吉林省长春市第十一中学2021届高三数学上学期第二学程考试试题理

吉林省长春市第十一中学2021届高三数学上学期第二学程考试试题

理

第Ⅰ卷（共 60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1．若i 为虚数单位，,a b ∈R

，且2a i

b i i

+=+，则复数a bi -的模等于（） A ．2

B ．3

C ．5

D ．6

2．“2m =”是“椭圆22

16x y m

+=焦距为4”的（）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 3．函数()

()221lg 21

x f x -=

+的部分图象大致为（）

4．如图，AB 是单位圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，则AC AD ?=（） A ．1 B ．

C ．32

D ．3

5．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程，比如在表达式

1111+

中“?”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方

程11x x +

=求得15x +=，类似上述过程及方法.则77++?的值为（）

A ．

131

+ B ．

291

+ C ．7 D ．22

6．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔.令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值.金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米.因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（） A ．128.5米

B ．132.5米

C ．136.5米

D ．140.5米

7．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则2020

2021

ln ln a a =

（） A ．1:3

B ．3:1

C ．3:5

D ．5:3

8．从某个角度观察篮球（如图甲），可以得到一个对称的平面图形，如图乙所示，篮球的外轮廓为圆O ，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆的周长八等分，且AB BO OC CD ===，则该双曲线的离心率为（） A ．2 B ．3 C ．2

D ．5

9．图1是第七届国际数学教育大会(7ICME -)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的(如图2)，其中11223781OA A A A A A A ===

==，则68sin A OA ∠=（）

A ．

1431- B ．72221

- C ．

143128+ D ．72221

+ 10．已知函数()()()2

)1ln 2

(,1+f x x a x a a b x -+->，函数2x b y +=的图象过定点

0,1（），对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>，有()()1221f x f x x x ->-，则实数a 的范围为

（）

A ．15a <≤

B ．25a <≤

C ．25a ≤≤

D ．35a <≤ 11．已知函数1()ln 1x

f x x -=+，若x ，y 满足1()02f x f y ??

+-≥ ???

，则3y x +的取值范围是

（） A ．11,2

?- ??

B ．)2

1,1(-

C ．()1,1-

D ．[]1,1-

12.已知抛物线py x C 2:2

=的焦点为F

C 相交于B A ,两点（B 在M F ,之间）BF 7，则AF 的长为（）

A. 8

B. 1

C. 3

D. 6

二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分. 13．若sin 3()2

x π+

＝1

3，则cos2x ＝________.

14．若经过坐标原点O 的直线l 与圆2

430x y y +-+=相交于不同的两点A ，B ，则弦AB 的中点M 的轨迹长度为__________. 15．已知下列命题：

1p ：若直线l 与平面α有两个公共点，则直线l 在平面α内．

2p ：若三条直线,,a b c 互相平行且分别交直线l 于,,A B C 三点，则这四条直线共面． 3p ：若直线l 与平面α相交，则l 与平面α内的任意直线都是异面直线．

4p ：如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交．

则下述命题中所有真命题的序号是_________．

① 14p p ∧ ② 12p p ∧ ③ 23p p ?∨ ④34p p ?∨? 16.如图，在直三棱柱

111C B A ABC -中，

BC AC BC AC ⊥==,1,3，点D 在棱1BB 上，当1DC AD +取

最小值时，1DC AD ⊥，则异面直线1BC 与C A 1所成角的余弦值

为 .

三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）设N n *∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，1a ，

2a ，5a 成等比数列.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b 满足1(1)(2)n a n n n b a +=-+，求数列{}n b 的前2n 项的和2n T .

18．（本小题满分12分）如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，//AD BC ，90BAD ∠=?，

AC BD ⊥，1BC =，41==AA AD .

（1）证明：平面1ACD ⊥平面1BB D ；（2）求二面角11B AC D --的余弦值.

19．（本小题满分12分）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且

()3sin AC AB b c a C ?=-.

（1）求角A 的大小；

（2）设b c =，点N 是ABC 所在平面上一点，且与点A 分别位于直线BC 的两侧，若

4BN =，2CN =，求当BCN △面积最大时，ABC 的周长.

C 1B 1

A 1

B A

20.（本小题满分12分）已知函数a x a x x f +-=ln )(，R a ∈ （1）讨论函数)(x f 的单调性；

（2）若0)(≤x f 恒成立，求a 的取值范围.

