7应力分析、强度理论
第五章应力状态分析强度理论
第五章应力状态分析与强度理论基本要求1.理解一点的应力状态，熟练掌握用单元体表示一点的应力状态。
2.熟练掌握平面应力状态分析。
3.了解空间应力状态分析。
4.理解广义胡克定律，熟练掌握其应用。
5.理解强度理论的概念，熟悉四种常用的强度理论。
5.1 应力状态的概念5.1.1.应力变化：一是随杆件内点的不同位置而变化二是随过同一点的不同截面的方位而变化5.1.2.应力状态：是指研究受力构件内通过一点的各不同方位截面上的应力变化规律，确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位，找出危险截面上的危险点，并确定该点处的应力及其方向，然后建立强度条件5.1.3.单元体：①因为dx、dy、dz很小（单元体很小）——可代表一点；②单元体每个面很小，其上应力可视为均匀，且相对面上应力相等。
同等于通过所研究的点的平行面上的应力。
该单元体的应力状态就代表了一点（对应点）的应力状态。
③单元体某斜截面上的应力就代表了构件内对应点同方位截面上的应力。
特点：根据材料的均匀连续假设，微元体（代表一个材料点）各微面上的应力均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。
5.1.4.主平面——单元体的三个相互垂直的面上都无切应力。
主应力——主平面上的正应力（也是单元体内各截面上正应力的极值）。
通过结构内一点总可找到三个相互垂直的截面皆为主平面。
对应的有三个主应力，相应的用1σ 、2σ 、3σ来表示，它们按代数值的大小顺序排列，即5.2平面应力状态分析 应力圆平面应力状态的普遍形式：在常见的受力构件中，在两对平面上既有正应力σ又有切应力τσ、τ、 α正负号规定：σ——拉为正，压为负；其下标表示所在平面的法线方向τ——以对微单元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负；第一下标表示切应力所在平面的法线方向，第二下标为切应力方向。
α——自x 轴转到截面外法线n 为逆时针转向时，规定为正，反之为负。
材料力学应力和应变分析强度理论
§7–5 广义虎克定律
y
一、单拉下旳应力--应变关系
x
x
E
y
E
x
ij 0 (i,j x,y,z)
二、纯剪旳应力--应变关系
z
E
x
z
y
xy
xy
G
i 0 (i x,y,z)
z
yz zx 0
x
x
xy
x
三、复杂状态下旳应力 --- 应变关系
y
y
x
y x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
i j
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 xy
y
1
25 3 y 45MPa
° 5
0
Ox
6095MPa 6025 3MPa
yx 25 3MPa xy
x ?
x
y
2
sin 2
xy cos 2
25 3 x 45 sin 120o 25 3 cos120o
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 M z 0
xy x
x
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
xy yx
五、取单元体： 例1 画出下图中旳A、B、C点旳已知单元体。
F
A
y
F x
x
A
B
C z
x B x
zx
xz
F
Mex
yx
C
xy
FP
材料力学 应力状态分析 强度理论
§7-4 三向应力状态
由三向应力圆可以看出： 由三向应力圆可以看出：
τ
3
τ max =
σ
σ 1 −σ 3
2
2
0
σ3
σ2
1
σ1
结论： 结论： 代表单元体任意斜 截面上应力的点， 截面上应力的点， 必定在三个应力圆 圆周上或阴影内。 圆周上或阴影内。
30
§7-5
广义胡克定律
y x
1. 基本变形时的胡克定律 1）轴向拉压胡克定律 σ x = Eε x 横向变形
2
σ x +σ y
2τ x tan 2α 0 = − =1 σ x −σ y
σ max = 105
α 0 = 22.5°
α 0 = 22.5° 或112.5°
σ min = 65
25
(二)使用图解法求解 二 使用图解法求解 作应力圆，从应力圆上可量出： 作应力圆，从应力圆上可量出：
τ
σ α = 102 MPa τ α = 22 MPa σ max = 105 MPa σ min = −65 MPa α 0 = 22.5° τ max = 85 MPa
2
§7—1 应力状态的概念
铸 铁 低碳钢
