专升本 一元函数微积分 知识框架
专升本复习(一)函数与极限
7、下列函数可以看成由哪些简单函数复合而 成： x2 (1) y arccos e （2） y ln[ln(ln3 x)]
1 ，当0 t 20 8、设 g ( x) 3 x, f (t ) 20 ，求 0, 其它
g ( f (t ))、f ( g ( x)).
x y2 A. 2 x y2
x 2 y2
，则
1 1 f , （A x y
）
x2 y 2 D. 2 x y2
x2 y B. 2 x y2
xy C. 2 x y2
y u ， 2 v2 , v sin x, 将 表示成 的函 u 2. 设
数表达式为 。 3.与 f ( x) x2 等价的函数是（ D ） 2 3 A. x B. x C. 3 x D. x
左、右极 限概念 无穷大量 与无穷小 量的概念
知道
无穷小量 的性质
无穷小与无 穷大的关系 x →x0时极 限存在的充 要条件
掌握
四则运算 法则 用两个重 要极限求 极限的方 法
无穷小量：
lim f ( x) 0
lim f ( x)
无穷大量：
无穷小量性质： 1.无穷小的和差积商仍是无穷小量。 2.无穷小乘以有界函数仍是无穷小量。
考核知识点
4.基本初等函数及图形： 幂、指、对、三、反 5.复合函数 6.初等函数
了 解 性质
理 解 概念
f(x)的 意义 复合函 数概念
掌 握 定义域
表达式 函数值 复合函 数分解
会
建立简 单函数 关系
基本初 等函数 及其图 形
有界性、 奇偶性 的判别
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
专升本数学知识汇总
专升本数学知识汇总对于许多想要通过专升本来提升学历的同学来说，数学往往是一个重点和难点科目。
下面就为大家汇总一下专升本数学所涉及的主要知识。
一、函数与极限函数是数学中的重要概念，专升本考试中常见的函数类型包括：一元一次函数、一元二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
对于函数，需要掌握其定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质。
例如，一元二次函数的图像是一个抛物线，其对称轴、顶点坐标等特征需要牢记。
极限是微积分的基础，也是专升本数学中的重点内容。
极限的计算方法有多种，如代入法、等价无穷小替换、洛必达法则等。
理解极限的概念和性质，熟练掌握极限的计算方法，对于后续学习导数和积分至关重要。
二、导数与微分导数是函数的变化率，它反映了函数在某一点处的瞬时变化情况。
导数的定义、几何意义和物理意义都需要清楚理解。
常见函数的导数公式要牢记，如：（x^n)＇＝ nx^（n 1) 、（sin x)＇＝ cos x 、（cos x)＇＝ sin x 等。
同时，还要掌握导数的四则运算、复合函数求导法则。
微分则是导数的一种应用，它可以近似计算函数的增量。
三、积分积分包括不定积分和定积分。
不定积分是求导的逆运算，而定积分则用于计算曲线围成的面积、旋转体的体积等。
常用的积分公式需要熟练掌握，如：∫x^n dx ＝（1 ／（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C 等。
积分的计算方法有换元积分法、分部积分法等。
四、向量代数与空间解析几何向量是既有大小又有方向的量，在空间中具有重要的应用。
需要掌握向量的加减法、数乘运算、点乘和叉乘运算等。
空间解析几何中，直线和平面的方程是重点。
如直线的点向式方程、一般式方程，平面的点法式方程、一般式方程等。
五、多元函数微分学多元函数包括二元函数、三元函数等。
需要掌握多元函数的偏导数、全微分的概念和计算方法，以及多元函数的极值和条件极值问题。
六、多元函数积分学包括二重积分和三重积分。
《大学数学课件一元函数微积分学》
曲线长度与曲率
曲线长度公式
曲线长度的计算需要对曲线进行参数化，然 后对其微分求和。实数的曲线长度困难，函 数的曲线长度一般参数化之后再求积分。
计算曲率
曲率定义为在曲线某一点处曲线凝聚程度的 量，凡是具有确定的曲率的曲线上的点组成 的集合，成为曲线的曲率线。
微积分的实际应用举例
