高三数学9种常用三角恒等变换技巧总结教案资料
三角恒等变换教案(共2)
通过多媒体展示典型例题和解题过程 ，引导学生掌握解题方法和技巧，提 高学生的解题能力。
05
学生活动设计
小组讨论和合作
03
分组
将学生分成若干小组，每组4-5人，方便 学生之间交流和讨论。
讨论内容
合作任务
让学生探讨三角恒等变换的定义、性质和 应用，引导学生思考三角恒等变换在解决 实际问题中的意义。
作业完成及时，准确率高，能够体现对知识点的掌握 程度。
作业中的错误能够及时订正，并加强对相关知识点的 复习。
期末考试成绩评价
考试成绩优异，能够熟练掌握三角恒等变换的相关知识点。
在考试中能够灵活运用所学知识解决问题，展现出良好的思维能力和创 新能力。
对于考试中的错误能够认真反思，找出自己的不足之处，并制定有效的 复习计划。
三角恒等变换教案(共2)
目录
• 教学目标与要求 • 教学内容与步骤 • 教学重点与难点 • 教学方法与手段 • 学生活动设计 • 教学评价与反馈 • 教学反思与改进
01
教学目标与要求
知识与技能目标
掌握三角恒等变换的基本公式和推导方法，能够熟练地 进行三角函数的化简和求值。
理解三角恒等变换在解决三角函数问题中的应用，能够 运用所学知识解决相关问题。
07
教学反思与改进
对本次教学的反思
本次教学中，整体教学效果良好，学生们能够较好地掌握三角恒等变换的基本概念和公式。
通过课堂练习和课后作业的反馈，发现学生们在运用三角恒等变换解决实际问题时还存在一 定的困难，需要进一步加强训练和指导。
部分学生在记忆和理解三角恒等变换公式时存在困难，需要采取更有效的教学方法和手段来 帮助他们掌握。
三角恒等变换 高中数学获奖教案
5.5.2三角恒等变换（第2课时）(人教A 版普通高中教科书数学必修第一册第五章)一、教学目标1. 会将形如的函数转化成形式，并能用来解决周期、最值等问题；2. 可以使用三角函数解决简单的应用问题． 二、教学重难点1. 理解归纳辅助角公式中的推导过程及相关辅助角的理解；2. 尝试以角为自变量建立函数模型求解问题． 三、教学过程 1.问题引入 学习了两角和(差)公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，三角恒等变换不仅能解决倍角问题还能解决三角函数升降幂的问题，同时三角恒等变换在化简三角函数式中的也有着重要的作用,．那请大家思考以下问题：问题1：若已知，你能求函数的周期，最大值和最小值吗？ 【活动预设】给学生留出时间，让学生思考问题，教师暂不给出提示．追问1：观察例题中两个函数式，如果研究它们的周期和最大、最小值，要将函数式转化为的形式才可以使用正弦函数的性质去判断，那我们要如何利用三角函数公式进行变换呢？你能说出理由吗？【活动预设】教师提出问题，激发学生的求知欲，引导学生能够积极思考并尝试回答． 【设计意图】引导学生思考问题，发现学习辅助角公式的必要，从而产生学习辅助角公式的需求，顺利引入新课．2.例题探究例1.求下列函数的周期，最大值和最小值：=sin cos y a x b x +=sin y A x ωϕ+()=sin y A x ωϕ+()=cos y x x +=sin y A x ωϕ+()（1）； （2）．【活动预设】根据问题2的思考学生自主解决例1（1），教师引导学生能够积极思考并尝试回答例1（2）．问题2：在第（2）问的式子中提取何值可以使其构成正弦的和差公式呢？如果提取后两项系数不是三角函数特殊值怎么办呢？（2）设，则 ． 于是 ，， 于是 ， 所以 ．取A =5， 则 ，其中，， 即 ．因此，所求周期为，最大值为5，最小值为-5．【活动预设】学生思考后尝试分析回答，教师适当引导（1）式中可利用正弦的和角公式，所以要将函数式提取一个常数，使两项的系数可分别写为同一个角的余弦值和正弦值，这样就配凑成两角和的正弦公式，逆用公式即可写为的形式．（2）式中，由于，因此提取后要将两项的系数构成平方和是1的形式才能分别看成同一个角．=sin y x x +=3sin 4cos y x x +3sin 4cos =sin x x A x ϕ++（）3sin 4cos =sin cos cos sin x x A x A x ϕϕ++cos =3A ϕsin =4A ϕ2222cos +sin =25A A ϕϕ2=25A 34=5sin cos 55y x x +()=5sin cos cos sin x x ϕϕ+()=5sin x ϕ+()3cos =5ϕ4sin =5ϕ4tan =3ϕ2π=sin y A x ωϕ+()22sin cos =1αα+=5【设计意图】师生一起探究变形的过程，使学生明确公式的来龙去脉，从具体问题入手方便学生理解，为后面的辅助角公式的一般性推导打下基础．追问2：你能归纳一下怎样将转化为的形式吗？ 【活动预设】学生独立尝试，教师适当引导，最后归纳得出结果： ，其中． 【设计意图】本例是三角恒等变换在数学应用中的举例，归纳得到一般情况，我们称它为辅助角公式，它使得三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．追问3：类似的，是否可以写成余弦形式呢？ 【活动预设】教师引导学生得到结论 ，其中． 【设计意图】对于辅助角公式的余弦表示形式也给出推导过程，拓宽学生的思路，提升逻辑推理的数学素养．sin cos a xb x +sin Ax ωϕ+()sin cos a x b x +=x x +）=x ϕ+（）tan =b aϕ=sin y A x ωϕ+()sin cos a x b x +=x x +）=cos cos sin sin x x ϕϕ+）=x ϕ-（）tan =abϕ 例2如图5.5-2，已知OPQ 是半径为1，圆心角为的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记，求当角取何值时，矩形ABCD 面积最大？并求出这个最大面积．问题3：认真审题后思考，我们解题的思路是怎样的？需要使用什么数学知识与方法来解决问题？ 分析：可先建立矩形ABCD 的面积S 与之间的函数关系，再求函数的最大值．解：在中，，． 在中，． 所以 ， ． 设矩形ABCD 的面积为S，则π3=POC α∠αα=S f α()=S f α()RtOBC △=cos OB α=sin BC αRt OAD △=tan 60=DAOA︒===OABC α==cos AB OB OA αα--=S AB BC ⋅=cos sin ααα()2=sin cos ααα- 由，得，所以当，即时， ． 因此，当时，矩形ABCD【活动预设】找S 与之间的函数关系可以让学生自己尝试解决，教师启发引导，适时点拨．之后提醒学生，自变量的取值范围是，则的范围是，因此当，即时，，其中是将看成一个整体，利用正弦函数的图象性质求函数的最大值，蕴含了换元思想．