复变函数(西交大)第十一讲
工程数学《复变函数》(第四版)课件 1-1,2 西安交大 天津工业大学理学院 赵璐
z1 + ( z2 + z3 ) = ( z1 + z2 ) + z3
z1 ( z2 z3 ) = ( z1 z2 ) z3
分配律
z1 ( z2 + z3 ) = z1 z2 + z2 z3
9
⑤ 设 z x iy, 定义 z的共轭复数z x iy. 共轭复数的性质： i) ii)
x x1 t x 2 x1 y y1 t y 2 y1
t
∴它的复数形式的参数方程为
z x yi z1 t z2 z1 t
由z1 到 z 2 直线段的参数方程为
20
z1 z 2 1 特别地，取 t , 则线段 z1 z2 的中点为 z 2 2
z1 5 5i 3 4i 5 5i 3 4i 3 4i z 2 3 4i
z1 求 与 z2
z1 z 2
25 1 3i z , 求 Rez , Im z 与 zz . 例2 设 i 1 i
复 变 函 数
教师： 赵璐 邮箱：zhaolu.nan@
课程介绍
• 研究对象：复变函数（自变量为复数的函数） • 主要任务：研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分。
· 学习方法：复变函数中许多概念、理论、和方
法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之 间有许多相似之处，但又有不同之点，在学习中 要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的 那些性质与结果。
x1 x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2 x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1 2 x1 x2 y1 y2 2 Rez1 z2
复变函数 复习课件 西安交大第四版共81页文档
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
复变函数 复习课件 西安交大第四版
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
复变函数课件章节
汇报人：
目录
添加目录标题
01
复变函数的基本概念
02
复变函数的微积分
03
全纯函数与亚纯函数
04
复变函数的积分公式 和全纯函数的性质
05
全纯映射和几何函数 论
06
添加章节标题
复变函数的基本 概念
复数及其几何意义
复数：实数与 虚数的组合
复平面：复数 的几何表示
复数的模：表 示复数的大小
全纯函数的性质
全纯函数是复变函数中的重要概念，具有解析性和连续性
全纯函数在复平面上的解析性，即函数在复平面上的任意点处都可以解析
全纯函数的连续性，即函数在复平面上的任意点处都可以连续
全纯函数的性质还包括其解析性和连续性的关系，即全纯函数在复平面上的解析性和连续性是等价 的
最大模原理和柯西积分公式
亚纯函数的展开 和值分布理论
亚纯函数的展开和米塔-列夫勒理论
展开：将亚纯函数分解为幂 级数的形式
米塔-列夫勒理论：研究亚纯 函数展开的性质和规律
亚纯函数：复变函数中的一 种特殊函数
应用：在解析数论、复动力 系统等领域有广泛应用
值分布理论和皮卡定理
值分布理论：研 究函数在复平面 上的值分布规律
皮卡定理：描述 函数在复平面上 的值分布规律
极值性质：全纯 映射的极值性质， 包括最大值和最 小值
泰勒定理：泰勒 定理的证明和应 用，包括泰勒级 数和泰勒展开式
极值定理：极值 定理的证明和应 用，包括极值点 的存在性和唯一 性
泰勒定理的应用： 泰勒定理在复变 函数中的应用， 包括求解微分方 程和积分方程
几何函数论和单叶函数
几何函数论：研究复变函数在几何上的性质，如解析性、单值性、连续性等 单叶函数：复变函数在某一区域内具有唯一确定的值，且该值与自变量一一对应 单叶函数的性质：解析性、单值性、连续性、可微性等 单叶函数的应用：在工程、物理、化学等领域有广泛应用，如流体力学、电磁学、量子力学等
西安交大工程数学复变函数第四版1.3-1.5
Argz1z2 Argz1 Argz2 （两个数集相同）
指数形式：z1 r1e i1 z2 r2e i 2 则
1
几何意义：
从几何上看, 两复数对应的向量分别为
z1 ,
z2 ,
先把 z1 按逆时针方向旋转一个角 2 ，再把它的模扩大到 r2倍
• 当 z2 =1 时，乘法变成了旋转。
12
§5 复变函数
1.定义
设G是一个复数 z x iy 的集合. 如果有一个确定的法则
存在，对于集合G 中的每一个复数z ，就有一个或几个复数
w u iv与之对应，那么称 w是z的函数，记为 w f z
单值的 多值的 定义集合 函数值集合
• 复变函数 w = f (z)可以看做一元函数来研究，也可以
