电磁场与电磁波第二章课后答案

第二章 静电场

重点和难点

电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。

利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。

至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。 关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容和部分电容一节可以从简。

重要公式

：

真空中静电场方程：

积分形式：

?

=

?S

S E 0

d εq

?=?l

l E 0d

微分形式：

ερ=

??E

0=??E

已知电荷分布求解电场强度：

1，

)()(r r E ?-?=； ?

'

'-'=

V V

d )

(41)(|

r r |r r ρπε?

2，

?

'''-'-'=V V 3

d |4)

)(()(|r r r r r r E περ

3，

?

=

?S

S E 0

d εq

高斯定律

介质中静电场方程：

积分形式：

q S

=?? d S D

?=?l

l E 0d

】

微分形式：

ρ=??D

0=??E

线性均匀各向同性介质中静电场方程：

积分形式：

ε

q

S

=

?? d S E

?=?l

l E 0d

微分形式：

ε

ρ=

??E

0=??E

静电场边界条件：

1，

t t E E 21=。对于两种各向同性的线性介质，则

2

21

1εεt

t

D D =

2，

s n n D D ρ=-12。在两种介质形成的边界上，则

n n D D 21=

对于两种各向同性的线性介质，则

【

n n E E 2211εε=

3，介质与导体的边界条件：

0=?E e n ； S n D e ρ=?

若导体周围是各向同性的线性介质，则

ε

ρS n E =

；

ε

ρ?

S n -=??

静电场的能量：

孤立带电体的能量：Q C Q W e 2

1

212Φ== 离散带电体的能量：

∑==n

i i i e Q W 12

1

Φ

分布电荷的能量：

l S V W l l S S V

e d 21

d 21d 2

1ρ?ρ?ρ????

===

静电场的能量密度：

E D ?=

2

1

e w ,

对于各向同性的线性介质，则

2 2

1

E w e ε=

电场力：

库仑定律：

r

r

q q e F 2 4πε'

=

常电荷系统：

常数

=-

=q e l

W F d d

常电位系统：

常数

==

?l

W F e d d

题 解

2-1 若真空中相距为d 的两个电荷q 1及q 2的电量分别为q 及4q ，当点电荷

q '位于

q 1及q 2的连线上时，系统处于平衡状态，试求

q '的大小

及位置。

解 要使系统处于平衡状态，点电荷q '受到点电荷

q 1及q 2的力应该大小

相

等

，

方

向

相

反

，

即

q q q q F F '

'=21。

那

么

，

由

122

2

022

1

01244r r r q q r q q =?'=

'πεπε，同时考虑到d r r =+21，求得

d r d r 3

2 ,3121==

￥

可见点电荷

q '可以任意，但应位于点电荷

q 1和q 2的连线上，且与点电

荷1q 相距

d 3

1

。

2-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为：

)

0,1,0( ,4 )1,0,1( ,1 )1,0,0( ,1332211P C q P C q P C q === 试求位于)0,1,0(-P 点的电场强度。

解 令

321,,r r r 分别为三个电电荷

的位置

321,,P P P 到P 点的距离，则21=r ，32=r ，23=r 。

利用点电荷的场强公式

r e E 2

04r

q πε=

，其中r e 为点电荷

q 指向场

点

P 的单位矢量。那么，

1

q 在

P

点的场强大小为

2

1

011814πεπε=

=

r q E ，方向为

()z y

r e e

e +-

=2

11。

2

q 在

P 点的场强大小为

2

2

0221214πεπε=

=

r q E ，方向为

()z y x

r e e e

e ++-

=3

12。

3q 在

P 点的场强大小为

2

3

033414πεπε=

=

r q E ，方向为

y r e e -=3

^

则

P 点的合成电场强度为

??

???????? ??++???? ??+++-

=++=z e e e E E E E y x 312128141312128131211 0321πε

2-3 直接利用式（2-2-14）计算电偶极子的电场强度。 解 令点电荷q -位于坐标原点，r 为点电荷q -至场点

P 的距离。再令

点电荷

q +位于+z 坐标轴上，1r 为点电荷q +至场点

P 的距离。两个点

电荷相距为

l ，场点P 的坐标为（r,θ,

）。

根据叠加原理，电偶极子在场点P 产生的电场为

???

