用数列极限计算函数极限的夹逼定理

用数列极限计算函数极限的夹逼定理 摘要 通过对一些实例的分析介绍了两个利用数列极限计算函数的夹逼定理，可以有效的计算一类函数极限. 关键词 数列极限 函数极限 夹逼定理 函数极限1lim(1)xnex在计算函数极限和数列极限中起着重要的作用.许多数学分析教材中称之为重要极限.但一些教材再推导过程中，叙述中含糊，不够准确.本文通过对几个实例的分析介绍了2个利用数列极限计算函数极限的夹逼定理. 1.问题的提出.

下文中我们只研究1lim(1)xnex，因为1lim(1)xnex可用换元法得到.首先来看一个应用.

引例1.1计算3333lim()1nnnn

解：33212132333312lim()lim111112nnnnnennn

评注1.1 本例中数列极限31231lim112nnen，很多同学认为是由于1lim(1)nnen.但这种想法是似是而非的.严格的讲这是由1lim(1)xnex及

Heine定理得出来的．类似的例子几乎都是如此．可见1lim(1)xnex为什莫成立时确实需要弄明白的. 引例1.2证明

证明：对于任意的1x，有 11111111xxxxxx，其中x表示ｘ的整数部分，令x时，不等式左，右两侧表现为两个极限． 11lim(1)nnen 与1lim(1)1nnen

 再利用函数极限的夹逼性得到1lim(1)xnex 评注1.2本例中所述“令x时，不等式左，右两侧表现为两个数列的极限”部分说得比较含糊，对于初学学生理解起来较为困难，更不将“n”与“x”区分开．

下面我们分析一下是否数列极限1lim(1)1nnen能够明显得到函数

1lim11xxex





.研究数列极限如函数极限时.我们都会想到HEINE定理.根

据HEINE定理.1lim11xxex的充分必要条件是对于任意趋于的数列nx都有1lim11nxxnex

当nxn时，数列

111nxnx







=121111,1,,1,11211nn

所以 11lim1lim111nxnnnnexn. 当2nxn数列

214921111111,1,1,1,11141911nxn

nxn





是数列

111nn



的子列，所以 2211lim1lim111nxnnnnexn. 但

是当nxn时，数列

1112111111

11,1,1,1,1,1111111211nnxnxn















，显然数列111nn是数列111nn的子列.因此从逻辑上我们就不能直接由1lim(1)1nnen得到1lim11nnen也就不能直接得到1lim(1)1xnex

.至于有的教材中将111nxnx认为是111nn的

子列，则是明显不对的. 2．主要结果 通过上节讨论，我们可以提出下面的用数列极限计算函数极限的夹逼定理

定理2.1 设fx在,a上有定义0a，如果存在数列nx，ny满足对

于任意xa当1nxnnN时，有nnxfxy，且limlimnnxxxyA（A为有限数），则limxfxA. 证明：0，由于limlimnnxxxyA所以NN（不妨设Na）当nN时，有nxA且nyA.取X=N+1当x X时，总可以找到0nN满足0nN

且001nxn，由条件可得00nnxfxy.所以00nnxAfxAyA，于是00max,nnfxAxAyA，由极限定义知limxfxA.

例2.1 证明1lim1xxex. 证明：对于1x，当1nxn时，有

111111111111111xxnxnnxxxn













而111lim1lim11nnxxenn.

由定理2.1可知1lim11xxex. 例2.2 证明1lim1xxx. 证明：对于1x，当1nxn时有111111111nxxxnnxxxn 而且111limlim11nnxxnn.由定理2.1可知1lim1xxx. 在学习定积分时遇到下面的习题： 例2.3.计算极限0coslimxxtdtx

解：对于任意的2x当212122kkxkN时，有2122210012coscoscos12ikxiitdttdttdtk



及21122210012coscoscos121ikxiitdttdttdtk 于是0cos22112*122112*2121212122xtdtkkkkkkkxk 而且2212212limlim2121kkkkkk. 所以受定理2.1的启发.结论应该是0coslimxxtdtx=2.然而这并非用定理2.1的结果，事实上定理2.1中控制x的间隔是1（从n到n+1），而例2.3中控制x的间隔是（从212k到212k）.那末能不能有更一般的结果可以涵盖例2.3的结果呢？下面我们给出更一般的结果. 定理2..2 设fx在,a上定义0a，如果存在数列nx.ny.且存在

一个趋于的一个递增的正数列na.满足对于任意xa，当1nnaxanN时，有nnxfxy且limlimnnxxxyA（A为有限数）.

则limxfxA. 证明：0.由于limlimnnxxxyA.故NN，当nN时，有nxA.且nyA，取1max,NXaa，当xX时，由于nan，故区间11,,nnnNXaa，因此总可以找到0nN满足01nNN且

001nnaxa，由条件可得00nnxfxy，所以00nnxAfxAyA于是00max,nnfxAxAyA.由极限定义知limxfxA.

评注2.1通过上面的思考可以学会或更好的理解下面的知识点 （一）数列极限和函数极限的概念. （二）体现数列极限和函数极限的关系的Heine定理. （三） 数列极限夹逼定理和函数极限的夹逼定理. （四） 数列极限和其子列极限之间的关系. （五） 新的用数列极限计算函数极限的方法. 参考文献

• 陈纪修 於崇华 金路.数学分析(第二版)[上][M].北京:高等教育出版社,2004.84-85.

• 陈传璋 金福临 朱学炎 欧阳光中.数学分析(第二版)[上][M].北京:高等教育出版社,1983.71-72.

• 周民强.数学分析(第一册)[M].上海:上海科学技术出版社,2002.107-108. • 李成章 黄玉民.数学分析(上)[M].北京:科学出版社,1983.61.