2019全国中考数学真题分类汇编：一元二次方程

一、选择题

1．(2019·泰州) 方程2x 2+6x －1＝0的两根为x 1、x 2,则x 1+x 2等于( )

A.－6

B.6

C.－3

D.3

【答案】C

【解析】根据一元二次方程根与系数的关系,x 1+x 2＝6

2

-＝－3,故选C.

2． （2019·烟台）当5b c +=时，关于x 的一元二次方程2

30x bx c +-=的根的情况为（ ）．

A ．有两个不相等的实数根

B ．有两个相等的实数根

C ．没有实数根

D ．无法确定 【答案】A

【解析】因为5b c +=，所以5c b =-，因为()2

2

2

4343(5)6240b c b b b ?=-??=-??-=-+>，所以该

一元二次方程有两个不相等的实数根．

4．（2019·威海）已知a ，b 是方程x 2

+x －3＝0的两个实数根，则a 2

－b+2019的值是（ ） A,2023 B,2021 C.2020 D.2019

【答案】A

【解析】根据一元二次方程的解的定义，得a 2＋a －3＝0，所以a 2＝－a ＋3，再利用根与系数的关，得a+b ＝－1，然后利用整体代入方法计算．原式＝－a ＋3－b ＋2019＝－（a ＋b ）＋3＋ 2019＝－（－1）＋3＋2019＝202，故选A.

5．（2019·盐城）关于 x 的一元二次方程 x 2 +kx-2=0(k 为实数）根的情况是（ ）

A. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根

B. 有两个相等的实数根 D. 不能确定 【答案】A

【解析】∵a =1，b =k ，c=-2，∴△=b 2-4ac =k 2-4×1×(-2)=k 2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A ．

6．（2019·山西）一元二次方程x 2－4x －1＝0配方后可化为( )

A.(x+2)2＝3

B.(x+2)2＝5

C.(x －2)2＝3

D.(x －2)2＝5

【答案】D

【解析】原方程可化为:x 2－4x ＝1,x 2－4x+4＝1+4,(x －2)2＝5,故选D.

7．（2019·淮安）若关于x 的一元二次方程022

=-+k x x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A.k<-1 B.k>-1 C.k<1 D.k>1 【答案】B

【解析】∵关于x 的一元二次方程022

=-+k x x 有两个不相等的实数根，

∴△=k k 44)(1422

+=-??-＞0， ∴k ＞-1.

8．（2019·黄冈）若x 1，x 2是一元一次方程x 2－4x －5＝0的两根，则x 1·x 2的值为 （ ）

A.－5

B.5

C.－4

D.4

【答案】A

【解析】由根与系数的关系可知x 1·x 2＝-5.

9. （2019·怀化）一元二次方程x 2+2x +1=0的解是（ ） A.x 1=1，x 2=-1 B.x 1=x 2=1 C.x 1=x 2=-1 D.x 1=-1，x 2=2 【答案】C.

【解析】方程x 2+2x +1=0， 配方可得(x +1)2=0， 解得x 1=x 2=-1. 故选C.

10. （2019·滨州）用配方法解一元二次方程x 2－4x +1＝0时，下列变形正确的是（ ） A ．（x －2）2＝1 B ．（x －2）2＝5

C ．（x +2）2＝3

D ．（x －2）2＝3

【答案】D

【解析】x 2－4x+1=0，移项得x 2－4x=－1，两边配方得x 2－4x+4=－1+4，即（x －2）2=3．故选D ．

11. (2019·聊城)若关于x 的一元二次方程(k －2)x 2－2kx+k ＝6有实数根,则k 的取值范围为 （ ）

A.k ≥0

B.k ≥0且k ≠2

C.k ≥

3

2

D.k ≥

3

2

且k ≠2 【答案】D

【解析】∵原方程是一元二次方程,∴k －2≠0,∴k ≠2,∵其有实数根,∴(－2k)2－4(k －2)k ≥0,解之得,k ≥3

2

,∴k 的取值范围为k ≥3

2

且k ≠2,故选D.

