压轴题型训练8-三次函数图像与性质针对训练

三次函数图像与性质及对称性应用押题针对训练例1．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是（ ）A ．0x ∃∈R,0()0f x =B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x =【答案】C 例2．函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a －x)=2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P ‘（2a －x ，2b －y ）也在y = f (x)图像上，∴ 2b －y = f (2a －x) 即y + f (2a －x)=2b 故f (x) + f (2a －x) = 2b ，必要性得证。

（充分性）设点P(x 0,y 0)是y = f (x)图像上任一点，则y 0 = f (x 0)∵ f (x) + f (2a －x) =2b ∴f (x 0) + f (2a －x 0) =2b ，即2b －y 0 = f (2a －x 0) 。

故点P ‘（2a －x 0，2b －y 0）也在y = f (x) 图像上，而点P 与点P ‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

[类似结论]. 1．函数y=f(x)与y=2b －f(2a －x)的图像关于点A(a ,b)成中心对称。

2．若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()2()f a x b f a x +=--，则()y f x =的图像关于点 (a ,b) 对称．例3练习1．函数3(1)1y x =++的对称中心是 ．【答案】()1,1-练习2．如果函数()y f x =的图象与函数32y x =-的图象关于坐标原点对称，则()f x = ．【答案】23x --练习3．定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称，对任意实数x 都有3()()02f x f x ++=且(1)1f -=，(0)2f =-，则(0)(1)(2)(2009)f f f f ++++= ．【答案】0 【解析】由3()()0332()()()()322()()02f x f x f x f x f x f x f x f x ⎧+--=⎪⎪⎡⎤⇒-+=+⇒-=⎨⎢⎥⎣⎦⎪++=⎪⎩， ()f x ∴是偶函数，(1)(1)1f f ∴=-=又3()()2f x f x +=-，()f x ∴是周期函数，3T =，∴(2)(1)1f f =-=，易得解。

例4．求曲线f (x )＝23x 3－2x 2的对称中心，并证明。

【解析】对称中心横坐标即导函数对称轴位置，证明即计算8()(2)3f x f x +-=-练习4．求曲线f(x)＝323x x ++3x －4的对称中心，并证明。

例5．设曲线C 的方程是3y x x =-，将C 沿x 轴、y 轴正方向分别平移t 、s (0)t ≠个单位长度后得到曲线1C ．（1）写出曲线1C 的方程；（2）证明曲线C 与1C 关于点(,)22t sA 对称；（3）如果曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，证明：34t s t =-．【答案】（1）曲线1C 的方程为3()()y x t x t s =---+；（2）证明：在曲线C 上任意取一点111(,)B x y ，设222(,)B x y 是1B 关于点A 的对称点，则有1212,2222x x t y y s ++==，∴1212,x t x y s y =-=-代入曲线C 的方程，得22,x y 的方程：3222()()s y t x t x -=---即3222()()y x t x t s =---+，可知点222(,)B x y 在曲线1C 上． 反过来，同样证明，在曲线1C 上的点A 的对称点在曲线C 上． 因此，曲线C 与1C 关于点A 对称．（3）证明：因为曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，∴方程组33()()y x xy x t x t s⎧=-⎪⎨=---+⎪⎩有且仅有一组解，消去y ，整理得22333()0tx t x t t s -+--=，这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根，∴43912()0t t t t s ∆=---=，即得3(44)0t t t s --=，因为0t ≠，所以34t s t =-．课后练习:1. （2010年高考福建（文））已知函数321()3f x x x ax b =-++的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为32y x =-. （Ⅰ）求实数a ，b 的值； （Ⅱ）设()()1mg x f x x =+-是[2,)+∞上的增函数. （ⅰ）求实数m 的最大值；（ⅱ）当m 取最大值时，是否存在点Q ，使得过点Q 的直线能与曲线()y g x =围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.解法一：（Ⅰ）由2'()2f x x x a =-+及题设得'(0)3(0)2f f =⎧⎨=-⎩即32a b =⎧⎨=-⎩。

（Ⅱ）（ⅰ）由321()3231m g x x x x x =-+-+- 得22'()23(1)m g x x x x =-+--。

()g x 是[2,)+∞上的增函数， '()g x ∴0≥在[2,)+∞上恒成立，即22230(1)mx x x -+-≥-在[2,)+∞上恒成立。

设2(1)x t -=。

[2,),[1,)x t ∈+∞∴∈+∞ ，即不等式20mt t+-≥在[1,)+∞上恒成立 当0m ≤时，不等式20mt t +-≥在[1,)+∞上恒成立。

当0m >时，设2my t t=+-，[1,)t ∈+∞因为2'10m y t =+>，所以函数2my t t=+-在[1,)+∞上单调递增，因此min 3y m =-。

min 0,30y m ≥∴-≥ ，即3m ≤。

又0m >，故03m <≤。

综上，m 的最大值为3。

（ⅱ）由（ⅰ）得3213()3231g x x x x x =-+-+-，其图像关于点1(1,)3Q 成中心对称。

证明如下：3213()3231g x x x x x =-+-+- 3213(2)(2)(2)3(2)2321g x x x x x ∴-=---+--+--321833331x x x x=-+-++- 因此，2()(2)3g x g x +-=。

上式表明，若点(,)A x y 为函数()g x 在图像上的任意一点，则点2(2,)3B x y --也一定在函数()g x 的图像上。

而线段AB 中点恒为点1(1,)3Q ，由此即知函数()g x 的图像关于点Q 成中心对称。

这也就表明，存在点1(1,)3Q ，使得过点Q 的直线若能与函数()g x 的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。