金融领域应用
微积分在金融等经济学领域中有广泛的应用，能 够帮助我们更好地理解时间价值、股市价格、股 息、衍生证券等。
龙虾曲线
一种分段光滑的曲线，通过迭代形成，是高阶 导数比较经典的应用之一。
复分析
复函数又叫做复变量函数，它是一个变量为一 个复数的函数。复分析是以复函数为研究对象 的数学分支。
不定积分的概念与求法
基本积分法
通过多种方法计算不定积 分：代换法、分部积分法、 三角函数积分法、有理函 数积分法、分式分解。
应用于牛顿第二定律
在物理领域中，微积分的应用非常广泛，牛顿第 二定律是牛顿—莱布尼茨公式的一个重要应用例 子。
定积分的概念与性质
定积分概念
在一定区间内，用先进（上）的近似值与落后（下）的近似值的平均数来逐 渐缩小误差范围的整个过程，那么最后这个误差的范围越来越小。
牛顿—莱布尼茨公式
定积分的本质意义就是计算曲线下对应的面积，和物理中的质量、体积密度、 功力密度有关，是牛顿—莱布尼茨公式的重要应用场景。
极限概念
当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于一个限的极限。
高阶导数及其应用
高阶导数的定义
高阶导数指的是对导数的导数（即二阶导数、三阶导数……）
泰勒展开式
泰勒公式是一个非常重要的工具.利用泰勒公式，可以把函数转化成为一些比较简单的多项式的和的 形式，从而来研究一些不易计算的函数。
一元微积分大一知识点
一元微积分大一知识点微积分是数学中的一个重要分支，涉及到函数、极限、导数和积分等内容。
在大一学习微积分时，需要掌握一些基本的知识点。
本文将介绍一元微积分中的一些重要概念和技巧。
一、函数与极限函数是微积分的基础，它描述了自变量和因变量之间的关系。
在研究函数时，我们常常需要考虑函数在某一变量趋于某个值时的极限。
极限可以理解为函数在某一点附近的表现，通过计算极限我们可以了解函数的性质。
极限的计算方法有很多种，比如代入法、夹逼法、洛必达法则等，具体的方法选择要根据题目的要求来决定。
在计算极限时，需要注意特殊点的处理，比如无穷大或无穷小的情况。
二、导数与微分导数是描述函数变化率的概念，它表示函数在某一点的瞬时变化率。
导数的计算可以用极限的方法，也可以用几何方法，具体要根据题目要求来选择。
常见的导数计算公式有常数法则、幂函数法则、指数函数法则和三角函数法则等。
在应用中，导数有多种含义，比如表示曲线的切线斜率、函数的增减性、最值点等。
微分是导数的一个应用，它可以用于近似计算函数的变化量，比如用导数计算函数在某一点的增量。
三、积分与定积分积分是导数的逆运算，它可以用来求解函数在一定区间上的累积变化量。
积分的计算方法有很多种，比如不定积分、定积分、换元法和分部积分等。
选择合适的计算方法需要根据题目的要求来决定。
定积分是积分的一种特殊形式，它表示函数在一定区间上的面积或曲线长度。
计算定积分时，要注意积分上下限的确定和被积函数的性质。
如果被积函数是不连续的，需要进行分段积分。
四、微分方程微分方程是描述变化率与未知函数的关系的方程。
它在物理、工程、经济等领域有广泛应用。
解微分方程的过程中常常需要使用到导数和积分的知识，可以通过定解条件求解常微分方程的特解。
常见的微分方程包括一阶线性微分方程、一阶非线性微分方程和二阶线性齐次微分方程等。
解微分方程的方法有很多种，比如分离变量法、常数变易法、特征方程法和拉普拉斯变换法等。
五、泰勒级数与近似计算泰勒级数是一种用无穷项的多项式来表示函数的方法。
一元函数微积分基础
收敛数列极限的性质
• 定理2.1（唯一性）收敛数列的极限是 唯一的.
• 定理2.2（有界性）收敛数列是有界的. • 定理2.3（保号性）如果数列{an}的极限 A≠0，则存在N∈N，使得当n>N时的一 切an都与A同号.
收敛数列极限的性质
• 定理2.4（四则运算法则）
收敛数列极限的性质
• 定理2.5（保序性）设数列{an}的极限为 A，数列{bn}的极限为B，若存在N∈N， 当n>N时an≤ bn ，则A≤ B.
x x0
lim f ( x) (lim f ( x) )
x
无穷大
• 注1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数 的一种状态.