? ??-=

311304r r q r r

E πε 考虑到r >> l ，

1r e = e r ，θ

cos 1l r r -=，那么上式变为

r r

r r r r r r q

r r r r q e e E ???

?

??+-=???

? ??-=2121102122210))((44πεπε

式中

(

)

2

1

22

2

12

21

1cos 211cos 2---???

? ??-+=-+=θθ

r l

r l r rl l r r

》

以

r

l 为变量，并将

2

1

22

cos 21-???

? ??-+θr l r l 在零点作泰勒展开。由于

r l <<，略去高阶项后，得

θθcos 1cos 1121

1r

l r r l r r +=??? ??+=-

利用球坐标系中的散度计算公式，求出电场强度为

θ

r e e E 3030204sin 2cos 1cos 14r ql r

ql r r l r q πεθπεθθπε+=????????? ???-??? ??+?-

=

2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为6102-?C ，相距为2cm ， 如习

题图2-4所示。试求：①P 点的电位；②将电量为6102-?C 的点电荷由

无限远处缓慢地移至P 点时，外力必须作的功。

#

1cm

—

1c m

q

q

1cm

r

习题图2-4

解 根据叠加原理，

P 点的合成电位为

()V 105.24260?=?

=r

q πε?

因此，将电量为C 1026-?的点电荷由无限远处缓慢地移到P 点，外力

必须做的功为()J 5==q W ?

2-5 通过电位计算有限长线电荷 的电场强度。

解 建立圆柱坐标系。 令先电 荷沿z 轴放置，由于结构以z 轴对称，场强与

φ无关。为了简单起见，令场点

位于yz 平面。 设线电荷的长度为

L ，密度为

l ρ，线电荷的中点位于坐标原

点，场点

P 的坐标为??

?

??z r ,2,π。

利用电位叠加原理，求得场点

P 的电位为

?

-=22

4L L l

περ?

?

式中

()220r l z r +-=

。故

()2

2

2

2

22

2202222ln 4 ln 4r L z L z r L z L z r l z l z l

L L

l

+??? ?

?

-+-+??? ??

+++=

?

??

?

??+-+--

=-περπερ?

因

?-?=E ，可知电场强度的

z 分量为

y

1

·

22

2

2

02222ln 4r L z L z r L z L z z

z E l z +??? ?

?

-+-

+??? ??

+++??-=??-

=περ?

???????

?

??

+??? ??--

+??? ??+-=2

222021

214r L z r L z l περ ???

???

?

?

????? ??-+-

??? ??++-=220211

2114r L z r L z r l περ ()()???

?

?

?-+-

++-=222

20224L z r r L z r r r l περ ()120sin sin 4θθπερ-=

r

l

电场强度的r 分量为

22

2

2

02222ln 4r L z L z r L z L z r

r E l r +??? ?

?

-+-

+??? ??

+++??-=??-

=περ?

%

()

()

?

?

-?

?

? ?

?+++

+++-

=2

2

2

2

02224r L z L z r L z r

l περ

()()

?

????

?

??? ?

?+-+-+-22

22222r L z L z r L z r

-

?

??

??? ????? ??++++??? ??++-=2202122114r L z r L z r L z r l περ

?

???

?

?

??

?

???? ????? ??-++-??? ??-+22212211r L z r L z r L z

?

?

-???

?

??+++-

=121120tan 11tan 1tan 111

4θθθπερr l

???????

????? ??+++22222tan 11tan 1tan 111

θθθ ()()()210cos 1cos 14θθπερ----

=r

l

()210cos cos 4θθπερ-=

r

l

式中2

tan

arc ,2

tan

arc 21

L

z r L z r -

=+

=θθ，那么，合成电强为

()()[]r z l

r

e e E 12120cos cos sin sin 4θθθθπερ---=

）

当L

时，πθθ→→ ,021

，则合成电场强度为

r l

r

e E 02περ=

可见，这些结果与教材2-2节例4完全相同。

2-6 已知分布在半径为

a

的半圆周上的电荷线密度

πφφρρ≤≤=0 ,sin 0l ，试求圆心处的电场强度。

$

解 建立直角坐标，令线电荷位于xy 平面，且以y 轴为对称，如习题点电荷

l

l d ρ图2-6所示。那么，

在圆心处产生的电场强度具有两个分量E x 和E y 。由于电荷分布以y 轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的

y E 分量，即

φπερsin 4d d d 2

0a l

E E l y =

=

考虑到

φρρφsin ,d d 0==l a l ，代入上式求得合成电场强度为

y y a

a e e E 000

2008d sin 4ερ

φφπερπ

==?