【设计意图】由以上两道例题可以看出，通过三角恒等变换，我们把转化为的形式，这个过程中蕴含了化归思想．追问4：引申思考，本题可以去掉“”，结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，该如何解题？【活动预设】学生尝试解决，教师点拨提示，这时对自变量可多种选择，如设，则，尽管对所得函数暂时还无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，使学生感受到以角为自变量解决问题的优点．【设计意图】教师点拨，学生动手，增强学生解题的能力，提升数学运算素养．3.初步应用求下列函数的周期，最大值和最小值．1=sin 21cos22αα-)1=sin 22αα+-1=2cos22αα+）π=26α+-（π0<<3αππ5π<2<666α+ππ2=62α+π=6α==S 最大π=6αααπ0 3（，）π26α+π5π66（，ππ2=62α+π=6αS π26α+=sin cos y a x b x +=sin y A x ωϕ+()=POC α∠=AD x =S x x )（1）； （2） 【预设的答案】（1）解：（方法一） ，其中，，即 ． 因此，所求周期为，最大值为13，最小值为-13． （方法二）， 其中，，即 ． 因此，所求周期为，最大值为13，最小值为-13． （2）解：，其中，．因此，所求周期为，最小值为． 【活动预设】学生独立完成，教师对过程进行分析评价，并鼓励学生选择不同的三角恒等变换公式进行一题多解． 【设计意图】对三角公式的应用进行练习巩固，并用一题多解发散思维，提高分析和运算能力．4归纳小结教师引导学生回顾本节课的学习内容，并思考回答下面的问题：把形如的三角函数式转化为一个角的一个三角函数的形式，进而求解周期与最值问题．大家思考在这其中都使用了哪些数学思想方法呢？=5cos 12sin y x x -=cos +2sin y x x 512=13cos sin 1313y x x -()=13sin cos cos sin x x ϕϕ-()=13sin x ϕ-()=13sin x ϕ--()5sin =13ϕ12cos =13ϕ5tan =12ϕ2π512=13cos sin 1313y x x -()=13cos cos sin sin x x ϕϕ-()=13cos x ϕ+()5cos =13ϕ12sin =13ϕ12tan =5ϕ2π=y x x +)=cos cos sin sin x x ϕϕ+)=x ϕ-()cos =ϕsin =ϕtan =2ϕ2π=sin cos y a x b x +【活动预设】教师引导学生归纳：1．三角变换要考虑包含的角的不同、三角函数的种类差异，三角函数式的结构差异等多个因素，因此在三角恒等变换的过程中应注意对三角函数式的结构进行分析，根据结构特点选择合适的公式，进行恒等变形．还要思考一题多解、一解多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，逆用公式等；2．在使用辅助角公式时要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．【设计意图】回顾本节课例题中展现的思维过程，以及主要体现的数学思想方法，在总结中调动学生积极性，锻炼学生归纳总结及语言表达能力．四、课外作业教材第229页，习题5.5第11，12题．。
三角恒等变换教案
三角恒等变换教案教案标题：三角恒等变换教案教案概述：本教案针对高中数学课程中的三角函数学习内容，以“三角恒等变换”为主题。
通过引导学生理解三角恒等变换的定义、性质和运用方法，培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力，提高他们解决实际问题的能力。
教案目标：1. 了解三角恒等变换的概念和性质；2. 能够正确运用三角恒等变换的方法和技巧进行数学推导和证明；3. 培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
教案重点：1. 三角恒等变换的定义和性质；2. 学生针对具体问题，灵活运用三角恒等变换进行推导和证明。
教案难点：学生对三角恒等变换的抽象性理解以及如何熟练运用于解决问题。
教学准备：1. 教师准备幻灯片、黑板、白板等教学工具；2. 学生准备笔记本、教材等学习工具。
教学过程：步骤一：导入1. 引入数学公式和恒等式的概念，向学生介绍三角恒等变换是一类特殊的恒等变换。
2. 通过具体的示例和问题，引发学生对三角函数之间关系的思考。
步骤二：讲解1. 结合幻灯片或黑板，向学生逐步展示三角恒等变换的基本定义和性质。
2. 通过示例演算和详细讲解，帮助学生理解三角恒等变换的运用方法和技巧。
步骤三：练习1. 发放练习题，让学生运用所学的三角恒等变换方法解决具体问题。
2. 在学生独立完成后，进行试卷讲解，鼓励学生积极参与并解答问题。
步骤四：拓展1. 提出更加复杂的问题，引导学生运用三角恒等变换解决实际问题。
2. 引导学生思考三角恒等变换的实际应用，例如在工程、物理等领域中的具体运用。
步骤五：总结1. 对三角恒等变换内容进行小结，强调重要概念和方法。
2. 提醒学生在复习中注意三角恒等变换的细节，以及如何灵活运用于解决问题。
教学辅助：1. 幻灯片或黑板白板；2. 教材和练习题。
教学延伸：1. 将三角恒等变换与其他数学知识进行整合，拓展学生的数学思维；2. 引导学生自主探究和发现更多三角恒等变换的性质和应用场景；3. 带领学生进行相关的作业和实践项目，综合运用所学的知识。
简单的三角恒等变换课件-2025届高三数学一轮复习
所以矩形ＡＢＣＤ面积的最大值为８－４√３．
则
［溯源点评］两题的区别在于扇形内接矩 ＡＢＣＤ方式不同，考虑该问是否能转化为更简单、熟悉来解决．根据图对称性作∠ＰＯＱ平分线别交ＡＤ，ＢＣ于点ＦＥ从而使整个问题又回到教材中的．
谢观赏！
Ｃ
Ａ Ｄ． ５＋３
ＢＣ＝５－１ Ｂ
金三角形．如图，在黄△ＡＢＣ中
ｃ．５＋４
Ａ．２×５－１Ｂ．＋
又因为ｃｏｓ２３６°＋ｉｎ＝１，
【解析】选Ｂ．由题设，可得ｃｏｓ ７２°＝１－ｉｎ３６Ｖ５所以ｃｏｓ２３６°＝１５＋，又 ∈（Ｓ所以ｃｏｓ ３６°＝（９０－５４）ｉｎ１＋
４
３．已知ａ，β∈（０π）且ｔｎ－＝ 则２α的值为【解析】因为ｔａｎ ＝［（－β）＋］ｍａ－＋ 所以ａｍ （２０－Ｂ＋ｔ＝１．＞０， 又因为ａｎ２＝－ｍ１３＞０，所以Ｏ＜ａ２ 所以０＜２α 因为ｔａｎ β＝－＜０，所以＂＜βπ，－２ａ０．所以２ａ－β＝３４
－ｓｉｎ２ａ＋６ ｃｏ＝１）（３ 因此，当α＝＂时矩形ＡＢＣＤ的面积最大为【解析】在Ｒｔ△ＯＢＣ中，＝ｃｏｓ ａｉｎ．
０Ａ＝ｔａｎ ＂＝√３．