10
简单曲线或若尔当（Jardan）曲线: 没有重点的连续曲线
简单闭曲线： za zb的简单曲线
重点
不简单、不闭
z a
zb
例
简单、闭
简单、不闭
不简单、闭
11
单连通域：复平面上的一个区域B，如果在其中任作一条 简单闭曲线，而曲线的内部总属于B 。
多连通域：非单连通域。
多连通域
单连通域
多连通域
简单说，单连通域为无洞区域，多连通域为有洞区域
x x(t)
y
, y(t)
t
[a,
b]
则由
u v
u(x, y) v(x, y)
得 C的参数方程
u u[x(t), y(t)] u(t)
v
v[x(t),
y(t)]
v(t)
15
例 函数 w 1 把z平面上的曲线 x 1, ( x 1)2 y2 1 z
复变函数
《复变函数与积分变换》——高教出版社 《复变函数与积分变换》——上交大出版社 《复变函数》——高教出版社《复变函数》——西交大高等数学教研室编例：Z=—1+√3i解：r=2 argZ=arctan √3−1+π=23πZ 的三角表示为Z=2(cos 23π+isin 23π)Z 的指数表示为Z=2e i 23π例：Z=—sinπ3—icos π3解：化简：Z=—√32—i 12 r=1 argZ=—56π （θ=—56π+2kπ） 例：Z=1+cos θ+isinθ （—π<θ<π） 解：|Z |=√(1+cosθ)2+sinθ2=√2+2cosθ=√2·√1+cosθ=2sin θ2 （sinθ22=1+cosθ2）例：1、|Z +3i |=1解：|Z—(—3i )=1| 2、Re （Z+2）=—1 解：设Z=x+iy 得：x=3、|Z−2i |=|Z +4| 解：设Z=x+iy{|Z −2i |=√x 2+（y −2）2|Z +4|=√（x +4）2+y 2 得：2x+y+3=0 （垂直平分线） 1·1·4例：证明：设|Z 0|<1，若|Z |=1，则|Z−Z 01−Z 0̅̅̅̅·Z |=1 要证：|Z−Z 01−Z 0̅̅̅̅·Z |=1 即证：|Z −Z 0|=|1−Z0̅̅̅·Z |又：|Z |=1 |Z |2=1=Z ·Z所以：|1−Z 0̅̅̅·Z |=|Z ·Z −Z 0̅̅̅·Z | =|（Z −Z0̅̅̅）Z| =|Z −Z0̅̅̅|·|Z | =|Z −Z0̅̅̅̅̅̅̅̅̅| （|Z |=|Z |） =|Z −Z 0|例：|Z=1，且Re (Z )≠0，证：Z 1+Z 2是实数。
|若：Z=Z ，则Z 是实数。
所以：法1、 要证：Z 1+Z 2=(Z 1+Z2)̅̅̅̅̅̅̅̅=Z ̅1+Z2̅̅̅̅̅̅̅̅ 又：1=|Z |2=Z ·ZZ 1+Z 2=Z Z·Z̅+Z 2=1Z ̅+Z=12Re (Z )而Re （Z ）≠0法2、Z 1+Z 2=(Z 1+Z2)̅̅̅̅̅̅̅̅=Z ̅1+Z2̅̅̅̅̅̅̅̅ = Z ̅1+Z·Z ̅̅̅̅̅ =Z̅1+（Z̅）2 ∴Z+Z ·(Z )2=Z +Z ·Z 2 Z+Z =Z +Z例：计算：（−1+i √3）6令Z=—1+i √3=2（cos 23π+isin 23π）所以：（−1+i √3）6=26（cos 23π+sin 23π）=64 例：设（1−i ）n=（1+i ）n，求n法1、1+i=√2（cos π4+isin π4）1— i=√2（co s −π4+isin−π4）所以：2sinnπ4=0nπ4=k π n=4k法2、（1−i1+i )n= （1−i)n（1+i)n=1而：1−i1+i =（1−i）22=—i 所以：—i=1 得：n=4k例：Z4−1−i=0 求Z？解：Z4=1−i r=√2Z（1，—1）argZ=arctan（—1）=−π4三角表示：Z=√2（cos−π4+isin−π4）所以：Z=√2124·（cos−π4+2kπ4+isin−π4+2kπ4）k=0,1,2,3得：Z0，Z1，Z2，Z31·2复变函数1、0<|Z−i|<1表示以（0,1）为圆心，1为半径的元的内部，去掉圆心。
工程数学复变函数西安交通大学出版社§3.5-3.6-new
所以 f (1 i) 2(6 13i).
12
例5 求积分 ez dz, 并证明 π ecos cos(sin )d π .
z 1 z
0
解 根据柯西积分公式知,
ez dz 2i ez 2i;
z 1 z
z0
令 z rei , (π π ) z r 1,
2i 1 z(z i) zi
2
2
2i
1 2i 2
i.
11
例４ 设 C 表示正向圆周x2 y2 3,
f (z)
C
3
2 7 z
1d ,
求
f (1 i).
解 根据柯西积分公式知, 当 z 在 C 内时,
f (z) 2πi (3 2 7 1) 2i(3z2 7z 1), z
(2) 不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的 一种方法, 而且给出解析函数的一个积分表达式.
