展开与折叠重难点题型
24.3基本几何体的平面展开图(几何体展开、图形折叠等3大题型提分)(课件)九年级数学下册(北京版)
图1
图2
将一个如图1所示的长方体纸盒，沿着某些棱剪开，分别展开成如图2中的 一个平面图形.
图1
图2
我们看到，如图所示的都是由长方体的表面沿着一些棱剪开后，展开而成的 平面图形。显然，对同一个长方体的表面，按照不同的方式展开可以得到不 同的平面展开图.
交流
1.一个正三棱锥的表面可以展开成如下图中的哪个平面图形?
×
2
+
(
4
×
6
)
×
3
≈ 103. 2 ( m2 ).
答：制作每个灯具所需材料的面积约为 103. 2 m2 .
基础检测
1.下面图形经过折叠能否围成棱柱？
解：(1)侧面数(4个)≠底面边数(3条)，不能围成棱柱． (2)两底面在侧面展开图的同一端,不在两端,所以也不能围成棱柱． (3)可以折成棱柱。
2.下面几个图形是一些常见几何体的展开图，你能正确说出这些几何体的名字么？
圆锥
四棱锥
长方体
三棱柱
三棱锥
三棱柱
正方体
圆柱
3.如图，上面的图形分别是下面哪个立体图形展开的形状？把它们用线连 起来.
4.下图是一些立体图形的展开图，用它们能围成怎样的立体图形？
正方体
圆柱
三棱柱
圆锥
一展身手
1.右图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，下面是四位同学补画 的情况（图中阴影部分），其中正确的是（ B ）。
第24章 投 影 、 视 图 与 展 开 图 24.3基本几何体的平面展开图
主讲：
京改版九年级下册
章节导入
请你回忆上一节的内容，什么是三视图？
答：一般地，我们把从物体正面得到的视图称为主视图，从物体的左侧 面得到的视图称为左视图，从物体上面得到的视图称为俯视图，把它们 统称为三视图 .
立体几何中的折叠问题题型归纳汇总
高考热点问题：立体几何中折叠问题一、考情分析立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点,主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题,多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题,主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等.二、经验分享(1)立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开.把一个平面图形按照某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题.把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题,这就是几何体的表面展开问题.折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题,这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现,展开与折叠问题就是一个由抽象到直观,由直观到抽象的过程.此类问题也是历年高考命题的一大热点. (2) 平面图形通过折叠变为立体图形，就在图形发生变化的过程中，折叠前后有些量(长度、角度等)没有发生变化，我们称其为“不变量”．求解立体几何中的折叠问题，抓住“不变量”是关键．(3)把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.三、题型分析(一) 平面图形的折叠解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据；不变的数量关系是求解几何体的数字特征,如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等的重要依据.1. 折叠后的形状判断【例1】如下图,在下列六个图形中,每个小四边形皆为全等的正方形,那么沿其正方形相邻边折叠,能够围成正方体的是_____________(要求：把你认为正确图形的序号都填上)①②③④⑤⑥【分析】根据平面图形的特征,想象平面图形折叠后的图形进行判断.也可利用手中的纸片画出相应的图形进行折叠.【答案】①③⑥【解析】①③⑥可以.②把横着的小方形折起后,再折竖着的小方形,则最上方的小方形与正方体的一个侧面重合,导致正方体缺少一个侧面；④把下方的小方形折起后,则上方的小方形中的第1,2个重合,导致正方体的底面缺少,不能折成正方体；⑤把中间的小方形当成正方体的底面,则右下方的小方形折叠不起来,构不成正方体.【小试牛刀】下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是（）A. B. C. D.【例2】将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四边形ABCD(如图2),则在空间四边形ABCD中,AD与BC的位置关系是( )图1 图2A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直【答案】C【解析】在图1中的等腰直角三角形ABC 中,斜边上的中线AD 就是斜边上的高,则AD ⊥BC ,折叠后如图2,AD 与BC 变成异面直线,而原线段BC 变成两条线段BD 、CD ,这两条线段与AD 垂直,即AD ⊥BD ,AD ⊥CD ,故AD ⊥平面BCD ,所以AD ⊥BC .【小试牛刀】如图,在正方形ABCD 中,点E,F 分别为边BC,AD 的中点,将沿BF 所在直线进行翻折,将沿DE 所在直线进行翻折,在翻折过程中（ ）A. 点A 与点C 在某一位置可能重合B. 点A 与点C 的最大距离为C. 直线AB 与直线CD 可能垂直D. 直线AF 与直线CE 可能垂直 3.折叠后几何体的数字特征折叠后几何体的数字特征包括线段长度、几何体的表面积与体积、空间角与距离等,设计问题综合、全面,也是高考命题的重点.解决此类问题的关键是准确确定折叠后几何体的结构特征以及平面图形折叠前后的数量关系之间的对应.【例3】（体积问题）如图所示,等腰ABC △的底边66AB =,高3CD =,点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点,点F 在BC 边上,且EF AB ⊥,现沿EF 将BEF △折起到PEF △的位置,使PE AE ⊥,记BE x =,()V x 表示四棱锥P ACFE −的体积．（1）求()V x 的表达式；（2）当x 为何值时,()V x 取得最大值？PED F B CA【解析】（1）由折起的过程可知,PE ⊥平面ABC,96ABC S ∆=,V(x)= （036x <<）（2）,所以(0,6)x ∈时,'()0v x > ,V(x)单调递增；636x <<时'()0v x < ,V(x)单调递减；因此x=6时,V(x)取得最大值126.【小试牛刀】【河北省五个一名校联盟2019届高三下学期一诊】在平面四边形 中，AB=BC=2,AC=AD=2，现沿对角线AC 折起,使得平面DAC平面ABC ，则此时得到的三棱锥D-ABC外接球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．【例4】（空间角问题）如左图,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如右图所示),连结AP 、EF 、PF ,其中25PF =.(Ⅰ)求证:PF ⊥平面ABED ； (Ⅱ)求直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值.【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知, , ,在PBF ∆中, ,所以PF BF ⊥ 在图1中,易得,在PEF ∆中, ,所以PF EF ⊥又,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED .. .ACDBEF图图ABCD PEF(Ⅱ)方法一:以D 为原点,建立空间直角坐标系D xyz −如图所示,则()6,0,0A ,,()0,3,0E ,()6,8,0F ,所以, ,,设平面PEF 的法向量为(),,x y z =n ,则0FP EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n ,即,解得560x y z ⎧=−⎪⎨⎪=⎩令6y =−,得,设直线AP 与平面PEF 所成角为θ,则81281427. 