1.5.1 平行关系的判定
5.1平行关系的关系
反思~领悟：
1.线面平行,通常可以转化为线线平行来处理.
2.寻找平行直线可以通过三角形的中位线、 梯形的中位线、平行线的判定等来完成。 3、证明的书写三个条件“内”、“外”、“平 行”，缺一不可。
第一步：在一个平面内找出两条相交直线； 第二步：证明两条相交直线分别平行于另一个平 面。 第三步：利用判定定理得出结论。
归纳结论
直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直 线平行，则该直线与此平面平行 . (线线平行 线面平行) a
符号表示：
a b a // a // b
b
两个平面平行的判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行
5.1平行关系的判定
学习目标： 掌握线面平行、面面平行判定 定理，并会运用.
自学指导： 请认真看课本P28-P30练习前的内容， 注意以下几个方面： 1.理解线面平行、面面平行判定定理， 会用图形语言、符号语言 文字语言准确 描述. 2.学习例1、例2怎样判定线面平行？ 3.学习例3如何用面面判定定理证明 面面平行？ 8分钟后检测，比谁能用本节知识 做对检测题。
判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）若平面 内的两条直线分别与平面 平行，则 与 平行； × （2）若平面 内有无数条直线分别与平面 平行，则 与 平行； × （3）平行于同一直线的两个平面平行； × （4）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平 行的平面． ×
检测题： 2.课本P31 练习 3、4幻灯片 10
△ABE的中位线,所以得体ABCD-A1B1C1D1中，E 为DD1的中点，求证:BD1//平面AEC.
D1
A1 C
空间中的平行关系
解：当 m∥β 时，过 m 的平面 α 与 β 可能平行也可能
相交，因而 m∥β α∥β；当α∥β时，α 内任一直线与
β平行，因为 m⊂α，所以 m∥β.综上知，“m∥β”是“α
∥β”的必要而不充分条件．
答案: B
直线与平面平行的判断 平面与平面平行的判定 线面平行、面面平行的性质的应用
考点一·直线与平面平行的判断
点评：证面面平行的基本方法是利用面面平行的判定 定理，即转化为证线面平行．
【变式探究】
2．如图，已知 ABC-A1B1C1 是正三棱柱，E，F 分别是 AC， A1C1 的中点．求证：平面 AB1F∥平面 BEC1.
证明：因为 E、F 分别是 AC、A1C1 的中点， 所以 AE＝FC1.又因为 AE∥FC1， 所以四边形 AEC1F 是平行四边形，所以 AF∥EC1. 因为 EC1⊂平面 BEC1，AF⊄平面 BEC1， 所以 AF∥平面 BEC1. 连接 EF.因为 EF∥BB1，EF＝BB1， 所以四边形 BB1FE 是平行四边形， 所以 B1F∥BE，B1F⊄平面 BEC1，BE⊂平面 BEC1， 所以 B1F∥平面 BEC1. 因为 AF，B1F 是平面 AB1F 内的相交直线， 所以平面 AB1F∥平面 BEC1.
⇒β∥α. (2) 垂直于 同一直线
的两个平面平行．
4．两个平面平行的性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的直线 平行于 另
一个平面．
符号表示：α∥β，a⊂α，则 a∥β
.
(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它
们的交线 平行 . 符号表示：α∥β，α∩γ＝a，．如图是以正方形 ABCD 为底面的正四棱柱被一平面所 截得的几何体，四边形 EFGH 为截面，且 BF＝DH.证明：截 面四边形 EFGH 是菱形.