(这是研究解析函数的有力工具)
(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上
的平均值. 如果 C 是圆周z z0 R ei ,
f
( z0
)
1 2π
2π 0
f (z0
R ei )d .
7
三、典型例题
K z z0
K
R K
ds
2π .
f (z) f (z0 ) ds z z0
则
C
f (z) z z0
dz
2if
(z0 )
2
根据闭路变形原理知, 上式成立与 R 无关, 故有
f
( z0
)
1 2i
f (z) dz C z z0
复变函数与积分变换(全套课件334P)
z 3 z 2 z 1 0根为i, 1, i
且z z z 1 ( z i)( z 1)( z i)
3 2
§1.2 复平面上的曲线和区域
一、复平面上的曲线方程 平面曲线有直角坐标方程 和参数方程
F ( x, y ) 0
x x(t ) 两种形式。 y y (t )
5 5 z 2 r2 cos i sin 6 6
3 1 r2 r2i 2 2
3 1 3 1 则z r1 2 r1i r2 2 r2i 2 2 2 2
例4
求方程
3 2
z z z 1 0 的根。并将
1 3 2 z 13 13 13
2 2
2 arg( z ) arctan 3
（3）
i 4i i i 4i i 1 3i,
10 25 10
| z | (1) 2 32 10 ,
(4)
arg( z ) arctan 3
17512ii????232357arg21argii????57re57imii???例2求下列复数的模与辐角例2求下列复数的模与辐角12i??3i231?34iii??25104ni?????????231解12231215argarctan63zz???????????1??22321131313z????????????????32arctanarg??z132133232323231iiiii??????????????23144102510iiiiiii????????103122????z3arctanarg???z3313argarctan3ii????模为141?z23arg??knz??23nkk????????满足的313cossin233niinnei????????????????3argarctan323ez????模为14例3求满足下列条件的复数z
《复变函数与积分变换》教学大纲
《复变函数与积分变换》教学大纲“复变函数与积分变换"课程教学大纲课程英文名称：Function of One Complex Vatiable and Integral rransforma tion课程编号：04111201 课程类型：基础理论课学时：30 学分：2先修课程：高等数学、线性代数适用专业：化工、电气类专业适用对象：民、汉族工科类本科学生。
使用教材：《复变函数与积分变换》，苏变萍、陈东立编，高等教育出版社。
参考教材：《复变函数与积分变换(第二版)》，华中科技大学数学系编，高等教育出版社。
《复变函数》，西安交大编，高等教育出版社。
《积分变换》，南京工学院编，高等教育出版社。
《复变函数与积分变换》，包革军等(哈工大)编，科学出版社。
《复变函数论》，钟玉泉编，高等教育出版社，第三版。
一、课程的性质、目的与任务本课程为工科类的基础理论课，介绍复变函数与积分变换的基本知识及运用，提高学生解决实际问题的数学能力。
二、教学基本要求第一篇复变函数1．复数与复变函数理解复数的概念；熟悉复数的多种表示法、复数的四则运算及开方运算；理解复数运算的几何意义；理解区域、单连通域、多连通域和复球面等概念；掌握用复变数的方程来表示常用曲线及用不等式表示区域；掌握复变函数中的几个常用的初等函数。
2．导数理解复变函数的极限、连续性概念；理解复变函数导数概念，了解一个复变函数等价于一对实二元函数；理解函数解析的概念与柯西一黎曼条件；掌握判别函数解析性的方法；了解解析函数与调和函数的关系，并掌握由已知的调和函数求其共轭调和函数，从而得到解析函数的方法。
3．积分理解复变函数积分的概念并掌握它的基本性质；掌握复变函数积分的一般计算方法；掌握柯西定理及其推论；熟练掌握用柯西积分公式及高阶导数公式计算积分。
4．级数了解复数项级数的敛散性及有关概念、主要性质及重要定理；了解幂级数收敛的阿贝尔定理以及幂级数的收敛圆、收敛半径等概念，掌握幂级数收敛半径的求法以及幂级数在收敛圆内的性质；记住几个主要的初等函数的泰勒展开式，能熟练地把一些比较简单的初等函数展开成泰勒级数；理解罗朗级数的作用，并能把比较简单的函数在不同环域内展开成罗朗级数；理解孤立奇点的概念、分类及判别方法。
复变函数与积分变换教学大纲
《复变函数与积分变换》课程考试大纲课程名称：复变函数与积分变换课程英文名称：Functions of Complex Variable and Integral Transforms课程编号：110000340适用专业：自动化，机械，电气，通信学时数：56学分数：3.5一．教材[1] 西安交通大学高等数学教研室编《工程数学－－复变函数（第四版）》，高等教育出社[2] 祝同江编《工程数学－－积分变换（第二版）》，高等教育出社二．课程考试内容第一章复数与复变函数复数的各种表示方法及其运算；区域的概念；复变函数的概念，复变函数的极限和连续的概念；用复数方程表示曲线，用不等式表示区域。