所以直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值为81281427. 方法二:过点A 作AH EF ⊥于H ,由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,而AH ⊂平面ABED 所以PF AH ⊥,又,EF ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF ,所以AH ⊥平面PEF ,所以APH ∠为直线AP 与平面PEF 所成的角. 在Rt APF ∆中,在AEF ∆中,由等面积公式得4861在Rt APH ∆中,所以直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值为81281427. 【点评】折叠问题分析求解两原则：解法二图ABCD PEFHxy z 解法一图A BC D PEF(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变.【小试牛刀】【广东省汕头市2019届高三上学期期末】如图，已知是边长为6的等边三角形，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足，如图，将沿DE折成四棱锥，且有平面平面BCED．求证：平面BCED；记的中点为M，求二面角的余弦值．(二) 几何体的展开几何体表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程,一般地,涉及到多面体表面距离的问题,解题时不妨将它展开成平面图形试一试.1.展开后形状的判断【例5】把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如右下图）,请根据各面上的图案判断这个正方体是（）解析：这是图③模型,在右图中,把中间的四个正方形围起来做“前后左右”四个面,有“空心圆”的正方形做“上面”,显然是正方体C的展形图,故选（C）.【小试牛刀】水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面, “锦”表示右面, “程”表示下面.则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的______________________.2.展开后的数字特征——表面上的最短距离问题【例6】如图,已知圆柱体底面圆的半径为2π,高为2,AB CD，分别是两底面的直径,AD BC，是母线．若一只小虫从A点出发,从侧面爬行到C点,求小虫爬行的最短路线的长度．【解析】如图,将圆柱的侧面展开,其中AB为底面周长的一半,即,2AD=.则小虫爬行的最短路线为线段AC.在矩形ABCD中,.所以小虫爬行的最短路线长度为22.【点评】几何体表面上的最短距离需要将几何体的表面展开,将其转化为平面内的最短距离,利用平面内两点之间的距离最短求解.但要注意棱柱的侧面展开图可能有多种展开图,如长方体的表面展开图等,要把不同展开图中的最短距离进行比较,找出其中的最小值.【小试牛刀】如图,在长方体中, ,求沿着长方体表面从A到1C的最短路线长.四、迁移运用1．【浙江省2019年高考模拟训练】已知四边形中，，，在将沿着翻折成三棱锥的过程中，直线与平面所成角的角均小于直线与平面所成的角，设二面角，的大小分别为，则（）A． B． C．存在 D．的大小关系无法确定【答案】B【解析】如图，在三棱锥中，作平面于，连，则分别为与平面所成的角．∵直线与平面所成角的角均小于直线与平面所成的角，∴．过作，垂足分别为，连，则有，∴分别为二面角，的平面角，∴．在中，，设BD的中点为O，则为边上的中线，由可得点H在CO的左侧（如图所示），∴．又，∴．又为锐角， ∴．故选B ．2.【四川省德阳市2018届高三二诊】以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的中线AD 为折痕，将ABD ∆与ACD ∆折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论：①BD ⊥平面ACD ；②ABC ∆为等边三角形；③平面ADC ⊥平面ABC ；④点D 在平面ABC 内的射影为ABC ∆的外接圆圆心.其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C【解析】由于三角形ABC 为等腰直角三角形,故,所以BD ⊥平面ACD ,故①正确,排除B 选项.由于AD BD ⊥,且平面ABD ⊥平面ACD ,故AD ⊥平面BCD ,所以AD CD ⊥,由此可知,三角形为等比三角形,故②正确,排除D 选项.由于,且ABC ∆为等边三角形,故点D 在平面ABC 内的射影为ABC ∆的外接圆圆心, ④正确,故选C .3.已知梯形如下图所示,其中,,为线段的中点,四边形为正方形,现沿进行折叠,使得平面平面,得到如图所示的几何体.已知当点满足时,平面平面,则的值为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】因为四边形为正方形,且平面平面,所以两两垂直,且,所以建立空间直角坐标系（如图所示）,又因为,,所以,则,,设平面的法向量为,则由得,取,平面的法向量为,则由得,取,因为平面平面,所以,解得.故选C.4.如图是棱长为1的正方体的平面展开图,则在这个正方体中,以下结论错误的是（ ）A ．点M 到AB 的距离为22B ．AB 与EF 所成角是90︒C ．三棱锥C DNE −的体积是16D ．EF 与MC 是异面直线 【答案】D【解析】根据正方体的平面展开图,画出它的立体图形如图所示,A 中M 到AB 的距离为222MC =,A 正确；AB 与EF 所成角是90︒,B 正确；三棱锥C DNE −的体积是,C 正确；//EF MC ,D 错误．5.把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ）度A ．90B ．60C ．45D ．30 【答案】C【解析】折叠后所得的三棱锥中易知当平面ACD 垂直平面ABC 时三棱锥的体积最大．设AC 的中点为O ,则DBO ∠即为所求,而DOB ∆是等腰直角三角形,所以,故选C ．6.【辽宁省辽阳市2018学届高三第一次模拟】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ， E ， F ， G ， H 为圆O 上的点， ABE V ， BCF V ， CDG V ， ADH V 分别以AB ， BC ， CD ， DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB ， BC ， CD ， DA 为折痕折起ABE V ， BCF V ， CDG V ， ADH V ，使得E ， F ， G ， H 重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．【答案】500327π3cm【解析】如图：连接OE 交AB 于点I ，设E ，F ，G ，H 重合于点P ，正方形的边长为x ()0x >，则OI=2x ， IE 62x =−. 因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以，解得4x =，设该四棱锥的外接球的球心为Q ，半径为R ，则，，解得5R 3=，外接球的体积3cm7．【山东省济南市2019届高三上学期期末】在正方形中，点，分别为，的中点，将四边形沿翻折，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】连接FC ，与DE 交于O 点，取BE 中点为N ， 连接ON ，CN ，易得ON ∥BD ∴∠CON 就是异面直线与所成角设正方形的边长为2， OC=，ON=，CN=∴cos ∠CON==故答案为：8.