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？ 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
3
§7—1 应力状态的概念
低碳钢 铸 铁
脆性材料扭转时为什么沿45 螺旋面断开 脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？ 45 螺旋面断开？
4
§7—1 应力状态的概念
l
S平面
T y
1 4
τ yx
σy
t
∑F =0
t
τ α dA − τ xy (dA cos α ) cos α − σ x (dA cos α ) sin α + τ yx (dA sin α ) sin α + σ y (dA sin α ) cos α = 0
应力状态和强度理论
一、目的，来源通过受力构件内的同一点处，不同方位截面上的应力一般是不同的。
若需对这类点的应力进行强度计算，则不能分别按正应力和切应力来建立强度条件，而需综合考虑正应力和切应力的影响。
强度理论：关于材料破坏规律的假设。
二、平面应力状态的应力分析平面应力状态：若单元体有一对平面上的应力等于零，即不等于零的应力分量均处于同一坐标平面内，则称为平面应力状态。
平面应力状态下任一截面（a 截面）上的应力分量：x yx yx =cos 2sin 222ασσσσσατα+-+-x yx =sin 2cos 22ασστατα-+反映了，一点不同方位斜截面的应力（ασ和ατ）随α角而变化的规律，也即一点处的应力状态。
三、主应力与主平面主平面：一点处切应力等于零的截面。
主应力：主平面上的正应力。
主应力是过一点处不同方位截面上正应力的极值。
可以证明，一点处必定存在这样一个单元体，其三个相互垂直的面均为主平面。
分别记为：1σ，2σ和3σ，且规定按代数值大小的顺序排序，即123σσσ≥≥τy平面应力状态下的主应力。
1x y 1=2σσσ+（）2x y 1=2σσσ+（）x0x y22=arctan τασσ--（）对应力的正负号的规定： 正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力以其对单元体内任一点的矩为顺时针转向者为正，反之为负。
（与轴力的拉力为正一样；剪力也是以截面左端向上而右端向下的相对错动为正） 例题：两端简支的焊接工字钢梁及其荷载，与梁的横截面尺寸如上图。
试求梁危险截面上a 和b 两点处的主应力。
（1） 确定梁的危险截面M c =80kN ·m F sc =200kN（2） a 点处的主应力先计算横截面的惯性矩I z 和静矩S *za I z =88*106mm 4 S *za =256000mm 3 注：S *za ——距中性轴y a 的横线以外部分的面积对中性轴的静矩。
由以上数据可得危险截面C 上a 点处的应力：a a =y =122.7pa ZMM I σ *s zaa z ==64.6pa dF S M I τ由此可知，a 点所去单元处于平面应力状态，如图：由公式可得1σ，3σ的值1σ=150.4Mpa 3σ=-27.7Mpa002= -46.4α（3） 求b 点处的主应力对于C 截面上的b 点处的应力，y b =150mm 可得：b b =y =136.4pa ZMM I σ *s zbb z ==0pa dF S M I τ由此可知：b 点所取单元体处于单轴应力状态：如图b 点处的三个主应力分别为1x 23==136.4pa ==0M σσσσ。
材料力学中的强度理论与应力分析方法
材料力学中的强度理论与应力分析方法材料力学是研究材料力学性质及其变形、破坏和断裂等状况的学科。
其中，强度理论是一种重要的理论方法，而应力分析方法则是强度理论的重要支撑。
本文将从材料强度理论和应力分析两个方面来探讨材料力学中的强度理论与应力分析方法。
一、强度理论强度是材料抵抗断裂、破坏的能力，也是材料的重要性能之一。
强度理论通常采用两种方法：极限破坏理论和应变能密度理论。
1.极限破坏理论极限破坏理论认为，当材料的最大应力超过其强度时，材料就会破坏。
这种理论关注的是材料抵抗断裂的能力，它主要包括如下几种：(1)最大应力理论：它认为，在拉伸或压缩中，当最大正应力或最大剪应力达到或超过材料的抗拉或抗剪强度时，材料就会发生断裂。
(2)最大努迈尔应力理论：它认为，在回转或剪切中，当最大努迈尔应力达到或超过材料的极限努迈尔应力时，材料会破裂。
(3)最大应变能理论：它认为，在材料加载过程中，当最大应变能密度达到或超过材料的极限应变能密度时，材料就会发生断裂。
2.应变能密度理论应变能密度理论就是根据能量原理，分析材料受力的能量对其破坏的影响。
应变能密度理论是通过对应变能密度进行分析而得出材料破坏的理论，它主要包括如下几种：(1)离散裂缝模型：它将材料分割成数个小块，并分析在这些小块中的应变能密度，从而得出材料的应变能密度分布图。
