空间轴对称问题的基本微分方程

空间轴对称问题的基本微分方程

在描述轴对称问题各分量时，用圆柱坐标r 、

θ、z 比用直角坐标x 、y 、z 方便得多，如以z 轴

为对称轴，如图1所示则所有应力分量、应变分量

和位移分量都将只是r 和z 的函数，不随θ而变。如

图，取微小六面体。注意到应力分量是（r ，z ）将

各面上的应力分量写出。单位体积内的体积力在r 、

z 方向的分量分别表示为r f 、z f 。根据单元体在r

和z 方向的平衡方程，略去高阶微量，同时除以

rdrd dz θ，因为d θ很小，近似认为()sin 22d d θθ≈，加以整理后得到r 方向和z 方向的平衡微分方程为： 图1柱坐标下微小六面体

r r z 0r 0zr r rz rz z f z r

f z r r θστσσσττ??-?+++=????????+++=????

公式（1） 进一步推导空间轴对称问题的几何变形方程：

设u 、w 分别代表r 及z 轴方向的位移分量，由极坐标内位移与应变的关系以及直角坐标的关系式，很容易得到

r u r ??=ε，r u =θε，z w z ??=ε，0==z r θθγγ，r

w z u rz ??+??=γ 公式（2） 最后，根据广义胡克定律，可得出物理方程：

1[()]1[()]1[()]2(1)r r z r z z z r rz rz rz E

E

E

G E θθθθεσμσσεσμσσεσμσστμγτ?=-+???=-+???=-+??+==??

公式（3） 或 ()()2112112()()2112112()()2112112()2(1)2(1)r r r z z z rz rz rz E E u e e e G r E E u e e e G r E E w e e e G z E E u w G z r

θθθμμσελεμμμμμμσελεμμμμμμσελεμμμμτγγμμ??=

+=+=+?+-+-???=+=+=+?+-+-????=+=+=+?+-+-?????==+=?++??? 公式（4） 式中，r z u u w e r r z θεεε??==++??++为体积应变。 上式中共有10个未知数，必须满足（1）（2）（3）或（4）等10个方程式。

当体积力0r z f f ==时，将（4）代入（1），并采用记号22

2221r r r z ????=++???，便可得到以位移表达的平衡方程，即为解空间轴对称问题的位移法的基本方程：

2221

0121

012e u u r r e w z μ

μ??+?-=?-?????+?=?-??

公式（5） 当由（5）式解得满足边界条件的位移函数后，代回（2）、（4）等式，即可求得应变及应力分量。

空间轴对称问题

现举一个按以上位移法基本方程求解空间轴对称问题的例子，即具有重要实际意义的布希涅斯克（J.V.Boussinesq ）问题。

设在弹性半空间体（即在一个方向有界面，

在其余各方向皆为无限大）的界面上，受垂直于

界面集中力P 的作用，如图2所示。现用位移法

求些时的位移及应力分量。

（一）求位移函数u 、w

对此空间轴对称问题，把z 轴放在P 力作用

线方向，将P 力作用点作为坐标原点。因此，当

用位移法求解时，问题在于如何求出方程式（1-5）

的解，并使之满足边界条件。

可找到方程式（1-5）的两组特解，亦即满足

方程式（1-5）的两组位移函数，其中第一组为： 图2 弹性半空间体界面集中力

1

3

2131[(34)]rz u A R z w A R R μ?=????=+-?? （1） 其第二组为

2

2()1r u A R R z w A R ?

=?+???=?? （2） 式中r 和z 是被考察点M 的两个坐标，2

2z r R +=是被考察点M 到坐标原点O 的距离。1A 、2A 是两个任意常数。

为此，可将二阶偏微分方程式（1-5）的通解写为：

1232123()

11(34)rz r u A A R R R z z w A A R R R ?=+?+?????=+-+??????

μ （3） 现已找出能基本方程的位移函数。以下将利用边界条件确定常数1A 、2A 。

将（3）式的结果代入到（1-4）并注意到r z u u w e r r z

θεεε??==

++??++，则可得到以下四个应力分量的函数： ()()()()23222135222133125332125333A 12()1()A 121()3A 12A 13A 12A 1r z rz E z r z A z z r R R R R z R E z A R R R z E z r z R R R E rz r r R R R θσμμσμμσμμτμμ?????=--+-+?????++??

???????=-+??++???

???????=-+-+?????+????

??????=-+-+?????+?????

?

（4） 由于在边界上无剪应力，则0z =时，0rz τ=，由式（4）最后一式可得到：

12(12)0A A μ-+= （5）

另外，过M 点作一个与边界面平行的面，将弹性半空间体的上部切下，根据被切下部分的z 方向的平衡条件： 0(2)0z rdr P σπ∞+=?

（6） 将（4）式中的z σ代入（6）式积分后可得到： []122P 2(1)01E A A πμμ

-

-+=+ （7） 联立式（5、（7）可得： 12P(1+)P(1+)A =,A (12)22E

E μμμππ=-- （8） 将（8）式代入（3）式，最后得位移函数为：

32320(1)[(12)]2()(1)2(1)[]2(1)()z P rz r u E R R R z P z w E R R P w Er μμπμμπμπ=+?=

--?+?+-?=+???-=?? （9） （二）求应力分量

将（8）式代入（4）式，可得到应力分量的计算公式为：

2533

5

25P 1232()P 1(12)2()P 32P 32r z rz zr R R z R z R R R z z R z r R θμσπσμπσπτπ???-=-???+??

?????=--???+??

??=-???=-??

（10）

（三）讨论

由以上所得的（9）、（10）可以看出，随着R 的增大，位移和应力都迅速减小。当∞→R 时，位移和应力分量皆趋于零。这说明此物体受力状态下的应力与位移带有局部的性质。

又当0→R 时，各应力分量都趋于无限大。所以在集中力P 作用点处早已进入塑性，由于实际载荷也不可能加在一个几何点上，而是分布在一个小面积上，所以实际应力也不是无限大。以上位移和应力公式根据圣维南原理，只在稍离接触区的地方才是正确的。

由（10）式可以得到：当0z =时，在弹性半空间表面边界上的各点：

221212220,0r z rz P P R r θμμσσππστ--?=-==???==?

（11）

也就是说，边界表面上各点受到纯剪切作用。

又当0=r ，z R =时，亦即在z 轴上的各点，由（10）可得：

222

12221222320r z rz P z P z P z θμ

σπμ

σπσπτ-?

=??

-?=??

?=-??

=??

（12）

这说明，在z 轴上各点受到两向拉伸，一向压缩，它的主应力分别为

12232122232P z P z μσσπσπ-?

==???

?=-??

（13） 以绝对值比较，3σσ=z 比径向及周向应力1σ，2σ大得多。

以上结果是研究接触问题的基础，因此是很重要的。