如图所示,在四边形ABCD 中,,将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体BCD A −',使平面⊥BD A /平面BCD ,则下列结论正确的是 ．（1）BD C A ⊥'； （2）；（3）A C '与平面BD A '所成的角为︒30； （4）四面体BCD A −'的体积为61． 【答案】（2）（4）【解析】平面⊥BD A /平面BCD CD ∴⊥平面'A BD ,/CA 与平面BD A /所成的角为'CA D ∠,四面体BCDA −/的体积为,,综上（2）（4）成立．9．如图,矩形ABCD 中,2AB AD =,E 为边AB 的中点,将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆,若M 为线段1AC 的中点,则在ADE ∆翻折过程中,下面四个选项中正确的是 (填写所有的正确选项)（1）||BM 是定值 （2）点M 在某个球面上运动（3）存在某个位置,使1DE AC ⊥ （4）存在某个位置,使//MB 平面1A DE 【答案】（1）（2）（4）．【解析】取CD 中点F ,连接MF ,BF ,则1//MF DA ,//BF DE ,∴平面//MBF 平面1A DE , ∴//MB 平面1A DE ,故（4）正确；由,为定值,FB DE =为定值,由余弦定理可得,∴MB 是定值,故（1）正确；∵B 是定点,∴M 是在以B 为圆心,MB 为半径的圆上,故（2）正确；∵1AC 在平面ABCD 中的射影为AC ,AC 与DE 不垂直,∴存在某个位置,使1DE A C ⊥错误,故（3）错误．10．【四川省广元市高2018届第二次高考适应性统考】如图，在矩形ABCD 中， 4AB =， 2AD =， E 是CD 的中点，以AE 为折痕将DAE ∆向上折起， D 变为'D ，且平面'D AE ⊥平面ABCE .（Ⅰ）求证： 'AD EB ⊥； （Ⅱ）求二面角'A BD E −−的大小. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 90o . 【解析】（Ⅰ）证明：∵， AB 4=，∴，∴AE EB ⊥，取AE 的中点M ，连结MD '，则，∵ 平面D AE '⊥平面ABCE ，∴MD '⊥平面ABCE ，∴MD '⊥ BE ， 从而EB ⊥平面AD E '，∴AD EB '⊥ （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则()A 4,2,0、()C 0,0,0、()B 0,2,0、()D 3,1,2'，()E 2,0,0，从而BA u u u v=（4,0,0），，.设为平面ABD '的法向量，则可以取设为平面BD E '的法向量，则可以取因此， 12n n 0⋅=u u v u u v ，有12n n ⊥u u v u u v，即平面ABD ' ⊥平面BD E '，故二面角的大小为90o .11.【福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查】如图1，已知菱形的对角线交于点，点为线段的中点，，，将三角形沿线段折起到的位置，，如图2所示．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．【解析】（Ⅰ）折叠前，因为四边形为菱形，所以；所以折叠后，，, 又，平面，所以平面因为四边形为菱形，所以．又点为线段的中点，所以．所以四边形为平行四边形．所以．又平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（Ⅱ）图1中，由已知得，，所以图2中，，又所以，所以又平面，所以又，平面，所以平面，所以．所以三棱锥的体积为．12．【湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试（一模】如图，在多边形中（图1），为长方形，为正三角形，现以为折痕将折起，使点在平面内的射影恰好在上（图2）.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若点在线段上，且，当点在线段上运动时，求三棱锥的体积. 【解析】（Ⅰ）过点作，垂足为.由于点在平面内的射影恰好在上，∴平面.∴.∵四边形为矩形，∴.又，∴平面，∴.又由，，可得，同理.又，∴，∴，且，∴平面.（Ⅱ）设点到底面的距离为，则.由，可知，∴.又，∴.13．【江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考】如图所示，在边长为2的菱形中，，现将沿边折到的位置．（1）求证：；（2）求三棱锥体积的最大值．【解析】（1）如图所示，取的中点为，连接，易得，,又面（2）由（1）知，= ,当时，的最大值为1.14．【云南师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考】如图所示甲，在四边形ABCD中，，，是边长为8的正三角形，把沿AC折起到的位置，使得平面平面ACD，如图所示乙所示，点O，M，N分别为棱AC，PA，AD的中点．求证：平面PON；求三棱锥的体积．【解析】如图所示，为正三角形，O为AC的中点，，平面平面ACD，平面平面，平面ACD，平面ACD，．，，，，即．，N分别为棱AC，AD的中点，，，又，平面PON；解：由，，，可得，点O、N分别是AC、AD的中点，，是边长为8的等边三角形，，又为PA的中点，点M到平面ANO的距离，．又，．15．【湖北省荆门市2019届高三元月调研】如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体，如图．1若，证明：平面；2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．【解析】1由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，，由已知得，，平面又平面BDE，，又，，平面2在图2中，，，，即面DEFC，在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE，由题意得，，由勾股定理可得，则，，过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，．设平面ACD的一个法向量为，由得,取得，设，则m，，，得设CP与平面ACD所成的角为，．所以16．【山西省吕梁市2019届高三上学期第一次模拟】已知如图（1）直角梯形，，，，，为的中点，沿将梯形折起（如图2），使.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.【解析】（1）由已知可得为直角三角形，所以.又，所以，所以平面.（2）因为平面，平面，所以，又因为，平面，平面，，所以，平面，又因为，所以平面，又因为平面，所以.在直角中，，设点到平面的距离为，由，则，所以.16.正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高,,E F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折−−．成直二面角A DC B（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由；−−的余弦值；（2）求二面角E DF C（3）在线段BC 上是否存在一点P ,使AP DE ⊥？证明你的结论．【分析】（1）问可利用翻折之后的几何体侧面ABC ∆的中位线得到//AB EF ,便可由线面平行的判定定理证得；（2）先根据直二面角A DC B −−将条件转化为AD ⊥面BCD ,然后做出过点E 且与面BCD 垂直的直线EM ,再在平面BCD 内过M 作DF 的垂线即可得所求二面角的平面角；（3）把AP DE ⊥作为已知条件利用,利用ADC ∆中过A 与DE 垂直的直线确定点P 的位置.【解析】（1）如图：在△ABC 中,由E 、F 分别是AC 、BC 中点,得EF//AB,又AB ⊄平面DEF,EF ⊂平面DEF ．∴AB ∥平面DEF ．（2）∵AD ⊥CD,BD ⊥CD∴∠ADB 是二面角A —CD —B 的平面角∴AD ⊥BD ∴AD ⊥平面BCD取CD 的中点M,这时EM ∥AD ∴EM ⊥平面BCD过M 作MN ⊥DF 于点N,连结EN,则EN ⊥DF∴∠MNE 是二面角E —DF —C 的平面角,在Rt △EMN 中,EM=1,MN=23 ∴tan ∠MNE=233,cos ∠MNE=721（3）在线段BC 上存在点P,使AP ⊥DE. 证明如下：在线段BC 上取点P,使BC BP 31=,过P 作PQ ⊥CD 与点Q, ∴PQ ⊥平面ACD∵, 在等边△ADE 中,∠DAQ=30°,∴AQ ⊥DE ∴AP ⊥DE.。
