山西省怀仁一中2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文) 扫描版含答案
解析山西省朔州市怀仁第一中学高二下学期期末考试数学理试卷含解析
2018-2019学年度第二学期高二年级期末考试理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合402x A x Zx ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎭⎩，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎭⎩，则A B ⋂=（ ） A. }{12x x -≤≤ B. {}1,0,1,2- C. {}2,1,0,1,2-- D. {}0,1,2【答案】B 【解析】 【分析】：首先根据分式不等式的解法以及指数不等式，化简集合A ，B ，之后根据交集的定义写出A B ⋂．【详解】： 集合{}{}4|0|241,0,1,2,3,42x A x Z x Z x x -⎧⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤，则{}1,0,1,2A B ⋂=-，故选B ．【点睛】：该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中，需要先将集合中的元素确定，之后再根据集合的交集中元素的特征，求得结果．2.已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ） A. [1,1]- B. (1,1)-C. (,1)-∞-D. (1,)+∞【答案】B 【解析】 由题()()()()1-ti 1-i 1-ti 1-t 1+tz===-i 1+i 1+i 1-i 22．又对应复平面的点在第四象限，可知110022t t且-+>-<，解得11t -<<．故本题答案选B ．3.若命题“0x R ∃∈，使()200110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ）A. 13a ≤≤B. 13a -≤≤C. 33a -≤≤D.11a -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】由命题“0x R ∃∈，使()200110x a x +-+<”是假命题，知∀x ∈R，使x 2+（a ﹣1）x +1≥0，由此能求出实数a 的取值范围．【详解】∵命题“0x R ∃∈，使()200110x a x +-+<”是假命题，∴∀x ∈R，使x 2+（a ﹣1）x +1≥0， ∴△＝（a ﹣1）2﹣4≤0， ∴﹣1≤a ≤3． 故选：B ．【点睛】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意由命题“0x R ∃∈，使()200110x a x +-+<”是假命题，知∀x ∈R，使x 2+（a ﹣1）x +1≥0，由此进行等价转化，能求出结果．4.已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ）A. 它们的焦距相等B. 它们的焦点在同一个圆上C. 它们的渐近线方程相同D. 它们的离心率相等【答案】D 【解析】由题知222:12x C y -=．则两双曲线的焦距相等且2c =焦点都在圆223x y +=的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为2y x =±，由于实轴长度不同故离心率c e a =不同．故本题答案选D ，5.在等比数列{}n a 中，“412a ,a 是方程2x 3x 10++=的两根”是“8a 1=±”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由韦达定理可得a 4+a 12＝﹣3，a 4•a 12＝1，得a 4和a 12均为负值，由等比数列的性质可得． 【详解】∵a 4，a 12是方程x 2+3x+1＝0的两根，∴a 4+a 12＝﹣3，a 4•a 12＝1，∴a 4和a 12均为负值， 由等比数列的性质可知a 8为负值，且a 82＝a 4•a 12＝1，∴a 8＝﹣1， 故“a 4，a 12是方程x 2+3x+1＝0的两根”是“a 8＝±1”的充分不必要条件. 故选：A ．【点睛】本题考查等比数列的性质和韦达定理，注意等比数列隔项同号，属于基础题．6.已知直线l 过点P(1,0,－1)，平行于向量(2,1,1)a =r，平面α过直线l 与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是（ ） A. (1,－4,2) B. 11(,1,)42-C. 11(,1,)42--D. (0,－1,1) 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量(2,1,1)a =r ，和向量PM u u u u r， 而PM u u u u r=（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），选项A ，（2，1，1）⋅（1，-4，2）=0，（0，2，4）⋅（1，-4，2）=0满足垂直，故正确； 选项B ，（2，1，1）⋅（14，-1，12）=0，（0，2，4）⋅（14，-1，12）=0满足垂直，故正确； 选项C ，（2，1，1）⋅（-14，1，−12）=0，（0，2，4）⋅（-14，1，−12）=0满足垂直，故正确；选项D ，（2，1，1）⋅（0，-1，1）=0，但（0，2，4）⋅（0，-1，1）≠0，故错误． 考点：平面的法向量7.在极坐标系中，由三条直线0θ=，3πθ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为（ ）A.14D.13【答案】B 【解析】 【分析】求出直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，直线3πθ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,3πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后利用三角形的面积公式121sin 23S πρρ=可得出结果.【详解】设直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，则1cos 01ρ=，得11ρ=.设直线3πθ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,3πρ⎛⎫⎪⎝⎭，则22cossin133ππρρ+=，即221122ρρ+=，得21ρ.因此，三条直线所围成的三角形的面积为)1211sin 11232S πρρ==⨯⨯=故选：B.【点睛】本题考查极坐标系中三角形面积的计算，主要确定出交点的极坐标，并利用三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.8. 若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 A. 60种B. 63种C. 65种D. 66种【答案】D 【解析】试题分析：要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有44C 1=种结果，当取得4个奇数时，有45C 5=种结果，当取得2奇2偶时有2245C C ⋅61060=⨯=种结果,共有156066++=种结果.故答案为D.考点：分类计数原理.9.设m 为正整数，(x ＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y)2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a=7b ，则m ＝ ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】B 【解析】试题分析：由题意可知221,m m m m C a C b +==,137a b =Q ,221137m mm m C C +∴=,即()()()2!21!137!!!1!m m m m m m +=⋅⋅+, 211371m m +∴=⋅+,解得6m =．故B 正确． 考点：1二项式系数；2组合数的运算．10.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由2222()110(40302030),7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】A 【解析】【详解】由27.8 6.635K ≈>，而()26.6350.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A11.焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A. 2y x =+或2y x =-- B. 2y x =+ C. 22y x =+或 22y x =-+ D. 22y x =-+【答案】A 【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF===∠∠，则当MA MF取得最大值时，MAF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k =-=V ，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离，抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化，如果问题中涉及抛物线上的点到焦点或到准线的距离，那么用抛物线定义就能解决问题．本题就是将到焦点的距离||MF 转化成到准线的距离MP ，将比值问题转化成切线问题求解．12.定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A. 11(,)[,)88-∞-+∞U B. 11[,0)(0,]48-U C. (0,8] D. 11(,][,)48-∞-+∞U【答案】D 【解析】由题知问题等价于函数()f x 在[]2,0-上的值域是函数()g x 在[]2,1-上的值域的子集．当[]2,4x ∈时，()()224,232,34{x x x x xf x --+≤≤+<≤=，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时()93,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由()()22f x f x +=，可得()()()112424f x f x f x =+=+，当[]2,0x ∈-时，[]42,4x +∈．则()f x 在[]2,0-的值域为39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦．当0a >时，()[]21,1g x a a ∈-++，则有3214918{a a -+≤+≥，解得18a ≥，当0a =时，()1g x =，不符合题意；当0a <时，()[]1,21g x a a ∈+-+，则有3149218{a a +≤-+≥，解得14a -≤．综上所述，可得a 的取值范围为 ][11,,48⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭．故本题答案选D ． 点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该 不重复不遗漏．二、填空题.13.已知(1,)a λ=r ，(2,1)b =r ，若向量2a b +r r 与(8,6)c =r共线，则a r 在b r 方向上的投影为______.【解析】()24,21a b λ+=+r r ,由向量2a b +r r 与()8,6c =r 共线，得()248210λ-+= ，解得1λ=，则a =r.14.将参数方程1212a x t t b y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数），转化成普通方程为_______．【答案】22221x y a b-=【解析】 【分析】将参数方程变形为112112x t a t y t b t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，两式平方再相减可得出曲线的普通方程.【详解】将参数方程变形为112112x t a t y t b t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，两等式平方得2222222211241124x t a t y t b t ⎧⎛⎫=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，上述两个等式相减得22221x y a b -=，因此，所求普通方程为22221x y a b -=，故答案为：22221x y a b-=.【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，在消参中，常用平方消元法与加减消元法，考查计算能力，属于中等题.15.已知随机变量X 服从正态分布N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)＝____________. 【答案】0.1 【解析】Q随机变量ξ服从正态分布()20,N σ，且()()200.4,020.4,P X P X -≤≤=∴≤≤=()20.50.40.1P X ∴>=-=，故答案为0.1.16.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD 的外接球，BC=3，23AB =，点E 在线段BD 上，且BD=3BE ，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__. 【答案】[2,4]ππ 【解析】 【分析】设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接oO 1D ，OD ，O 1E ，OE ，可得R 2＝3+（3﹣R ）2，解得R ＝2，过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．【详解】如图，设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ， 连接oO 1D ，OD ，O 1E ，OE ， 则0123sin 6033O D =⨯=，AO 1221 3.AD DO =-= 在Rt △OO 1D 中，R 2＝3+（3﹣R ）2，解得R ＝2， ∵BD ＝3BE ，∴DE ＝2在△DEO 1中，O 1E 034232cos300.=+-⨯⨯⨯= ∴22112OE O E OO =+=过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小， ()2222 2.-=，最小面积为2π．当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π． 故答案为：[2π，4π]【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知直线l的参数方程为x 4t 2y t 2⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ4cos θ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点．()1求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；()2动点P 在圆C 上(不与A ，B 重合)，试求ABP V 的面积的最大值．【答案】(1)(2) 2+. 【解析】分析：(1)先根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再将直线l 的参数方程代入圆C 方程，利用韦达定理以及参数几何意义求弦AB 的长；(2)先根据加减消元法得直线l 的普通方程，再根据点到直线距离公式得点P 到直线l 的距离最大值，最后根据三角形面积公式求最大值.详解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为()2224x y -+=将直线l 的参数方程代入圆()22:24C x y -+=，并整理得20t +=，解得120,t t ==-所以直线l 被圆C截得的弦长为12t t -=. （2）直线l 的普通方程为40x y --= .圆C 的参数方程为222x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），可设圆C 上的动点()22cos ,2sin P θθ+， 则点P 到直线l的距离2cos 4d πθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭当cos 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 取最大值，且d的最大值为2+所以(1222ABP S ∆≤⨯=+ 即ABP ∆的面积的最大值为2+. 