在Ｒｔ△ＯＡＤ中，
ＯＡ＝Ｄ３Ｂｃｓｉｎａ，
ＡＢ＝Ｏ－ｃｏｓ αｉｎａ．
所以当２ａ＋６＝，即α时 最大＝１６－
三角恒等变换中的最值问题
矩形ＡＢＣＤ内接于扇，∠ＰＯ＝ａ
４．（忽视隐含条件）已知２ｓｉｎ α＝１＋ｃｏａ，则Ｂ．２Ｄ．２ ｔａｎ２＝１ｓｃｏａ＝
Ａ．２ Ｃ．２或不存在 α≠ｋπ＋（∈Ｚ）时，
核心考点·分类突破
［例１］（）函数ｆｘ＝ｓｉｎ２＋√３ ｃｏ－可以化简为Ｂ．ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ－＂）Ｄ．ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ＋＂）
考点一三角函数式的化简 Ａ．ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ－３）Ｃ．ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ＋３）【解析】选Ｂ．ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２＋√３ ｃｏ １－ｃ２ｓｘ＋ｉｎ ＝ ｓｉｎ２ｘ－１ｃｏ（５）
三角恒等式证明9种基本技巧
三角恒等式证明9种基本技巧三角恒等式证明9种基本技巧三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。
根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。
1．化角观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。
例1求证：tan23x - tan 21x =xx x 2cos cos sin 2+ 思路分析：本题的关键是角度关系：x=23x -21x ，可作以下证明：2．化函数三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。
例2 设A B A tan )tan(-+AC22sin sin =1，求证：tanA 、tanC 、tanB 顺次成等比数列。
思路分析：欲证tan 2C = tanA ·tanB ，将条件中的弦化切是关键。
3．化幂应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。
例3求证cos4α-4cos2α+3=8sin 4α 思路分析：应用降幂公式，从右证到左：4．化常数将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。
如1=sin 2α+cos 2α=sec 2α-tan 2α=csc 2α-cot 2α=tan αcot α=sin αcsc α=cos αsec α，1=tan450=sin900=cos00等等。
如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。
例4 求证αααα22sin cos cos sin 21--=ααtan 1tan 1+- 思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2α+cos 2α”代替，问题便迎刃而解。
三角恒等变换“九法”
㊀㊀㊀三角恒等变换 九法◉甘肃省武威市凉州区武威第七中学㊀张天龙㊀㊀摘要:三角公式众多,方法灵活多变,如果能够熟练地掌握三角恒等变换的方法和技巧,不但能够增强对三角公式的记忆,加深对诸多公式内在联系的理解,更重要的是,能够培养和发展学生的逻辑思维能力,最终提高综合运用数学知识的能力．关键词:切化弦;化角;变通公式;升幂降次;平方消元;万能置换㊀㊀１引言三角恒等变换不但在三角函数式的化简㊁求值和证明三角恒等式中经常用到,而且由于通过三角换元可以将某些代数问题化归为三角问题来解决;立体几何中的许多位置关系以其夹角来刻画,最后又以三角问题的形式反映出来;由于参数方程的建立,又可将解析几何中的曲线问题归结为三角问题来解决[１]．因此,三角恒等变换在整个高中数学中的应用十分广泛,是最常用的解题 工具 之一．下面结合典型例题详解三角恒等变换常用的九种方法与技巧．２九法详解２．１切化弦法切化弦法就是把三角函数中的正切㊁余切㊁正割㊁余割都转化为正弦和余弦,统一三角函数的名称,体现的是 归一 的思想,是为了找到有利于解决问题或发现解题的便捷途径．例１㊀已知θ同时满足a s e c ２θ－b c o s θ＝２a 和b c o s ２θ－a s e c θ＝２b ,且a ,b 均不为零,试求a ,b 的关系．解:由㊀㊀㊀a s e c ２θ－b c o s θ＝２a ㊀㊀㊀㊀㊀①b c o s ２θ－a s e c θ＝２b ②{显然c o s θʂ０．由①ˑc o s ２θ＋②ˑc o s θ,得２a c o s ２θ＋２b c o s θ＝０,即a c o s θ＋b ＝０．又因为a ʂ０,所以c o s θ＝－b a．代入①式得a －a b æèçöø÷２－b －b a æèçöø÷＝２a ,即a ３b ２＋b ２a＝２a ,得a ４＋b ４＝２a ２b ２⇔(a ２－b２)２＝０．所以a ２＝b ２⇔a ＝b ．分析:本题运用切割化弦的目的,是通过变换函数的名称来减少函数的种类(把原有的四种三角函数减少到两种)．其中正割与余弦㊁余割与正弦之间的倒数关系是化弦的通径．２．２变角法变角法就是异角化同角．在三角恒等变换中,变角的方法应用十分广泛,而且也非常灵活[２],例如α可变为(α＋β)－β;２α可变为(α＋β)＋(α－β);２α－β可变为(α－β)＋α;α可看作α２的倍角;(４５ʎʃα)可看作(９０ʎʃ２α)的半角等等．例２㊀已知０＜β＜π４,π４＜α＜３π４,c o s π４－αæèçöø÷＝３５,s i n ３π４＋βæèçöø÷＝５１３．试求s i n (α＋β)．解:因为３π４＋βæèçöø÷－π４－αæèçöø÷＝π２＋(α＋β),所以s i n (α＋β)＝－c o s π２＋(α＋β)éëêêùûúú＝－c o s ３π４＋βæèçöø÷－π４－αæèçöø÷éëêêùûúú＝－c o s ３π４＋βæèçöø÷c o s π４－αæèçöø÷－s i n ３π４＋βæèçöø÷ˑs i n π４－αæèçöø÷,因为π４＜α＜３π４,所以－π２＜π４－α＜０．根据c o s π４－αæèçöø÷＝３５,可知s i n π４－αæèçöø÷＝－４５．７７２０２２年４月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀又因为０＜β＜π４,所以３π４＜３π４＋β＜π．