八年级下册数学重难点题型(人教版)专题 规律性问题与折叠问题初探大视野(解析版)
2.【2018·泗县期末】如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第 n 个三角形的面积为
．
【答案】 n ． 2
【解析】解：根据勾股定理：
第一个三角形中：OA12=1+1=2，S1= 1 ； 2
第二个三角形中：OA22=OA12+1=3，S2= 2 ； 2
第三个三角形中：OA32=OA22+1=4，S3= 3 ； 2
故答案为：4， 3 5 ． 例 4. 【2019·阜阳临泉县期末】如图 1，将一张矩形纸片 ABCD 沿着对角线 BD 向上折叠，顶点 C 落到点 E 处，BE 交 AD 于点 F． （1）求证：BF=DF； （2）如图 2，过点 D 作 DG∥BE，交 BC 于点 G，连结 FG 交 BD 于点 O． ①求证：四边形 BFDG 是菱形； ②若 AB=3，AD=4，求 FG 的长．
【答案】见解析. 【解析】解： （1）证明：如图 1，根据折叠，∠DBC=∠DBE， 又 AD∥BC， ∴∠DBC=∠ADB， ∴∠DBE=∠ADB， ∴DF=BF； （2）① ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC， ∴FD∥BG， 又∵DG∥BE， ∴四边形 BFDG 是平行四边形， ∵DF=BF， ∴四边形 BFDG 是菱形； ②∵AB=3，AD=4， ∴BD=5． ∴OB= 1 BD= 5 ．
【答案】（219，0）. 【解析】 解：当 x=1 时，y= 3 x= 3 ，即 A1B1= 3 ，
在 Rt△OA1B1 中，由勾股定理得 OB1=2， ∵OB1=OA2， ∴A2（2，0） 同理可求：A3（4，0）、A4（8，0）、A5（16，0）…… 即：A1（20，0）、A2（21，0）、A3（22，0）、A4（23，0）、A5（24，0）……可得 An（2n-1，0） ∴点 A20 的坐标是（219，0）， 故答案为：（219，0）． 例 2. 【2019·孝感市期末】如图，在平面直角坐标系中，正方形 OA1B1C1，B1A2B2C2，B2A3B3C3，…的顶点 B1，B2，B3，…在 x 轴上，顶点 C1，C2，C3，…在直线 y=kx+b 上，若正方形 OA1B1C1，B1A2B2C2 的对角线 OB1=2，B1B2=3，则点 C3 的纵坐标是______．
中考数学章节考点分类突破：第6章-图形的展开与叠折(含解析)
（最新最全）2019年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）【解析】正方体展开图的相隔正方形是正方体互相对应的面，所以选B ．【答案】B ．【点评】这类题考查学生的立体感，可以通过动手操作的方法折叠演示找出答案．2. (2019年浙江省宁波市，10，3分)如图是老年活动中心门口放着的一个招牌，这个招牌是由三个特大号的骰子摞在一起而成的，每个骰子的六个面的点数分别是1到6，其中可看到7个面，其余11个面是看不见的，则是看不见的面上的点数总和是（A ）41 (B)40 (C )39 (D)38【解析】每个骰子点数总和=1+2+3+4+5+6=21，三个骰子点数总和为21×3=63，露在外面的点数和为24，63-24=39，故选C【答案】C【点评】本题旨在考查学生的空间观念，整体处理是个最好的方法，如果一个一个地去数则比较麻烦。
3.（2018南京市，6，2）如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A=600，将纸片折叠，点A 、D 分别落在点A`、D`处，且A`D`经过点B ，EF 为折痕，当D`F⊥CD 时，DFCF 的值为（ ） A.213- B.63 C.6132- D.813+ FEA`D`DCB A【解析】FD`与CB 交于H ，令CF=m 、DF=n,在直角△CFH 中，则C H=2m,HF=3m,△BD`H 为顶角1200的等腰三角形，则BH=3D`H=3(n-3m)=3n-3m,由BH+CH=BC=CF+DF 得，3n-3m+2m=m+n,得DF CF =n m =213-. 【答案】A.【点评】转化是解决问题的突破口，要善于利用特殊图形及其特殊角来解决问题. 4．(2018广安，4，3分)图1是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是（ D ）B ．丽C ．广D ．安【解析】正方体的展开图问题，关键是找出相邻的面，不相邻的面即是相对的面【答案】相对的面是“安”【点评】正方体有11种展开图，因此熟知正方体的11种展开图，有助于解决问题，而找出某种展开图其中一个面相邻的面，是推测相对的面的前提5.（2018，黔东南州，8）如图，矩形ABCD 边AD 沿拆痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处，已知AB=6，△ABF 的面积是24，则FC 等于（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4【解析】在中ABF Rt ∆，2462121=⨯⨯=⋅=BF BF AB S ，故8=BF ，在10862222=+=+=∆BF AB AF ABF Rt 中，，又因为10===BC AD AF ，所以8210=-=FC .【答案】B 【点评】本题考查矩形、三角形、勾股定理及翻折图形的性质，做题时我们要借助图形来分析，是对学生想象力的考查.6.（2018河北省9,3分）9、如图4，在□ABCD 中，∠A=70°，将□ABCD 折叠，使点D ，C 分别落在点F ，E 处，（点F ，E 都在AB 所在的直线上），折痕为MN ，则∠AMF 等于 （ ）Ａ．70° Ｂ．40° Ｃ．30° Ｄ．20°【解析】根据图形的变换----翻折，可知重合的角相等，即∠D=∠MFE，再有∠A=70°，平行四边形的对角互补，所以∠D=110°，∠MFE=110°，由外角的性质可得∠AMF=40°。
八年级下册数学重难点题型(人教版)专题 规律性问题与折叠问题初探大视野(解析版)
∴点 A1 的坐标为（1，2）；
当 y＝2 时，x＝﹣2，
∴点 A2 的坐标为（﹣2，2）；
同理可得：A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），A6（﹣8，8），A7（﹣8，﹣16），A8（16，﹣16），
A9（16，32），…， ∴A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（﹣22n+1，22n+1），A4n+3（﹣22n+1，﹣22n+2），A4n+4（22n+2，﹣22n+2）（n 为自然数）．
【答案】 9 . 4
【解析】 解：如图，连接 A1C1，A2C2，A3C3，分别交 x 轴于点 E、F、G，
由题意得：OB1=2，B1B2=3，
∴OE=EC1=EB1=
1 2
OB1=1，B1F=FC2=FB2=
1 2
B1B2=
3 2
，OF=OB1+B1F=
7 2
，
∴C1（1，1），C2（
7 2
，
3 2
【答案】（219，0）. 【解析】 解：当 x=1 时，y= 3 x= 3 ，即 A1B1= 3 ，