点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩.(t 是参数，t 可正、可负、可为0)若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α). (2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝122t t +，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝122t t +.(4)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0.18.选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x x =+-的最大值为m . （1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a bb a +++的最小值. 【答案】(1) m ＝1 (2)13【解析】试题分析：（1）零点分区间去掉绝对值，得到分段函数的表达式，根据图像即可得到函数最值；（2）将要求的式子两边乘以(b ＋1)＋(a ＋1)，再利用均值不等式求解即可. 解析：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1． 所以m ＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，＋＝(＋)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝ [a 2＋b 2＋＋]≥ (a 2＋b 2＋2)＝ (a ＋b )2＝．当且仅当a ＝b ＝时取等号．即＋的最小值为．19.如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为 AOC ∆的垂心 （1）求证：平面OPG ⊥平面 PAC ；（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.【答案】（1）见解析（2251.【解析】试题分析：（1）延长OG 交AC 于点M ，由重心性质及中位线性质可得//OM BC ，再结合圆的性质得OM AC ⊥，由已知PA OM ⊥，可证OM ⊥ 平面PAC ，进一步可得平面OPG ⊥ 平面PAC ；（2）以点C 为原点，CB u u u r ，CA u u u r ，AP u u u r方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用二面角与二个半平面的法向量的夹角间的关系可求二面角的余弦值．试题解析：（1）如图，延长OG 交AC 于点M .因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点.因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥.因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥.又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面,PAC PA AC ⋂=A ，所以OM ⊥ 平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ，所以平面OPG ⊥平面PAC.（2）以点C 为原点，CB u u u r ，CA u u u r ，AP u u u r方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，()0,1,0A ，)3,0,0B，31,022O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,2P ，10,,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，则32OM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，31,222OP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r .平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则30,{3120,2n OM x n OP x y z ⋅==⋅=++=u u u ur r u u u r r 令1z =，得()0,4,1n =-r .过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A ⋂=，所以CH ⊥平面PAB ，即CH u u u r为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，12CH CB ==.所以cos H x CH HCB =∠=3sin 4H y CH HCB =∠=.所以3,,044CH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r . 设二面角A OP G --的大小为θ，则cos CH n CH n θ⋅==⋅u u u r r u u u r r=. 点睛：若12,n n u r u u r分别二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小θ满足12cos ,cos n n θ=〈〉u r u u r ，二面角的平面角的大小是12,n n u r u u r的夹角(或其补角，需根据观察得出结论)．在利用向量求空间角时，建立合理的空间直角坐标系，正确写出各点坐标，求出平面的法向量是解题的关键．20.2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. （1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】（1）114400；（2）选择第一种抽奖方案更合算.【解析】 【分析】（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率； （2）选择方案一，计算所付款金额X分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付款金额Z 的数学期望值，比较得出结论.【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则()333101120C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为()()114400P P A P A =⋅=；（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0、600、700、1000.()3331010120C P X C ===，()2137310760040C C P X C ===， ()12373102170040C C P X C ===，()373107100024C P X C ===.故X 的分布列为，所以()172171060070010007641204040246E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-， 由已知可得3~3,10Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，故()3931010E Y =⨯=， 所以()()()10002001000200820E Z E Y E Y =-=-=（元）. 因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量分布列与数学期望，同时也考查了二项分布的数学期望与数学期望的性质，解题时要明确随机变量所满足的分布列类型，考查计算能力，属于中等题.21.已知椭圆()222210y x a b a b +=>>的离心率为2，且22a b =.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l ：0x y m -+=与椭圆交于A ，B 两点，是否存在实数m ，使线段AB 的中点在圆225x y +=上，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）实数不存在，理由见解析．【解析】试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和的关系，解方程可得，进而得到椭圆方程；（2）设，，线段的中点为．联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得的坐标，代入圆的方程，解方程可得，进而判断不存在．试题解析：（1）由题意得，解得故椭圆的方程为；（2）设，，线段的中点为联立直线与椭圆的方程得，即， 即，，所以，即．又因点在圆上，可得， 解得与矛盾．故实数不存在．考点：椭圆的简单性质．22.已知函数2()ln(1)2k f x x x x =+-+(0)k ≥. （1）当2k =时，求函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程. （2）求函数()f x 的单调区间. 【答案】（1）3(1)ln 22y x =-+；（2）见解析. 【解析】 试题分析：（1）函数的定义域()1,-+∞，当2k =时，计算可得：()3'12f =，()12f ln =，则切线方程为()3122y x ln =-+. （2）()()211'111kx k x f x kx x x +-=-+=++，考查二次函数()()()()211g x kx k x x kx k =+-=+-，分类讨论：①若0k =，()f x 在()1,0-上单调递增，在()0,+∞上单调递减.②若0k >，()g x 为开口向上的二次函数，两个零点均在定义域()1,-+∞上.则： （i ）若01k <<，函数()f x 在()1,0-和1,k k -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在10,k k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. （ii ）若1k =，()f x 在()1,-+∞上单调递增. （iii ）若1k >，函数()f x 在11,k k -⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上单调递增，在1,0k k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 试题解析：（1）函数的定义域()1,-+∞， 当2k =时，()1'121f x x x =-++，()13'11222f =-+=， ()12112f ln ln =-+=，∴切线方程为()3122y x ln =-+.（2）()()211'111kx k x f x kx x x +-=-+=++， 易知10x +>，令()()()()211g x kx k x x kx k =+-=+-，①若0k =，()g x x =-，∴()f x 在()1,0-上单调递增，在()0,+∞上单调递减. ②若0k >，()g x 为开口向上的二次函数，零点分别为0，1k k -，其中1111k k k-=->-， 即()g x 的两个零点均在定义域()1,-+∞上. （i ）若01k <<，10k k ->，所以函数()f x 在()1,0-和1,k k -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在10,k k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.（ii ）若1k =，10kk-=，()g x 图象恒在x 轴上方，()'0f x ≥恒成立，∴()f x 在()1,-+∞上单调递增. （iii ）若1k >，10k k -<，∴函数()f x 在11,k k -⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上单调递增，在1,0k k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。
【全国百强校】山西省怀仁县第一中学2015-2016学年高二下学期第一次月考文数试题(解析版)
一、选择题(每小题5分,共60分)1.设,αβ是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂，“//m β”是“//αβ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断2.方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是（ ）A ．223a a <->或 B ．223a -<< C ．20a -<< D ．223a -<< 【答案】D【解析】试题分析：根据圆的方程的一般式能够表示圆的充要条件，得到关于a 的一元二次不等式，整理成最简单的形式，解一元二次不等式得到a 的范围，得到结果．方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆,()2222442103440232)0a a a a a a a a ∴+-+->∴+-<∴+-<，（）(， 223a ∴-<<，故选D 考点：圆的一般方程3.设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ）A ．2,2n n N n ∀∈>B ．2,2n n N n ∃∈≤C ．2,2n n N n ∀∈≤D ．2,2n n N n ∃∈=【答案】C【解析】试题分析：根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．命题的否定是：2,2n n N n ∀∈≤，故选C考点：命题的否定4.下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）A ．2214y x -= B ．2214x y -= C ．2212y x -= D ．2212x y -= 【答案】A【解析】试题分析：由题易知选项A 的渐近线方程为2y x =±，故选A.考点：双曲线的简单性质5.已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)【答案】B考点：抛物线的简单性质6.已知正ABC ∆的边长为a ，那么ABC ∆的平面直观图A B C '''∆的面积为（）A 2B 2C 2D 2 【答案】D【解析】试题分析：由原图和直观图面积之间的关系S S =直观图原图，求出原三角形的面积，再求直观图A B C ∆'''的面积即可．正三角形ABC 的边长为a 2，而原图和直观图面积之间的关系S S =直观图原图，故直观图A B C ∆'''2，故选D. 考点：斜二测画法7.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D考点：有三视图求体积、面积8.已知,A B 是球O 的球面上两点，090AOB ∠=，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【答案】C【解析】试题分析：当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O-ABC 的体积最大，利用三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O 的表面积．如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O-ABC 的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯⨯==，故R=6，则球O 的表面积为24144R ππ=， 故选C ．考点：球的体积与表面积9.已知函数()ln ,(0,)f x ax x x =∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若(1)3f '=，则a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】试题分析：根据导数的运算法则求导，再代入值计算即可．1131133f x a lnx f a ln a '=+'=∴+=∴=（）（），（），（），，故选B ． 考点：导数的运算10.若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．B ．l 与1l ，2l 都不相交【答案】A考点：空间中线面位置关系11.