第二章解析函数复变函数的导数概念及解析函数的概念及解析函数与柯西—黎曼方程的联系，初等解析函数的基本性质；掌握求导的方法；函数解析性的判断，柯西－黎曼方程的运用。
第三章复变函数的积分积分的定义及性质，会求积分；柯西定理、复合闭路定理、柯西积分公式和高阶导数公式；调和函数与解析函数的关系，从已知的调和函数求其共轭调和函数。
第四章级数复数项级数、幂级数收敛、发散概念；幂级数的基本性质，收敛半径的求法；复数项级数的绝对收敛、条件收敛、发散的判定；函数在圆域内展开为泰勒级数与不同圆环域内展开为罗朗级数的间接方法。
第五章留数孤立奇点及其分类、留数的概念及留数定理；孤立奇点处留数的求法；应用留数定理计算复积分与定积分。
第六章傅立叶积分变换傅立叶变换及逆变换的概念；δ函数及其性质；傅立叶变换性质；用傅立叶变换性质计算某些函数的傅立叶变换及逆变换。
第七章拉普拉斯变换拉氏变换及逆变换概念；拉氏变换的性质；卷积定理；有理函数的拉氏逆变换的求法；用拉氏变换解微分方程的方法；拉普拉斯变换性质；用拉普拉斯变换性质计算某些函数的拉普拉斯变换及逆变换；卷积的计算。
三．样卷填空题：（8×4’）1．2012i = ；2. 复数ii z -+=11 三角表示形式 ； 3.=)'(n z _________； 4. 0=z 是z z 31-的 阶极点，=-)0,31(Re zz s ； 5. 函数2||)(z z f = 仅在点z = 处可导；6. 设C 为由点i z --=1到点i z +=1的直线段，则⎰Cz 3 dz= ； 7. =)3ln(i ；8. 若)(1ωF =ℱ[])(1t f ，)(2ωF =ℱ[])(2t f ，则ℱ=*)]()([21t f t f .选择题：（4×4’）1. 函数iaxy y x z f +-=22)(在z 平面上解析，则a =（ ）. A. -3 B. 1C. 2D. 32. 0=z 是函数 21)(zz f = 的 ( ) . A. 可去奇点 B. 二阶极点C. 一阶极点D. 本性奇点.3. 设),(),()(y x iv y x u z f +=，那么),(y x u 与),(y x v 在点),(00y x 可微是)(z f 在点0z 可微的（ ）.A ．充分必要条件 B. 必要非充分条件C. 充分非必要条件D. 非充分也非必要条件.4. 级数 ∑+∞=1n n ni ( ) . A. 绝对收敛 B. 条件收敛C. 发散D. 以上都不对.解答题：(共52分)1．设)(2222y dxy cx i by axy x +++++，问常数,,,a b c d 为何值时()f z 在复平面上处处解析？并求这时的导数.(8分)2．计算积分⎰+=C dz |z |z z I 的值，其中C 为正向圆周2=z . (7分)3．用留数法计算积分⎰∞∞-++dx x x x 54cos 2.(8分) 4．把函数11)(2+=z z f 在复平面上的下列圆环域展开为i z -的洛朗级数. +∞<-<<-<i z i z 2)2(,20)1(.(8分)5．试求函数ζζd e )(z0-2⎰=z f 在点0=z 处的泰勒级数，并指出其收敛区域. (7分) 6．计算 ℒ])1(2[221+-s s .(7分) 7．利用Laplace 变换法解微分方程⎩⎨⎧==+'.0)0(,1y y y (7分)。
复变函数(西交大版)课件第一章
2
2n
Arg ( z1 z2 ) 2k k 0, 1, 2, 2 3 代入上式 2m n 2k 2 2
要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.
定理2
两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。
a
b
二、复球面
1. 南极、北极的定义
取一个与复平面切于原 z 0 的球面, 点 球面上一点S 与原点重合,
记作
可用向量OP表示z x iy .
x2 y2 ,
y
P(x,y)
z r
z 0 OP 0
o
x
x
z tan( z=0时，辐角不确定。 0时， Argz ) y / x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z， 把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值， 记作θ0=argz。 y x 0, y R arctan x 计算 x 0, y 0 arg z argz(z≠0) 2 y 的公式 arctan x 0, y 0 x y x 0, y 0 arctan 2 x 2
当z落于一,四象限时，不变。
P4 例1.1
当z落于第三象限时，减
当z落于第二象限时，加
。
。
由向量表示法知
z2 z1 — 点z1与z2之间的距离
由 此 得: z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1
y
(z)
z1