在 Rt△OA1B1 中，由勾股定理得 OB1=2， ∵OB1=OA2， ∴A2（2，0） 同理可求：A3（4，0）、A4（8，0）、A5（16，0）…… 即：A1（20，0）、A2（21，0）、A3（22，0）、A4（23，0）、A5（24，0）……可得 An（2n-1，0） ∴点 A20 的坐标是（219，0）， 故答案为：（219，0）． 例 2. 【2019·孝感市期末】如图，在平面直角坐标系中，正方形 OA1B1C1，B1A2B2C2，B2A3B3C3，…的顶点 B1，B2，B3，…在 x 轴上，顶点 C1，C2，C3，…在直线 y=kx+b 上，若正方形 OA1B1C1，B1A2B2C2 的对角线 OB1=2，B1B2=3，则点 C3 的纵坐标是______．
初三数学重难点专题复习：矩形折叠问题的常用解题方法
初三数学重难点专题复习：矩形折叠问题的常用解题方法
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初三数学专题复习
矩形折叠问题的常用方法
一、找出折叠后出现的等角、等边并结合图形本身的特点借助于勾股定理构造方程求解。
二、利用相似三角形由相似比列方程求解。
基本知识：矩形中的折叠构造直角三角形
基本方法：由勾股定理或三角形相似构造方程
数学思想：转化思想、方程思想（数学题的计算要讲究技巧性）。
重难点02勾股定理之“图形折叠”模型(原卷版)
重难点02勾股定理之“图形折叠”模型【知识梳理】图形折叠一定要注意折叠前后的边角对应关系，计算时联想到利用勾股定理对新形成的直角三角形进行求解.翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．【考点剖析】一．选择题（共9小题）1．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（）A．3B．4C．5D．62．矩形纸片ABCD的边长AB＝4，AD＝2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（）A．8B．C．4D．3．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长是（）A．B．C．D．4．如图所示，在长方形纸片ABCD中，AB＝32cm，把长方形纸片沿AC折叠，点B落在点E处，AE交DC 于点F，AF＝25cm，则AD的长为（）A．16cm B．20cm C．24cm D．28cm5．如图，矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C处，BC交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则BE的长为（）A．3B．4C．5D．26．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则的值是（）A．B．C．D．7．将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．如果DM：MC＝3：2，则DE：DM：EM＝（）A．7：24：25B．3：4：5C．5：12：13D．8：15：178．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝18cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF＝13，则AD的长为（）A．5cm B．6cm C．10cm D．12cm9．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（）A．B．C．D．二．填空题（共1小题）10．已知，矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2．三．解答题（共1小题）11．如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米，求BF与FC的长．【过关检测】一．选择题（共11小题）1．（2022秋•大东区校级期末）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD 于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（）A．3B．4C．5D．62．（2021秋•镇海区校级期中）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝5厘米，EF＝12厘米，则边HF的长是（）A．12厘米B．13厘米C．14厘米D．15厘米3．（2022春•杭锦后旗期中）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）A．cm B．cm C．cm D．无法确定4．（2021春•永嘉县校级期末）如图，将边长为8cm正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E 处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm5．（2021秋•裕华区校级期末）如图是一张直角三角形的纸片．两直角边AC＝6cm，BC＝8cm将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则AD的长为（）A．cm B．10cm C．cm D．5cm6．（2021春•漳平市期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm27．（2020•饶平县校级模拟）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm8．（2021春•环翠区校级期中）如图：长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为（）A．4.8cm B．5cm C．5.8cm D．6cm9．（2021秋•开福区校级期末）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（）A．4B．3C．4.5D．510．（2021春•宁明县期中）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF＝cm，则AD的长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm11．（2021秋•东平县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点M是OB上一点，将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处，则点M的坐标为（）A．（，0）B．（0，）C．（，0）D．（0，）二．填空题（共6小题）12．（2022秋•江北区期末）如图，有一张直角三角形的纸片，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3．现将三角形折叠，使得边AC与AB重合，折痕为AE，则CE长为．13．（2022秋•佛山期末）在长方形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A'处，当△A'DE是直角三角形时，DE的长为．14．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E，若AC＝8，BD＝5，则CE的长度是．15．（2022秋•南关区校级期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为20cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25cm，则该圆柱底面周长为．16．（2022秋•鼓楼区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形沿BE折叠，使顶点A落在CD 上的点F处，其中E在AD上，连接AF，则AE＝．17．（2022秋•下城区校级期中）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D处，折痕交另一直角边于点E，交斜边于点F，则DE的长为．三．