平面向量的平行和垂直关系的判定方法
平面向量的平行和垂直关系的判定方法在平面向量的学习中，我们经常需要判定两个向量是否平行或垂直。
正确判定两个向量的平行和垂直关系对于解决向量的运算和几何问题至关重要。
本文将介绍平面向量的平行和垂直关系的判定方法，并提供相应的示例来加深理解。
1. 平行关系的判定方法(1) 两个向量的方向相同或相反，则它们平行。
(2) 两个向量的标量倍数关系相等，则它们平行。
示例1:已知向量a(2, 3)和向量b(-4, -6)，我们要判定它们是否平行。
分析：由于向量a和向量b的方向相反，并且它们的标量倍数关系相等（-2），所以a和b是平行的。
示例2:已知向量c(3, -2)和向量d(-6, 4)，我们要判定它们是否平行。
分析：向量c和向量d的方向不相同，并且它们的标量倍数关系也不相等，所以c和d不是平行的。
2. 垂直关系的判定方法(1) 两个向量的数量积（内积）等于0，则它们垂直。
(2) 两个向量的方向余弦之积等于0，则它们垂直。
示例3:已知向量e(4, 3)和向量f(-3, 4)，我们要判定它们是否垂直。
分析：计算向量e和向量f的内积：4*(-3) + 3*4 = 0，所以e和f是垂直的。
示例4:已知向量g(2, 5)和向量h(-4, 3)，我们要判定它们是否垂直。
分析：计算向量g和向量h的方向余弦之积：(2/√29)*(-4/√25) +(5/√29)*(3/√25) = 0，所以g和h是垂直的。
需要注意的是，对于平面向量的垂直关系，除了以上的方法外，我们还可以通过计算向量的斜率（梯度）来判定。
当斜率互为相反数时，两个向量垂直。
在实际问题中，我们常常需要判定多个向量之间的平行和垂直关系。
此时，我们可以将向量写成分量形式或向量方程形式，进而进行运算和判定。
总结：判定平面向量的平行和垂直关系的方法基于向量的方向、标量倍数、数量积（内积）和方向余弦之积。
通过正确应用这些方法，我们可以准确判定向量之间的关系，为解决向量运算和几何问题提供有力支持。
直线、平面平行的判定及其性质
答案 (1)D (2)D
题型二 【例2】
线面平行的判定与性质
(2013· 新课标全国卷Ⅱ)如下图，直三棱柱
ABC—A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．
(1)证明：BC1∥平面A1CD； (2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2 积． 【思维启迪】 (1)要证明线面平行一般是转化为线线平行来 2 ，求三棱锥C—A1DE的体
2．下列命题中，错误的是(
)
A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个 平面相交 B．平行于同一平面的两个不同平面平行 C．若直线l不平行于平面α，则在平面α内不存在与l平行的直 线 D．平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面
解析
C错，若直线l不平行于平面α，直线l也可能在平面α
∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG. ∴A1E∥平面BCHG， ∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.
名 师 微 博 ●一个关系——三种平行间的转化关系
线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有 关证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看 清题目的具体条件，选择正确的转化方向．
(2)已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n ⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是( A．m∥β且l1∥α C．m∥β且n∥l2 B．m∥β且n∥β D．m∥l1且n∥l2 )
解析
(1)m，n为异面直线，m⊥面α，n⊥面β，则α，β一定
相交，不一定垂直．但交线一定垂直于直线m，n，又l⊥m且l⊥ n，则l平行于α和β的交线．故选D. (2)由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平 面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.