若直线1(0,0)x y a b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【解析】 试题分析：∵直线1(0,0)x y a b a b+=>>过点(1,1)，1111100224b a a b a b a b a b a b a b ∴+=∴+=++=++≥+=（＞，＞），（）（），当且仅当b a a b=即2a b ==时取等号，∴a b +最小值是4，故选C ． 考点：基本不等式的性质【方法点睛】利用基本不等式证明不等式的方法技巧：利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．12.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线:340L x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．⎛ ⎝C ．⎫⎪⎪⎭D ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】B考点：直线与圆锥曲线的位置关系【方法点睛】求解范围问题的常见求法1．利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2.利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；3．利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4．利用基本不等式求出参数的取值范围；5．利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．二、填空题（每题5分，共20分）13.一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_________．【答案】12考点：棱柱、棱锥、棱台的体积14.已知曲线ln y x x =+在点(1,1)处的切线与曲线2(2)1y ax a x =+++相切，则a = _________．【答案】8【解析】试题分析：求出y x lnx =+的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线221y ax a x =+++（）相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a 的值．11y x lnx y x=+∴'=+,，曲线ln y x x =+在x =1处的切线斜率为k =2， 则曲线ln y x x =+x 在x =1处的切线方程为122y x -=-，即y =2x -1．由于切线与曲线2(2)1y ax a x =+++相切，故2(2)1y ax a x =+++可联立y =2x -1，得220ax ax ++=，又0a ≠，两线相切有一切点，所以有△=a 2-8a =0，解得a =8．故答案为：8．考点：利用导数求切线方程 15.若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为________． 【答案】3【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z 的取值范围． 作出不等式组对应的平面区域，y x的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知，OA 的斜率最大,1111334,033OA x x x A k x y y y ==⎧∴∴=⎨+-==⎧⎨⎩⎩∴＝（，），．＝考点：简单的线性规划【方法点睛】1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：a z y x b b =-+，通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2.(3)斜率型：形如y b z x a-=-. 16.已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于,A B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为________．【答案】0或6考点：直线与圆的方程的应用【方法点睛】1．在讨论有关直线与圆的相交弦问题时，如能充分利用好平面几何中的垂径定理，并在相应的直角三角形中计算，往往能事半功倍．2．圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知0a >，且1a ≠．设:p 函数log (1)a y x =+在区间(0,)+∞内单调递减；:q 曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，如果“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围． 【答案】15,1,22⎡⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭考点：复合命题的真假判断【方法点睛】若要判断一个含有逻辑联结词的命题即复合命题的真假，其步骤如下：(1)判断复合命题的结构；(2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假；(3)依据含有“或”、“且”、“非”的命题的真假判断方法，作出判断即可．18.已知函数3()ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线12y x =． （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值．【答案】（1）54a =；（2）当(0,5)x ∈时，()0f x '<，故()f x 在(0,5)上为减函数； 当(5,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(5,)+∞上为增函数．在5x =时取得极小值，(5)ln 5f =-．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值19.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点，斜率为的直线交抛物线于112212(,),(,)()A x y B x y x x <两点，且9AB =．（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB λ=+，求λ的值．【答案】（1）28y x =；（2）0λ=，或2λ=考点：抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题20.如图，抛物线21:2C y px =与椭圆222:11612x y C +=在第一角限的交点为B ，O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，OAB ∆．（1）求抛物线1C 的方程；（2）过A 点作直线L 交1C 于C 、D 两点，求OCD ∆面积的最小值．【答案】（1）28y x =；（2）综上OCD S ∆最小值为．考点：抛物线的性质；直线与圆锥曲线的综合应用【方法点睛】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．21.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，022,//,,90,AB EF EF AB EF FB BFC BF FC ==⊥∠==，H 为BC 的中点．（1）求证：//FH 平面EDB ；（2）求证：AC ⊥平面EDB ；（3）求四面体B DEF -的体积．【答案】（1）略；（2）略；（3）13又BF FC =，H 为BC 的中点，∴FH BC ⊥，∴FH ⊥平面ABCD ，∴FH AC ⊥，又//FH EG ，∴AC EG ⊥，又,AC BD EG BD G ⊥=，∴AC ⊥平面EDB ；（3）解：∵0,90EF FB BFC ⊥∠=，∴BF ⊥平面CDEF ，∴BF 为四面体B DEF -的高，又2BC AB ==，∴BF FC ==，11122S EF FC ==⨯，四面体B DEF -的体积：1111323B DEF V -=⨯⨯=．考点：直线与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定定理22.设a R ∈，函数32()3f x ax x =-．（1）若2x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值；（2）若函数[]()()(),0,2g x f x f x x '=+∈，在0x =处取得最大值，求a 的取值范围．【答案】（1）1；（2）6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值。
山西省忻州一中2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试卷 (Wo
2014-2015学年度第二学期期末考试高 二 数 学（理）试题注意事项：1．考生务必用0.5mm 黑色中性笔答题.2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。
3．满分150分，考试时间120分钟.一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A={-2,-1,0,1,2,3,4},B={-3,-2,-1,1,5},则集合A∩B 的子集的个数为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.3 2．已知i 是虚数单位，z =1+i ，则复数1z 在复平面内对应的点在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若cos α=45，则cos2α= ( )A. 725B.－725C. 35D.-354．已知正数x,y 满足⎩⎨⎧2x-y ≤0x-3y+5≥0,则z=－2x －y 的最小值为 ( )A.－5B. 5C. 4D. －45．若如图所示的程序框图运行后,输出的S 的值为31,则判断框内填入的条件可以为( )A.x>7?B.x>6?C.x ≥6?D.x ≤6?6．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A.3×3!B.3×(3！)3C.(3！)4D.9!7．等比数列{a n }中,a 1>0,则“a 1<a 3”是“a 3<a 6”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．图中的阴影部分由底为1,高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成.设函数S=S(a)(a ≥0)是图中介于平行线y=0及y=a 之间的阴影部分面积,则函数S(a)的图象大致为( )9．直线ax+by+c=0与圆x 2+y 2=9相交于两点M 、N,若c 2=a 2+b 2,则|MN|＝ ( ) A.4 2B.2 2C. 210D. 1010．已知函数y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称,且当x ∈(－∞,0)时,f(x)+xf'(x)>0成立.若a=(20.2)•f(20.2),b=(ln2)•f(ln2),c=(log 24)•f(log 24),则a,b,c 的大小关系是 ( ) A.a>b>cB.b>c>aC. c>b>aD. c>a>b11．已知a ＝π20⎰cosx 2dx ，则(ax －12ax )9的展开式中，关于x 的一次项的系数为 ( ) A.6316B.－6316C. 638D.－63812．在区间[0,1]上任意取两个实数a,b,则函数f(x)=12x 3+ax-b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为 ( ) A.18B.14C.78D.34二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13．已知x,y 都是正实数,满足x+y=1,则log 2x+log 2y 的最大值等于 . 14．若双曲线mx 2+y 2=1的离心率为2，则m ＝______15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______ 16．定义在R 上的奇函数f(x)，当x ≥0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5(x ＋1)，0≤x<1，1－|x －3|，x ≥1，则关于x 的函数F(x)＝f(x)－a(0<a<1)的所有零点之和为___________三、解答题：(解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分) 17．(本小题满分10分)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m →＝(a ，b)，n →＝(sinB ，sinA)，p →＝(b －2，a －2)．(1)若m →∥n →，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m →⊥p →，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ．19．(本小题满分12分)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：(1)(2)当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值(即数学期望)．20．(本小题满分12分)如图：四棱锥P-ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 是BC 上的点，且BM=12，(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若边PC 与底面ABCD 所成角的正切值为1，求平面PAD 与平面PBC 所成的二面角的余弦值．21．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）经过点M (－2，－1)，离心率为22．过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ．(1)求椭圆C 的方程；(2)试判断直线PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论．22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝e x x 2－k(2x ＋lnx)(k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k>1时，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．附加题(每小题5分，共15分)PO AB CDM1．数列{a n }的通项公式为a n ＝(-1)n-1·(4n-3)，则它的前100项之和S 100= ． 2．设0,1a b >>，若2a b +=，则2a +1b-1的最小值为 .3．已知抛物线y 2＝8x ，点Q 在圆C ：x 2＋y 2＋2x －8y ＋13＝0上，记抛物线上任意一点P 到直线x=－2的距离为d ，则d ＋|PQ|的最小值等于__________2014-2015学年度第二学期期末考试试题答案高 二 数 学（理）一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13．－2 14．－1 15．24 16．1－2a 三、解答题：(解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分)17．(本小题满分10分)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m →＝(a ，b)，n →＝(sinB ，sinA)，p →＝(b －2，a －2)．(1)若m →∥n →，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m →⊥p →，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解:(1)证明：∵m →∥n →，∴asinA ＝bsinB. 3分 由正弦定得知a·a 2R ＝b·b2R ，∴a ＝b.故△ABC 为等腰三角形． 6分(2)∵m →⊥p →，∴m →•p →＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab. 8分由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得4＝(a ＋b)2－3ab ，即(ab)2－3ab －4＝0. 解得ab ＝4，ab ＝－1(舍去)． 