根据s i n３π４＋βæèçöø÷＝５１３,可知c o s３π４＋βæèçöø÷＝－１２１３．所以s i n(α＋β)＝－－１２１３æèçöø÷ˑ３５－５１３ˑ－４５æèçöø÷＝５６６５．分析:变角的目的,是为了沟通题设条件与结论中所涉及的角,最常用的方法是 配凑 ．分析已知角与待求式之间的关系,便于选择拆变角的 配凑 方式,是本题的出发点,也是异角化同角技巧运用的关键．２．３ １ 的变形法在三角函数中, １ 可以变换为s i n２x＋c o s２x;s e c２x－t a n２x;c s c２x－c o t２x;t a n xˑc o t x;s e c xˑc o s x;c s c xˑs i n x;t a nπ４;s i nπ２;c o s０等等[３],根据解题的需要,适时地将 １ 作某种变形,常常能找到简捷的解题方法．例３㊀(１)化简:１－s i n６x－c o s６x１－s i n４x－c o s４x;(２)求证:t a nα＋s e cα－１t a nα－s e cα＋１＝１＋s i n ac o s a．解:(１)原式＝s i n２x＋c o s２x()３－s i n６x－c o s６xs i n２x＋c o s２x()２－s i n４x－c o s４x＝３s i n４x c o s２x＋３s i n２x c o s４x２s i n２x c o s２x＝３s i n２x c o s２x s i n２x＋c o s２x()２s i n２x c o s２x＝３２．(２)证明:t a nα＋s e cα－１t a nα－s e cα＋１＝t a nα＋s e cα－(s e c２α－t a n２α)t a nα－s e cα＋１＝(t a nα＋s e cα)－(s e cα＋t a nα)(s e cα－t a nα)t a nα－s e cα＋１＝(t a nα＋s e cα)(１－s e cα＋t a nα)t a nα－s e cα＋１＝t a nα＋s e cα＝１＋s i nαc o sα．分析:本题充分展现了对 １＝s i n２x＋c o s２x 的正用㊁逆用㊁变通等使用技巧,使原本繁琐的化简和证明过程变得轻松简便．２．４变通公式法对教材中出现的一些三角公式,可以做些变通,例如由s i n２α＝２s i nαc o sα可变通为c o sα＝s i n２α２s i nα或s i nα＝s i n２α２c o sα;由t a n(αʃβ)＝t a nαʃt a nβ１∓t a nαt a nβ可变通为t a nαʃt a nβ＝t a n(αʃβ)(１∓t a nαt a nβ)．这样能够帮我们开拓解题的思路．例４㊀求证:t a n８０ʎ－t a n２０ʎ－３＝３t a n８０ʎt a n２０ʎ证明:t a n８０ʎ－t a n２０ʎ＝t a n８０ʎ－２０ʎ()１＋t a n８０ʎt a n２０ʎ()＝t a n６０ʎ１＋t a n８０ʎt a n２０ʎ()＝３１＋t a n８０ʎt a n２０ʎ()所以t a n８０ʎ－t a n２０ʎ－３＝３t a n８０ʎt a n２０ʎ．分析:由于本题的三角函数式中同时出现了t a nαʃt a nβ与t a nαt a nβ,所以运用变通公式t a nαʃt a nβ＝t a n(αʃβ)(１∓t a nαt a nβ)显得非常简捷．２．５升幂降次法利用余弦的倍角公式可知c o s２α２＝１＋c o sα２,s i n２α２＝１－c o sα２,这样可以用角的倍㊁半公式来升幂(从右到左)和降次(从左到右)．例５㊀解三角方程:s i n２x＋s i n２２x＝s i n２３x．解:原方程变形为１２(１－c o s２x)＋１２(１－c o s４x)＝１２(１－c o s６x),即１＋c o s６x＝c o s２x＋c o s４x,２c o s２３x＝２c o s３x c o s x,c o s３x(c o s３x－c o s x)＝０,得c o s３xˑs i n２x s i n x＝０,解得:x＝１３kπ＋π６,或x＝１２kπ(kɪZ)．故原方程的解集为x|x＝１３kπ＋π６,或x＝１２kπ(kɪZ){}．分析:本题先采用降幂,后又用到升幂,这种升幂与降次交错使用的方法在解方程的过程中时有出现,目的是便于提取公因式．２．６平方消元法灵活运用公式,例如s i n２α＋c o s２α＝１,s e c２α－t a n２α＝１或(s i nα＋c o sα)２＋(s i nα－c o sα)２＝２可以消去某一变元,使求解过程变得简单㊁简捷．例６㊀已知s i nθ,s i nα,c o sθ成等差数列,s i nθ,s i nβ,c o sθ成等比数列．求证:２c o s２α＝c o s２β．证明:因为s i nθ,s i nα,co sθ成等差数列,所以２s i nα＝s i nθ＋c o sθ,两边平方得８７复习备考解法探究㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年４月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀４s i n ２α＝１＋２s i n θc o s θ①又因为s i n θ,s i n β,c o s θ成等比数列,所以s i n ２β＝s i n θˑc o s θ②①－２ˑ②式得:４s i n ２α－２s i n ２β＝１．即２(１－c o s ２α)－(１－c o s ２β)＝１．所以２c o s ２α＝c o s ２β．分析:本题灵活运用了三角公式,利用平方消去交叉项达到了消元的目的．２．７添裂项法在三角变换中,有时应用添项裂项的方法,常常能够快捷地解决问题．例７㊀求证:s i n ２x(s i n x ＋c o s x －１)(s i n x －c o s x ＋１)＝１＋c o s xs i n x．证明:左边＝(s i n x ＋c o s x )２－１(s i n x ＋c o s x －１)(s i n x －c o s x ＋１)＝(s i n x ＋c o s x ＋１)(s i n x ＋c o s x －１)(s i n x ＋c o s x －１)(s i n x －c o s x ＋１)＝(s i n x ＋c o s x ＋１)(s i n x －c o s x ＋１)ˑs i n x s i n x ＝１－c o s ２x ()＋s i n x (１＋c o s x )(s i n x －c o s x ＋１)s i n x＝(１＋c o s x )(１－c o s x ＋s i n x )(s i n x －c o s x ＋１)s i n x ＝１＋c o s x s i n x＝右边．分析:本题中采用了 加一项再减去这一项 乘一项再除以同一项 的技巧,使分解因式㊁约分化简的过程显得非常流畅简捷．２．