空间平行关系的相互转化
空间平行关系的相互转化山东省莱芜市第五中学数学组（271121） 刘峰空间的平行关系包括线线平行，线面平行，面面平行。
解决此类问题的关键是利用相关的定理，性质将三者或其中的两者之间进行合理的转化，下面我们将空间的平行关系进行总结。
三种平行关系的相互转化可用下图来表示： 线线平行线面平行面面平行（1）（2）（3）（4）（5）（6）其中（1）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（2）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（3）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．（4）面面平行的性质：如果两个平面相互平行那么其中一个平面内的一条直线平行于另一个平面.（5）（面面平行判定定理的推论）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面互相平行．（6）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 下面我们通过几个例题来看一下在具体题目中如何进行转化。
例1、已知平面l αβ=，直线//,//.a a αβ 求证：//a l【证明】如右图：过直线a 作平面c γα=. 则由//a α得//.a c过直线a 作平面b δβ=，则由//a β 得//.//a b b c ∴.又,,//b c b ααα⊄⊂∴.而,,//,//.l b b l a b βαβ=⊂∴又//a l ∴.【点评】（1）本题综合应用线面平行的判定和性质，实现线面平行和线线平行的相互转化；（2）由本题得到了一个重要的结论：如果一条直线同时与两个相交平面平行，那么这条直线和这两个相交平面的交线平行。
例 2.如右图，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M AC ∈，N FB ∈且AM FN =.求证：//MN BCE 面.【证法一】如右图,过M 作MP ⊥BC ，NQ ⊥BE ，P 、Q 为垂足，连结PQ. ∵MP ∥AB ，NQ ∥AB ，∴MP ∥NQ . 又22,,,22MP MC NQ BN MC BN MP NQ ===∴=又,∴MPQN 是平行四边形.∴MN ∥PQ ，又PQ ⊂平面BCE .而MN ⊄平面BCE ，∴MN ∥平面BCE.【证法二】如右图，过M 作MG ∥BC ，交AB 于点G ，连结NG∵MG ∥BC ，BC ⊂平面BCE ，MG ⊄平面BCE ，∴MG ∥平面BCE,,,AM AG AG FN AM FN AC BF AC AB AB BF===∴=且 ∴GN ∥AF ∥BE ，又BE ⊂平面BCE ，GN ⊄平面BCE ，∴GN ∥平面BCE又MG NG G =，∴平面MNG ∥平面BCE又MN ⊂平面MNG ∴MN ∥平面BCE【点悟】证明线面平行是一个考查的重点，证明时通常采用以下两种方法：①利用线面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用面面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行例3、如右图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，设,,,M N E F 分别是棱11111111,,,A B A D C D B C 的中点.（1） 求证：,,,E F B D 四点共面；（2） 求证：面//AMN EFBD 面.【证明】（1）连结11B D ，则11//EF B D ，又11//B D BD ，//EF BD ∴，故,,,E F B D 四点共面.（2）连结ME ，则1111//,ME A D ME A D =且，又1111//AD A D AD A D =且，//AD ME AD ME ∴=且 ∴四边形ADEM 是平行四边形，故//,,,//;AM DE AM EFBD DE EFBD AM EFBD ⊄⊂∴又面面面同理//AN EFBD 面.又AM AN A =，∴面//AMN EFBD 面.【点评】证明面面平行一般利用面面平行的判定定理，在一个平面内找两条相交直线分别平行于另一个平面。
判定平行的条件
判定平行的条件一、平行的定义和性质在平面几何中，平行是指两条直线或平面上的点、直线或面永远不会相交的关系。
平行的性质有以下几点：1. 平行的直线在平面上的任意点之间的距离是相等的。
2. 平行的直线与平面上的任意一条横切线的夹角是相等的。
3. 平行的直线与平面上的任意一条平面内的直线的夹角是相等的。