• 注2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 反之不真 !
y x cos x
无穷大
• 定理3：在自变量的同一变化过程中，
如果f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；
n , , n 1
数列极限的概念
• 但是考察下面的数列，你会发现，当n 越来越大时，an和某个常数A“靠得不是 越来越近”
1 (1)n 1 n
2 2 2 2 2, 0, , 0, , 0 , , 0 , , 0 ,, 3 5 7 8
数列极限的概念
• 为什么会出现上述情况呢？原因在于 “越来越大”和“越来越近”比较含糊， 需要给出确切的含义.
并且
lim
( x) ( x)
存在，则
( x) ( x) lim lim ( x) ( x)
无穷小替换法
• 定理使用中注意的事情
• 例题
连续函数
1.连续函数的定义 2.连续函数的性质 3.函数的间断点 4.闭区间上连续函数
高等数学一元函数微积分教材
高等数学一元函数微积分教材一、导言高等数学是大学本科数学专业的核心课程之一，它包括了很多分支，其中之一就是一元函数微积分。
一元函数微积分是研究函数的变化规律及其相关性质的一门数学学科。
本教材以一元函数微积分为主题，旨在向读者介绍微积分的基本概念、理论和方法，培养读者对数学的逻辑思维和问题解决能力。
二、数列与极限1. 数列的概念与性质1.1 数列的定义1.2 数列的极限定义2. 极限的概念与性质2.1 极限的定义2.2 极限的运算法则2.3 极限存在准则三、函数的概念与性质1. 函数的定义与表示1.1 函数的定义2. 函数的性质2.1 函数的奇偶性 2.2 函数的周期性2.3 函数的单调性四、导数与微分1. 导数的概念与性质 1.1 导数的定义1.2 导数的性质2. 微分的概念与性质 2.1 微分的定义2.2 微分的性质五、一元函数的应用1. 函数的极值与最值 1.1 函数的极值点1.2 函数的最值2. 函数的曲线与图像2.2 函数的图像与其性质六、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与性质 1.1 不定积分的定义1.2 不定积分的性质2. 定积分的概念与性质 2.1 定积分的定义2.2 定积分的性质七、微积分的应用1. 面积与曲线的长度1.1 曲线长度的计算1.2 曲线下的面积2. 物理应用2.1 速度与位移2.2 加速度与速度八、总结与展望本教材主要介绍了高等数学一元函数微积分的基本概念、理论和方法。
通过学习本教材，读者可以系统地掌握一元函数微积分的基础知识和应用技巧，为今后深入学习与研究相关领域奠定坚实的基础。
未来，我们期待将更多的数学知识与应用融入到教学当中，提高学生的数学素养和创造力。
以上就是本教材的大致内容，希望对读者有所帮助。
感谢大家的阅读！。
高等数学专升本知识点归纳
高等数学专升本知识点归纳高等数学是专升本考试中的重要科目，其知识点广泛且深入，涵盖了微积分、线性代数、常微分方程等多个领域。
以下是对高等数学专升本知识点的归纳总结：一、函数与极限- 函数的定义、性质（单调性、奇偶性、周期性）- 极限的概念、性质、运算法则- 无穷小量的比较- 函数的连续性与间断点二、导数与微分- 导数的定义、几何意义、物理意义- 基本初等函数的导数公式- 高阶导数- 隐函数、参数方程的导数- 微分的概念与应用三、微分中值定理及其应用- 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理- 洛必达法则- 函数的单调性、极值与最值问题四、不定积分与定积分- 不定积分的概念、性质、换元积分法、分部积分法- 定积分的概念、几何意义、计算方法- 定积分的几何应用（面积、体积）五、级数- 级数的概念、收敛性判别- 正项级数、交错级数、幂级数- 函数的泰勒展开六、多元函数微分学- 多元函数的极限、连续性、偏导数、全微分- 多元函数的极值问题七、常微分方程- 一阶微分方程的解法（分离变量法、变量替换法等）- 高阶微分方程的降阶方法- 线性微分方程的解法八、线性代数基础- 向量空间、基、维数- 矩阵的运算、行列式- 线性方程组的解法（高斯消元法、克拉默法则）九、解析几何- 空间直线与平面的方程- 空间曲线与曲面的方程结束语通过以上对高等数学专升本知识点的归纳，我们可以看出，高等数学不仅要求学生掌握基础的数学概念和运算技能，更要求能够运用这些知识解决实际问题。
希望这份归纳能够帮助学生系统地复习和掌握高等数学的知识点，为专升本考试做好充分的准备。