解答题（共4小题）18．（2022秋•西湖区校级期中）如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿DE 所在直线对折，点A落在BC边上的点A′处，且DA′⊥BC．（1）求∠AED的度数．（2）若AD＝，求线段AB和CE的值．19．（2022秋•和平区期末）在△ABC中，AB＝25，，AP垂直直线BC于点P．（1）当BC＝25时，求AP的长；（2）当AP＝20时，①求BC的长；②将△ACP沿直线AC翻折后得到△ACQ，连接BQ，请直接写出△BCQ的周长为．20．（2022秋•武侯区校级期中）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD ＝6，P为射线BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，使点B落在点E处．（1）若P为BC上一点．①如图1，当点E落在边CD上时，求CE的长；②如图2，连接CE，若CE∥AP，则BP与BC有何数量关系？请说明理由；（2）如果点P在BC的延长线上，当△PEC为直角三角形时，求PB的长．21．（2022秋•绥德县期中）如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．。
2018中考数学专题04 图形折叠问题(选填题重难点题型)(解析版)
1中考指导：近年来，图形折叠问题特别是矩形折叠问题一直是各地中考试题中一道靓丽的风景线.将矩形按不同要求进行折叠可以产生丰富多彩的几何问题.其中，创设开放的折叠情境，使矩形的顶点在折叠后的图形中的落点位置不固定，形成两解类中考压轴填空题的命题形式正悄然兴起. 折叠矩形纸片是轴对称变换，属于全等图形的范畴.可以先从边、角、形三方面思考折叠前后有哪些相等的线段、角和全等三角形，然后联想已知条件，看看又能产生哪些新的结论.这当中，尤其要注意将矩形折叠中产生的角平分线与矩形的两组对边分别平行结合在一起思考，往往会发现等腰三角形.面对折叠后的“静止”图形，你会发现解决这类折叠问题的关键有二点:一是在折叠操作(或“凭空想象”)中，弄清楚各种情况，画出相应状态下的静态图形;二是利用轴对称知识将分散的几何条件(边长)集中到某一个直角三角形中，再设未知数，运用勾股定理构建方程求解.典型例题解析:【例1】（2017年内蒙古赤峰二中中考数学二模）如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 的中点，沿着BE 将△ABE 折叠，点A 刚好落在BF 上，若AB=2，则AD=________．【答案】22∴Rt △EA′F ≌Rt △EDF （HL ）， ∴A′F=DF=1，∴BF=BA′+A′F=AB +DF=2+1=3， 在Rt △BCF 中，22223122BF CF -=-=∴2 ．点睛：本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是连接EF ，证明Rt △EA′F ≌Rt △EDF ，得出BF 的长，再利用勾股定理解答即可．【例2】（河南省周口市西华县2018届九年级第一次模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，点D 是BC 上一动点，连接AD ，将△ACD 沿AD 折叠，点C 落在点E 处，连接DE 交AB 于点F ，当△DEB 是直角三角形时，DF 的长为_____．3【答案】或．∴DE=；如图2所示：∠EDB=90时，4由翻折的性质可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°， ∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°， ∴四边形ACDC′为矩形，【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，结合题意，正确地进行分类讨论并画出相应的图形是解题的关键.*网【例3】（2018年河南省驻马店市实验中学第一次中考模拟）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝83，AD ＝10，点E 是CD 的中点，将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A 与点E 重合，如图②，折痕为MN ，连接ME ，NE ；第二次折叠纸片使点N 与点E 重合，如图③，点B 落到B′处，折痕为HG ，连接HE ，则下列结论：①ME ∥HG ；②△MEH 是等边三角形；③∠EHG ＝∠AMN ；④tan ∠EHG ＝53.其中正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C点睛：本题属于四边形综合题，主要考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识的综合应用，解题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形对应边成比例，求得EN的长度．解决折叠问题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．强化训练1．（2018年浙江省宁波市鄞州区中考数学模拟）在矩形纸片A BCD中，AD=8，AB=6，E是边BC上的点，将纸片沿5AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为（）A. 3B. 5C. 3或5D. 3或6【答案】D点睛：本题考查了翻折变换、矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质以及勾股定理，分∠EFC=90°和∠FEC=90°两种情况寻找BE的长度是解题的关键．2．如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝( )A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm67【答案】A【解析】由题意可知∠DFE=∠CDF=∠C=90°，DC=DF ， ∴四边形ECDF 是正方形， ∴DC=EC=BC-BE ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴BC=AD=10， ∴DC=10-6=4（cm ）. 故选A.3．如图,矩形ABCD 沿着AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,如果60BAF ∠=o ,则DAE ∠等于 ( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60° 【答案】A4．（陕西省宝鸡市凤翔县2017-2018学年九年级期末）如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC 折叠，则重叠部分△AFC 的面积为（ ）8A. 12B. 10C. 8D. 6 【答案】B【解析】四边形ABCD 是矩形,,,,,,点睛：本题考查了图形的翻折问题、矩形的性质、三角形的面积及勾股定理;利用勾股定理求得AF 的大小,从而求得叠部分△AFC 的面积是正确解答本题的关键. *网95．（辽宁省大石桥市水源镇九年一贯制学校2018届九年级下学期月考）如图，矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，将纸片折叠，使D 点落在GF 上，得到△HAE ，再过H 点折叠纸片，使B 点落在直线AB 上，折痕为PQ ．