在平面几何中，我们可以通过以下条件来判定两条直线是否平行：1. 同位角相等定理：如果两条直线被一条横切线所截，且同位角相等，则这两条直线是平行的。
这个定理的应用非常广泛，可以用于证明平行四边形、相似三角形等定理。
2. 垂直定理的逆定理：如果两条直线互相垂直，则这两条直线是平行的。
这个定理可以通过垂直定理的逆定理进行证明。
三、平行的应用平行的概念和判定条件在几何学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 平行四边形：如果四边形的对边是平行的，则这个四边形是平行四边形。
平行四边形具有一些特殊的性质，如对边相等、对角线平分等。
2. 相似三角形：如果两个三角形的对应边分别平行，则这两个三角形是相似的。
相似三角形具有对应角相等、对应边成比例等性质。
3. 平行线的判定：在解决几何问题中，判定两条直线是否平行是一个常见的任务。
通过应用判定条件，可以快速确定两条直线是否平行，从而简化问题的解决过程。
4. 平面的划分：在平面几何中，经常需要将平面划分成不同的区域。
通过判定直线的平行关系，可以将平面划分成不同的区域，从而方便进行后续的分析和计算。
总结：平行是几何学中的一个重要概念，指的是两条直线或平面永远不会相交。
我们可以通过同位角相等定理和垂直定理的逆定理来判定两条直线是否平行。
平行的概念和判定条件在解决几何问题中有广泛的应用，如平行四边形、相似三角形等。
掌握平行的定义和判定条件，能够帮助我们更好地理解和解决几何问题。
在实际应用中，我们可以利用平行的性质进行划分和分析，简化问题的解决过程。
通过学习和应用平行的知识，我们可以更好地理解和应用几何学的原理，提高解决问题的能力。
高考一轮复习第七章 第四节 空间中的平行关系
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2012· 抚顺模拟)已知 m，n 表示两条不同直线，α，β，γ 表示不 同平面，给出下列三个命题：
m⊥α (1) n⊥α m⊥α (3) n∥α
⇒m∥n；
m⊥α (2) m⊥n
⇒n∥α
⇒α∥β
行，那么这两个平
面平行
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2.两平面平行的性质定理： 文字语言 性 如果两个平行平面时 质 与第三个平面 相交， 定 那么它们的 交线 平 理 行 图形语言 符号语言 α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b
⇒a∥b
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1．(教材习题改编)下列条件中，能判断两个平面平行 的是 ( )
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[考题范例] (12分)(2012· 太原模拟)如图，在四棱锥S－ABCD中，已知底面 ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD＝90° ，SA⊥底面 ABCD，SA＝AB＝BC＝2.tan∠SDA＝ (1)求四棱锥S－ABCD的体积； (2)在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明． 2 3
⇒a∥α
定理
2．性质定理： 文字语言 性 质 定 理 如果一条直线和一个 平面平行，经过这条 a∥α a⊂β α∩β＝b
⇒a∥b
图形语言
符号语言
直线的平面和这个平
面相交，那么这条直 线就和交线平行.
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四、平面与平面平行 1．判定定理： 文字语言 如果一个平面内有 判定 定理 两条 相交直线 平 行于另一个平面平 图形语言 符号语言 a⊂α b⊂α a∩b＝P a∥β b∥β
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[步步满分] 2 (1)∵SA⊥底面ABCD，tan∠SDA＝3，SA＝2， ∴AD＝3.(3分) 由题意知四棱锥S－ABCD的底面为直角梯形， 且SA＝AB＝BC＝2， 1 1 VS－ABCD＝3×SA×2×(BC＋AD)×AB 1 1 10 ＝3×2×2×(2＋3)×2＝ 3 .(6分)
空间几何中的平面平行关系
空间几何中的平面平行关系在空间几何学中，平面平行关系是一个重要的概念。
当两个平面永远不相交，无论它们延伸到无穷远，都不会相交，我们就可以说这两个平面是平行的。
平面平行关系有一些性质和判定方法，本文将对这些内容进行详细讨论。
