2三角剖分算法介绍
2三角剖分算法介绍
2.1Delaunay 三角剖分理论基础
1908年，俄国数学家M.G . V oronoi 提出了V oronoi 图[1]，它是计算几何学上非常重要的工具之一，被广泛应用于各个领域中。V oronoi 图是由平面区域中连接两邻点的线段的中垂线所形成的区域。它又叫Dirichlet 图或Thiessen 多边形[2]。V oronoi 图是自然界中的宏观物体和微观物体以空间距离相互作用所形成的一种网格结构，应用的范围相当广泛，特别是在计算几何学领域的应用[3]。V oronoi 图是一种关于平面或空间区域划分的基础数据结构。100多年来，它被广泛应用在与几何信息相关的各个领域。随着计算机科学技术的不断普及和发展，V oronoi 图的应用领域也在不断地扩大。对于V oronoi 图的应用，以90年代以来的应用更为突出。
V oronoi 图的本质属性是由空间实体几何唯一确定的，不是通过其他方法强加上去的。从V oronoi 图的数字几何角度来看，它是针对平面n 个离散点而言的，把平面分为若干区域，每一个区域包含一个点，该点所在的区域就是到该点距离最近的点的集合。
设p 1，p 2是平面上两点，L 是线段p 1p 2的中垂线，L 将平面分成两部分L L 和L R ，位于L L 内的点p l 具有特性：d(p l ,p 1) 给定平面上n 个点的点集S ，S={p 1,p 2, …,p n }。定义： V(p i )=(,)i j i j H p p 即V(p i )表示比其他点更接近pi 的点的轨迹是n-1个半平面的交，它是一个 不多于n-1条边的凸多边形区域，称为关于p i 的V oronoi 多边形或关于p i 的V oronoi 域 。对于S 中的每个点都可以作一个V oronoi 多边形，这样的n 个V oronoi 多边形组成的图称为V oronoi 图。V oronoi 多边形的每条边是S 中某两点的连线的垂直平分线，所有这样的两点连线构成一个图，称为V oronoi 图的直线对偶图。如图2.2所示，虚线表示voronoi 图，实线表示其对偶图。 图2.1 平面中两离散点 图2.2 V oronoi 图 V oronoi 图有以下一些性质： 性质1.n 个点的点集S 的V oronoi 图至多有2n-5个顶点和3n-6条边。 性质2.每个V oronoi 点点好是三条V oronoi 边的交点。 性质3.V oronoi 图的对偶图实际上时点集的一种那个三角剖分，该三角剖分就是 Delaunay三角剖分[4]。 性质3实际上告诉我们可以用构造V oronoi图的方法来求平面点集的三角剖分，但实际上这种方法较少使用，因为算法的效率不好。 1、基本概念 （1）域分割 给定平面上的n个不相重的散乱数据点，对每个散乱数据点构造一个域，使该域内的任一点离此散乱点比离其他散乱点更近，这种域分割就是上节介绍的V oronoi图，也称Dirichlet域分割，由上节可知，域边界其实就是连接两个相邻散乱点的直线的垂直平分线。 （2）Delaunay三角化 对平面上的散乱数据点进行域分割后，将具有公共域边界的散乱点对相连形成的三角剖分称为Delaunay三角剖分。 （3）优化 对三角网格进行优化，就是要使三角网格整体上尽量均匀，避免出现狭长三角形，也就是获得Delaunay三角化。 2、三角剖分优化准则 在三角剖分过程中，人们往往先用一种简单的方法构造散乱点的初始三角剖分，然后对其进行优化以获得Delaunay剖分。优化的方法取决于所采用的优化准则，平面三角剖分最常用的优化准则有Thiessen区域准则、最小内角最大准则、圆准则。Sibson证明了这三个准则的等价性，并指出符合这三个准则的三角剖分只有一个，即Delaunay三角剖分。 （1）最小内角最大准则 对一个严格凸的四边形进行三角化时，有两种选择，最小内角最大准则就是要保证对角线两侧两个三角形中的最小内角为最大，如图2.3所示。 图2.3 对角线优化 （2）圆准则 严格凸四边形中的三个顶点确定一个圆，如果第四个顶点落在圆内，则将第四个顶底与其相对的顶点相连，否则将另外两个顶点相连，这个准则称为圆准则。也就是说，符合圆准则的三角剖分中，任一三角形的外接圆内不应该包含其他点，如图2.4所示。 图2.4 空外接圆准则 （3）局部优化 局部优化是指对任意一个凸四边形的对角线，依据某种优化准则做交还测试后所得到的三角剖分。 （4）全局优化 当三角形剖分T中每一条内边上的两个三角形所形成的凸四边形都满足局部优化标准时，称该三角剖分T满足全局优化。 （5）退化 前面已经讲过Delaunay三角剖分满足圆准则，即任一三角形的外接圆内不能包含其他的点，如果规定三角剖分中任一三角形的外接圆内和外接圆上都不能有其余顶点，则称为标准的Delaunay三角剖分，在实际应用中，往往存在四点共圆的情况。我们把四点或四点以上的散乱数据点共圆的情况称为退化，相应的三角剖分称为准Delaunay三角剖分。 3、二维任意区域内点集的Delaunay三角划分概念及基本定理 将所有共边的V oronoi多边形的中心连接起来所形成的三角网称为Delaunay 三角剖分[5]。 在区域D内的点集V的三角划分（记为T(D,V)）是指将V中的点用互不相交的直线段连接起来，使得域D内的每一个区域都是三角形，同时这些连线和三角形都在区域D内，包含在区域D内的边称为内边。 二维任意区域点集的Delaunay三角划分[5]（简记为DATA）是指所有的内边都满足局部优化的T(D,V)。 4、基本定理 下面的定理是闵卫东在文献[6]中提出来的，其证明参见文献[6]。 定理2.1：设B，P点在AC边的同侧，如果角APC小于角ABC，则三角形ABC 的外接圆内不包含点P，参见图2.5。 图2.5 三角形外接圆图2.6 局部优化边AB 定理2.2：设AB边为三角形ABC和三角形ABE所共有，如果四边形ACBE的内角CBE≥180°或CAE≧180°，则AB边是局部优化的，见图2.6。 定理2.3：设三角形ABC是DATA（D，V）的一个三角形，P是V中的一点且不是ABC的三个顶点，如果线段PC在域D内且它与AB边有交点，则ABC的外接圆内部不包含点P。 定理2.4：（DATA的Circle准则）三角剖分T（D，V）是DATA（D，V）的充要条件是，对于T（D，V）的任何一个三角形ABC，V中的任何点P，如果它与A，B，C相连的线段PA，PB，PC都在域D内，则P不包含在三角形ABC 的外接圆内部。 定理 2.5：任何一个T（D，V）都可以通过有限次的局部优化操作将其转化为DATA（D，V）。 定理2.6：DATA（D，V）在所有的T（D，V）中平均形态比最大。 以上几个定理实际上作为Delaunay三角划分呢算法的理论依据在许多以Delaunay原理为基础的网格剖分算法中经常用到。 5、三角剖分时需要满足的几个约束条件 在进行网格剖分过程中，生成三角形时，必须满足一下三个约束条件： 1.三角形相互之间是不相交的，即两个三角形除端点外不应该有别的交点， 此条件称为三角形相交约束。 2.三角形相互之间是互不包含的，即任意一个三角形不能完全包含其他的 三角形，此条件称为三角形包含约束。