苏科版七年级数学下册 第十章《二元一次方程组》尖子生提优训练(1)

七下第十章《二元一次方程组》尖子生提优训练（1）班级：___________姓名：___________ 得分：___________ 一、选择题1. 下列各式，属于二元一次方程的个数有( )①xy +2x −y =7；②4x +1=x −y ；③1x +y =5；④x =y ；⑤x 2−y 2=2 ⑥6x −2y ⑦x +y +z =1 ⑧y(y −1)=2y 2−y 2+x ．A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知关于与x ，y 的方程组{3x −5y =2ax −2y =a −5，则下列结论中正确的是( )①当x ，y 的值互为相反数时，a =20；②当2x ⋅2y =16时，a =18；③当不存在一个实数a ，使得x =y ．A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③3. 关于x 、y 的方程组{2x +y =mmx +y =2+m 的解为整数，则满足这个条件的正整数m 的个数有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 无数个4. 方程(m −2016)x |m|−2015+(n +4)y |n|−3=2018是关于x 、y 的二元一次方程，则( )A. m =±2016；n =±4B. m =2016,n =4C. m =−2016,n =−4D. m =−2016,n =45. 二元一次方程2x +y =4的自然数解有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 如果关于x ，y 的二元一次方程组{a 1x +b 1y =−2a2x −b 2y =4的解为{x =1y =2，则方程组{a 1x +b 1y =−2+a 1a 2x −b 2y =4+a 2的解为( ) A. {x =2y =3B. {x =1y =3C. {x =2y =2D. {x =1y =27. 小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路.她去学校共用了16分钟.假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时.若设小颖上坡用了x 分钟，下坡用了y 分钟，则可列方程组为( )A. {3x +5y =1200x +y =16B. {360x +560y =1.2x +y =16C. {3x +5y =1.2x +y =16D. {360x +560y =1200x +y =168. 已知关于x ，y 的方程组{x +3y =4−ax −5y =3a，给出下列结论：①{x =5y =−1是方程组的解；②无论a 取何值，x ，y 的值都不可能互为相反数；③x ，y 都为自然数的解有4对。

正确的有( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个二、填空题9. 方程2x +3y =12的非负整数解为10. 已知方程组{2x +3y =k3x +5y =k +1的解和是2，则k 的值是______ ．11. 一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，用a 表示十位数字，若将个位数字与十位数字对调，新两位数与原两位数的差为________． 12. 如图，长方形ABCD 中有6个形状、大小相同的小长方形，根据图中所标尺寸，则图中阴影部分的面积之和为________．13. 甲、乙两同学解方程组{ax +by =2cx −3y =−2，甲得正确答案为 {x =1y =−1，乙因抄错了C 的值，解得 {x =2y =6，则a b −ac 的值是 ． 14. 小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图(1)；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图(2)那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为4的小正方形，则每个小长方形的面积为____．15. 【方法体验】已知方程组{2018x −2017y =20, ①2019x +2018y =500,②求4037x +y 的值．小明同学发现解此方程组代入求值很麻烦!后来他将两个方程直接相加便迅速解决了问题．请你体验一下这种快捷思路，写出具体解题过程： (1)【方法迁移】根据上面的体验，填空：已知方程组{x +2y +3z =104x +3y +2z =15则3x +y −z =____． (2)【探究升级】已知方程组{x +2y +3z =104x +3y +2z =15求−2x +y +4z 的值．