(2)连续裂缝模型：它将材料分成不同的层次，并通过不同层次之间的影响来分析材料的应变能密度。
(3)微观结构模型：它侧重于对材料内部微观结构的研究，从而得出材料内部应变能密度的分布情况。
二、应力分析方法应力分析方法是材料强度理论的重要支撑，它主要包括静力学分析、动力学分析和热力学分析三个方面。
1.静力学分析静力学分析是指材料在静止状态下各点所受的应力分析。
它主要采用等效应力理论和等效应变理论进行分析。
等效应力理论认为，当材料中各方向的应力大小不同时，我们可以通过一个等效应力来代表这些应力。
等效应力通常取其高或低值，从而来确定其破坏状态。
第八章 应力状态分析和强度理论材料力学
（3）主方向 （4）主应力
（5）主单元体
4 广义胡克定律
1.应变叠加原理
各向同性材料在小变形的情况下，当应力不超过比例极限，则线应变只与正 应力有关，剪应变只与剪应力有关，且由正应力引起的某一方向上的应变 可以叠加；
2.主方向上的广义 胡克定律
由σ1 引起三个主方向的线应变为：
由σ2 引起三个主方向的线应变为：
2 二向应力状态分析
1.应力分量及其符号的规定
正应力规定与截面外法线 方向一致为正，反之为负； 剪应力规定对单元体内任 一点的矩顺时针为正，反 之为负；
2.斜截面上的应力
列出平衡方程： 由剪应力互等定理
整理得：
由上面两式可得：
这是关于σα和τα的圆方程；
圆心坐标是
半径是
3.应力圆 以横坐标表示正应力，纵坐标表示剪应力，画出二向应力状态的应力圆
4.应力圆与单元体之间的对应关系
(1)应力圆上的每一点对应单元体上互成1800的二个面上的应力状态； (2)应力圆上的点按某一方向转动2α角度，单元体上的面按相同方向转动α角度； (3)应力圆与α轴的交点代表主平面上的应力； (4)应力圆上代表主平面的点转动900得到剪应力极值点；单元体上主平面转动450得到剪 应力极值平面；
解： （1）应力分量
应力圆
（2）求主平面位置和主应力大小
例3.已知应力状态如图所示，图中的应力单位为MPa。试求： （1）主应力大小，主平面位置；（2）在单元体上给出主平面位置及主应力方向； （3）最大剪应力。
解：
（2）求主平面位置和主应力大小
（3）最大剪应力
例4.薄壁圆筒的扭转-拉伸示意图如图所示。若P=20kN，T=600NN·m，且d=50mm， =2mm。试求：（1）A点在指定斜截面上的应力。（2）A点主应力的大小及方向， 并用单元体表示。
材料力学刘鸿文第六版最新课件第七章 应力和应变分析 强度理论
5
7-1 应力状态的概述
直杆拉伸斜截面上的应力
k
F
{ F
p cos cos2
k
F
k p
k
p sin cos sin sin 2
2
直杆拉伸应力分析结果表明：即 使同一点不同方向面上的应力也是各
不相同的，此即应力的面的概念。
6
7-1 应力状态的概述
点的应力状态：
虚线：主压应力迹线 实线：主拉应力迹线
思考：在钢筋混泥土梁中，钢筋怎么放置最佳。 30
内容小结：
（1）根据已知点的应力状态求任意截面的应力。 （2）根据已知点的应力状态求主应力、主平面。 （3）结合前五章内容，掌握梁在拉、压、剪、扭、弯 等状态下，求某点的应力，并计算主应力和主平面。
31
第七章 应力和应变分析
58.3MPa 22
7-3 二向应力状态分析-解析法
（2）主应力、主平面
y xy
max
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
68.3MPa
x
min
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
23
7-3 二向应力状态分析-解析法
y
主平面的方位：
2
2sin cos sin2
并注意到 yx xy （切应力互等）
化简得出：
1 2
( x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2
应力状态分析与强度理论
第五章 应力状态分析与强度理论一、 内容提要 1.应力状态的概念 1.1一点的应力状态通过受力构件的一点的各个截面上的应力情况的集合，称为该点的应力状态。
1.2一点的应力状态的表示方法——单元体研究受力构件内一点处的应力状态，可以围绕该点取一个无限小的正六面体，即单元体。
若单元体各个面上的应力已知或已计算出，则通过该点的其他任意方位截面上的应力就可用解析法或图解法确定。
1.3主平面、主应力单元体上切应力为零的平面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。
过受力构件内任一点总有三对相互垂直的主平面。
相应的主应力用1σ、2σ、3σ来表示，它们按代数值的大小顺序排列，即321σσσ≥≥。