11分 ∴△ABC 的面积S ＝12absinC ＝12×4×sin π3＝ 3. 12分18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10， 2分解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{an}的通项公式为a n ＝2-n. 6分(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，① 故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n >1时，①-②得S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1-a n2n 9分＝1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1-2－n 2n ＝1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n －1-2-n 2n ＝n2n . 11分所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1. 12分19.(本小题满分12分)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：(1)(2)当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值(即数学期望)．解：(1)由分层抽样的定义可知乙厂生产的产品数量为98×514＝35(件)． 3分 (2)由题中表格提供的数据可知，乙厂抽取的5件产品中有2件优等品，分别是2号和5号，样品中优等品的频率为25，由(1)知乙厂共有产品35件，所以估计乙厂优等品的数量为35×25＝14(件)． 6分(3)5件抽测品中有2件优等品，则ξ的可能取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝C 23C 25＝310，P (ξ＝1)＝C 13·C 12C 25＝35，P (ξ＝2)＝C 22C 25＝110. 9分分布列为故E (ξ)＝0×310＋1×35＋2×110＝45. 12分20、(本题12分，第1小问4分，第2小问4分，第3问4分) 如图：四棱锥P-ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 是BC 上的点，且BM=12，(1)证明：BC ⊥平面POM ；P OAB CDM(2)在边PC 与底面ABCD 所成角的正切值为1，求平面PAD 与平面PBC 所成的二面角的余弦值．解：(1)连接OB ，OM ，由AB ＝2，∠BAD ＝π3，BM=12得OB=1，OM=32，由勾股定理可知，OM ⊥BC ，由题意知，PO ⊥BC ，可得BC ⊥平面POM 6分本小问也可建系求解(2)以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，则A(3,0,0)，B(0,1,0)，C(－3,0,0)，D(0,－1,0)，由PC 与底面ABCD 所成角的正切值为1得P(0,0,3)，设m →=(x,y,z)为平面PAD 的法向量，则⎩⎨⎧3x-3z=0-y-3z=0，令z=1，则x=1，y=-3，即m →=(1,-3,1)；同理可得：平面PBC 的法向量n →=(-1,3,1)，所以cos<m →,n →>=-35，由法向量与两平面的位置关系可得，平面PAD 与平面PBC 所成二面角的余弦值为35． 12分21．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）经过点M (－2，－1)，离心率为22．过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）试判断直线PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论． 解：（1）由题设，得4a 2＋1b 2＝1，…①且a 2－b 2a ＝22， ……②由①、②解得a 2＝6，b 2＝3，椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1．……………6分（2）记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)．设直线MP 的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得 (1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k )x ＋8k 2－8k －4＝0，－2，x 1是该方程的两根，则－2x 1＝8k 2－8k －41＋2k 2，x 1＝－4k 2＋4k ＋21＋2k 2．设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k (x ＋2)，同理得x 2＝－4k 2－4k ＋21＋2k 2．……9分因y 1＋1＝k (x 1＋2)，y 2＋1＝－k (x 2＋2)，故k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋2)＋k (x 2＋2)x 1－x 2＝k (x 1＋x 2＋4)x 1－x 2＝8k1＋2k28k 1＋2k 2＝1，因此直线PQ 的斜率为定值．……………………………………………12分22．设函数f (x )＝e x x 2－k (2x ＋ln x )(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k>1时，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围． 解：(1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k (－2x 2＋1x )＝x e x －2e x x 3－k (x －2)x 2＝(x －2)(e x－kx )x 3.由k ≤0可得e x －kx >0，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)． 6分 (2)由f′(x)＝(x －2)(e x －kx)x 3.设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈[0，＋∞)．因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ， 当k >1时，当x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减； x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增． 所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (ln k )<0，g (2)>0，0<ln k <2.解得e<k <e 22.综上所述，函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为(e ，e 22)． 12分附加题 1．－200 2．3+223．已知抛物线y 2＝8x ，点Q 在圆C ：x 2＋y 2＋2x －8y ＋13＝0上，记抛物线上任意一点P 到直线x=-2的距离为d ，则d ＋|PQ|的最小值等于__________解析 如图所示，由题意，知抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，连接PF ，则d ＝|PF |.圆C 的方程配方，得(x ＋1)2＋(y －4)2＝4，圆心为C (－1,4)，半径r ＝2. d ＋|PQ |＝|PF |＋|PQ |，显然，|PF |＋|PQ |≥|FQ |(当且仅当F ，P ，Q 三点共线时取等号)．而|FQ |为圆C 上的动点Q 到定点F 的距离， 显然当F ，Q ，C 三点共线时取得最小值，最小值为|CF |－r ＝(－1－2)2＋(4－0)2－2＝5－2＝3.。
山西省怀仁县高二数学下学期期末考试试题 文(2021年整理)
山西省怀仁县2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山西省怀仁县2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2016-2017学年下学期高二年级期末考试数学（文）时间:120分钟 满分：150分一、选择题（本题共12个小题，每小题只有一个正确答案,每小题5分，共60分 1。
设集合I={Z x x x ∈,3<||||},A= {-2,-1,2 ｝，，则 A ∪(C 1B)= （） A. {1} B. {1, 2｝ C 。
{2} D 。
｛0, 1，2｝2。
当32〈w<1时，复数z = m(3+i)>（2 +i ）在复平面内对应的点位于A 。
第一象限B 。
第二象限C 。
第三象限D 。
第三象限 3.命题“存在R x ∈0,020≤x ”的否定是A.不存在R x ∈0,02x 〉0B.存在R x ∈0, 02x 〉0C 。
对任意的R x ∈， x 2>0 D.对任意的R x ∈, x 2<0 4.如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值为 A. 12 B 。
24 C. 48D 。
120 5. 21=a 是函数“ ax ax y 2sin 2cos 22==的最小正周期为π”的 A 。
充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D 。
既不充分也不必要条件6.从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为A. 51 B 。
高二下学期期末考试数学试卷(含参考答案)
高中二年级学业水平考试数学（测试时间120分钟，满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知i 是虚数单位，若复数))((R a i a i ∈+-的实部与虚部相等，则=a （A ）2-（B ）1- （C ）1 （D ）2（2）若集合{}0,1,2A =，{}24,B x x x N =≤∈，则AB =（A ）{}20≤≤x x（B ）{}22≤≤-x x （C ）{0,1,2} （D ）{1,2}（3）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 没有公共点”是“平面α和平面β平行”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α的值为（A ）9-（B ）9-（C ）9（D ）9（5）在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1≤x 的概率为 （A ）23 （B ）15 （C ）52 （D ）14（6）已知抛物线2y x =的焦点是椭圆22213x y a +=的一个焦点，则椭圆的离心率为（A ）37（B ）13（C ）14 （D ）17（7）以下函数，在区间[3,5]内存在零点的是（A ）3()35f x x x =--+ （B ）()24x f x =-图2俯视图侧视图主视图（C ）()2ln(2)3f x x x =-- （D ）1()2f x x=-+ （8）已知(2,1),(1,1)a b ==，a 与b 的夹角为θ，则cos θ=（A）10 （B）10 （C）5 （D）5（9）在图1的程序框图中，若输入的x 值为2，则输出的y 值为（A ）0 （B ）12 （C ）1- （D ）32- （10）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的侧面积是（A ）76 （B ）70 （C ）64 （D ）62 （11）设2()3,()ln(3)xf x eg x x =-=+，则不等式(())(())11f g x g f x -≤的解集为（A ）[5,1]- （B ）(3,1]- （C ）[1,5]- （D ）(3,5]-(12) 已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围为（A ）∞（-,-2） （B ）1∞（-,-) （C ）(1,+)∞ （D ）(2,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）函数()cos f x x x =+的最小正周期为 ．（14）已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-3322y x y x x y ，则y x -2的最小值为 .（15）已知直线l ：0x y a -+=，点()2,0A -，()2,0B . 若直线l 上存在点P 满足AP BP ⊥，则实数a 的取值范围为 .（16）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2,b =3B π=，且△ABC 的面DC 1B 1CBA积S =a c += .三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足141,4a a ==；数列{}n b 满足12b a =，25b a =，数列{}n n b a -为等比数列． (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18）（本小题满分12分）某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；（Ⅱ）已知该地区有X ,Y 两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X 型车，高一级学生都租Y 型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的概率.（19）（本小题满分12分）如图3，已知四棱锥11A CBB C -的底面为矩形，D 为1AC 的中点，AC ⊥平面BCC 1B 1． （Ⅰ）证明：AB//平面CDB 1; （Ⅱ）若AC=BC=1，BB 1（1）求BD 的长；（2）求三棱锥C-DB 1C 1的体积. 图3 （20）（本小题满分12分）已知过点(0,1)A 的动直线l 与圆C ：224230x y x y +---=交于M ，N 两点. （Ⅰ）设线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程; （Ⅱ）若2OM ON ⋅=-,求直线l 的方程. （21）（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若对任意1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()213022f x x ax +++≤成立，求实数a 的取值范围． 请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的14，得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：410x y ++=与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|2|||f x x x a =-+-. （Ⅰ）若2a =-，解不等式5)(≥x f ；（Ⅱ）如果当x R ∈时，()3f x a ≥-，求a 的取值范围．数学参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：部分解析：（10）依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其侧面积为42+44+245=64⨯⨯⨯⨯.（11）(())(())11f g x g f x -≤即22(3)3211450x x x x +--≤⇒+-≤51x ⇒-≤≤，注意到30x +>，即3x >-，故31x -<≤.（12）当0a =时，函数2()31f x x =-+有两个零点，不符合题意，故0a ≠，2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，令'()0f x =得0x =或2x a =，由题意知，0a >，且2()0f a>，解得2a >．二、填空题：（15）问题转化为求直线l 与圆2222x y +=有公共点时，a 的取值范围，数形结合易得a -≤.