2-7 已知真空中半径为a 的圆环上均匀地分布的线电荷密度为l ρ，试求

通过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。

|

解 建立直角坐标，令圆环位于坐标原点，如习题图点电荷

l

l d ρ2-7所示。那么，

习题图2-6

习题图2-7

:

y

在z 轴上

P 点产生的电位为

r

l

l 04d περ?=

根据叠加原理，圆环线电荷在

P 点产生的合成电位为

()2

2020020

2d 4d 41z a a l r l r z l a l a

l

+===

??

ερπερρπε?ππ

因电场强度

?-?=E ，则圆环线电荷在P 点产生的电场强度为

()()

2

32202z a az z z l z

z

+=??-=ερ?e e E

[

2-8 设宽度为W ，面密度为

S ρ的带状电荷位于真空中，

试求空间任一点的电场强度。

、

解 建立直角坐标，且令带

状电荷位于xz 平面内，如习题图2-8所示。带状电荷可划分为很多条宽度为

x 'd 的无限长线电荷，其线密度为x s 'd ρ。那么，该无限长线电荷

产生的电场强度与坐标变量z 无关，即

r e E r

x s 02d d περ'

=

式中

()22y x x r +'-=

习题图2-8

x

y

y

w d x x (a)

(b)

()[]y x x r

r y r x x y x y x

r e e e e e +'-=+'-=1

得

()[

]

()[]y x x y

x x x s y

x

e e E +'-+'-'

=

2

2

02d d περ

那么

()[

]

()[]y x x y

x x x s w w y

x

e e E +'-+'-'

=?

-2

2

022

2d περ

????

?

?

??

+---++??? ?

?++??? ??--=y w x y w x y

w x y

w x s s 2arctan 2arctan 222ln 402

2

2

2

0περπερy x e e

~

2-9 已知均匀分布的带电圆盘半径为a ，面电荷密度 为

S ρ，位于

z = 0平面，且盘心与原点重合，试求圆盘

轴线上任一点电场强度E 。

/

解 如图 2-9所示，在圆盘

上取一半径为

r ，宽度为

r d 的圆环，该圆环具有的电荷量为s r r q ρπd 2d =。由于对称性，该圆

环电荷在z 轴上任一点P 产生的电场强度仅的r 有z 分量。根据习题

2-7

结果，获知该圆环电荷在P

产生的电场强度的z 分量为

()

2

322

02d d z

r r

zr E s z +=

ερ

那么，整个圆盘电荷在P 产生的电场强度为

()

???? ??+-=+=?220

2

32

2

2d 2a z z

z z r z

r

zr s z

a

s z

ερερe e E

2-10 已知电荷密度为S ρ及S ρ-的两块无限大面电荷分别位于

x = 0及

x = 1平面，试求

10 ,1<<>x x 及0

习题图2-9

y

解 无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的，其电场方向垂直于无限大平面，且分别指向两侧。因此，位于x = 0平面内的无限大面电荷

S ρ，在

x < 0区域中产生的电场强度

11E x e E -=-，在

x > 0区域中产

生的电场强度

11E x e E =+。位于

x = 1平面内的无限大面电荷

S ρ-，在

x < 1区域中产生的电场强度22E x e E =+

，在

x > 1区域中产生的电场强

度

22E x e E -=-。

由电场强度法向边界条件获知，

1010=-+=-x s

E E ρεε 0

2020=+

--=-x s

E E ρεε 即

1010==+x s

E E ρεε

1

2020=-=--x s

E E ρεε

由此求得

212ερs

E E =

=

！

根据叠加定理，各区域中的电场强度应为

0 ,02121<=+-=+=+

-x E E x x e e E E E

10 ,0

2121<<=

+=+=++x E E s

x x ερe e E E E 1 ,02121>=-=+=-

+x E E x x e e E E E

2-11 若在球坐标系中，电荷分布函数为

????