21.（本小题满分12分）已知椭圆128:22=+y x C ，)2

10(28:221<<=+λλy x C ，过椭圆C 上的点)1,2(-P 做椭圆1C 的两条切线分别和椭圆C 的另外交点为N M ,，如图所示，设

直线PN PM ,的斜率分别为21,k k ，

（1）证明：4

21=k k ；（2）直线MN 的斜率k 是否为常数？若是，求出k 的值；若

不是，说明理由.

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

己知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2

22111x t t y t ?

=-+??-??=?-?

（t 为参数）.以原点

O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为5cos 34

πρθ?

= ?

?. （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；

（2）若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于点P ，求11PA PB

+的值. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()23f x x a a =++，a R ∈.

（1）若对于任意x R ∈，()f x 都满足()()4f x f x =-，求a 的值；

（2）若存在x R ∈，使得()21f x x a ≤--+成立，求a 的取值范围.

参考答案

1．C 因为()21a i b i i bi +=+=-+，所以1a =-，2b =. 所以()()

12125a bi i -=--=

-+-=.故选：C

2．A 【详解】当2m =时，2

6,2,22624a b c ===-=，即2m =时，椭圆22

6x y m

+=焦距为4；

若椭圆22

16x y m

+=焦距为4，则2c =，所以262m =+或262m =+，

解得2m =或10m = 所以“2m =”是“椭圆22

15x y m

+=焦距为2”的充分不必要条

件，故选：A

3．B 【详解】函数()

()221lg 21

x f x -=

+的定义域为{}

0x x ≠，

()

()()()()

()()2

1lg 221lg 12lg 21

221x

x x x

x x x f x f x ---------=

=-+++，函数()f x 为奇

函数，

当01x <<时，201x <<，则2

lg 0x <，210x ->，210x +>，()0f x ∴<.

因此，函数()f x 的图象如B 选项中的图象.故选：B.

4．C 【详解】连接,OD OC ,则2,,136

AOD CAD AC ππ

∠=∠==, 在AOD △中，由余弦定理得：222

111211()3,32

AD AD =+-???-=∴=.

所以3

13cos 62

AC AD π?=??=.故选：C

5．B 【详解】

令77x ++?=，则7x x +=，整理，得270x x --=，解得129x -=

，或129

x +=，0x ，129x +∴=

，∴129

77+++?=.故选：B .

6．C 【详解】解：设金字塔风化前的形状如图，∵230AB =，∴其底面周长为2304920?=，由题意可得：

920

3.141592PO

=，∴146.42PO =. ∴胡夫金字塔现高大约为146.4210136.42-=米. 结合选项可得，胡夫金字塔现高大约为136.5米.故选：C. 7．A 【详解】{}n a 是正项等比数列，0n a >，0n T ≠，*n N ∈，所以由2017202120172018201920202021T T T a a a a ==?，得20182019202020211a a a a =，所以20182021201920201a a a a ==，设{}n a 公比为q ，1q ≠，

22021201820213()1a a a q ==，2

202020192020()1a a a q

==，即322021a q =，122020a q =，所以

2020

2021

1ln ln ln 123ln 3ln ln 2

a q a q q ===．故选：A ． 8.B 【详解】由条件知)2,2(a a 在双曲线12222=-

b y a x 上，所以222=a b ，3122

=+=a

b e ，

选B

9．D 【详解】

∵1121OA A A ==，且12OA A △是直角三角形，∴22OA =，同理得66OA =，

77OA =，

67sin 7A OA ∠=

，676cos 7A OA ∠=，78sin 8A OA ∠=，787

cos 8

A OA ∠=， ∴()6867787672221

sin sin 287878

A OA A OA A OA +∠=∠+∠=?+?=

.故选：D ．

10．A 【详解】解：因为2x b

y +=的图象过定点0,1（），所以21b =，解得0b =，

所以()()()2

1ln ,12

f x x ax a x a -+->，因为对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>，

有()()1221f x f x x x ->-，则()()1122f x x x f x +>+，设()()F x f x x =+，即()()()()()2211

1ln =11ln 22

F x ax a x x x f x x x a x a x =+=

-+-+--+-，所以()()()2

1111x a x a a F x x a x x

--+--'=--+=

，令()()2

11g x x a x a =--+-，因为1a >，则102a x -=>，所以要使()0F x '≥在()0,∞+恒成立，只需102a g -??