８引入辅助角法当a ,b 均不为零时,利用a s i n x ＋b c o s x ＝a ２＋b ２s i n (x ＋φ)(其中φ为辅助角,且满足c o s φ＝aa ２＋b ２,s i n φ＝b a ２＋b２)来作变换也是一种常用的方法．例８㊀求y ＝５c o s ２x －６s i n ２x ＋２０s i n x －３０c o s x＋７的最大值与最小值．解:y ＝９c o s ２x －１２s i n x c o s x ＋４s i n ２x ()＋２０s i n x －３０c o s x ＋３＝(２s i n x －３c o s x ＋５)２－２２＝[１３s i n (x －φ)＋５]２－２２,其中φ＝a r c c o t ３２．当s i n (x －φ)＝１时,y m a x ＝(１３＋５)２－２２＝１６＋１０１３;当s i n (x －φ)＝－１时,y m i n ＝(５－１３)２－２２＝１６－１０１３．分析:本题在求三角函数的极值时巧妙地引入了辅助角,并利用三角函数的有界性顺利求解．２．９万能置换法由于万能公式可以用t a nx２来表达六个三角函数,因此我们可以用它作为 基本量 把一个含有多种三角函数的运算式化为只含有一个三角函数的运算式,从而使求解过程变得简化㊁简捷．例９㊀化简:１＋３t a n x ２c o s ２x ＋s i n ２x －１－３＋５t a n xc o s ２x －４s i n ２x －４．解:令t a n x ＝t ,根据万能公式,有原式＝１＋３t ２ˑ１－t ２１＋t ２＋２t １＋t ２－１－３＋５t１－t ２１＋t ２－４ˑ２t １＋t２－４＝(１＋３t )１＋t ２()１＋２t －３t ２＋(３＋５t )１＋t ２()５t ２＋８t ＋３＝(１＋３t )１＋t ２()(１＋３t )(１－t )＋(３＋５t )１＋t ２()(t ＋１)(５t ＋３)＝１＋t ２１－t ＋１＋t ２１＋t ＝２１＋t２()１－t２．所以原式＝２ˑ１＋t a n ２x １－t a n ２x＝２ˑ１c o s ２x ＝２s e c ２x ．分析:应用万能公式后可将三角恒等式变形问题转化为代数恒等变形问题,因此是恒等变形的重要手段之一．在具体运用中万能公式既可正用也可逆用,如本题的最后一步就是通过逆用公式使结果形式变得更加简洁．参考文献:[１]张小凯张宗余．三角恒等变换[J ]．中学数学教学参考,２０１９(１):８９Ｇ９４．[２]张文伟．三角恒等变换常见典型考题赏析[J ]．中学生数理化,２０２１(６):２７Ｇ３２．[３]杜海洋．三角恒等变换中的三个小技巧[J ]．中学生数理化,２０２１(６):６Ｇ７．９７２０２２年４月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀解法探究复习备考Copyright ©博看网. 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数学示范教案：第三章三角恒等变换
示范教案本章知识网络教学分析本章三角函数模型是主线，三角变形是关键．三角函数及其三角恒等变形不仅有着广泛的实际应用，而且是进一步学习中学后续内容和高等数学的基础，因而成为高考中对基础知识、基本技能和基本思想方法考查的重要内容之一．本章特点是公式多，但积化和差与和差化积公式不要求记忆．切实掌握三角函数的基本变形思想是复习掌握好本章的关键．三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中应用,而且在研究第一章三角函数的图象与性质时、在后续内容解三角形中也应用广泛．解决三角函数的恒等变形问题，其关键在掌握基本变换思想，运用三角恒等变形的主要途径-—变角，变函数，变结构，注意公式的灵活应用．三角恒等变形是一种基本技能，从题型上一般表现为对三角式的化简、求值与证明．对所给三角式进行三角恒等变形时，除使用三角公式外,一般还需运用代数式的运算法则或公式．如平方差公式、立方差公式等．对三角公式不仅要掌握其“原形”，更要掌握其“变形”，解题时才能真正达到运用自如，左右逢源的境界．基本变形思想主要是:①化成“三个一”：即化为一个角的一种三角函数的一次方的形式y＝Asin（ωx＋φ）；②化成“两个一”:即化为一个角的一种三角函数的二次型结构,再用配方法求解；③“合二为一”：对于形如asinθ＋bcosθ的式子，引入辅助角φ并化成a2＋b2 sin(θ＋φ)的形式(但在这里不要增加难度，仅限于特殊值、特殊角即可）．高考对整个三角问题的考查主要集中在三个方面，一是三角函数的图象与性质，包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等；二是三角式的恒等变形,包括：化简、证明、直接求值、条件求值、求最值等；三是三角综合运用．特别是结合下一章的解三角形及与向量的交汇更是高考经久不衰的热点．因此复习中要充分运用数形结合的思想,利用向量的工具性,灵活运用三角函数的图象和性质解题，掌握化简和求值问题的解题规律和途径．学完本章后，前一章平面向量更有了用武之地，它是沟通代数、几何、与三角函数的一种重要工具，三角函数又具有较强的渗透力，切实提高三角函数的综合能力是复习好本章的保证．因此，我们可以通过整合，将三角函数,平面向量结成一个知识板块来复习，并进行三角与向量相融合的综合训练，这样更有利于学生对平面向量、三角函数及三角恒等变形的深刻理解及运用．三维目标1．通过复习全章知识方法，掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．并能正确地运用上述公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值、证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题．2．掌握简单的三角恒等变形的基本思想方法，并结合向量解决一些基本的综合问题．3．通过三角恒等变换体会数学的逻辑性的特征，进一步理解数学的化归思想、方程思想和代换意识，认识事物之间是相互依存、相互联系的．重点难点教学重点：和角公式、差角公式、倍角公式及其灵活应用．教学难点：和角公式、差角公式、倍角公式在三角恒等变形中的综合运用．课时安排1课时错误!导入新课思路1.(直接导入)在第一章三角函数的基础上，我们一起又探究学习了第三章简单三角恒等变形的有关知识,并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力与运算能力．现在我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，请同学们画出本章的知识框图，由此进入复习．思路2.(问题导入)本章学习了几个公式？