???><<<<=-b r b r a a r

0, ,100

,06ρ

试求

b r a a r <<<< ,0及b r >区域中的电通密度D 。

解 作一个半径为r 的球面为高斯面，由对称性可知

r e D s D 2

4d r q

q s

π=

?=?? 式中q 为闭合面S 包围的电荷。那么

[

在a r <<0区域中，由于q = 0，因此D = 0。 在

b r a <<区域中，闭合面S 包围的电荷量为

()3363

4

10d a r v q v -?==-?πρ

因此，

()

r e D 2

3

36310r a r -=-

在

b r >区域中，闭合面

S 包围的电荷量为

()3

363

4

10d a b v q v -?==-?πρ

因此，

()

r e D 2

3

36310r a b -=-

2-12 若带电球的内外区域中的电场强度为

????

???<>=a r a

qr a r r q

, ,2r e E

试求球内外各点的电位。

~

解 在

a r <区域中，电位为

()()

a

q

r a a q r a

a

r

r

+-=

?+?=?=???∞

∞

222d d d r E r E r E ?

在a r >区域中，()r

q r r

=

?=?∞

r E d ?

2-13 已知圆球坐标系中空间电场分布函数为

?????≥≤=a r r

a a r r

, ,253r e E

试求空间的电荷密度。 解 利用高斯定理的微分形式

ερ=

??E ，得知在球坐标系中

()()r

E r r

r r 2

2

0d d 1εερ=??=E

那么，在

a r ≤区域中电荷密度为

@

()()

205

2

5d d 1r r r

r r εερ==

在

a r ≥区域中电荷密度为

()()

0d d 15

2

==a r

r r ερ 2-14 已知真空中的电荷分布函数为

?????>≤≤=a

r a

r r r ,00 ,)(2ρ

式中r 为球坐标系中的半径，试求空间各点的电场强度。

解 由于电荷分布具有球对称性，取球面为高斯面，那么根据高斯定理

20

4d επεq

r E q

s

=

?=

??s E

在

a r ≤≤0区域中

()50225

4

d 4d r r r r v r q r v ππρ===??

（

r r r r r e e E 03

052515

441εεππ==

在

a r >区域中

()50225

4

d 4d a r r r v r q a v ππρ===??

r r r a a r e e E 025

052515

441εεππ==

2-15 已知空间电场强度z y x e e e E 543-+=，试求（0,0,0）与（1,1,2）

两点间的电位差。

解 设P 1点的坐标为（0,0,0,）, P 2点的坐标为（1,1,2,），那么，两点间的电位差为

??=2

1

d P P V l E

式中

z y x d d d d ,543z y x z y x e e e l e e e E ++=-+=，因此电位差为

()()

()

()V 3d 5d 4d 32,1,10,0,0-=-+=?

z y x V

2-16 已知同轴圆柱电容器的内导体半径为a ，外导体的内半径为b 。若填充介质的相对介电常数

2=r ε。试求在外导体尺寸不变的情况下，为

了获得最高耐压，内外导体半径之比。

)

解 已知若同轴线单位长度内的电荷量为q 1，则同轴线内电场强度

r e E r

q πε21

=

。为了使同轴线获得最高耐压，应在保持内外导体之间的电位差V 不变的情况下，使同轴线内最大的电场强度达到最小值，即应使内导体表面a r =处的电场强度达到最小值。因为同轴线单位长度内

的电容为

V a b q a b V q C ??

?

??=???? ??==

ln 2ln 2111πεπε

则同轴线内导体表面

a r =处电场强度为

??

? ??=??? ??=a b a

b

b V a b a V a E ln ln )(

令b 不变，以比值

a b 为变量，对上式求极值，获知当比值e a

b =时，()a E 取得最小值，即同轴线获得最高耐压。 2-17 若在一个电荷密度为ρ，半径为

a 的均匀带电球中，存在一个半

径为b 的球形空腔，空腔中心与带电球中心的间距为d ，试求空腔中的

电场强度。

|

解 此题可利用高斯定理和叠加原理求解。首先设半径为a

的整

个球内充满电荷密度为

ρ的电荷，

则球内

P 点的电场强度为

r e E r P 032

013 3441

ερρππε==

r r

式中

r 是由球心

o 点指向

P 点的位置矢量，

再设半径为

b 的球腔内充满电荷密度为ρ-的电荷，则其在球内P

点的电场强度为

r e E r P '-='''-

=032

0233441

ερρππεr r 式中

r '是由腔心o '点指向P 点的位置矢量。

那么，合成电场强度

P P E E 21+即是原先空腔内任一点的电场强度，

即

!