12. （2019·潍坊）关于x 的一元二次方程22

20x mx m m +++=的两个实数根的平方和为12，则m 的值为（ ） A ．m =－2 B ．m =3 C ．m =3或m =－2 D ．m =3或m =2 【答案】A

【解析】由题意可得：2

2

2

121212()212x x x x x x +=+-=，

因为：122

12

2,x x m x x m m +=-??=+? 所以：2

2

(2)2()12m m m --+=， 解得：m 1=3，m 2=－2；

当m =3时Δ=62－4×1×12＜0，所以m =3应舍去； 当m =－2时Δ=(－4)2－4×1×2＞0，符合题意． 所以m =－2，故选择A ．

13. （2019·淄博） 若2

2

12123,5,x x x x +=+=则以12,x x 为根的一元二次方程是（ ）

A .2

320x x -+= B .2

320x x +-=

C .2

320x x ++=

D .2

320x x --=

【答案】A .

【解析】222

121212()2,x x x x x x +=++?

又∵2

2

12123,5,x x x x +=+=

∴2

2

2

1212122()()954,x x x x x x ?=+-+=-= ∴12,2x x =，

∴以12,x x 为根的一元二次方程是2

320x x -+=. 故选A .

14.（2019·自贡）关于x 的一元二次方程x 2

-2x +m =0无实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A.m ＜1

B.m ≥1

C.m ≤1

D.m ＞1

【答案】D.

【解析】∵方程无实数根， ∴△=(-2)2-4×1·m =4-4m ＜0. 解得，m ＞1. 故选D.

15. （2019·金华）用配方法解方程x 2－6x －8＝0时，配方结果正确的是（ ） A. 2(3)17x -= B. 2(3)14x -= C. 2(6)44x -= D. 2(3)1x -= 【答案】A ．

【解析】解方程x 2－6x －8＝0，配方,得（x －3）2＝17，故选A ．

16. (2019·宁波) 能说明命题”关于x 的方程x 2－4x+m ＝0一定有实数根”是假命题的反例为

A.m ＝－1

B.m ＝0

C.m ＝4

D.m ＝5

【答案】D

【解析】方程的根的判别式?＝(－4)2－4m ＝16－4m,当?<0时,方程无实数根,∴应使16－4m<0,即m>4,可得原方程无实数根,四个选项中,只有m ＝5符合条件,故选D.

二、填空题

1．（2019·嘉兴）在x 2

+ +4＝0的括号中添加一个关于x 的一次项，使方程有两个相等的实数根． 【答案】4x ±

【解析】根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件可知，则△＝b 2﹣4ac ＝b 2﹣16＝0，得b ＝±4, 故一次项为±4x ，故答案为4x ±.

2、(2019·泰州)若关于x 的方程x 2+2x+m ＝0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是________. 【答案】m<1

【解析】该方程的根的判别式?＝22－4m ＝4－4m,因为有两个不相等的实数根,∴4－4m>0,所以m<1. 3．（2019·威海） 一元二次方程3x 2＝4－2x 的解是

【答案】1x =

，2x = 【解析】直接利用公式法解一元二次方程得出答案．3x 2＝4-2x 即3x 2+2x-4＝0，则△b 2-4ac ＝4-4×3×

4．（2019·盐城）设1x 、2x 是方程2320x x +－＝的两个根，则1212x x x x +-?= ． 【答案】1

【解析】根据一元二次方程中根与系数的关系，由韦达定理可知121232b c

x x x x a a

+==?==－，，得

12121x x x x +-?=.

5．（2019·青岛）若关于x 的一

元二欠方程2x 2

-x +m ＝0有两个相等的实数根，则m 的值为 . 【答案】

1

8

【解析】本题考查一元二次方程根的判别式,因为一元二次方程有两个相等的实数根,所以△=(-1)2-4×2m =1-8m =0,解得m =

18

. 6．（2019·江西）设1x ，2x 是一元二次方程012

=--x x 的两根，则2121x x x x ++= .