推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法?你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的?它们之间存在着怎样的逻辑关系?三角式的变形与代数式的变形有什么相同点?有什么不同点？对三角函数式特点的分析对你提高三角恒等变形的能力有什么帮助？通过学生解决这些问题展开全章的复习．推进新课错误!错误!1列出本章所学的公式，理清它们之间的关系，回顾、思考并回答：推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法？你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的？它们之间存在着怎样的逻辑关系？三角式的变形与代数式的变形有什么相同点?有什么不同点？三角函数式特点的分析对你提高三角恒等变形的能力有什么帮助?2三角函数的变形灵活性大、方法多,回顾从前所学，三角变形都有哪些？3如果对三角函数变形题型进行归类，那么回顾从前所学,常见的基本题型有哪些？活动：问题（1),本章的三角恒等变换公式中,余弦的差角公式是其他公式的基础，由它出发，用－β代替β，±β代替β，α＝β等换元法就可以推导出其他公式．见下表：教师引导学生用类比、联系、化归的观点来理解这些公式的逻辑关系,认识公式的特点，联想与代数运算的相同与不同之处；三角函数的恒等变形，是运用三角公式，变换三角表达式中的函数、角度和结构，把一个表达式变形成另一个与它等价的表达式．三角恒等变形是代数式恒等变形的推广和发展；进行三角恒等变形，除了要熟练运用代数恒等变形的各种方法，还要抓住三角本身的特点,领会和掌握最基本最常见的变形．教师要引导学生明确三角变换不仅有三角函数式的结构形式变形，而且还有角的变形，以及不同三角函数之间的变形,使学生领悟有关公式在变形中的作用和用法，学会用恰当的数学思想方法指导选择和设计变换思路．并让学生体会到通过三角恒等变形的探究训练，能大大提高他们的推理能力和运算能力．问题（2),教师引导学生回顾总结，在学生探索时适时点拨,常见的变形有:①公式变形，数学公式变形的方法多种多样，揭示数学公式变形的一般规律对深化公式教学会有积极的意义．由于公式中的字母可以代表数、式、函数等有数学意义的式子，因此可以根据需要对公式进行适当的数学处理，或代换，或迭代,或取特殊值等等．如:tanα＋tanβ＝tan（α＋β)(1－tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－错误!，1＝tanαtanβ＋错误!，1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α等．②角的变形，角度变形是三角函数恒等变形的首选方法，在进行三角恒等变形时，对角之间关系必须进行认真的观察联想，分析角之间的和、差、倍、分关系．在数值角的三角函数式化简中，要特别注意是否能够产生特殊角；熟悉两角互余、互补的各种形式；或者引入辅助角进行角的变形等．如:α＝（α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；错误!－α＝错误!－（错误!＋α）；错误!＋α＝错误!－（错误!－α）等．还需熟练掌握一些常见的式子：如:sinx±cosx＝2sin（x±π4），sinx±错误!cosx＝2sin(x±错误!）等．问题（3)，教师引导学生回顾总结，适时地点拨学生,常见三角恒等变形的基本题型有求值、化简、证明．对于求值，常见的有给角求值、给值求值、给值求角．①给角求值的关键是正确地分析角之间的关系，准确地选用公式，要注意产生特殊角，同时把非特殊角的三角函数值相约或相消，从而求出三角函数式的值;②给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变形，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值；③给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数值，其次判断该角对应函数的单调区间,最后求出角．对于化简,有两种常见的形式，①未指明答案的恒等变形，这时应把结果化为最简形式;②根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，例如一角一函数的形式,以便研究它的各种性质．无论是何种形式的化简，都要切实注意角度变形、函数变形等各种变形．对于证明，它包括无条件的恒等式和有附加条件恒等式的证明．①无条件恒等式的证明,需认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异,一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一．对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用．②有附加条件的恒等式的证明，关键是恰当地利用附加条件,需认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中发现条件应怎样利用,证明这类恒等式时,还常常用到消元法和基本量方法．讨论结果：（1)～(3)略．错误!思路1例1（1）化简tan2Atan(30°－A）＋tan2A·tan（60°－A）＋tan(30°－A)tan（60°－A)；(2）已知α为锐角，且tanα＝错误!，求错误!的值．活动：本例是一个三角函数化简求值问题，属于给出某些角的三角函数式的值,求另外一些三角函数式的值．关键是正确运用三角变换公式及常用思想方法，探索已知式与欲求式之间的差异和联系的途径和方法．教师可以大胆放手，让学生自己独立探究，必要时给予适时的点拨引导．但要让学生明白，从高考角度来看,关于三角函数求值问题是个重要题型、命题热点，一直备受高考的青睐．因为三角函数求值问题能综合考查考生三角变形、代数变形的基本运算能力和灵活运用公式、合理选用公式、准确选择解题方向的思维能力，且题目的答案可以简单明了．并让学生明了解决这类问题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌不分青红皂白地盲目运用三角公式．比如在本例的（1)中，首先应想到将倍角化为单角这一基本的转化方法．教师还应点拨学生思考，求三角函数式的值必须明确求值的目标．一般来说，题设中给出的是一个或某几个特定角，即便这些角都不是特殊角，其最终结果也应该是一个具体的实数；题设中给出的是某种或几种参变量关系，其结果既可能是一个具体的实数，也可能是含参变量的某种代数式．如本例的(2)中，目标是“弦”且是“和差角"，而条件是“切"且是“单角"．在学生探讨向目标转化的过程中，由于视角不同,思考方式不同,学生会有多种解法，教师应鼓励学生一题多解,对新颖解法给予表扬．解：(1)∵tan（90°－2A)＝tan[(30°－A)＋（60°－A)］＝错误!,∴tan（30°－A）＋tan（60°－A）＝tan(90°－2A）[1－tan（30°－A)tan(60°－A）]．∴原式＝tan2A[tan(30°－A)＋tan(60°－A)]＋tan（30°－A）tan(60°－A)＝tan2Atan(90°－2A）[1－tan(30°－A）tan(60°－A)]＋tan(30°－A）tan（60°－A)＝1－tan(30°－A)tan（60°－A）＋tan（30°－A）tan(60°－A）＝1.（2）原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。