小明凑出“−2x +y +4z =2⋅(x +2y +3z)+(−1)⋅(4x +3y +2z)=20−15=5“，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦!他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设−2x +y +4z =m ⋅(x +2y +3z)+n ⋅(4x +3y +2z)，对照方程两边各项的系数可列出方程组{m +4n =−22m +3n =13m +2n =4，它的解就是你凑的数!根据丁老师的提示，填空：2x +5y +8z =____(x +2y +3z)+____(4x +3y +2z)(3)【巩固运用】已知2a −b +kc =4，且a +3b +2c =−2，当k 为____时，8a +3b −2c 为定值，此定值是____.(直接写出结果) 三、解答题16. 已知方程组{x +y =1,x −y =3与方程组{ax +by =1,ax −by =2的解相同，求a ，b 值．17. 一家商场准备装修，若请甲、乙两个装修队同时施工，8天完成，需付两队共3520元费用；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队3480元费用。

问：(1)甲、乙两队工作一天，商场各应付费多少元？ (2)单独请哪个队，商场所付费用较少？(3)若装修完工后，商场每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商场？请说明理由。

18. 已知等式(2A −7B)x +(3A −8B)=8x +10对一切实数x 都成立，求A 、B 的值．19. 已知关于x,y 的方程组{ax +by =ca 1x +b 1y =c 1的解是{x =3y =4(1)把x 换成m ，y 换成n ，得到方程组{am +bn =ca 1m +b 1n =c 1，则这个方程组的解是{m =____________n =_____________(2)把x 换成2x ，y 换成4y ，得到方程组{2ax +4by =c2a 1x +4b 1y =c 1，则 {2x =_______4y =______ ，所以这个方程组的解是{x =_____________y =____________ (3)参照以上方法解方程组{2ax +4by =3c2a 1x +4b 1y =3c 120.现有足够多的长方形和正方形卡片，如图1：(1)如果选取1号、2号卡片分别为1张、1张，则应取_____张3号卡片才能用它们拼成一个新的正方形，并将这个新的正方形画出来．(2)用5张3号卡片按图2的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分(两个长方形)用阴影表示．设右下角与左上角的阴影部分的周长之差为6，且一张3号卡片的周长为17，求每一张3号卡片的面积．(3)取5张3号卡片，将其中的一张等分成如图的4张4号卡片，将剩下的4张3号卡片和4张4号卡片拼成如图3中间留有一小正方形空隙的大正方形，若最中间的小正方形面积为4，请求出大正方形的面积．21.对于任意实数a，b，定义关于“&”的运算如下：a&b=a−2b+1，例如2&3=2−2×3+1=−3．(1)求(−3)&5的值．(2)若2x&y=−2，且(−3y)&x=−1，求x−y的值．22.一个正整数m能写成m=(a+b)(a−b)(a,b均为正整数，且a≠b)，则称m为“完美数”，a,b为m的一个完美变形.在m的所有完美变形中，若a2+b2最大，则称a,b 为m的最佳完美变形，此时记F(m)=a2+b2.例如：12=(4+2)(4−2)，12为完美数，4和2为12的一个完美变形；32=(9+7)(9−7)，32=(6+2)(6−2)，因为92+72>62+22，所以9和7为32的最佳完美变形，F(32)=92+72=130．(1)8_________(填“是”或“不是”)完美数；10_________(填“是”或“不是”)完美数；13_________(填“是”或“不是”)完美数；(2)求F(48)；(3)若一个两位数n的十位数字和个位数字分别为x,y(1≤x<y≤9)，n为“完美数”且x+y能被8整除，求F(n)的最小值．答案和解析1. C解：①xy +2x −y =7，不是二元一次方程，因为其未知数的最高次数为2； ②4x +1=x −y ，是二元一次方程；③1x +y =5，不是二元一次方程，因为不是整式方程； ④x =y 是二元一次方程；⑤x 2−y 2=2不是二元一次方程，因为其未知数的最高次数为2； ⑥6x −2y ，不是二元一次方程，因为不是等式；⑦x +y +z =1，不是二元一次方程，因为含有3个未知数；⑧y(y −1)=2y 2−y 2+x ，是二元一次方程，因为变形后为−y =x ． ∴二元一次方程共有3个，2. D解：①当x ，y 的值互为相反数时，a =20；由{3x −5y =2ax −2y =a −5, 解得：{x =25−ay =15−a , ∵x ，y 的值互为相反数， ∴x +y =0∴25−a +15−a =0 解得：a =20 故①正确；②当2x ⋅2y =16时，a =18； ∵2x ⋅2y =2 x+y =24 ∴x +y =25−a +15−a =4 解得：a =18 故②正确；③当不存在一个实数a ，使得x =y ． 