一、定义和性质1. 定义：如果两个平面不相交，则它们是平行的。
2. 性质：a. 平行的平面在任意方向上的截线是平行线。
b. 平面平行关系是对称关系，即如果平面A与平面B平行，则平面B与平面A也平行。
c. 平面平行关系是传递关系，即如果平面A与平面B平行，平面B与平面C平行，则平面A与平面C也平行。
二、平面平行的判定方法1. 通过两个平面的法向量判定：如果两个平面的法向量是平行的，则这两个平面平行。
2. 通过平面上的一组向量判定：如果两个平面上的相同向量比值相等，则这两个平面平行。
3. 通过平面上的直线与另一平面的交点判定：如果一条直线与一个平面平行于另一个平面，则这两个平面平行。
三、平行平面的性质和相关定理1. 平行平面的截距：平行平面的任意两个截距之比相等。
2. 平行平面的夹角：平行平面之间的夹角等于它们的法向量夹角的余角。
3. 平行线与平面的垂直关系：如果一条直线平行于一个平面，那么该直线上的任意一条直线都与该平面垂直。
4. 平行平面的平行线：平行平面上的平行线在空间中保持平行关系。
根据上述性质和判定方法，我们可以在空间几何中确定两个平面之间的平行关系。
在实际生活中，平面平行关系有广泛的应用，比如建筑设计、地理测量等领域都需要考虑平面平行关系。
理解和掌握平行关系的概念和判定方法对于解决实际问题非常重要。
总结：空间几何中的平面平行关系是一种重要的关系概念，具有一定的性质和判定方法。
理解和应用平面平行关系对于解决各种实际问题以及在相关领域中的应用具有重要意义。
通过本文的介绍，希望读者能够对平面平行关系有更深入的理解，并能够灵活应用于实际问题中。
平行线的判定课件PPT
3)在同一平面内，两条不重合的直线位置关系只有 ___2__种，即__相__交__和__平__行___。
例：已知直线AB和直线外一点P，过点P画一 放 二、贴 A
推平行线法
B
三、推
四、画
过点P能否再画一条直线与AB平行？
A C E
∵ AB//EF, CD//EF
B D F
(已知）
∴ AB//CD（如果两条直线都平行于 第三条直线,那么这两条直 线也互相平行）
探究（: 1）画一条直线 a，再画两条直线
b、C分别与直线a垂直。
（2）、观察直线 b、C是否平行？
b C
如果两条直线都垂直于 第三条直线,那么这两条 直线互相平行.
b
c
解：这两条直线平行。
a
1
2
∵ b⊥a c ⊥a
∴∠1=∠2 = 90 °
∴b ∥ c（同位角相等，两直线平行）
结论：垂直于同一条直线的两条直线互相（
）
平行
同位角相等, 两直线平行
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行 如果两条直线都与第三条直线平行，那 么这两条直线也互相平行
在同一平面内，垂直于同一条直线的 两条直线互相平行
两直线平行 位置关系
数量关系
体验成功——达标检测
E
必做题：
1、如果∠A +∠B =180°，那么根据同旁内
AE 角互补，两直线平行，可得_____∥_____；
如果 +∠B =180°，那么根据同旁内角 互补，∠两C直线平行，可得AB∥EC。
BC A
C B
16 a
线面平行关系及线面角
知识归纳 一、直线与平面平行 1．判定方法
2．性质定理： ⇒a∥b α∩β＝ b a∥α a⊂β
(1)用定义：直线与平面无公共点． a⊄ α b⊂ α⇒a∥α a∥ b
(2)判定定理：
α∥ β ⇒ a∥ α (3)其它方法： a⊂ β
A
O BC 2a BOC, ABC都为等腰直角三角形
取BC中点E，连接 AE，O E 2 AE BC , 且AE OE a OA a AE OE 2 AE 面 AOE为O A 与所成的角
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AOC , AOB都 为 正 三 角 形 AC AB a
求证：PQ∥平面 CBE.
证明：方法 1：如下图，作 PM∥AB 交 BE 于点 M，作 QN
∥AB 交 BC 于点 N，则 PM∥QN.
PM EP QN BQ ∴ AB ＝EA，CD ＝BD， ∵AP＝DQ，∴EP＝BQ， 又∵AB＝CD，EA＝BD， ∴PM＝QN.又∵PM∥QN， ∴四边形 PMNQ 是平行四边形，∴PQ∥MN. 综上所述： PQ⊄平面 CDE，MN⊂平面 CBE，PQ∥MN， ∴PQ∥平面 CBE.
方法：
中位线
平行四边形
公理4
线线平行 性质 不成立 判定 性质
判定 面面平行
思想： 性质 转化思想、“降维”与“升维”思想
线面平行
三、常见错误 1．应用线面平行、面面平行的判定定理与性质定理时，条 件不足或条件与结论不符是常见的错误，解决的方法是弄清每 一个定理的条件和结论，明确这个定理的作用及具备什么条件 才能用．
E
B