解法二： （Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）（ⅰ）由321()3231m g x x x x x =-+-+- 得22'()23(1)m g x x x x =-+--。

()g x 是[2,)+∞上的增函数， '()g x ∴0≥在[2,)+∞上恒成立，即22230(1)mx x x -+-≥-在[2,)+∞上恒成立。

设2(1)x t -=。

[2,),[1,)x t ∈+∞∴∈+∞ ， 即不等式20mt t+-≥在[1,)+∞上恒成立。

所以22m t t ≤+在[1,)+∞上恒成立。

令22y t t =+，[1,)t ∈+∞，可得min 3y =，故3m ≤，即m 的最大值为3.（ⅱ）由（ⅰ）得3213()3231g x x x x x =-+-+-， 将函数()g x 的图像向左平移1个长度单位，再向下平移13个长度单位，所得图像相应的函数解析式为313()23x x x xφ=++，(,0)(0,)x ∈-∞+∞ 。

由于()()x x φφ-=-，所以()x φ为奇函数，故()x φ的图像关于坐标原点成中心对称。

由此即得，函数()g x 的图像关于点1(1,)3Q 成中心对称。

这也表明，存在点1(1,)3Q ，是得过点Q 的直线若能与函数()g x 的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。

2．（2008年高考福建卷（文））已知函数32()2f x x mx nx =++-的图象过点（-1，-6），且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.(Ⅰ)求m 、n 的值及函数y =f (x )的单调区间；(Ⅱ)若a ＞0，求函数y =f (x )在区间（a -1,a +1）内的极值. 解：（1）由函数f (x )图象过点（－1，－6），得m -n =-3, ……①由f (x )=x 3+mx 2+nx -2，得f ′（x ）=3x 2+2mx +n ,则g (x )=f ′(x )+6x =3x 2+(2m +6)x +n ;而g (x )图象关于y 轴对称，所以－3262⨯+m ＝0，所以m =-3,代入①得n =0. 于是f ′(x )＝3x 2-6x =3x (x -2).由f ′(x )>得x>2或x <0, 故f (x )的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）； 由f ′(x )<0得0<x <2,故f (x )的单调递减区间是（0，2）. (Ⅱ)由（Ⅰ）得f ′(x )＝3x (x -2),令f ′(x )＝0得x =0或x=2. 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：由此可得：当0<a <1时，f (x )在（a -1,a +1）内有极大值f (O )=-2,无极小值； 当a =1时，f (x )在（a -1,a +1）内无极值；当1<a <3时，f (x )在（a -1,a +1）内有极小值f (2)＝－6，无极大值； 当a ≥3时，f (x )在（a -1,a +1）内无极值.综上得：当0<a <1时，f (x )有极大值－2，无极小值，当1<a <3时，f (x )有极小值－6，无极大值；当a=1或a ≥3时，f (x )无极值.3．（2013年高考广东卷（文））设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈.(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间;(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M【答案】(1)()'2321f x x kx =-+当1k =时()'2321,41280f x x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.(2)当0k <时,()'2321fx xkx =-+,其开口向上,对称轴3kx =,且过()01，(i)当(241240k kk ∆=-=+-≤,即0k ≤<时,()'0f x ≥,()f x 在[],k k -上单调递增从而当x k =时,()f x 取得最小值()m f k k== , 当x k=-时,()f x取得最大值()3332M f k k k k k k=-=---=--.(ii)当(241240k k k ∆=-=+>,即k <时,令()'23210f x x kx =-+=解得:12x x ==,注意到210k x x <<<,(注:可用韦达定理判断1213x x ⋅=,1223kx x k +=>,从而210k x x <<<;或者由对称结合图像判断)()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==- ()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k=-=--综上所述,当0k <时,()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k=-=--解法2(2)当0k <时,对[],x k k ∀∈-,都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥,故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-,而 ()0f k k =<,3()20f k k k -=-->所以 3max ()()2f x f k k k =-=--,min ()()f x f k k ==(1) 解法3:因为2()321f x x kx '=-+,22(2)4314(3)k k ∆=--⨯⨯=-;① 当0∆≤时,即0k ≤<时,()0f x '≥,()f x 在R 上单调递增,此时无最小值和最大值;② 当0∆>时,即k <时,令()0f x '=,解得x ==或x ==;令()0f x '>,解得x <或x >;令()0f x '<,解得x <<;因为0k <=<-23k k >=>作()f x 的最值表如下:则min (),m f k f ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭,max (),M f k f ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭;因为21f k ⎡⎤⎢⎥=-⨯+⎢⎥⎣⎦=;322(26)18()27k k k kf f k -----=>2480279k k -==->,所以min (),()m f k f f k k ⎧⎫⎪⎪===⎨⎬⎪⎪⎩⎭; 因为21f k ⎡⎤⎢⎥=-⨯+⎢⎥⎣⎦=;()f f k --=32352(26)36504202727k k k k k k +-++=<=<;所以3max (),()2M f k f f k k k ⎧⎫⎪⎪=-=-=--⎨⎬⎪⎪⎩⎭; 综上所述,所以m k =,32M k k =--.4．设函数,241)(+=x x f（1）求证：对一切)1()(,x f x f R x -+∈为定值；（2）记*),()1()1()2()1()0(N n f nn f n f n f f a n∈+-++++= 求数列}{n a 的通项公式及前n 项和.【答案】（1）111141()(1).4242424242x x x x x f x f x -+-=+=+=++++⋅1111221(2)(1)(0)(1),()(),()()2221,(1)(0).21112,.24113(3)[234(1)].4428n n n n n f f f f f f n n n n f f n n n a a n n n S n n --+=+=+=+=+++=∴=++=+++++=⋅⋅= 由知将上述个式子相加得。