（16）由余弦定理得2222cos 4b a c ac B =+-=，即224a c ac +-=，1sin 24S ac B ac ===得4ac =，故2()164a c a c +=⇒+= 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由数列{}n a 是等差数列且141,4a a ==∴公差4113a a d -==， ------------------------------------------------------------------------------1分 ∴1(1)n a a n d n =+-=，------------------------------------------------------------------------------3分 ∵12b a ==2，25b a ==5，∴11221,3,b a b a -=-= ∴数列{}n n b a -的公比22113b a q b a -==-，-----------------------------------------------------------5分∴1111()3n n n n b a b a q ---=-=，∴13n n b n -=+；-------------------------------------------------------------------------------------------7分 (Ⅱ)由13n n b n -=+得21(12)(1333)n n S n -=++++++++--------------------------------------------------------9分(1)31231n n n +-=+- 3(1)12n n n ++-=------------------------------------------------------------------------------------ 12分 （18）解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为56=29+6⨯， ------2分 高二学生的人数为:59=39+6⨯； -------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）解法1：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，(a 2,b 1), (a 2,b 2), (a 2,b 3), (b 1,b 2), (b 1,b 3), (b 2,b 3)，共10种可能； ----------------------------------------------------------8分 其中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的有：111213(,),(,),(,)a b a b a b ，212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共9种，------------------------------------------10分故所求的概率910P =.-----------------------------------------------------------------------------------------12分 【解法:2：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，EABCB 1C 1D212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共10种可能；--------------------------------------8分其中所抽的2人都不租X 型车的有：12(,)a a 一种，-------------------------------------------------9分 故所求的概率1911010P =-=. ---------------------------------------------------------------------------12分 （19）解：（Ⅰ）证明：连结1BC 交1B C 于E ，连结DE ， ------------------------------------------1分 ∵D 、E 分别为1AC 和1BC 的中点，∴DE//AB,---------------------------------- --------------------2分 又∵DE ⊂平面1CDB ,AB ⊄平面1CDB ,∴AB//平面CDB 1;---------------------------------------------4分 （Ⅱ）（1）∵AC ⊥平面BCC 1B 1，BC ⊂平面11BCC B ， ∴BC AC ⊥, 又∵1BC CC ⊥,1ACCC C =，∴BC ⊥平面1ACC ， ∵CD ⊂平面1ACC ,∴BC CD ⊥,----------------------------------------------------------------------------------------------------6分 在Rt BCD ∆,∵BC=1，1112CD AC ===, ∴BD =分【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】 （2）解法1：∵BC ⊥平面1ACC ，BC//B 1C 1∴11B C ⊥平面1CC A ,-----------------------------------------------------------------------------------------10分 ∴111111113C DB C B CDC CDC V V S B C --∆==⋅111134=⨯⨯=. ---------------------------------12分 【解法2：取1CC 中点F,连结DF ，∵DF 为△1ACC 的中位线，∴DF//AC,-------------------------------------------------------------------9分 ∵AC ⊥平面11CBB C ，从而可得DF ⊥平面11CBB C ,----------------------------------------------10分∴11111113C DB C D CB C CB C V V S DF --∆==⋅1111322=⨯⨯=. --------------------------------12分 （20）解法（Ⅰ）将224230x y x y +---=化为标准方程得:222(2)(1)x y -+-=, ----------------------------------------------------------------------------1分可知圆心C 的坐标为(2,1),半径r =设点P 的坐标为(,)x y ,则(2,1),(,1)CP x y AP x y =--=-,---------------------------------------2分 依题意知CP AP ⊥,∴0CP AP ⋅=(2)(1)(1)0x x y y ⇒-+--=整理得:222210x y x y +--+=, ------------------------------------------------------------------------4分∵点A 在圆C 内部, ∴直线l 始终与圆C 相交,∴点P 的轨迹方程为222210x y x y +--+=.----------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ,若直线l 与x 轴垂直,则l 的方程为0x =,代入224230x y x y +---=得2230y y --=,解得1y =-或3y =,不妨设121,3y y =-=,则3OM ON ⋅=-,不符合题设, ------------------------------------------------7分 设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为1y kx =+,由224230,1.x y x y y kx ⎧+---=⎨=+⎩消去y 得:22(1)440k x x +--=, --------------------------------8分 216(2)0k ∆=+>,则12122244,11x x x x k k+==-++,------------------------------------------------------------------------9分 由2OM ON ⋅=-得212121212(1)()12x x y y k x x k x x +=++++=-,∴22244(1)1211kk k k-+++=-++2410k k ⇒-+=,解得:2k =±分∴当2OM ON ⋅=-时,直线l 的方程为(21y x =++或(21y x =-+. --------------12分 （21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ∵()ln 1f x x '=+，令'()0f x =得1x e=，-------------------------------------------------------------2分 当10x e <<时'()0f x <，当1x e>时，'()0f x >， ∴函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，----------------------------------------4分∴函数()f x 无极大值， 当1x e =时，函数()f x 在(0,)+∞有极小值，11()()f x f e e==-极小，--------------------------5分 （Ⅱ）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()213022f x x ax +++≤，得3ln 22x a x x ≤---，--------------6分 记()3ln 22x g x x x =---，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()()2231113222x x g x x x x +-'=--+=-， 当∈x 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，得'()0g x >，当∈x ()1,e 时， '()0g x <∴()g x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,e 上单调递减，---------------------------------------------------9分又113122e g e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3122e g e e=---， ∵012)()1(<-+=-e e e g e g ，∴()1g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，-------------------------------------------------10分故()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1g e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故只需1a g e ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即实数a 的取值范围是13,122e e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦．------------------------------------------------------------12分 选做题：（22）解：（Ⅰ）由坐标变换公式1',4'.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得4','x x y y ==-------------------------------------2分 代入221x y +=中得2216''1x y +=，--------------------------------------------------------------------3分故曲线C 的参数方程为1cos ,4sin .x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数）；----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）由题知，121(,0),(0,1)4P P --，--------------------------------------------------------------------6分 故线段P 1 P 2中点11(,)82M --，---------------------------------------------------------------------------7分∵直线l 的斜率4k =-∴线段P 1 P 2的中垂线斜率为14，故线段P 1 P 2的中垂线的方程为111()248y x +=+------------------------------------------------------8分即832150x y --=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入得其极坐标方程为8cos 32sin 150ρθρθ--=----------------------------------------------------------10分 （23）解：(Ⅰ)当a ＝－2时，f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|， ①当2x ≤-时，原不等式化为：25,x -≥解得52x ≤-，从而52x ≤-；-------------------------1分 ②当22x -<≤时，原不等式化为：45≥，无解；---------------------------------------------------2分 ③当2x >时，原不等式化为：25,x ≥解得52x ≥，从而52x ≥；----------------------------------3分 综上得不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2525x x x 或.----------------------------------------------------------------5分(Ⅱ)当x R ∈时，|2||||2()||2|x x a x x a a -+-≥---=- ---------------------------------------7分 所以当x R ∈时，()3f x a ≥-等价于|2|3a a -≥------（*） 当2a ≥时，（*）等价于23,a a -≥-解得52a ≥，从而52a ≥；----------------------------------8分 当2a <时，（*）等价于23,a a -≥-无解；------------------------------------------------------------9分 故所求a 的取值范围为5[,+2∞）. --------------------------------------------------------------------------10分。
山西省朔州市怀仁县第一中学2022高二数学下学期期末考试试题 文(含解析)
9.已函数 的最小正周期是 ，若将其图象向右平移 个单位后得到的图象关于原点对称，则函数 的图象( )
A.关于直线 对称B.关于直线 对称
C.关于点 对称D.关于点 对称
（Ⅰ）求直线 的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线 与 轴的交点为P，直线 与曲线C的交点为A,B,求 的值.
【答案】（1）直线 的普通方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 ；（2） ．
【解析】
试题分析：本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程 转化、直线与圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用 ， ， 转化方程；第二问，将直线方程与曲线方程联立，消参，得到关于 的方程，利用两根之积得到结论.
点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行
3.若向量 ， 满足 ， 与 的夹角为 ，则 等于（ ）
A. B. C. 4 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】
将 平方后再开方去计算模长，注意使用数量积公式.
阅读过莫言的作品数（篇）
0～25
26～50
51～75
76～100
101～130
男生
3
6
11
18
12
女生
4
8
13
15
10
（1）试估计该学校学生阅读莫言作品超过50篇的概率.
