中进行一些尝试和探索. 教学内容:苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级下册第七章多边形内角和 教学目标: 【认知目标】 解释并会验证四边形内角和、n边形的内角和，会应用它进行说理。 【能力目标】 1、通过多边形内角和学习，增强类化推理和发散思维能力。 2、通过将多边形问题转化为三角形问题解决，使学生体会化归思想的应用方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。 【情感目标】 通过三角形和多边形之间的联系与区别的分析研究，培养学生辩证唯物主义观点和激发学生学习几何的兴趣。 教学重点:多边形内角和公式及探索 教学难点:多边形内角和的探索过程 教 法:教师不是教授多边形内角和的求法,而是从学生的实际情况出发,借助多媒体设计问题情景,提供问题串,激发学生的学习潜能,鼓励学生大胆创新与实践,引导学生自主学习. 学 法:学生不是简单,被动地接受信息,而是在解决问题的活动中动手实践,自主探索,合作 交流,主动地建构知识. 教学准备：多媒体课件 教学过程: 1. 设计疑问,导出课题. (教师展示三角形的图片,引导学生复习旧知) 引导学生复习在探索三角形内角和的裁,剪,拼的过程,以及在运用两直线平行同旁内角互补对三角形内角和180°与外角与内角的关系的说理. (学生成了说理的主角,并互相补充) 师:在我们的现实生活中还会看到其他图形,比如四边形,五边形等等(显示生活中图形).同学们,你们想知道它们的内角和吗?(点题) 生:(一齐)想 (教师板书课题,并引导学生理解课题,理解三角形是一种简单的多边形) 2．探索新知 师:对于我们要探索的四边形,五边形等多边形的内角和的问题,它们都是边数大于3的,对于求这样的多边形的内角和是怎样求的呢?它与三角形内角和有没有联系? 生:„„(沉默，若有所思) [设计意图]:设计疑问,让学生进入思考状态,调动内心能动性,为后面的问题作铺垫.学习“三角形内角和”之后,再学习”多边形内角和”,把前者作为后者的认知基础是很自然的事情.关键是“如何沟通两者之间的逻辑联系”。 师：我们要探索多边形的内角和，自然从简单的入手。请同学们常见的四边形是„„ 生：正方形，长方形 生：360°（显然一部分同学受到启发，迫不及待说出来。） [设计意图]：从学生生活中最熟悉的四边形入手，符合学生的认知规律，也给他们以亲切感，让他们的思维有了着落点。 师：对于特殊的四边形的内角和是360°，那么一般的四边形来讲是否也是360°呢？（展现四边形） [设计意图]：研究问题从特殊推向一般。 生：（部分）是。（另一部分同学不敢说，有的在交头接耳，小声议论） 生：„„应该是360°，关键是怎样得到的？ 师：这个问题很深刻，也很精彩，同时也是我们研究的一个重点问题。 师：请同学们想想办法怎样得到的 生1：像小学学三角形内角和一样用量角器来每个角的读数然后相加。 生2：这样有时有误差。 生3：把它们的每个角撕下来，来拼起来看看不就行了吗？ （这种方法可能得到同学的赞许，纷纷仿效。同位之间有画有裁，忙的不亦乐乎。） [设计意图]：培养学生自主学习，须赋予他们动手操作的机会，让他们真正意识到学习以身试之，这样自己动手得到的知识才能沉淀到内心中去。 片刻，有的说正好拼成一个周角，有的说好象缺点„„ 师：人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全。数学追求的是完美。 师：由于任意四边形的每个角不是固定的具体数值，所以不能指望通过测量得到数字的相加或拼凑来证明，它只可以用于结论的发现。因而从哪些地方去寻找论证是我们首先明确的问题。 师：我们想象一下，在“三角形内角和”学习中，证明△ABC的内角和∠A+∠B+∠C=180°，有两个问题。问题1：何出提供180°？（等式右边）问题2：怎样把三个角加起来？（等式左边） [设计意图]：引导学生把当初的学习体验有序迁移。当初是怎样探究问题的？是怎样证明问题的？辅助线是这样找的？ 生讨论片刻得出：证明“三角形内角和”定理的一个基本思路是：作角的集中，转化为平角。

ABCEDAF

BC

D

E （师演示图形，如图1，当初是辅助平行线（CD∥AB）将三角形的内角集中为点C处，∠ACE是△ABC的外角, ∠ACE=∠A+∠B，从而将所有内角转化为平角，实现角的转移。） 师：我们想一想，对于四边形我们可以把角怎样转移呢？ 生：（思考片刻，受操作启示）将四边形的内角集中为一个周角。 师：很好！我们就是把它转化为周角。关键怎样转化呢？请同学们结合三角形思考转化的方法。 [设计意图]：，培养学生的自主探索习惯，就必须留给他们思考时间和空间。

图1 图2

类比 同学们经过思索﹑比画﹑小组讨论，渐渐明确思路，小组选派代表谈思路。 生：连对角线AC并延长，将一个四边形分成两个三角形，并出现它们的外角∠DCE,∠BCE，有∠DCE=∠D+∠DCA，∠BCE=∠B+∠BAC,从而四边形的内角和便集中为点C处的两个平角。 [设计意图]：这是一个多么鲜明的体验迁移！通过类比将新旧知识得到融合。 师：那么我们应如何总结四边形内角和的探索方法呢？ 生：四边形通过连接对角线将分成两个三角形，得到内角和是360°。 师：在得到四边形内角和是的基础上，你能探求五边形、六边形和一般n边形的内角和是多少度吗？请同学们思考研究。 [设计意图]：由于辅助线已做了辅助性的暗示，寻找其他多边形的内角和的思维落差不至于太 陡（有适当的最近发展区），符合学生的认知规律。学生在探索四边形内角和过程中得到启示，通过连结对角线自然将五边形分成三个三角形，其他多边形的内角和求法可以说是水到渠成。其中重要的是学生从中获得巨大成功，让他们真正体会到丰收的喜悦。这对培养他们的自主学习精神大有益处。 师：我们刚才探索多边形的内角和的时候都是将多边形转化为三角形。同学们有没有发现其中有何规律？(学生比画，讨论。师出示下表，并请学生填写)