三角恒等变换的常见技巧
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
三角恒等变换的类型和技巧
ʏ岳立红三角恒等变换是三角运算㊁化简㊁求值及证明过程中必不可少的手段,理解和掌握基本的三角恒等变换技巧并能灵活运用是提高解决三角问题能力的必要条件㊂下面谈谈三角恒等变换的基本类型和技巧㊂一㊁角的变换在三角的化简㊁求值及证明过程中,条件与结论中往往出现比较多的相异角,此时可根据角之间的和差倍半关系及互余㊁互补关系,寻找已知角与待求角之间的关系,整体使用三角公式求解㊂例1 已知π4<α<3π4,0<β<π4,c o s π4-α =35,s i n 3π4+β=513,求s i n (α+β)的值㊂解:寻求关系α+β=3π4+βπ4-απ2,利用诱导公式及两角差公式求解㊂由已知可得-π2<π4-α<0,所以s i n π4-α=-45㊂因为3π4<3π4+β<π,所以c o s 3π4+β=-1213㊂所以s i n (α+β)=-c o s 3π4+β - π4-α =-c o s 3π4+β ㊃c o s π4-α -s i n 3π4+β ㊃s i nπ4-α =1213ˑ35-513ˑ-45 =5665㊂评注:一般情况下角的变换有三类:和差变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)-(α-β),α-β=(α-γ)-(β-γ)等;倍半变换,如α与2α,α2与α4等;互余与互补变换,如π3+α与π6-α,2π3+α与π3+α等㊂二㊁常值代换在三角求值过程中,有时可打破常规,用式子代替常数,特别是 1 的代换,常常能出奇制胜,事半功倍㊂例2 已知t a n α+π4=2,求12s i n αc o s α+c o s 2α的值㊂解:由已知可得t a n α的值,考虑到弦化切,利用c o s 2α+s i n 2α代换分子中的1求解㊂由已知得1+t a n α1-t a n α=2,所以t a n α=13㊂原式=c o s 2α+s i n 2α2c o s αs i n α+c o s 2α=1+t a n 2α2t a n α+1=1+1322ˑ13+1=23㊂评注:通常情况下,常值代换可分为两类:公式类,如1=c o s 2α+s i n 2α=s e c 2α-t a n 2α=c s c 2α-c o t 2α等;特殊值类,如22=s i n 45ʎ=c o s 45ʎ,1=t a n 45ʎ=c o t 45ʎ等㊂三㊁降次或升次变换一般地,如果三角式子中出现较高次数或根式时,可借助降次或升次进行变换㊂例3 化简:c o s 8α-s i n 8α+14s i n2α㊃s i n 4α-12+1212+c o s 8α2,αɪ-π2,0㊂解:利用降次,统一角求解㊂原式=(s i n 4α+c o s 4α)(c o s 4α-s i n 4α)+14s i n 2αs i n 4α-12+12c o s 4α=[(c o s 2α+s i n 2α)2-2c o s 2αs i n 2α]㊃(c o s 2α+s i n 2α)㊃(c o s 2α-s i n 2α)+14s i n2αs i n4α-c o s 2α=7知识结构与拓展高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.1-12s i n 22αco s 2α+14s i n2α㊃2s i n2α㊃c o s 2α-c o s 2α=c o s 2α-12s i n 22αc o s 2α+12s i n 22αc o s 2α-c o s 2α=0㊂评注:升降次的方法一般有两类:利用倍角㊁半角公式,如c o s 2α=1+c o s 2α2,s i n 2α=1-c o s 2α2,c o s αs i n α=12s i n 2α及平方关系式;利用乘法公式及因式分解,如c o s 8αʃs i n 8α,c o s 6αʃs i n 6α,c o s 4αʃs i n 4α等㊂四㊁结构变换在三角求值㊁化简及证明过程中,常需要对所给的条件及结论进行适当的结构调整,从而使条件便于运用或结论更容易求出㊂例4 已知s i n α+s i n β+s i n γ=0,c o s α+c o s β+c o s γ=0,求c o s (α-β)的值㊂解:对条件式子的结构进行适当变形,产生结论式子所需要的结构,以便于求解㊂由已知得s i n α+s i n β=-s i n γ,c o s α+c o s β=-c o s γ,两式两边分别平方再相加得2+2(c o s αc o s β+s i n αs i n β)=1,所以c o s (α-β)=-12㊂评注:三角函数式结构变化的典型方法有:利用s i n θʃc o s θ与s i n θc o s θ的转化关系;利用辅助角公式,即a s i n θ+b c o s θ=a 2+b 2si n (θ+φ),其中φ由t a n φ=ba确定;利用万能公式;利用三角函数的积化和差与和差化积等㊂五㊁公式的变形应用在三角函数的求值㊁化简及证明过程中,有时使用公式的变形形式,往往会产生事半功倍的效果㊂例5 求(1+t a n 21ʎ)(1+t a n 20ʎ)(1+t a n 25ʎ)(1+t a n 24ʎ)的值㊂解:注意到21ʎ+24ʎ=20ʎ+25ʎ=45ʎ,故可两两组合求解㊂(1+t a n21ʎ)(1+t a n24ʎ)=t a n21ʎ+t a n 24ʎ+t a n21ʎt a n24ʎ+1,由t a n45ʎ=t a n (21ʎ+24ʎ)=t a n 21ʎ+t a n 24ʎ1-t a n 21ʎt a n 24ʎ=1,可得1-t a n21ʎt a n24ʎ=t a n21ʎ+t a n24ʎ,即t a n 21ʎ+t a n24ʎt a n21ʎ+t a n24ʎ=1,所以(1+t a n21ʎ)(1+t a n24ʎ)=2㊂同理可得,(1+t a n20ʎ)(1+t a n25ʎ)=2㊂故(1+t a n 21ʎ)(1+t a n20ʎ)(1+t a n25ʎ)(1+t a n 24ʎ)=4㊂评注:三角公式的典型变形形式有:t a n (α+β)=t a n α+t a n β+t a n (α+β)t a n α㊃t a n β,c o s α=s i n 2α2s i n α,2s i n 2α=1-c o s2α,2c o s 2α=1+c o s 2α等㊂六㊁消元变换消元法是基本的数学方法之一,在三角变换中常常使用它消去某一个角或某一个三角函数,从而使问题得到简化㊂例6 设α,β,γ满足0<α<β<γ<2π,若对任意x ɪR ,c o s (x +α)+c o s (x +β)+c o s (x +γ)=0恒成立,则γ-β=()㊂A .2π3 B .4π3C .2π3或4π3D .