（2）对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解”，否则为“一般了解”，根据题意完成下表，并判断能否有 的把握认为“对莫言作品的非常了解”与性别有关？
山西省怀仁县第一中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学试卷Word版含解析
山西省怀仁县第一中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学一、选择题：共12题1．下列叙述中正确的是A.“”是“与平行”的充分条件B.“方程表示椭圆”的充要条件是“”C.命题“”的否定是“”D.命题“都是偶数,则是偶数”的逆否命题为“不是偶数,则都是奇函数”【答案】A【解析】本题主要考查常用逻辑用语.A选项中,当m=2时,与显然平行,故“”⇒“与平行”,即“”是“与平行”的充分条件,故A正确.B选项中,当时,方程也可能表示双曲线或者两条直线,故B错误.C选项中命题“”的否定是“”,故C错误.D选项中,命题“都是偶数,则是偶数”的逆否命题为“不是偶数,则不全是偶数”.故选A.2．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x=在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确 【答案】A【解析】本题考查演绎推理中三段论的概念、导数的极值等相关知识。
大前提错误，根据函数极值点的概念知：可导函数，导数为0，且导数在该点左右的符号相同，则该点不是极值点，否则为极值点。
【备注】正确理解并掌握三段论中大前提、小前提和结论的意义。
3．已知,则等于A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查常用函数的导数.,令x =1,得,所以.故选B.4．已知四面体各棱长为是棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查空间几何体、异面直线所成的角、余弦定理,考查了学生的空间想象能力.根据题意,取OC的中点E,连接DE、BE,则DE⫽AC,且DE=,BD=BE=,∠BDE是异面直线BD与AC所成的角或补角,由余弦定理可得.故选C.5．已知,若 (),则A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查归纳推理.由,猜想,,所以n=6时,,又因为,所以.故选C.6．函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如上图所示,则函数在开区间内有极小值点A.个B.个C.个D.个【答案】A【解析】本题主要考查导数、函数的极值与性质.由导函数在内的图象可知,函数的图象趋势是,先增,再减,再增,最后是减,所以,函数在开区间内的极小值点只有1个.故选A.7．函数有三个相异的零点,则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查导数、函数的性质与零点.,由可得x>1或x<-1,由可得-1<x<1,所以x=-1是函数的极大值点,,x=1是函数的极小值点,,又因为函数有三个相异的零点,所以,解得.故选C.8．在函数的图象上有点列,若数列是等差数列,数列是等比数列,则函数的解析式可能为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查函数的解析式、等差数列与等比数列.因为数列是等差数列,数列是等比数列,设,d、q是常数,经验证可知,满足题意的解析式是.故选D.9．函数在区间上的值域为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查导数、函数的性质., 在区间上,,所以函数在区间上是单调递增函数,所以,即值域是,故选A.10．曲线上的点到直线的最短距离是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查导数的几何意义、点到直线的距离公式.由题意可知,当过曲线上的点的切线与直线平行时,切点到直线的距离最短,,所以x=,y=0,即切点(1,0),所以最短距离d=.故选B.11．设分别是定义在上的奇函数和偶函数,当时,,且,则不等式的解集是A. B.C. D.【答案】D【解析】本题主要考查构造函数、导数、函数的性质.设,因为分别是定义在上的奇函数和偶函数,所以是定义在上的奇函数,当时,,所以上是增函数,上是增函数,又因为,所以, 不等式的解集是,故选D.12．已知A,B,P是双曲线=1(a>0,b>0)上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积k PA·k PB=,则双曲线的离心率为().A. B.C. D.【答案】D【解析】∵A,B连线过坐标原点,且都在双曲线上,∴A,B两点关于原点对称.设A(x1,y1),P(x2,y2),则B(-x1,-y1).∴k PA·k PB=·.又∵A,P都在双曲线上,∴=1,=1.两式相减,整理得,∴.∴b2=a2.又∵c2=a2+b2,∴c2=a2,即.∴双曲线的离心率e=.二、填空题：共4题13．已知物体的运动方程是 (的单位:的单位:),则物体在时刻时的加速度.【答案】【解析】本题主要考查导数的物理意义.由物体的运动方程可得速度v=, 则物体在时刻时的加速度.14．过抛物线焦点的直线,它交于两点,则弦的中点的轨迹方程是.【答案】【解析】本题主要考查抛物线的性质、中点坐标公式、方程思想、点的轨迹.设A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x,y),由抛物线的方程可得焦点F(1,0),设直线l:,代入可得,则,消去m,化简可得,,即为弦的中点的轨迹方程.15．有一非均匀分布的细棒,已知其线密度为,棒长为,则细棒的质量. 【答案】4【解析】本题主要考查定积分.由题意可知,细棒的质量.16．已知命题“若函数在上是增函数,则”,下列结论正确的有 .①否命题是“若函数在上是减函数,则”,是真命题②逆命题是“若,则函数在上是增函数”,是真命题③逆否命题是“若,则函数在上是减函数”,是真命题④逆否命题是“若,则函数在上不是增函数”,是真命题【答案】②④【解析】本题主要考查四种命题及其真假的判断、导数与函数的性质、恒成立问题.,因为函数在上是增函数,所以x>0时,恒成立,且,所以,即原命题是真命题;否命题是“若函数在上不是增函数,则”,故①错误;逆命题是“若,则函数在上是增函数”,显然,时,恒成立,故逆命题是真命题,②正确;所以逆否命题是“若,则函数在上不是增函数”,是真命题,故③错误,④正确.三、解答题：共6题17．已知复数满足(为虚数单位).(1)求复数,以及复数的实部与虚部;(2)求复数的模.【答案】(1),其实部为2,虚部为1(2),.【解析】本题主要考查利用的定义、共轭复数与模、复数代数式的四则运算.(1)利用复数代数式的四则运算,求出复数,则结果易得;(2)化简求出,即可求模.18．求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.【答案】(分析法)设圆和正方形的周长为,依题意,圆的面积为,正方形的面积为.因此本题只需证明.要证明上式,只需证明,两边同乘以正数,得.因此,只需证明.上式是成立的,所以.这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等,那么圆的面积比正方形的面积大.【解析】本题主要考查利用分析法证明结论.设圆和正方形的周长为, 依题意,圆的面积为,正方形的面积为, 因此本题只需证明,利用分析法,找出其成立的充分条件,即可证明结论.19．设 (其中,且).(1),请你推测能否用来表示;(2)如果(1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广.【答案】(1)由,又,因此.(2)由,即,于是推测证明:因为,所以,所以==.【解析】本题主要考查推理与证明、指数的运算性质,考查了学生的计算能力.(1)利用指数的运算性质,根据题意,化简求出,再与比较可得结论;(2)由(1)可得,于是推测,再利用指数的运算性质化简进行证明推测的正确性.20．设函数.(1)若函数的图象在点处的切线为直线,且直线与圆相切,求的值;(2)当时,求函数的单调区间.【答案】(1)因为,所以,所以直线l:,即,因为直线l与圆相切,所以,求解可得.(2),定义域为,由解得,由解得,所以,的单调递增区间是,的单调递减区间是.【解析】本题主要考查导数的几何意义、函数的性质、直线方程、点到直线的距离公式等.(1)求出,根据题意,求出直线l的方程,由点到直线的距离公式得,求解可得结果;(2)求出,分别解不等式与,可求得函数的单调区间.21．已知函数.(1)若,求函数的极值,并指出极大值还是极小值;(2)若,求函数在上的最值;(3)若,求证:在区间上,函数的图象在的图象下方.【答案】(1)的定义域是,当时,在上递减;当时,在上递增,的极小值是,无极大值.(2)恒成立对,在上递增,.(3)证明:令(),在上恒成立,在区间上递减,,在区间上,函数的图象在的图象下方.【解析】本题主要考查导数、函数的极值与性质,考查了恒成立问题与计算能力.(1)的定义域是,求出,解不等式,即可求出函数的单调区间,则可求出的极值;(2)求出,判断函数的单调性,即可求出最值;(3)令(),利用导数求出的单调区间,求出最大值,根据题意,判断最大值小于等于0即可.22．设函数.(1)当时,求的单调区间;(2)若当时,恒成立,求的取值范围.【答案】(1)当时,,,的单调递增区间为和,的单调递减区间为.(2),令,当时,在上为增函数.而,从而当时,,即恒成立.若当时,令,得 (用也对)当时,在上是减函数,而,从而当时,,即,不成立.综上可得的取值范围为.【解析】本题主要考查导数、函数的性质,考查了分类讨论思想与恒成立问题,考查了计算能力.(1)当时,,求出,解不等式,即可求得函数的单调区间;(2),令,分两种情况进行讨论函数的单调性,求出函数的最小值,进而求出最小值,根据恒成立问题的性质,即可求出的取值范围.。
2015-2016学年山西省朔州市怀仁一中高二(下)期中数学试卷(文科)
2015-2016学年山西省朔州市怀仁一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）i 是虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（ ） ①y=sinx （x ∈R ）是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y=sinx （x ∈R ）是周期函数．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①3．（5分）某班共有30人，其中15人喜爱下象棋，10人喜爱下围棋，8人对这两项棋类都不喜爱，那么喜爱下围棋不喜爱下象棋的人数为（ ） A ．12人B ．7人C ．8人D ．9人4．（5分）为研究变量x 和y 的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程l 1和l 2，两人计算知相同，也相同，下列正确的是（ ）A ．l 1与l 2一定重合B ．l 1与l 2一定平行C ．l 1与l 2相交于点（，）D ．无法判断l 1和l 2是否相交5．（5分）直线l 1：（a ﹣1）x +y ﹣1=0和l 2：3x +ay +2=0垂直，则实数a 的值为（ ） A ． B ． C ． D ．6．（5分）已知数据（x 1，y 1）、（x 2，y 2）…（x 10，y 10）满足线性回归方程=x +，则“（x 0，y 0）满足线性回归方程=x +”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（）A． B． C． D．8．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）设a，b，c∈（﹣∞，0），则a+，b+，c+（）A．都不大于﹣2 B．都不小于﹣2C．至少有一个不大于﹣2 D．至少有一个不小于﹣210．（5分）给出下列四个命题：①因为（4+3i）﹣（2+3i）=2＞0，所以4+3i＞2+3i；②由•=•两边同除，可得；③数列1，4，7，10，…，3n+7的一个通项公式是a n=3n+7；④演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．其中正确命题的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点与抛物线x2=4ay的焦点的连线平行于该双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．12．（5分）设f（x）=x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上为单调递减函数，则实数a 的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，﹣3]C．（﹣∞，﹣3]∪[﹣，+∞）D．（﹣，]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知：sin230°+sin290°+sin2150°=sin25°+sin265°+sin2125°=sin218°+sin278°+sin2138°=…通过观察上述等式的规律，写出一般性的命题：．14．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是．15．（5分）下面的数组均由三个数组成，它们是：（1，2，3）、（2，4，6）、（3，8，11）、（4，16，20）、（5，32，37）、…、（a n，b n，c n），若数列{c n}的前n项和为M n，则M10=．16．（5分）下列四个命题中：①；②；③设x，y都是正数，若，则x+y的最小值是12；④若|x﹣2|＜ε，|y﹣2|＜ε，则|x﹣y|＜2ε．其中所有真命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos（π﹣2x）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的取值范围．18．（12分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f （n）个小正方形．（Ⅰ）求出f（5）；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式．19．（12分）通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下的列联表：性别与看营养说明列联表单位：名（1）从这50名女生中按是否看营养说明采取分层抽样，抽取一个容量为10的样本，问样本中看与不看营养说明的女生各有多少名？（2）根据以上列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否看营养说明之间有关系？下面的临界值表供参考：（参考公式：，其中n=a+b+c+d）20．（12分）某种产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）求估计广告费支出700万元的销售额．