师：通过填表，你能得到n边形的内角和吗？ 生：n边形的内角和等于（n-2）·180°。 3．知识拓展： 师：我们说在探索多边形内角和关键在一个顶点上连结与其相邻的顶点形成对角线将多边形转化为三角形。请同学们思考一下还有没有其他方法转化多边形呢？ 生思考，小组讨论，设计方案，教师参与个别小组活动。 （其间各小组充分发挥各成员意见，同伴之间的交流使学生逐渐破除以自我为中心的态度，养成容纳不同意见，对落后生的自主学习逐渐起到带动作用。） 生1 ：在多边形的内部取一点，连结各顶点。具体说比如在五边形内部取一点，连结以后形成五个三角形，但是在算内角和的时候多算一个周角，须要减去。 （师展现一个五边形以演示，随后展示一个n边形得到多边形的内角和是180°n-360°，从而与（n-2）·180°得到统一。 ） 生2：我们还可以在边上取一点，也是连结与其不相邻的顶点形成三角形，但是在算的时候多算了一个平角。 [设计意图]：感悟数学中普遍存在的相互联系、相互转化、相互制约的辩证关系。 师：在今天我们探究多边形的内角和，同学们要体会得到“多边形内角和”的方法。即通过作辅助线将四边形问题转化为三角形知识解决。这种解决问题的方法在今后的解题中经常会用到。 师继续指出：从分析思路看，同学们得到了多种方法，各种方法都非常好。那么，当一个题目有多种方法时，特别是几何问题，往往都有多种方法，通常我们选择最简单的方法。 4．你说我说谈收获

多边形的边数 3 4 5 6 7 „ n 分成三角形个数 1 2 3 多边形的内角和 180 180×2 180×3 师：今天我们共同探索了多边形内角和，说说你们的感受，让大家一起来分享，怎么样？请你把自己的感受和体会写进今天的数学日记中去。 （学生交流感受，体会收获，教师根据学生的交流做适当的归纳，并对学生的自主探索，合作交流等学习方式进行多元评价。） [设计意图]：学生谈收获，写日记，培养学生的数学语言表达能力，让本来不喜欢数学的学生，以这样的方式进入数学视野，抒发自己的感受，体会自己的认识，表达自己对数学的理解，那不是最美的吗？这也是给学生自主学习以新的方式来提升他们的学习数学信心。 教学反思： 本文着重谈“多边形的内角和”一堂课的教材处理和教学法运用意见。 课堂教学是教师、学生和教学媒体（教学内容和教学器具等）之间在教学目标指导下所发生的动态变化的过程，其中教材处理和教法运用体现着教师、学生和教学媒体三者之间的相互作用，是影响课堂教学这一动态变化过程效率的主要变量。另外，教材处理和教法运用是教师主导作用的集中表现，而教师主导作用发挥的方向、方式和力度决定着学生的主体地位能否得到保障，主体作用能否得到较好的发挥。因而课堂教学评价应当把教材处理和教学法运用作为主要内容。 （一）本堂课确定的主要教学目标 研究多边形的问题时常通过作辅助线的方法转化为三角形知识解决，并以此为载体强化数学化归的思想方法。 （二）导学达标过程 （l）结论的发现 考虑到学生已学习了三角形内角和定理，而且知道长方形、正方形的每一个角都是，所以教师对结论的发现采取猜想的方法。教师直接提出问题：“四边形的内角和是多少度”？学生很容易猜想得出的结论，这个问题虽然不难回答，但可以培养学生探究问题的意识和自主学习习惯。 (2)探求结论的推导思路 在此之前，学生已经积累了不少说明几何问题的事实、方法和经验，为了帮助学生迅速找到新旧知识的结合点，教师提出问题：“处理复杂问题普遍实用的方法，就是把未知转化为已知，用已有知识研究新问题。所以，研究多边形的问题可转化为已学过知识去解决。”这可引起学生的联想，有利于学生梳理知识，培养学生的发散思维能力。接下去教师继续提问：“怎样转化？转化的关键？”教师没做更多的引导，只是提出问题。这样，教师不仅为解决问题创造了一个好的情境，而且指导学生通过自己的努力按既定方向将已有知识、经验和方法进行重组从而解决了问题。从课堂教学实际效果看，这个引导是符合多数学生的认知基础的，既没有超越学生的认知能力，又能促进学生积极探索在探求结论的推导过程中，集中体现了数学化归思想的应用。在这里，教师有意识地做了强化，这可以使学生更加深刻地体会到这种思想方法对解决问题的作用。另外，教师还指出了最优化思想。 本堂课不足之处主要是因材施教分类指导方面有待于进一步加强，在各个教学环节中差生没有得到应有的重视，特别是在探索过程没有特别注意加强对差生的指导，这对他们的自主学习是不利的，以后应特别注意。另外，由于时间关系，课堂练习没跟上致使学生没有及时巩固。