连接AF 、EF ，已知HE=HF ，下列结论：①△MEH 为等边三角形；②AE ⊥EF ；③△PHE ∽△HAE ；④ 23AD AB ，其中正确的结论是（ ）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④ 【答案】D【解析】试题解析：∵矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点， ∴GF ⊥AD ，由折叠可得，AH=AD=2AG ，∠AHE=∠D=90°， ∴∠AHG=30°，∠EHM=90°-30°=60°， ∴∠HAG=60°=∠AED=∠MEH ，∴△EHM 中，∠EMH=60°=∠EHM=∠MEH ， ∴△MEH 为等边三角形，故①正确； ∵∠EHM=60°，HE=HF ， ∴∠HEF=30°，∴∠FEM=60°+30°=90°，即AE ⊥EF ，故②正确； ∵∠PEH=∠MHE=60°=∠HEA ，∠EPH=∠EHA=90°，10∴△PHE ∽△HAE ，故③正确；6．（安徽合肥市2018届初三名校大联考一）如图,矩形ABCD 中,AB=4,BC=2,把矩形ABCD 沿过点A 的直线AE 折叠，点D 落在矩形ABCD内部的点D 处,则CD 的最小值是A. 2B. 5C. 252D. 252【答案】C【解析】根据题意，点D′在以点A 为圆心，AD 为半径且在矩形ABCD 内部的圆弧上，连接AC 交圆弧于点D′，由勾股定理得2242+=5CD′的最小值为5，故选C.7．（广东省广州三中2017年中考数学一模）如图，把一矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系xoy 中，使OA ，OC 分别落在x 轴、y 轴上，现将纸片OABC 沿OB 折叠，折叠后点A 落在点A'的位置，若OA=1，OB=2，则点A'的坐标为（ ）11A. 132⎛⎫⎪⎪⎝⎭， B. 132⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， C. 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， D. （ ()31-， 【答案】B【解析】点睛：（1）折叠问题充分利用对应的边相等，角相等.12（2）通过三角函数值能推出角的度数；（3）已知线段的长度，表示坐标的时候注意符号问题.8．（2018年广东省深圳市中考数学突破模拟二）如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 的对应点落在BC 上点F处，过点F 作FG ∥CD ，连接EF ，DG ，下列结论中正确的有（ ）①∠ADG=∠AFG ；②四边形DEFG 是菱形；③DG 2=12AE•EG ；④若AB=4，AD=5，则CE=1．A. ①②③④B. ①②③C. ①③④D. ①② 【答案】B（3）如图所示，连接DF 交AE 于O ，∵四边形DEFG为菱形，∴GE⊥DF，OG=OE=12 GE，∵∠DOE=∠ADE=90°，∠OED=∠DEA，∴△DOE∽△ADE，∴OE DEDE AE，即DE2=EO•AE，∵EO=12GE，DE=DG，∴DG2=12AE•EG，故③正确；9．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=4，BC= 6，则FD的长为（）1314A.85 B. 4 C. 94D. 23 【答案】C【解析】试题解析：∵E 是AD 的中点，∴AE =DE ，∵△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE , ∴AE =EG ，AB =BG ， ∴ED =EG ，∵在矩形ABCD 中， ∴90A D ∠=∠=o ， ∴90EGF ∠=o ，1510．（2018年湖北省咸宁市咸安区中考数学模拟）如图，有一矩形纸片ABCD ，AB=6，AD=8，将纸片折叠使AB 落在AD 边上，折痕为AE ，再将△ABE 以BE 为折痕向右折叠，AE 与CD 交于点F ，则CFCD的值是（ ）A. 1B.12 C. 13 D. 14【答案】C【解析】由题意知：AB=BE=6，BD=AD ﹣AB=2（图2中），AD=AB ﹣BD=4（图3中）； ∵CE∥AB， ∴△ECF∽△ADF，得12CE CF AD DF ==， 即DF=2CF ，所以CF ：CD=1：3，16故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠问题，相似三角形的判定与性质等，准确识图是解题的关键. *网11．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么cos ∠EFC 的值是（ ）A.35 B. 45 C. 12D. 32【答案】A点睛：本题考查的是翻折变换的性质、余弦的概念，掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变换，对应边和对应角相等时解题的关键.1712．如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，点E 在BC 上，把这个矩形沿EF 折叠后，使点D 恰好落在BC 边上的G 点处，若矩形面积为43且∠AFG =60°，GE =2BG ，则折痕EF 的长为（ ）A. 1B. 3C. 2D. 23【答案】C13．（2017年安徽省安庆一中中考数学三模）如图，小亮拿一张矩形纸图（1），沿虚线对折一次得图（2），下将对角两顶点重合折叠得图（3），按图（4）沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是（ ）A. 都是等腰梯形B. 都是等边三角形C. 两个直角三角形，一个等腰三角形D. 两个直角三角形，一个等腰梯形【答案】C【解析】严格按照图中的顺序向上对折，对角顶点对折，沿折痕中点与重合顶点的连线剪开展开可得到两个直角三角形，一个等腰三角形．故选C．14．如图，将一张三角形纸片折叠，使点落在边上，折痕，得到；再继续将纸片沿的对称轴折叠，依照上述做法，再将折叠，最终得到矩形，若中，和的长分别为和，则矩形的面积为（）．A. B. C.D.【答案】B15．（山东省临朐县沂山风景区2018届九年级上期末模拟）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将纸片折叠，1819使点C 与点A 重合，折痕为EF ，点D 的对应点为G ，连接DG ，则图中阴影部分面积是（ ）A. 5B. 3C.365 D. 185【答案】D【解析】过点G 作GH ⊥AD 于点H ，由题意知，AF=FC ，AB=CD=AG=4，BC=AD=8，在Rt △ABF 中，由勾股定理知AB 2+BF 2=AF 2 ， 即42+（8﹣AF ）2=AF 2 ， 解得AF=5，2016．如图，在矩形ABCD 中，AD=5，AB=8，点E 为射线DC 上一个动点，把△ADE 沿直线AE 折叠，当点D 的对应点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，则DE 的长为________．A. 3或4B.52或10 C. 52或53 D. 25或53【答案】B【解析】试题解析：①如图1，当点F 在矩形内部时， ∵四边形ABCD 为矩形， 58AD AB ==，， ∴AB CD =，②如图2，当点F在矩形外部时，2122∵四边形ABCD 为矩形， 58AD AB ==，，∴AB CD =，设DE EF y ==，则4ME y =-， 在Rt EMF V 中， ∴222ME MF EF +=， 即()22248y y -+=，∴10.y =即DE =10. 故选B.17．（河南省濮阳市2018届九年级第一次模拟）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D ，E 为AC ，BC 上两个动点，若将∠C 沿DE 折叠，点C 的对应点'C 恰好落在AB 上，且'ADC∆恰为直角三角形，则此时CD 的长为___________.23【答案】12473或 【解析】试题解析： 9034C AC BC ∠=︒==，，，225,AB AC BC ∴=+=由折叠可知： .DC DC =' 若90,ADC ∠='oDC '∥,CB,ADC ACB '∴V V ∽,AD DC AC CB ∴='3,34DC DC-∴= 解得： 12.7CD =点睛：两组角对应相等，两个三角形相似.18．（河北省唐山市路南区2017年中考数学三模）如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′AD=3，则△EB′C的周长为________．