若x =y ，得25−a =15−a ， 此方程无解．∴不存在一个实数a ，使得x =y ． 故③正确．3. B解：{2x +y =m①mx +y =2+m②,②−①得：mx −2x =2， 解得：x =2m−2，由x 为整数，得到m =0，1，3，4， 由正整数m ，所以m =1，3，4，共3个，4. D解：∵(m −2016)x |m|−2015+(n +4)y |n|−3=2018是关于x 、y 的二元一次方程， ∴m −2016≠0，n +4≠0，|m|−2015=1，|n|−3=1． 解得：m =−2016，n =4．5. C解：方程2x +y =4， 解得：y =−2x +4，当x =0时，y =4；x =1时，y =2；x =2时，y =0； 则方程的自然数解有3个，6. C解：由方程组{a 1x +b 1y =−2+a 1a 2x −b 2y =4+a 2得{a 1(x −1)+b 1y =−2a 2(x −1)−b 2y =4, 根据题意知{x −1=1y =2，即{x =2y =2,7. B解：设小颖上坡用了x 分钟，下坡用了y 分钟，由题意可得： {360x +560y =1.2x +y =16．8. B解：①将x=5，y=−1代入方程组得：5−3=4−a①5+5=3a②，由①得a=2，由②得a=103，，故①不正确．②解方程x+3y=4−a①x−5y=3a②，①−②得：8y=4−4a解得：y=1−a2，将y=1−a2的值代入①得：x=a+52，所以x+y=3，故无论a取何值，x、y的值都不可能互为相反数，故②正确．③由②得，x+y=3，所以x、y都为自然数的解有：x=3y=0，x=0y=3，x=1y=2，x=2y=1，故③正确．则正确的选项有②③，9. {x =0y =4或{x =3y =2或{x =6y =0解：2x +3y =12， 解得：y =12−2x 3，当x =0时，y =4；当x =3时，y =2；当x =6时，y =0， 则方程的所有非负整数解为{x =0y =4或{x =3y =2或{x =6y =0．10. 3解：{2x +3y =k①3x +5y =k +1②，②×2−①×3，得：y =2−k ，将y =2−k 代入①得：2x +6−3k =k ，即x =2k −3， 根据题意得：x +y =2， 即2k −3+2−k =2， 解得：k =3．11. 81−18a解：根据题意得，‘10(9−a)+a −(10a +9−a) =90−10a +a −10a −9+a =81−18a ，12. 44cm 2解：设小长方形的长、宽分别为xcm ，ycm ， 依题意得： {x −2yy =6x3y =14，解得：{x =8y =2， ∴小长方形的长、宽分别为8cm ，2cm ，∴S 阴影部分=S 四边形ABCD −6×S 小长方形=14×10−6×2×8=44cm 2．13. 74解：∵把甲的解代入方程组， 乙的解代入方程组中的第一个方程，联立方程组，得 {a −b =2c +3=−22a +6b =2，解得{a =74b =−14c =−5，把{a =74b =−14c =−5代入a b −ac ，得74−14−74×(−5)=7414. 240解：设每个长方形的宽为x ，长为y ，那么可得出方程组为：{5x =3y 2x =y +4，解得：{x =12y =20， 则每个小长方形的面积为xy =12×20=240，答：每个长方形的面积为240．15. (1)5；(2)145；(−15)；(3)−2；8解：(1)【方法迁移】将{x +2y +3z =104x +3y +2z =15中的两个方程相减得到：−3x −y +z =−5，则3x +y −z =5．故答案是5；(2)【探究升级】设2x +5y +8z =m (x +2y +3z )+n (4x +3y +2z )由题意得：{m +4n =22m +3n =53m +2n =8解得：{m =145n =−15∴2x +5y +8z =145(x +2y +3z )−15(4x +3y +2z ) 故答案为145，−15；(3)【巩固运用】设8a +3b −2c =m (2a −b +kc )+n (a +3b +2c )∴{2m +n =83n −m =32n +mk =−2解得{m =3n =2k =−2∴8a +3b −2c =m (2a −b +kc )+n (a +3b +2c )=3×4+2×(−2)=816. 解：{x +y =1①x −y =3②， ①+②得：2x =4，即x =2，把x =2代入①得：y =−1，代入得：{2a −b =12a +b =2，17. 