专升本数学1
专升本数学1专升本数学 1 对于很多想要提升学历的同学来说，是一道必须跨越的难关。
它不仅是知识的积累和运用，更是思维能力和解题技巧的综合考验。
首先，我们来了解一下专升本数学 1 的考试内容。
它通常涵盖了高等数学中的函数、极限、连续、一元函数微积分等重要知识点。
这些知识点相互关联，构成了一个完整的知识体系。
函数是整个数学 1 的基础。
从简单的一次函数、二次函数，到复杂的三角函数、指数函数、对数函数等，我们需要理解它们的定义、性质和图像。
比如，对于二次函数，要清楚它的对称轴、顶点坐标以及开口方向。
而三角函数中的正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性等性质也是必须掌握的要点。
极限的概念在专升本数学1 中占据着重要地位。
它是微积分的基石，通过极限的思想，我们可以理解函数的变化趋势。
比如，当自变量趋近于某个值时，函数值的趋近情况。
连续则是在极限的基础上进一步发展的概念，函数在某一点连续，意味着在这一点附近函数值的变化是平稳的。
一元函数微积分是专升本数学 1 的核心内容之一。
导数的概念和计算方法是重点，它反映了函数的变化率。
通过求导，可以找到函数的单调区间、极值点和凹凸性。
而积分则是导数的逆运算，它可以用来计算图形的面积、体积等实际问题。
学习专升本数学 1 ，掌握正确的学习方法至关重要。
第一，要重视基础知识的学习。
把教材中的定义、定理、公式等理解透彻，并且能够熟练记忆和运用。
只有基础扎实，才能在解题时游刃有余。
第二，多做练习题。
通过大量的练习，可以加深对知识点的理解，熟悉各种题型的解题思路和方法。
同时，做错的题目要认真分析原因，总结经验教训，避免再次犯错。
第三，建立错题本。
将自己做错的题目整理到错题本上，定期进行复习和巩固。
这样可以有效地发现自己的薄弱环节，有针对性地进行强化训练。
第四，学会举一反三。
在做练习题时，不要仅仅满足于做出一道题，而是要思考这道题所涉及的知识点和解题方法，能否应用到其他类似的题目中。
第五，积极参加学习小组或者向老师、同学请教。
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专升本一元函数微积分知识框架
专升本一元函数微积分知识框架
一、函数的概念和性质
函数是自变量和因变量之间的一种映射关系，通常用f(x)表示。
函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等是函数的基本性质。
二、函数的极限
函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数的取值趋于一个确定的值。
常见的函数极限有左极限、右极限和无穷极限。
三、函数的连续性
函数在某一点上连续，意味着函数在该点的极限存在且等于函数在该点的值。
连续性是函数重要的性质之一，可以通过极限的概念进行证明。
四、函数的导数
函数的导数是函数在某一点上的变化率，表示函数曲线在该点的切线斜率。
导数的概念可以用极限的方法定义，也可以通过求导公式计算。
五、函数的微分
函数的微分是函数在某一点上的变化量，表示函数值的微小增量与自变量的微小增量的乘积。
微分可以通过导数求得。
六、函数的求导法则
函数的求导法则包括基本初等函数的导数、常数因子法则、和差法则、积法则、商法则、复合函数求导法则等。
这些法则可以简化函数求导的过程。
七、函数的高阶导数和泰勒展开
函数的高阶导数是指函数的导数再求导的结果。
泰勒展开是将函数在某一点附近展开成幂函数的形式，用于近似计算函数的值。
八、函数的积分
函数的积分是函数的反导数，表示函数在某一区间上的累积变化量。
积分的概念可以用极限的方法定义，也可以通过不定积分和定积分进行计算。
九、函数的定积分和不定积分
函数的不定积分是指函数的原函数，表示函数在某一点的积分值。
函数的定积分是指函数在某一区间上的积分值，表示区间上函数的累积变化量。
十、函数的应用
函数微积分在物理、经济、生物等领域有广泛的应用，如曲线的切线与法线、最值问题、定积分求面积和体积、微分方程等。
总结：
一元函数微积分是数学中重要的分支，研究了函数的极限、连续性、
导数、微分、积分等概念和性质，以及这些概念和性质在实际问题中的应用。
掌握一元函数微积分知识框架，对于深入理解数学和解决实际问题具有重要意义。
通过学习函数的概念和性质，掌握函数极限、连续性、导数、微分、积分等的计算方法和应用，可以提升数学分析和问题解决的能力。