面面垂直性质定理

§2.3.4平面与平面垂直的性质

教学目标：

1.进一步巩固和掌握面面垂直的定义、判定

2.使学生理解和掌握面面垂直的性质定理

3.让学生在观察物体模型的基础上进行操作确认，获得对性质定理的认识

教学重、难点：

重点：理解和掌握面面垂直的性质定理和推导

难点：运用性质定理解决实际问题

教学过程：

师：好，在上课之前我们来回顾一下前面的面面垂直的定义和判定。我们了解到两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

这是面面垂直的定义，假设我们把定义中的条件和结论交换，也就是说两个平面垂直，那么它们所成的二面角是直二面角这个命题是成立的。

而判定定理是：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。这是通过线面垂直得到的面面垂直，那么能否通过面面垂直得到线面垂直呢？而这一问题就是这就可要研究的：

（§2.3.4平面与平面垂直的性质）

那我们来探究这样一个问题：黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，能否在黑板所在的平面内作一条直线与地面垂直？

现在把这个问题数学符号化：

已知：α⊥βα∩β=CD

求证：β内一直线与α垂直

在右边把这两个平面的形象图作出来：

分析：要证明一条直线与一个平面垂直，这就需要证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直，这是前面学的直线与平面垂直的判定定理，那么就需要在这个平面内找两条相交直线都与这条直线垂直，那不妨在β内作BE⊥CD于点B,在α内过点B作AB⊥CD

证明：

在β内作BE⊥CD于点B，在α内过点B作AB⊥CD

BE⊥CD ABE为直二面角

α⊥βα∩β=CD

AB⊥BE

CD⊥BE ⊥α

AB∩CD＝B

这样上面的问题就得以解决证明

像这样的，两个平面垂直，其中一个平面内一条直线垂直于两个平面的交线，那么这条直线垂直与另一个平面，我们把满足这样的性质叫做面面垂直的性质定理

定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一平面垂直。

我们的性质定理是通过面面垂直得到线面垂直，前面所学的面面垂直判定是由线面垂直得到面面垂直，这些转化关系在以后解题中有很大的作用，所以啊在解题的时候同学们需要抓住解题的关键之处。

接下来看到书上第二个思考题

思考一：设α⊥β，点P在平面α内，过点P 作β的垂线a，那么直线a与α有什么位置关系？

分析：点P可以在α与β的交线上，也可以不在交线上，那么作两个图：

解：设α∩β=c ，过点P作b⊥c，由性质定理得b⊥β过一点有且只有一条直线与另一个平面垂直，故a与b重合，则a在平面α内

推论：两个平面垂直，那么经过平面内一点垂直于另一平面的直线在这个平面内。

这个推论用来证明一条直线在一个平面内。这种方法就叫做“同一法”。

例：如图，平面α⊥β，直线a满足a⊥β，a不在平面α内，试判断a与平面α有什么位置关系？

分析：从图上观察可知a//α，要证明这个结论，则需在α内找一直线和a平行，根据前面所学直线和平面垂直的性质定理有同时垂直于同一平面的两直线平行。下面写一写证明过程：

证明：

在α内作b⊥c

b⊥β

α∩β=c α⊥β

a//b

a⊥βa不在平面α内

b在平面α内

a//α

课堂小结

对于面面垂直的性质定理要注意的是两个垂直的平面是前提，我们可以通过面面垂直得到线线垂直再进一步得到线面垂直。这些转化规律在问题的应用中起到了决定性的作用，是解题的突破口。

再一个就是证明过平面内一点的直线在这个平面内用到“同一法”也就是说证明另

一条直线和这条直线重合。