1σ是最大主应力，3σ是最小主应力，它们分别是过一点的所有截面上正应力中的最大值和最小值。
1.4应力状态的分类（1）单向应力状态，只有一个主应力不为零，另两个主应力均为零； （2）二向或平面应力状态，两个主应力不为零，另一个为零； （3）三向或空间应力状态，三个主应力都不为零。
单向应力状态又称简单应力状态，二向、三向应力状态称为复杂应力状态。
2.平面应力状态分析的解析法在平面应力状态的单元体中，有一对平面上的应力等于零，即为主平面，其上主应力为零。
可将单元体用平面图形表示，如图5-1所示。
图5-12.1任意α斜截面上的应力当已知x σ、y σ、yx xy ττ=时，应用截面法，可得ατασστατασσσσσαα2cos 2sin 22sin 2cos 22xy yx xy yx yx +-=--++= （5-1）式中，正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力以对单元体内任意点的矩为顺时针转向为正，反之为负；α为斜截面外法线与x 平面外法线即x 轴间的夹角，α角从x 轴量起，反时针转向为正，反之为负。
2.2主应力22min max 22xy yx y x τσσσσσσ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=⎭⎬⎫ （5-2） 式中，max σ和min σ分别表示单元体上垂直于零应力面的所有截面上正应力的最大值和最小值。
7应力和应变分析
s 1 105MPa, s 2 0, s 3 65MPa
2t x tan 2 0 1 s x s y
s max 105
0 22.5
0 22.5 或112.5
s min 65
t max t min
s x s y 2 t x 85MPa 2
1.单元体：围绕构件内一点所截取的微小正六面体。
Z
sz tzy tzx txy txz tyz sx dz sy
sy tyz
tyx txz
O sx tzy dy txy tzx
tyx
Y
dx
z X O
sz
y
x
2.单元体上的应力分量
（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，可用一个角标表示。
的平面，其中一个是最大正应力所在 平面，另一个是最小正应力所在平面
s max s x s y s x s y 2 t xy 2 s min 2
2
4、极值切应力：
s x s y s x s y cos 2 t xy sin 2 s 2 2 s x s y t sin 2 t xy cos 2 2
②连DD'交s轴于C点，以C为圆心，DD1为直径作圆；
应力圆的应用
①点面对应关系：应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的 应力； ②角度对应关系：应力圆上半径转过2，单元体上坐标轴转 过; ③旋向对应关系：应力圆上半径的旋向与单元体坐标轴旋向 相同；
④求外法线与x轴夹角为斜截面上的应力，只要以D为起点， 按转动方向同向转过2到E点，E点坐标即为所求应力值。 ⑤用应力圆确定主平面、主应力：由主平面上剪应力t=0，确 定D转过的角度；D转至s轴正向A1 点代表最大主应力所在平面， 转至s轴负向B1点代表最小主应力所在平面； ⑥确定极值剪应力及其作用面：应力圆上纵轴坐标最大的G1点 为最大切应力，纵轴坐标最小的G2点为最小切应力，作用面确定 方法同主应力。
工程力学第七章应力和应变分析
1
30MPa 3 30MPa
max
1 3
2
80MPa
二、 广义胡克定律
纵向应变：
E
横向应变：
E
下面计算沿 1方向的应变：
1 1 引起的应变为 1 E 2 、 3 引起的应变为 2 1 E 3 1 E 当三个主应力同时作用时： 1 1 1 （ 2 3 ） E
2
1
3
E
( 1 2 )
§7-4～5材料破坏的形式强度理论
max [ ] max [ ]
材料破坏的形式主要有两类：
流动(屈服)破坏 断裂破坏
常用的四种强度理论
材料破坏的基本形式有两种：流动、断裂 相应地，强度理论也可分为两类： 一类是关于脆性断裂的强度理论； 另一类是关于塑性屈服的强度理论。
(3)最大剪应力值。 单位：MPa
解：
x 80MPa, x 60MPa, x y
y 40MPa = 30 x y
cos 2 x sin 2
2 2 102 MPa x y sin 2 x cos 2 2 22.0MPa
2
1 3
广义胡克定律：
1 1 1 （ 2 3 ） E 1 2 2 （ 3 1 ） E 1 3 3 （ 1 2 ） E
Hale Waihona Puke 对于二向应力状态：1 1 ( 1 2 ) E 1 2 ( 2 1 ) E
1 ( 2 3 ) b