()d r r E E E P P P 0

02133ερερ

='-=

+=

式中

d 是由球心

o 点指向腔心

o '点的位置矢量。可见，空腔内的电场是

习题图2-17

b

P

r d r

o

均匀的。

2-18 已知介质圆柱体的半径为a ，长度为l ，当沿轴线方向发生均匀极化时，极化强度为P ，试求介质中束缚

电荷在圆柱内外轴线上产生的电场强度。

解 建立圆柱坐标，且令圆柱的下端面位于xy 平面。由于是均匀极化，故只考虑面束缚电荷。而且该束缚电荷仅存在圆柱上下端面。已知面束缚电荷密度与极化强度的关系为

n s e P ?=ρ

式中e n 为表面的外法线方向上单位矢量。由此求得圆柱体上端面的束缚电荷面密度为

P s =1ρ，圆柱体下端面的束缚面电荷密度为P s -=2ρ。

由习题2-9获知，位于xy 平面，面电荷为

s ρ的圆盘在其轴线上的

电场强度为

z s

a z z

z z e E ?

??? ??+-=

220

2ερ 因此，圆柱下端面束缚电荷在z 轴上产生的电场强度为

z a z z

z z P

e E ???? ?

?+--

=220

22ε

)

而圆柱上端面束缚电荷在z 轴上产生的电场强度为

z a l z l z l z l z P e E ???

? ?

?+-----=

2201)(2ε 那么，上下端面束缚电荷在z 轴上任一点产生的合成电场强度为

()???????

?++

-+-----=222202a z z

z

z a l z l

z l

z l

z P z εe E

2-19 已知内半径为a ，外半径为b 的均匀介质球壳的介电常数为ε

，若

在球心放置一个电量为q 的点电荷，试求：①介质壳内外表面上的束缚

电荷；②各区域中的电场强度。

解 先求各区域中的电场强度。根据介质中高斯定理

r

e D s D 22

44d r

q

q D r q s

ππ=?=?=?? 在

a r ≤<0区域中，电场强度为

习题图2-18

r e D

E 2

00

4r q πεε=

=

\

在

b r a ≤<区域中，电场强度为

r e D E 2

4r q πεε==

在

b r >区域中，电场强度为

r e D

E 2

00

4r

q πεε=

=

再求介质壳内外表面上的束缚电荷。 由于

()E P 0εε-=，则介质壳内表面上束缚电荷面密度为

()

202

0414a q

a q s πεεπεεερ??? ?

?--=--=?-=?=P e P n r

外表面上束缚电荷面密度为

()

202

0414b q

b q s πεεπεεερ??? ?

?-=-=?=?=P e P n r

】

2-20 将一块无限大的厚度为d 的介质板放在均匀电场E 中，周围媒质

为真空。已知介质板的介电常数为ε

，均匀电场

E 的方向与介质板法线

的夹角为1θ，如习题图2-20

所示。当介质板中的电场线方向4

2π

θ=时，

试求角度1θ及介质表面的束缚电荷面密度。

&

解 根据两种介质的边界条件获知，边界

上电场强度

切向分量和电通密度的法向分量连续。因此可得

221sin sin θθE E =； 221cos cos θθD D =

已知

220 ,E D E D εε==，那么由上式求得

1 2

2 0

@

E

习题图2-20

E 2

2

e

??

?

??=?==?=εεθεεθεεθεεθθ010201021arctan tan tan tan tan

已知介质表面的束缚电荷

)(0E D e P e ερ-?=?='n n s

， 那么，介质左表面上束缚电荷面密度为

10021020211cos 111θεεεεεεερE n s

???

?

?--=???? ??-=??? ?

?

-?=?='D e D e P e n n1介质右表面上束缚电荷面密度为

,

100220202222cos 111θεεεεεεερE n s

???

?

?-=???? ??-=??? ?

?

-?=?='D e D e P e n n 2-21 已知两个导体球的半径分别为6c m 及12cm ，电量均为

6103-?C ，相距很远。若以导线相连后，试求：①电荷移动的方向及电

量；②两球最终的电位及电量。

解 设两球相距为d ，考虑到d >> a , d >> b ，两个带电球的电位为

??? ??+=

d q a q 210141πε?；??