【答案】0

【解析】∵1x ，2x 是一元二次方程012

=--x x 的两根， ∴=+21x x 1，=21x x -1， ∴2121x x x x ++=1+（-1）=0.

7、（2019·武汉） 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A （－3，0）、B （4，0）两点，则关于x 的一元二次方程

a （x －1）2＋c ＝

b －bx 的解是___________．

【答案】x ＝－2或5

【解析】∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A （－3，0）、B （4，0）两点，∴y ＝a （x ＋3）（x －4）＝ax 2－2ax －12a ．∴b ＝－2a ，c ＝－12a ．∴一元二次方程为 a （x －1）2－12a ＝－2a ＋2ax ，整理，得ax 2－3ax －10a ＝0,∵a ≠0，∴x 2－

3x －10＝0，解得x 1＝－2，x 2＝5．

8.（2019·济宁） 已知x ＝1是方程x 2＋bx －2＝0的一个根，则方程的另一个根是 ． 【答案】－2

【解析】方法1：把x ＝1代入得1＋b －2＝0，解得b ＝1，所以方程是x 2 ＋x －2＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2． 方法2：设方程另一个根为x 1，由根与系数的关系知1×x 1＝－2．∴x 1＝－2． 9．（2019·陇南）关于x 的一元二次方程x 2+x +1＝0有两个相等的实数根，则m 的取值为 ．

【答案】4．

【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2x+1=0有两个相等的实数根，∴2

411-??=0，解得，m=4，

故答案为：4．

10. (2019·泰安)已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k －1)x+k 2+3＝0有两个不相等的实数根,则实数k 的取值范围

是________. 【答案】k<114

-

【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2－(2k －1)x+k 2+3＝0有两个不相等的实数根,∴?＝(2k －1)2－4(k 2+3)>0,解之,得k<114

-

.

11. (2019·枣庄)已知关于x 的方程ax 2+2x －3＝0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是________.

【答案】a>1

3

-且a ≠0

【解析】因为关于x 的方程ax 2+2x －3＝0有两个不相等的实数根,∴a ≠0,且22－4a(－3)>0,解之得,a>1

3

-且a ≠0.

12．（2019·娄底）已知方程230x bx ++=___________．

【解析】设原方程的另一个根为1x ，则由一元二次方程根与系数的关系12c

x x a

=

得13x ?

=

∴

13

x =

==

13. （2019·眉山） 设a 、b 是方程x 2+x -2019=0的两个实数，根则（a -1）（b -1）的值

为 ．

【答案】-2017

【解析】解：根据题意，得：a+b=-1，ab=-2019，∴（a-1）（b-1）=ab-（a+b ）+1=-2019+1+1=-2017，故答案为：-2017.

14. （2019·攀枝花）已知x 1、x 2是方程x 2－2x －1＝0的两根，则2

2

12x x +＝ 。 【答案】6

【解析】由一元二次方程根与系数的关系可得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－1，∴2

2

12x x +＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＝22＋2＝6．

三、解答题

1．（2019年浙江省绍兴市，第17题，8分 ）

（2）x 为何值时，两个代数式14,12

++x x 的值相等？ 【解题过程】4

2．（2019浙江省杭州市，21，10分）(本题满分10分)

如图.已知正方形ABCD 的边长为1，正方形CEFG 的面积为S 1，点E 在DC 边上，点G 在BC 的延长线.设以线段AD 和DE 为邻边的矩形的面积为S 2.且S 1=S 2. (1)求线段CE 的长.

