学习进修44坐标系与参数方程考点及经典编辑例题

坐标系与参数方程

*选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：

1．坐标系：

① 理解坐标系的作用.

② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.

④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.

2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.

第一讲

一、平面直角坐标系

伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?

??>?='>?=').0(,y y 0),

(x,x :μμλλ?的作用

下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

方法1：求伸缩变换后的图形。

由伸缩变换公式解出x、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。

例:：在一个平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。

方法2：待定系数法求伸缩变换。

求伸缩变换时，先设出变换，再代入原方程或变换后的方程，求出其中系数即可。

例：在同一平面直角坐标系中,求下列图形变换的伸缩变换:

二、极坐标

1.极坐标系的概念：

在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

2.点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|

|OM叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM

∠叫做点M的极角，记为θ。有序数对),(θ

ρ叫做点M的极坐标，记为),(θ

ρ

M.

极坐标),(θ

ρ与)Z

)(

2

,(∈

+k

kπ

θ

ρ表示同一个点。极点O的坐标为)R

)(

,0(∈

θ

θ.

3.若0

<

ρ,则0

>

-ρ,规定点)

,

(θ

ρ

-与点)

,

(θ

ρ关于极点对称，即)

,

(θ

ρ

-与)

,

(θ

π

ρ+表示同一点。如果规定π

θ

ρ2

0,0≤

≤

>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θ

ρ表示；同时，极坐标),(θ

ρ表示的点也是唯一确定的。

4.极坐标与直角坐标的互化：

如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．

(1)极坐标化直角坐标

(2)直角坐标化极坐标

??

?

??ρ2

＝x2＋y2，

tan θ＝

y

x

（x≠0）.

)0

(

n

t

,

sin

,

cos

,2

2

2

≠

=

=

=

+

=

x

x

y

a

y

x

y

x

θ

θ

ρ

θ

ρ

ρ

方法3：极坐标与直角坐标的互化

例：

（1）点M ()

322--，

的极坐标是 （2）点M ??

? ??π32,2的直角坐标是

练：

三、简单曲线的极坐标方程

1.圆的极坐标方程：

(1)特殊情形如下表：

圆心位置

极坐标方程

图 形

圆心在极点(0，0)

ρ＝r

(0≤θ<2π)

圆心在点(r ，0)

ρ＝2r cos_θ

(－π2≤θ<π2) 圆心在点(r ，π

2)

ρ＝2r sin_θ (0≤θ<π) 圆心在点(r ，π)

ρ＝－2r cos_θ

(π2≤θ<3π2) 圆心在点(r ，3π

2)

ρ＝－2r sin_θ (－π<θ≤0)

(2)一般情形：设圆心C (ρ0，θ0)，半径为r ，M (ρ，θ)为圆上任意一点，则|CM |＝r ，

∠COM ＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2

＝0

即

)cos(2002

022θθρρρρ--+=r

2.直线的极坐标方程：

(1)特殊情形如下表：

直线位置 极坐标方程

图 形

过极点，倾斜角为α

(1)θ＝α(ρ∈R ) 或θ＝α＋π(ρ∈R )

(2)θ＝α(ρ≥0) 和θ＝π＋α(ρ≥0)

过点(a ，0)，且与极轴

垂直

ρcos_θ＝a

? ????－π2

<θ<π2

过点? ??

??

a ，π2，且与极

轴平行

ρsin_θ＝a (0<θ<π)

过点(a ，0)倾斜角为α

ρsin(α－θ)＝a sin α

(0<θ<π)

(2)一般情形，设直线l 过点P (ρ0，θ0)，倾斜角为α，M (ρ，θ)为直线l 上的动点，则在△OPM 中利用正弦定理可得直线l 的极坐标方程为 ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)．

方法4：直角坐标方程与极坐标方程的互化

方法5：极坐标系下的运算

方法6：曲线极坐标方程的求法

四、柱坐标系与球坐标系简介（了解）

1、柱坐标系

(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组（ρ，θ，z）(z∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0，0≤θ<2π，z∈R．

(2)空间点

P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为????

?x ＝ρcos θy ＝ρsin θz ＝z ．

2、球坐标系

(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ，这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示，这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)，叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π．

(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换公式为????

?x ＝r sin φcos θy ＝r sin φsin θz ＝r cos φ．

第二讲

一、参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变

数t 的函数???==),

(),

(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线

上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

二、参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．

(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．

(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代

入普通方程解出y ＝g (t )，则?????x ＝f （t ）

y ＝g （t ）

(t 为参数)就是曲线的参数方程．

(4)在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使y x ,的取值范围保持一致.

三、圆的参数方程

1.圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程 如图圆O 与x 轴正半轴交点M 0(r ，0)．

(1)设M (x ，y )为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O 的参数方程是???

??x ＝r cos θ

y ＝r sin θ

(θ为参数)．

其中参数θ的几何意义是OM 0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．

(2)设动点M 在圆上从M 0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM 0经过时间t 转过的

角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O 的参数方程为?

????x ＝r cos ωt

y ＝r sin ωt (t 为参数)．

其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间． 2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程

圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐标平移得到，所

以其参数方程为?????x ＝a ＋r cos θ，

y ＝b ＋r sin θ

(θ为参数)．

四、圆锥曲线的参数方程

1、椭圆的参数方程

(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的参数方程是?