的位置，AB′与CD交于点E，若AB=8，【解析】试题分析：根据翻折图形的性质可得：B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，结合对顶角得出△ADE和△CB′E 全等，则B′E=DE，则△EB′C的周长=B′C+B′E+CE=BC+DE+EC=BC+CD=AD+AB=3+8=11．*网19．（2018年咸宁市通城县北港镇初级中学数学中考模拟）如图，在矩形ABCD中，把∠A沿DF折叠，点A恰好落E处，则tan∠ADF=_______．在矩形的对称中心2420．（安徽省蚌埠市2017届九年级下学期中考一模）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②线段BF的取值范围为3≤BF≤4；③EC平分∠DCH；④当点H与点A重合时，EF=25．以上结论中，你认为正确的有______．（填序号）【答案】①②④．【解析】试题解析：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH//CG,EH//CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF=FH，2526∴四边形CFHE 是菱形， 故①正确；③∴∠BCH =∠ECH ，∴只有30DCE ∠=o 时EC 平分∠DCH ， 故③错误；过点F 作FM ⊥AD 于M ，则ME =(8−3)−3=2，由勾股定理得， 2225EF MF ME =+=， 故④正确，综上所述，结论正确的有①②④， 故答案为：①②④.27。
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展开与折叠-重难点题型
【题型1 正方体的表面展开图】
【例1】（2020秋•太原期末）小颖在研究无盖的正方体盒子的展开图时，画出下面4个展开图，其中符合要求的共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-1】（2021春•三元区校级月考）下列图形中，是正方体平面展开图的图形的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式1-2】（2021•邢台期中）把如图所示的正方体展开，得到的平面展开图可以是）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2020秋•香洲区期末）如图，选项中哪一个图形是如图正方体的展开图（）
A．B．
C．D．
【题型2 正方体展开图的相对面】
【例2】（2021春•郫都区校级期中）病毒无情人有情，2020年初很多最美逆行者不顾自己安危奔赴疫情前线，我们内心因他们而充满希望．小明同学在一个正方体每个面上分别写一个汉字，组成“全力抗击疫情”．如图是该正方体的一种展开图，那么在原正方体上，与汉字“力”相对的面上所写汉字为（）
A．共B．同C．疫D．情
【变式2-1】（2020秋•常州期末）图1是一个小正方体的展开图，小正方体从图2的所示位置依次翻到第1格，第2格，第3格，这时小正方体朝上一面的字是（）
A．常B．州C．越D．来
【变式2-2】（2020秋•锦州期末）一枚六个面分别标有1﹣6个点的骰子，将它抛掷三次得到不同的结果，看到的情形如图所示，则图中写有“？”一面上的点数是（）
A．6B．2C．3D．1
【变式2-3】（2020秋•温县期中）有一个正六面体骰子放在桌面上，将骰子如图所示顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第70次后，骰子朝下一面的数字是（）
A．2B．3C．4D．5
【题型3 正方体的折叠】
【例3】（2020秋•海陵区期末）如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有种选法．
【变式3-1】（2020秋•南海区期末）将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，下列编号为1、2、3、6的小正方形中不能剪去的是（填编号）．
【变式3-2】（2020秋•兖州区期末）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（）
A．B．
C．D．
【变式3-3】（2020秋•怀柔区期末）如图是正方体表面展开图，如果将其合成原来的正方体如图时，与点P重合的两个点应该是（）
A．S和Z B．T和Y C．T和V D．U和Y
【题型4 柱体的展开与折叠】
【例4】（2020•衡阳）下列不是三棱柱展开图的是（）
A．B．
C．D．
【变式4-1】（2020秋•锦州期末）下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（）A．B．C．D．
【变式4-2】（2020秋•碑林区校级月考）如图①，是一个边长为10cm正方形，按要求解答下列问题：（1）如图②，若将该正方形沿粗黑实线剪下4个边长为cm的小正方形，拼成一个大正方形作为直四棱柱的一个底面，余下部分按虚线折叠成一个无盖直四棱柱，最后把两部分拼在一起，组成一个完整的直四棱柱，它的表面积等于原正方形的面积；
（2）若该正方形是一个圆柱的侧面展开图，求该圆柱的体积．（结果保留π）
【变式4-3】（2020秋•中牟县期中）聪聪在学习了“展开与折叠”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀把一个长方体纸盒（如图（1））剪开了，可是他一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图（2）中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）若这个长方体纸盒的长、宽、高分别是8cm，4cm，2cm，则该长方体纸盒的体积是多少？
（2）聪聪一共剪开了条棱；
（3）现在聪聪想将剪掉的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪掉的②粘贴到①中的什么位置？请你帮助他在①上补全一种情况．
【题型5 圆柱的展开与折叠】
【例5】（2020春•密山市期末）下面各图是圆柱的展开图的是（）
A．B．
C．D．
【变式5-1】（2020秋•秦淮区期末）如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是（）
A．B．C．D．
【变式5-2】（2020秋•温县期中）（1）请写出对应几何体的名称：①；②；③．（2）图③中，侧面展开图的宽（较短边）为8cm，圆的半径为2cm，求图③所对应几何体的表面积．（结果保留π）
【变式5-3】（2020秋•黄浦区期末）生活中的易拉罐、电池、圆形的笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图1所示），当把它的上底面、下底面和侧面展开后发现上底面和下底面是两个大小相同的圆，侧面是一个长方形（如图2所示
（1）一个圆柱体的铝制易拉罐上、下两个底面的半径都是4cm，侧面高为15cm，制作这样一个易拉罐需要面积多大的铝材？（不计接缝）．
（2）如果一个圆柱体的铝制装饰品的高是5cm，而且侧面的面积等于上、下两个底面面积之和，那么底面的半径是cm．
（3）一张正方形的铝材边长是40cm，可单独用于制作（2）题中铝制装饰品的侧面或单独用于制作底面，若要使制成的侧面和底面正好能成为一套完整的装饰品，那么制作侧面的铝材张数与制作底面的铝材张数之比为．
【题型6 圆锥、棱锥的展开与折叠】
【例6】（2021春•开福区期中）下面四个图形中，是三棱锥的平面展开图的是（）A．B．
C．D．
【变式6-1】（2020秋•宁化县月考）以下几何体的表面展开的图形如图，则它是（）
A．棱柱B．球C．圆柱D．圆锥
【变式6-2】（2020秋•广丰区期末）下面四个图形中不能围成下边三棱锥的是（）
A．B．
C．D．
【变式6-3】（2020秋•邗江区校级期末）已知某多面体的平面展开图如图所示，其中是棱锥的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个。