(2)若点H 为BC 边的中点，连接HD ，求证:HD=HG. 【解题过程】（1）设正方形CEFG 的边长为a ， ∵正方形ABCD 的边长为1，∴DE=1-a ， ∵S 1=S 2，∴a 2

=1×（1-a ），

解得，（舍去），，即线段CE 的长

是

；

（2）证明：∵点H 为BC 边的中点，BC=1，∴CH=0.5，∴DH==，

∵CH=0.5，CG=，∴HG=，∴HD=HG ．

3．（2019·衡阳）关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋k ＝0有实数根. （1）求k 的取值范围；

（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m －1）x 2＋x ＋m －3＝0与方程x 2－3x ＋k ＝0有一个相同的根，求此时m 的值.

解：(1)由一元二次方程x 2－3x ＋k ＝0有实根，得判别式△＝9－4k ≥0，△k ≤9

4

. (2)k 的最大整数为2，所以方程x 2－3x ＋2＝0的根为1和2.

（第21题）

G

F

A

B

C

E

∵方程x 2－3x ＋k ＝0与一元二次方程（m －1）x 2＋x ＋m －3＝0有一个相同根， ∴当x ＝1时，方程为（m －1）＋1＋m －3＝0，解得m ＝

32

； 当x ＝2时，方程为（m －1）×2 2＋2＋m －3＝0，解得m ＝1（不合题意）， 故m ＝

3

2

. 4．（2019·常德）解方程：23x x -－2＝0

【解题过程】解：23x x -－2＝0，∵a ＝1，b ＝－3，c ＝－2，∴△＝24b ac -＝17，∴1x =，2x = 5．（2019安徽）解方程：（x ﹣1）2=4.

【解题过程】解：（x ﹣1）2=4，所以x ﹣1=2，或x ﹣1=﹣2，…………4分 即x=3，或x=﹣1. ………………6分 所以，原方程的解为x 1=3，x 2=﹣1. ………………8分

6. (2019·巴中)已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m+1)x+m 2－1＝0有两个不相等的实数根.

①求m 的取值范围;

②设x 1,x 2是方程的两根且x 12+x 22+x 1x 2－17＝0,求m 的值.

解：①D ＝(2m+1)2－4(m 2－1)＝4m+5,因为原方程有两个不相等的实数根,所以4m+5>0,m>54

-; ②由根与系数的关系,x 1+x 2＝－(2m+1),x 1x 2＝m 2－1,所以原方程可化为(x 1+x 2)2－x 1x 2－17＝0,即(2m+1)2－(m 2－1)

－17＝0,解之,得m 1＝53,m 2＝－3,因为m>54-,所以m ＝5

3

.

7. （2019·无锡）解方程：（1）0522=--x x

解：0522=--x x ，∵△＝4+20＝24＞0，∴x 11=+x 2

8．（2019·滨州）用配方法解一元二次方程x 2－4x +1＝0时，下列变形正确的是（ ） A ．（x －2）2＝1 B ．（x －2）2＝5

C ．（x +2）2＝3

D ．（x －2）2＝3

【答案】D

【解析】x2－4x+1=0，移项得x2－4x=－1，两边配方得x2－4x+4=－1+4，即（x－2）2=3．故选D．

9.（2019·遂宁）已知关于x的一元二次方程（a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0，则a的值为 ( )

A. 0B.1± C. 1 D. -1

【答案】D

【解析】当x=0时，a2-1=0，∴a=1±，∵是一元二次方程，∴a≠1，∴a=-1,故选D.

10.（2019·遂宁）若关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为

【答案】k<1

【解析】由于方程有两个不相等的实数根，所以△>0,∴4-4k>0,∴k<1.

11．（2019山东省德州市，21，10）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人字样浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128 人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608 人次，若进馆人次的月平均增长率相同．

（1）求进馆人次的月平均增长率；

（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力补超过500人次，在进馆人次的月平均增长率的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．

【解题过程】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据题意，得：128＋128 (1＋x)＋128 (1＋x)2＝608

解得x1＝0.5；x2＝－3.5（舍去）．答：进馆人次的月平均增长率为50%．

（2）第四个月进馆人数为128(1＋1

2

)3＝432（人次），∵432＜500，∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．