21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，点A（2，）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过A作直线与椭圆交于另外一点B，求△AOB面积的最大值．22．（12分）已知函数f（x）=lnx（a≠0）．（I）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．2015-2016学年山西省朔州市怀仁一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）i是虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵复数z===2+i在复平面内对应的点为（2，1），而（2，1）在第一象限内，故选：A．2．（5分）下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y=sinx（x∈R ）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=sinx（x∈R ）是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①【解答】解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①y=sin x（x∈R ）是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y=sin x（x∈R ）是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③故选：B．3．（5分）某班共有30人，其中15人喜爱下象棋，10人喜爱下围棋，8人对这两项棋类都不喜爱，那么喜爱下围棋不喜爱下象棋的人数为（）A．12人B．7人 C．8人 D．9人【解答】解：根据题意得：（15+10）﹣（30﹣8）=25﹣22=3（人），∴喜爱下围棋也喜爱下象棋的人数为3人，则喜爱下围棋不喜爱下象棋的人数为10﹣3=7（人）．故选：B．4．（5分）为研究变量x和y的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程l1和l2，两人计算知相同，也相同，下列正确的是（）A．l1与l2一定重合B．l1与l2一定平行C．l1与l2相交于点（，）D．无法判断l1和l2是否相交【解答】解：∵两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，∴两组数据的样本中心点是（，）∵回归直线经过样本的中心点，∴l1和l2都过（，）．故选：C．5．（5分）直线l1：（a﹣1）x+y﹣1=0和l2：3x+ay+2=0垂直，则实数a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线l1：（a﹣1）x+y﹣1=0和l2：3x+ay+2=0垂直，∴3（a﹣1）+a=0，解得a=．故选：D．6．（5分）已知数据（x 1，y1）、（x2，y2）…（x10，y10）满足线性回归方程=x+，则“（x，y0）满足线性回归方程=x+”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵故样本中心点（x 0，y0）必满足线性回归方程，、反之，若（x0，y0）=（x1，y1）时，也满足线性回归方程，故反过来不成立．故选：B．7．（5分）如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（）A． B． C． D．【解答】解：观察已知的三个图象，每一次变化相当于“顺时针”旋转2个角，根据些规律观察四个答案，发现A符合要求．故选：A．8．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．当x→﹣∞时，y→+∞，排除B，当x→+∞时，x3＜3x﹣1，此时y→0，排除D，故选：C．9．（5分）设a，b，c∈（﹣∞，0），则a+，b+，c+（）A．都不大于﹣2 B．都不小于﹣2C．至少有一个不大于﹣2 D．至少有一个不小于﹣2【解答】解：假设a+，b+，c+都大于﹣2，即a+＞﹣2，b+＞﹣2，c+＞﹣2，将三式相加，得a++b++c+＞﹣6，又因为a，b，c∈（﹣∞，0），所以a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，三式相加，得a++b++c+≤﹣6，所以a++b++c+＞﹣6不成立．故选：C．10．（5分）给出下列四个命题：①因为（4+3i）﹣（2+3i）=2＞0，所以4+3i＞2+3i；②由•=•两边同除，可得；③数列1，4，7，10，…，3n+7的一个通项公式是a n=3n+7；④演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．其中正确命题的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：对于①，虚数不能比较大小，∴4+3i＞2+3i错误，∴命题①错误；对于②，向量的数量积运算中，消去律不成立，∴由•=•得错误，∴命题②错误；对于③，∵n=1时，a1=3×1+7=10，∴数列1，4，7，10，…，的通项公式不是a n=3n+7，∴命题③错误；对于④，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，∴命题④正确．综上，正确的命题是④．故选：A．11．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点与抛物线x2=4ay的焦点的连线平行于该双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点为（﹣c，0），抛物线x2=4ay 的焦点为（0，a），双曲线的渐近线方程为y=±x，由题意，，则e4﹣e2﹣2=0，∴e=．故选：B．12．（5分）设f（x）=x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上为单调递减函数，则实数a 的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，﹣3]C．（﹣∞，﹣3]∪[﹣，+∞）D．（﹣，]【解答】解：求导数可得：f′（x）=x2+2ax+5∵f（x）在[1，3]上为单调递减函数，∴f′（x）≤0，即x2+2ax+5≤0在[1，3]恒成立，∴a≤﹣在[1，3]恒成立，设g（x）=﹣，则g′（x）=，令g′（x）=0得：x=或x=﹣（舍去）∴当1≤x≤时，g′（x）≥0，当≤x≤3时，g′（x）≤0∴g（x）在（1，）上递增，在（，3）上递减，∵g（1）=﹣3 g（3）=﹣，∴最小值为g（1）=﹣3∴当f′（x）≤0时，a≤g（x）≤g（1）=﹣3∴a≤﹣3，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知：sin230°+sin290°+sin2150°=sin25°+sin265°+sin2125°=sin218°+sin278°+sin2138°=…通过观察上述等式的规律，写出一般性的命题：sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）=．【解答】解：由已知中：sin230°+sin290°+sin2150°=sin25°+sin265°+sin2125°=sin218°+sin278°+sin2138°=…归纳推理的一般性的命题为：sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）=．故答案为：sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）=14．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（﹣1，0）．【解答】解：画出函数f（x）的图象（红色曲线），如图示：，令y=k，由图象可以读出：﹣1＜k＜0时，y=k和f（x）有3个交点，即方程f（x）=k有三个不同的实根，故答案为：（﹣1，0）．15．（5分）下面的数组均由三个数组成，它们是：（1，2，3）、（2，4，6）、（3，8，11）、（4，16，20）、（5，32，37）、…、（a n，b n，c n），若数列{c n}的前n项和为M n，则M10=2101．【解答】解：由题意得，c n=a n+b n，∴M10=（a1+a2+…+a10）+（b1+b2+…+b10）=（1+2+...+10）+（2+4+ (210)=55+=2101，故答案为：2101．16．（5分）下列四个命题中：①；②；③设x，y都是正数，若，则x+y的最小值是12；④若|x﹣2|＜ε，|y﹣2|＜ε，则|x﹣y|＜2ε．其中所有真命题的序号是④．【解答】解：①如a，b异号，不成立，故错；②如sinx=0，则不成立，故错；③设x，y都是正数，若，则x+y=（x+y）（）=10+≥16，故x+y 的最小值是16；故错；④若|x﹣2|＜ε，|y﹣2|＜ε，则|x﹣y|≤|x﹣2|+|y﹣2|＜2ε，故|x﹣y|＜2ε正确．其中所有真命题的序号是④．故答案为：④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos（π﹣2x）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（sinx+cosx）2+cos（π﹣2x）=1+sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）+1∴函数f（x）的最小正周期为T==π，当2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z），即﹣+kπ≤x≤+kπ（k∈Z）时，函数单调增．∴f（x）的单调增区间是[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）．（Ⅱ）∵x∈[，]，∴≤2x﹣≤，﹣≤sin（2x﹣）≤1，∴0≤sin（2x﹣）+1≤+1，∴f（x）函数在区间[，]上的取值范围为[0，+1]．18．（12分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f （n）个小正方形．（Ⅰ）求出f（5）；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式．【解答】解：（Ⅰ）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，∴f（2）﹣f（1）=4=4×1．f（3）﹣f（2）=8=4×2，f（4）﹣f（3）=12=4×3，f（5）﹣f（4）=16=4×4∴f（5）=25+4×4=41．…（4分）（Ⅱ）由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）=4n．…（8分）∴f（2）﹣f（1）=4×1，f（3）﹣f（2）=4×2，f（4）﹣f（3）=4×3，…f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4•（n﹣2），f（n）﹣f（n﹣1）=4•（n﹣1）…（10分）∴f（n）﹣f（1）=4[1+2+…+（n﹣2）+（n﹣1）]=2（n﹣1）•n，∴f（n）=2n2﹣2n+1．…（12分）19．（12分）通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下的列联表：性别与看营养说明列联表单位：名（1）从这50名女生中按是否看营养说明采取分层抽样，抽取一个容量为10的样本，问样本中看与不看营养说明的女生各有多少名？（2）根据以上列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否看营养说明之间有关系？下面的临界值表供参考：（参考公式：，其中n=a+b+c+d）【解答】解：（1）根据分层抽样可得：样本中看营养说明的女生有名，样本中不看营养说明的女生有名；（2）假设H0：该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关，则K2应该很小．根据题中的列联表得由P（K2≥6.635）=0.010可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否看营养说明之间有关系．20．（12分）某种产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）求估计广告费支出700万元的销售额．【解答】解：（1）由已知：，，，可得，．所求的回归直线方程是．（2）由（1）可知：回归直线方程是．又700万元=7百万元即x=7时，（百万元）答：广告费支出700万元销售额大约是6300万元．21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，点A（2，）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过A作直线与椭圆交于另外一点B，求△AOB面积的最大值．【解答】解：（1）有已知：c=2，∴a=，b2=4，故椭圆方程为；（2）当AB斜率不存在时：，当AB斜率存在时：设其方程为：，由得，由已知：△=16﹣8（2k2+1）=8，即：，|AB|=•，O到直线AB的距离：d=，==，∴S△AOB∴2k2+1∈[1，2）∪（2，+∞），∴，∴此时，综上所求：当AB斜率不存在或斜率存在时：△AOB面积取最大值为．22．（12分）已知函数f（x）=lnx（a≠0）．（I）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），（1）当a＜0时，在（0，﹣2a）上f'（x）＜0，在（﹣2a，+∞）上f'（x）＞0．因此，f（x）在（0，﹣2a）上递减，在（﹣2a，+∞）上递增．（2）当a＞0时，在（0，a）上f'（x）＜0，在（a，+∞）上f'（x）＞0．因此，f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增．（II）由（I）知：a＜0时，由f（x）＞0得：，当a＞0时，由f（x）＞0得：综上得：．。
山西省怀仁县第一中学2015-2016学年高二下学期第一次月考数学(理)试题Word版含答案