无法确定解:三个变量满足同一个关系,依据目标意识和特殊化处理,构建方程寻求切入求解㊂令x =-α得c o s (γ-α)=-1-c o s (β-α),令x =-β得c o s (γ-β)=-1-c o s (β-α),所以c o s (γ-α)=c o s (γ-β)㊂令x =-γ得c o s (γ-β)+c o s (γ-α)=-1,所以c o s (γ-α)=-12㊂因为0<α<β<γ<2π,所以γ-α=2π3或4π3,γ-β=4π3或2π3㊂注意到0<α<β<γ<2π,所以γ-α=4π3,γ-β=2π3㊂故γ-β=2π3㊂应选A ㊂评注:对任意实数x 恒成立的等式,实质是关于x 的方程有无数解的问题,可利用特殊赋值㊁降元构建方程组求解,但要注意隐含条件的挖掘和应用㊂作者单位:甘肃省兰州市第三十四中学(责任编辑 郭正华)8知识结构与拓展 高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高考数学复习考点知识讲解课件21 简单的三角恒等变换
(新教材) 高三总复习•数学
2．积化和差与和差化积公式 (1)积化和差公式 cosα·cosβ＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sinα·sinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]； sinα·cosβ＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cosα·sinβ＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
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(2)和差化积公式 sinα＋sinβ＝2sinα＋2 βcosα－2 β； sinα－sinβ＝2cosα＋2 βsinα－2 β； cosα＋cosβ＝2cosα＋2 βcosα－2 β； cosα－cosβ＝－2sinα＋2 βsinα－2 β.
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对点训练
1．(2022·河南郑州联考)已知 sinα＋ 3cosα＝ 32，则 cos76π－α＝( B )
A．
2 6
B．－
2 6
C．
34 6
D．－
34 6
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[解析]
因为 sinα＋
3 cosα ＝ 2sin α＋π3 ， 所 以
高考数学复习考点知识讲解课件
第三节 三角恒等变换 第二课时 简单的三角恒等变换
基础知识夯实 核心考点突破
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考试要求：能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切 公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要 求记忆)．
∴tan(α＋β)＝11－＋mmtanα.
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高中数学：9种常用三角恒等变换技巧总结
三角恒等变换不但在三角函数式的化简、求值和证明三角恒等式中经常用到，而且．由于通
过三角换元可将某些代数问题化归为三角问题；立体几何中的诸多位置关系以其交角来刻
画，最后又以三角问题反映出来；由于参数方程的建立，又可将解析几何中的曲线问题归结
为三角问题．因此，三角恒等变换在整个高中数学中涉及面广．是常见的解题“工具”．而
且由于三角公式众多．方法灵活多变，若能熟练地掌握三角恒等变换，不但能增强对三角公
式的记忆，加深对诸多公式内在联系的理解，而且对发展学生的逻辑思维能力，提高数学知
识的综合运用能力都大有裨益。
“切割化弦”就是把三角函数中的正切、余切、正割、余割都化为正弦和余弦，以有利于问
题的解决或发现解题途径．其实质是”‘归一”思想．
在三角恒等变换中经常需要转化角的关系，在解题过程中必须认真观察和分析结论中是哪个
角，条件中有没有这些角，哪些角发生了变化等等．因此角的拆变技巧，倍角与半角相对性
等都十分重要，应用也相当广泛且非常灵活．常见的拆变方法有：α可变为（α+β）-β；
2α可变为（α+β）+（α-β）；2α-β可变为（α-β）+α；α可视为α/2的倍角等等．
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遇平方可用“降次”公式，这是常用的解题策略．本题中首先化异角为同角，消除角的差异，
然后化简求值．关于积化和差、和差化积公
式，教材中是以习题形式给出的，望引起重视．
跟代数恒等变换一样．在三角变换时，有时适当地应用”‘加一项再减去这一项” . “乘
一项再除以同一项”的方法常能使某些问题巧妙简捷地得以解决．
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根据题目的特点，总体设元，然后构造与其相应的对偶式，运用方程的思想来解决三角恒等 变换，也是常用的方法，本题也可以采用降次、和积互化等方法。．
目前高考中，纯三角函数式的化简与证明已不多见，取而代之的题目经常是化简某一三角函
数，并综合考查这一函数的其他性质．但。凡是与三角函数有关的问题，都以恒等变形、条
件变形为解题的基石，因此本专题内容的重要性不言而喻．至于在三角条件恒等证明中如何
用三内角和的性质、正余弦定理进行边角关系转换等，我们就不另加赘述了．