≥ ???

，

故()2

1111022a a a a --????--+-≥ ? ?????

，

整理得()()150a a --≤，解得15a <≤，故选:A. 11．C 【详解】函数()f x 的定义域为()1,1- 因为11()ln

ln ()11x x

f x f x x x

+--==-=--+，所以()f x 为()1,1-上的奇函数 2()ln 11f x x ?

?=-+ ?+??

，故函数()f x 为()1,1-上的减函数

由1()02f x f y ??

≥ ???得到()22y y f x f f ????≥--= ? ?????

即11

222x y y x -<

，该不等式组表示的平面区域如下图所示 3

x +表示区域中的点与3,0连线的斜率，由图可知，

113

x -<<+，故选：C 12．D

二、填空题 13．7

【详解】由诱导公式得sin 3()2

x π+

＝－cos x ＝13，故cos x ＝－1

3.由二倍角公式得cos2x ＝2cos 2x

－1＝2

172139???--=- ???

.故答案为：79-． 14．

【详解】设当直线l 的方程为()()1122,,,,y kx A x y B x y =，与圆联立方程组，消去y 可得：(

1430k x

kx +-+=，

由(

)

164130k k

?=-+?>，可得23k >.由韦达定理，可得122

41k

x x k

+， ∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的参数方程为2

22121k x k k y k ?=??+??=?+?

，其中23k >， ∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为：()2

211x y +-=，其中3

y <≤. 所以AB 的中点M 的轨迹长度为12233

r ππ?=.故答案为：23π

15．②④【详解】因为

1p ：若直线l 与平面α有两个公共点，则直线l 在平面α内．由平面的基本性质知正确；

2p ：若三条直线,,a b c 互相平行且分别交直线l 于,,A B C 三点，则这四条直线共面，由平

面的基本性质知正确；

3p ：若直线l 与平面α相交，则l 与平面α内的任意直线都是异面直线，由空间直线的位置

关系知错误；

4p ：如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交，由直

线与平面的位置关系知错误；

所以① 14p p ∧错误；②12p p ∧正确；③ 23p p ?∨ 错误； ④34p p ?∨?正确；故答案为：②④ 16．答案：

165

3 三、解答题

17．（1）21(*)n a n n N =-∈；（2）21

22n n T n +=+-. 【详解】（1）由12n n n S S a +=++，得12()n n a a n N +

+-=∈，所以数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列.由1a ，2a ，5a 成等比数列可得2

215a a a =，即2111(2)(8)a a a +=+，解

得11a =，

所以21(*)n a n n N =-∈.

（2）由（1）得21n a n =-，所以1(2)(1)n a n n n b a +=+-()

()2121n

n n =+--

所以()()222(21)

1357434121

n n T n n -??=+-+-+---++??-21

22n n +=+-. 18．（1）证明见解析；（2）

821

. 【详解】（1）证明：1BB ⊥平面ABCD ，AC ?平面ABCD ，∴1AC BB ⊥. 又∵AC BD ⊥，且1BB BD B ?=，1,BD BB ?平面1BB D ， ∴AC ⊥平面1BB D .又∵AC ?平面1ACD ，∴面1ACD ⊥面1BB D . （2）易知AB 、AD 、1AA 两两垂直，

以A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴

建立如图的空间直角坐标系，设AB t =，则相关各点的坐标为

()0,0,0A ，(),0,0B t ，()1,0,4B t ，(),1,0C t ，

()1,1,4C t ，()0,4,0D ，()10,4,4D .从而(),1,0AC t =，(),4,0BD t =-.

∵AC BD ⊥，∴2400AC BD t ?=-++=，解之得2t =或2t =-（舍去）.

()10,4,4AD =，()2,1,0AC =

设()1,,n x y z =是平面1ACD 的一个法向量，则11

0n AC n AD ??=???=??，即20440x y y z +=??+=?

令1x =，则()11,2,2n =-.

同理可求面1ACB 的法向量为()22,4,1n =-.

∴12122cos 63||||3n n n n θ?-=

==?.又∵二面角11B AC D --是锐二面角，