解：(1)设甲组单独工作一天商店应付x 元，乙组单独工作一天商店应付y 元．由题意可得：{8(x +y)=35206x +12y =3480， 解得：{x =300y =140． 答：甲组单独工作一天商店应付300元，乙组单独工作一天商店应付140元．(2)设工作总量为单位1，甲组工作效率为x ，乙组工作效率为y.由题意可得： {8(x +y)=16x +12y =1， 解得：{x =112y =124， ∴甲组单独完成装修需 1112=12(天)，乙组单独完成装修需 1124=24(天)，∴单独请甲组需付300×12=3600(元)，单独请乙组需付140×24=3360(元)，∵3600>3360，∴单独请乙组费用较少；(3)由题意，得①甲组单独做12天完成，商店需付款3600元；乙组单独做24天完成，商店需付款3360元；但甲组比乙组早12天完工，商店12天的利润为200×12=2400元， 即开支为3600−2400=1200元<3360元，故选择甲组单独做比选择乙组单独做划算．②甲、乙合作8天可以完成，需付费用3520元，此时工期比甲单独做少4天，商店开业4天的利润为4×200=800元， 开支为3520−800=2720元<3600元；则甲、乙合作比甲单独做12天合算．综上所述，甲、乙合作这一方案最优．18. 解：由题意有{2A −7B =83A −8B =10， 解得{A =65B =−45， 答：A 、B 的值分别为65、−45．19. 解：(1)∵关于x 、y 的方程组{ax +by =c a 1x +b 1y =c 1的解是{x =3y =4， ∴方程组{am +bn =c a 1m +b 1n =c 1的解是{m =3n =4， 故答案为3，4；(2)由(1)得，以2x 与4y 为未知数的方程组{2ax +4by =c 2a 1x +4b 1y =c 1的解为{2x =34y =4， 解得：{x =32y =1， ∴方程组{2ax +4by =c 2a 1x +4b 1y =c 1的解为{x =32y =1， 故答案为3，4；32，1；(3)将解方程组{2ax +4by =3c 2a 1x +4b 1y =3c 1变形为{23ax +43by =c 23a 1x +43b 1y =c 1， ∴以23x 与43y 为未知数的方程组{23ax +43by =c 23a 1x +43b 1y =c 1的解为{23x =343y =4， 解得：{x =92y =3， ∴方程组{2ax +4by =3c 2a 1x +4b 1y =3c 1的解为{x =92y =3．20. 解：(1)2，如图：或，(2)如图所示：设3号卡片的长与宽分别为a 、b ，右下角与左上角的阴影部分的周长之差为6， ∴2[(AB −2b)+(AD −3b)]−2[(AD −a)+(AB −a)]=6，2AB −4b +2AD −6b −2AD +2a −2AB +2a =6，4a −10b =6，2a −5b =3①，又∵一张3号卡片的周长为17，∴2(a +b)=17②，解①②联立的方程组得：{a =132b =2， ∴每一张3号卡片的面积=ab =132×2=13；(3)如图3所示：设3号卡片的长与宽分别为a 、b ，∵最中间的小正方形面积为4，∴a +b =12a +52b 即a =3b①， 又∵12a −12b =2即a −b =4②解①②联立的方程组得：{a =6b =2, ∴a +b =8，∴大正方形的面积=8×8=64．21. 解：(1)(−3)&5=(−3)−2×5+1=−12．(2)由题意得：{2x −2y +1=−2−3y −2x +1=−1解得{x =−12,y =1． ∴x −y =−12−1=−32．22. 解：(1)是，不是，是(2)∵a +b,a −b 同为奇数或同为偶数，∴48=24×2或48=12×4或48=8×6∴{a +b =24a −b =2或{a +b =12a −b =4或{a +b =8a −b =6，解得{a =13b =11或{a =8b =4或{a =7b =1,∵132+112>82+42>72+12∴F (48)=132+112=290(3)由题可知n =10x +y =(a +b)(a −b)，∵x +y 能够被8整除且1≤x <y ≤9∴x +y =8或x +y =16①，当x +y =8时，∵1≤x <y ≤9，∴x =1或2或3，即n =17或26或35，而26不是“完美数”∴{a +b =17a −b =1或{a +b =35a −b =1或{a +b =7a −b =5解得{a =9b =8或{a =18b =17或{a =6b =1∴F (17)=92+82=145,F (35)=182+172=613②当x +y =16时，∵1≤x <y ≤9，∴x =7，∴n =79∴{a +b =79a −b =1，解得{a =40b =39∴F (79)=402+392=3121 ∴F (n )的最小值为145．。