【恒心】2015届江苏省通州高级中学等五校高三12月第一次联考数学试题及参考答案【纯word版】

江苏省通州高级中学等五校2015届高三第一次联合考试

数学试卷

参考学校：

江苏省通州高级中学； 江苏省镇江第一中学； 江苏省太仓高级中学； 江苏省建湖高级中学； 江苏省阜宁中学

数学Ⅰ

一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．把答案填在答卷纸相应的位置上． 1. 若集合{23},{14}A x x B x x x =-≤≤=<->或，则集合A B = ▲ ．

2. 设i 是虚数单位，复数

12ai

i

++为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3. 函数21

()ln 2

f x x x =-的单调递减区间为 ▲ ．

4. 直线l 经过2(3,1),(,2)()A B m m R ∈两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是 ▲ ．

5. 在ABC ∆中，90A ∠=，且1AB BC ⋅=-,则边AB 的长为 ▲ ．

6. 已知7

(0,),sin cos 13

απαα∈+=

,则tan α= ▲ ． 7. 直线l ：1y kx =+与圆O ：2

2

1x y +=相交于,A B 两点， 则“1k =”是“OAB ∆的面积为

1

2

”的 ▲ 条件. (填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一)

8．设,,x y z 是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x z ⊥，且y z ⊥，则//x y ” 为真命题的是 ▲ ． （填所正确条件的代号） ①,,x y z 为直线； ②,,x y z 为平面； ③,x y 为直线，z 为平面； ④x 为直线，,y z 为平面.

9. 已知⎩⎨⎧>+-≤=0

,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则4

()3f 的值为 ▲ ．

10. 长方体1111ABCD A B C D -中，13,2AB BC AA ===，则四面体11A BC D 的体积为 ▲ ． 11. 在△ABC 中，已知5AB =，2BC =，2B A ∠=∠，则边AC 的长为 ▲ ． 12. 不等式2

2

()a mb b a b λ+≥+对于任意的,a b ∈R ，存在R λ∈成立， 则实数m 的取值范围为 ▲ ．

E A B D

C P F 13. 函数2()(2)(0)f x mx m x n m =+-+>，当11x -≤≤时，|()|1f x ≤恒成立，求2

()3f = ▲ ．

14. 数列{}n a 、{}n b 都是等比数列，当3n ≤时，n n b a n -=，若数列{}n a 唯一， 则1a = ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)

已知函数()()=23sin cos sin 2344f x x x x πππ⎛⎫⎛

⎫+⋅+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭．

（１）求()f x 的最小正周期； （２）若将()f x 的图像向左平移

4

π

个单位，得到函数()g x 的图像，

求函数()g x 在区间[0,]2

π

上的最大值和最小值．

16．(本小题满分14分)

如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =， E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F . （１）证明：PA ∥平面EDB ； （２）证明：PB ⊥平面EFD .

17．(本小题满分14分)

某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈*N )名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为

310500x a ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭万元(a ＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %．

（１）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最

多调整出多少名员工从事第三产业？

（２）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的

年总利润，则a 的取值范围是多少？

18．(本小题满分16分)

已知ABC ∆的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为圆H ． （１）求圆H 的方程；

（２）若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；

（３）对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点,M N ，

使得点M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围．

19．(本小题满分16分)

函数()(1)(ln 1)f x mx x =+-．

（１）若1m =，求曲线()y f x =在1x =的切线方程；

（２）若函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，求实数m 的取值范围；

（３）设点(,0)P m ，11(,())A x f x ，22(,())B x f x 满足1212ln ln ln()x x x x ⋅=⋅12()x x ≠，

判断是否存在实数m ，使得APB ∠为直角？说明理由．

20．(本小题满分16分)

若数列{}n a 的各项均为正数，*2

12,n n n n N a a a t ++∀∈=+，t 为常数，且3242a a a =+.

（１）求13

2

a a a +的值；

（２）证明：数列{}n a 为等差数列；

（３）若11a t ==，对任意给定的k ∈N *，是否存在p ，r ∈N *(k

a r

成

等差数列？若存在，用k 分别表示一组p 和r ；若不存在，请说明理由．

江苏省重点中学2015届高三年级第一次联合考试

数学试卷