怀仁一中2015-2016学年第二学期高二年级月考一理科数学试题一、选择题(每小题5分,共60分)1.设,αβ是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂，“//m β”是“//αβ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2.若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为（ ） A ．-2 B ．-3 C ．2 D ．33.设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ）A ．2214y x -= B ．2214x y -= C ．2212y x -= D ．2212x y -= 5.已知抛物线22(0)y p p ω=>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)6.已知函数()ln ,(0,)f x a x x =∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若(1)3f '=，则a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+8.已知,A B 是球O 的球面上两点，090AOB ∠=，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π9.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(,0)F c -作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点,P O 为原点，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为（ ）A ．12+BC ．27D 10.若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．B ．l 与1l ，2l 都不相交11.已知1,,AB AC AB AC t t⊥==，若P 点是ABC ∆所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC =+，则PB PC 的最大值等于（ ）A ．13B ．15C ．19D ．2112.如图，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,126ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该双曲线离心率e 的取值范围为（ ）A ．B ．+C ．D ．+ 二、填空题（每题5分，共20分）13.已知矩形ABCD 中3,AB BC a ==，若PA ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE DE ⊥，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是_________．14.若曲线ln y x x =上点P 处的切线平行于直线210x y -+=，则点P 的坐标是_________．15.当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________．16.设12,F F 分别是椭圆222:1(01)y E x b b +=<<的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若1123,AF F B AF x =⊥轴，则椭圆E 的方程为________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.）17.（10分）已知0a >，且1a ≠．设:p 函数log (1)a y x =+在区间(0,)+∞内单调递减；:q 曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，如果“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．18.（12分）已知点(2,2)P ，圆22:80C x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为,M O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；（2）当OP OM =时，求l 的方程及POM ∆的面积．19.（12分）如图，已知1AA ⊥平面1111,//,3,ABC BB AA AB AC BC AA BB ====点,E F 分别是1,BC A C 的中点．（1）求证：//EF 平面11A B BA ；（2）求证：平面1AEA ⊥平面1BCB ；（3）求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小．20.（12分）如图，抛物线21:2C y px =与椭圆222:11612x y C +=在第一角限的交点为B ，O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，OAB ∆．（1）求抛物线1C 的方程；（2）过A 点作直线L 交1C 于C 、D 两点，求OCD ∆面积的最小值．21.（12分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF ∆为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，0//,4,2,60EF BC BC EF a EBC FCB ==∠=∠=,O 为EF 的中点．（1）求证：AO BE ⊥；（2）求二面角F AE B --的余弦值；（3）若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．22.（12分）已知椭圆22:33C x y +=，过点(1,0)D 且不过点(2,1)E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若AB 垂直于X 轴，求直线BM 的斜率；（3）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．参考答案一、选择题（1-12）BDCAB BDCAA AB二、填空题（每小题5分）13 ．6a > 14．(,)e e 15．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．22312x y += 三、解答题17． 解：当01a <<时，函数log (1)a y x =+在(0,)+∞内单调递减；当1a >时，log (1)a y x =+在(0,)+∞不是单调递减．曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同两点等价于2(23)40a -->，即12a <或52a >．（2）若P 不正确，且Q 正确，即函数log (1)a y x =+在(0,)+∞内不是单调递减，曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同两点，此时5(,)2a ∈+∞． 综上所述，a 的取值范围是15,1,22⎡⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭． 18． 解：（1）圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=，所以圆心为(0,4)C ，半径为4．设(,)M x y ，则(,4),(2,2)CM x y MP x y =-=--．由题设知0CM MP =，故(2)(4)(2)0x x y y -+--=，即22(1)(3)2x y -+-=． 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是22(1)(3)2x y -+-=．（2）由（1）可知M 的轨迹是以点(1,3)N 为半径的圆．由于OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON PM ⊥． 因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为13-， 故l 的方程为1833y x =-+．又OM OP ==O 到直线l，故PM =POM ∆的面积为165． 19．解：（1）证明：如图，连接1A B ，在1A BC ∆中，因为E 和F 分别是1,BC A C 的中点，所以1//EF BA ，又因为EF ⊄平面11A B BA ，所以//EF 平面11A B BA ．（2）要证明 平面1AEA ⊥平面1BCB ，可证明1,AE BC BB AE ⊥⊥；因为,AB AC E =为BC 中点，所以AE BC ⊥，因为1AA ⊥平面ABC ，11//BB AA 所以1BB ⊥平面ABC ，从而1BB AE ⊥，又1BC BB B =，所以AE ⊥平面1BCB ，又因为AE ⊂平面1AEA ，所以平面1AEA ⊥平面1BCB ．（3）取1B C 中点N ，连接1A N ，则11A B N ∠就是直线11A B 与平面1BCB 所成角，11Rt A NB ∆中，由11111sin 2A N AB N A B ∠==，得直线11A B 与平面1BCB 所成角为30°．20．解：（1）因为OAB ∆，所以B y =4(3B ，抛物线的方程是：28y x =．（2）直线CD斜率不存在时，OCD S ∆=；直线CD 斜率存在时，设直线CD 方程为(4)y k x =-，带入抛物线，得28320ky y k --=，1212OCD S OA y y ∆=-=，综上OCD S ∆最小值为． 21．（1）由于平面AEF ⊥平面EFCB ，AEF ∆为等边三角形，O 为EF 的中点，则AO EF ⊥，根据面面垂直性质定理，所以AO ⊥平面EFCB ，又BE ⊂平面EFCB ，则AO BE ⊥．（2）取CB 的中点D ，连接OD ，以O 为原点，分别以OE OD OA 、、为x y z 、、轴建立空间直角坐标系，),(,0,0),(2,,0),(,0,3),(2,,0)A E a B AE a a EB a =-=-，由于平面AEF 与y 轴垂直，则设平面AEF 的法向量为1(0,1,0)n =，设平面AEB 的法向量222(,,1),,30,3,,(2))0,1n x y n AE ax a x n EB a x y y =⊥-==⊥-+==-，则2(3,1,1)n =-，二面角F AE B --的余弦值121212cos ,55n n n n n n ===-，由二面角F AE B --为钝二面角，所以二面角F AE B --的斜弦值为5-． （3）有（1）知AO ⊥平面EFCB ，则AO BE ⊥，若BE ⊥平面AOC ，只需BE OC ⊥，(2,,0)EB a =-，又(2,,0)OC =-，22(2)3)0BE OC a a =--+=，解得2a =或43a =，由于2a <，则43a =． 22．（1）椭圆C 的标准方程为2213x y +=，所以1,a b c === 所以椭圆C 的离心率c e a ==． （2）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设11(1,),(1,)A y B y -．直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=-- ． 令3x =，得1(3,2)M y -．所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-． （3）直线BM 与直线DE 平行，证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由（2）可知1BM k =．又因为直线DE 的斜率10121BE k -==-，所以//BM DE ． 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠ ． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--， 令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--， 由2233(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(13)6330k x k x k +-+-=． 所以22121222633,1313k k x x x x k k -+==++． 直线BM 的斜率11212323BM y x y x k x +---=-， 因为11112121(1)3(1)(2)(3)(2)1(3)(2)BM k x x k x x x x k x x -+--------=--， 121221222221(1)(2()3)(3)(2)3312(1)313130(3)(2)k x x x x x x k k k k k x x --++-=--⎡⎤-+-+-⎢⎥++⎣⎦==-- 所以1BM DE k k ==，所以//BM DE ，综上可知，直线BM 与直线DE 平行．。
2018-2019学年山西省怀仁一中高二下学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
山西省怀仁一中2018—2019学年第二学期高二年级期末考试数学（文）试题一、选择题（每小题5分，共60分。
）1. 已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤2}，则(∁R P )∩Q 等于( )A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2]2 定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2) 3 若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |等于( )A ．22＋ 3B ．2 3C ．4D ．124 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A ．8B ．10C ．12D ．145 一个样本数据从小到大的顺序排列为50,30,28,23,,20,15,12x ，其中，中位数为22，则=x （） A.21 B.15 C.22 D.356 已知某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3(6题图)（7题图）7 如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( ) A ．34 B ．55 C ．78 D ．898 已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α2等于( )A.63 B ．－33 C.33 D ．－639 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( ) A ．关于直线x ＝π12对称 B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称 10 已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2 11， 已知点，抛物线的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若，则p 的值等于（ ）A ．B ．C ．2D ． 412 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是( ) A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－2,0)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0,2)二 填空题（每题5分，共20分。