????x ＝a cos φy ＝b sin φ

(φ是参数)，规定参数φ

的取值范围是[0，2π)．

(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)的参数方程是?

????x ＝b cos φy ＝a sin φ

(φ是参数)，规定参数φ

的取值范围是[0，2π)．

(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为（x －h ）2a 2＋（y －k ）2b 2

＝1，则其参数方程为?

????x ＝h ＋a cos φ

y ＝k ＋b sin φ(φ是参数)．

2．双曲线的参数方程

(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的参数方程是?

????x ＝a sec φy ＝b tan φ

(φ为参数)，规定参数φ的取

值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π

2．

(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2

b 2＝1的参数方程是?

????x ＝b tan φy ＝a sec φ

(φ为参数)．

3．抛物线的参数方程

(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程为????

?x ＝2pt 2y ＝2pt

(t 为参数)．

(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数． 方法1：参数方程和普通方程的互化

五、直线的参数方程

1．直线的参数方程

经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为?????x ＝x 0＋t cos α

y ＝y 0＋t sin α

(t 为参数)．

2．直线的参数方程中参数t 的几何意义

(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．

(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →

与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．

3．直线参数方程的其他形式

对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜

角为α的直线，选取参数t ＝M 0M 得到的参数方程?????x ＝x 0＋t cos α

y ＝y 0＋t sin α

(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，

此时的参数t 有明确的几何意义．

一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝b

a (a ，

b 为常数)的直线，参数方程为?

????x ＝x 0＋at y ＝y 0

＋bt

(t 为参数)，称为直线

参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．

方法2：求直线参数方程

方法3：参数方程问题的解决办法

解决参数问题的一个基本思路：将其转化为普通方程，然后在直角坐标系下解决问题。

方法4：利用参数的几何意义解题

六、渐开线与摆线（了解）

1．渐开线的概念及参数方程

(1)渐开线的产生过程及定义

把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．

(2)圆的渐开线的参数方程

以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外

端M 的坐标为(x ，y )，则有?

????x ＝r （cos φ＋φsin φ），

y ＝r （sin φ－φcos φ）(φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．

2．摆线的概念及参数方程

(1)摆线的产生过程及定义

平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．

(2)半径为r 的圆所产生摆线的参数方程为

?????x ＝r （φ－sin φ），

y ＝r （1－cos φ）(φ是参数)．

练习

1．曲线25()12x t

t y t

=-+??

=-?为参数与坐标轴的交点是（ ）．

A ．21(0,)(,0)5

2

、 B ．11(0,)(,0)5

2

、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9

、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）．

A ．1

21

2x t y t -?=???=?

B ．sin 1sin x t y t =???=??

C ．cos 1cos x t y t =???=??

D ．tan 1tan x t y t =???=?? 3．若直线的参数方程为12()23x t

t y t =+??=-?

为参数，则直线的斜率为（ ）．

A ．

23 B ．23- C ．32 D ．3

2

- 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ

θ

=-+??

=?的（ ）．

A ．内部

B ．外部

C ．圆上

D ．与θ的值有关

5．参数方程为1()2

x t t t y ?=+?

??=?为参数表示的曲线是（ ）．

A ．一条直线

B ．两条直线

C ．一条射线

D ．两条射线

6．两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与???==θ

θ

sin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）．

A ．内切

B ．外切

C ．相离

D ．内含

7

．与参数方程为)x t y ?=??

=??为参数等价的普通方程为（ ）． A ．22

14y x += B ．221(01)4

y x x +=≤≤ C ．22

1(02)4y x y +=≤≤ D ．22

1(01,02)4

y x x y +=≤≤≤≤ 8．曲线5cos ()5sin 3

x y θπ

θπθ=?≤≤?

=?的长度是（ ）．

A ．5π

B ．10π

C ．

35π D ．3

10π 9．点(,)P x y 是椭圆22

2312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为（ ）．

A

． B

． C

D

10

．直线112()2

x t t y ?=+??

??=-??为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（ ）．

A ．(3,3)- B

．( C

．3)- D

．(3,

11．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2

4()4x t t y t ?=?=?

为参数上，则||PF 等于（ ）．

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 12．直线2()1x t

t y t

=-+??

=-?为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ）．

A

B ．1

40

4

C

D

13．参数方程()2()

t t

t t

x e e

t y e e --?=+??=-??为参数的普通方程为__________________． 14

．直线2()3x t y ?=-??

=+??为参数上与点(2,3)A -

的点的坐标是_______． 15．直线cos sin x t y t θθ=??

=?与圆42cos 2sin x y α

α

=+??=?相切，则θ=_______________．

16．设()y tx t =为参数，则圆2240x y y +-=的参数方程为____________________．

17

．求直线11:()5x t

l t y =+???

=-??为参数

和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标，及点P 与(1,5)Q -的距离．

18．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6

π

α=，

（1）写出直线l 的参数方程．

（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积．

19．分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos 21()sin 2

t t t t x e e y e e θθ--?=+????=-??化为普通方程： （1）θ为参数，t 为常数；（2）t 为参数，θ为常数．

20．已知直线l 过定点3

(3,)2

P --与圆C ：5cos ()5sin x y θ

θθ=??

=?

为参数相交于A 、B 两点．

求：（1）若||8AB =，求直线l 的方程；

（2）若点3

(3,)2

P --为弦AB 的中点，求弦AB 的方程．