?

??+=d q b q 120241πε? 两球以导线相连后，两球电位相等，电荷重新分布，但总电荷量应该守恒，即

21??=及()C 106621-?==+q q q ，

求得两球最终的电量分别为

()()C 10231

261-?=≈-+-=

q q ab bd ad b d a q

()()C 10432

262-?=≈-+-=q q ab bd ad a d b q

可见，电荷由半径小的导体球转移到半径大的导体球，移动的电荷量为

()C 1016-?。

两球最终电位分别为

()V 10341

51

01?=≈

a q πε?

/

()V 10341

52

02?=≈

b q πε?

2-22 已知两个导体球的重量分别为

m 1=5g ，m 2=10g ，电量均为

6105-?C ，以无重量的绝缘线相连。若绝缘线的长度

l = 1m ，且远大于

两球的半径，试求；①绝缘线切断的瞬时，每球的加速度；②绝缘线切

断很久以后，两球的速度。 解 ①

绝缘线切断的瞬时，每球受到的力为

()N 225.0410*******

62

021=???==--πεπεr

q q F 因此，两球获得的加速度分别为

()211m 45005

.0225

.0===

m F a (

)222s m 5.2201

.0225

.0===

m F a

② 当两球相距为l 时，两球的电位分别为

???

? ??+=

l q r q 2110141πε?； ???

? ??+=l q r q 1220241πε? 此时，系统的电场能量为

22112

1

21q q W ??+=

.

绝缘线切断很久以后，两球相距很远(l >>a , l >>b )，那么，两球的电

位分别为

1

0114r q πε?=

;

2

0224r q πε?=

由此可见，绝缘线切断很久的前后，系统电场能量的变化为

)J (225.04421421Δ02

201102==+=l

q q l q q l q W πεπεπε

这部分电场能量的变化转变为两球的动能，根据能量守恒原理及动量守恒定理可得下列方程：

2

222112

121v m v m W +=

， 02211=+v m v m

由此即可求出绝缘线切断很久以后两球的速度v 1和v 2：

()m 74.71=v ；

()m 87.32=v

2-23 如习题图2-23所示，半径为a 的导体球中有两个较小的球形空腔。若在空腔中心分别放置两个点电荷q 1及q 2，在距离a r >>处放置

另一个点电荷q 3，试求三个点电荷受到的电场力。

—

习题图2-23

解 根据原书2-7节所述，封闭导体空腔具有静电屏蔽特性。因此，q 1与q 2之间没有作用力，q 3对于q 1及q 2也没有作用力。但是q 1及q 2在导体外表面产生的感应电荷-q 1及-q 2，对于q 3有作用力。考虑到r >>a ，根据库仑定律获知该作用力为

()2

03

214r

q q q f πε+=

2-24 证明位于无源区中任一球面上电位的平均值等于其球心的电位，而与球外的电荷分布特性无关。 解 已知电位与电场强度的关系为?-?=E ，又知ε

ρ

=

??E ，由此获知电位满足下列泊松方程

2ερ?-

=?

利用格林函数求得泊松方程的解为

()()

()()()()()[]??'?'?''-'?''+'''=S V

G G v G s r r,r r r r,r r r,r d d 000

0??ερ?

式中

()r r r r,'

-=

'π41

0G 。考虑到

()3

041r r r r r r,'-'-=

'?'πG ，代入上式

得

|

()()

()()()??

'????

?

????'-'-'-'-'?'+''-'=

S V

v s r r r r r r r r r r r r d 41d 4130

??π

ρπε? 若闭合面

S 内为无源区，即0=ρ，那么

()()()()?'????

?

????'-'-'-'-'?'=

S s r r r r r r r r r d 41

3??π

? 若闭合面S 为一个球面，其半径为a ，球心为场点，则a ='-r r ，那

么上式变为

()()()()s r r r r r '???

?

???'-'-'?'=

?d 41

3S a a ??π

? 考虑到差矢量

r r '-的方向为该球面的半径方向，即与

s 'd 的方向恰好相反，又?-?=E ,则上式变为

()()s a a S

S ''+

'?'-

=??d 41

d 412

r s E r ?ππ?

由于在

S 面内无电荷，则0d ='?'?S

s E ，那么