10112 5 高数B(2-2)多元微分复习题解演示

5．设 z = e xy + x2 y − sin (π x ) ，则 zx (1,2) = [ C ]． ． ．
(A) e + 4 + π (C) 2e2 + 4 + π (B) e2 + 4 + π (D) 2e + 4 + π
解： z x = ye xy + 2 xy − π cos (π x ) ，
lim lim
f ( x, y ) 和 f ( x0 , y0 ) 都存在 f ( x, y ) = f ( x0 , y0 )
x ∂z ∂2 z 4．已知 z = x 2 y + 2 + z − 2 ln ( e x + e y ) + π 2 ，求 和 ． ． y ∂x ∂x∂y
∂z 1 2e x ∂2 z 2 2e x e y ．▌ = 2x − 3 + 解： = 2 xy + 2 − x y ， x y 2 ∂x y e +e ∂x∂y y (e + e )
∂z 19．由方程 e − z + 2 xy = 9 所确定的隐函数为 z ( x, y ) ，求 ． 所确定的隐函数为 ． ∂x z z 解：∵ F = e − z + 2 xy − 9 ， Fx = 2 y ， Fz = e − 1 ， Fx ∂z 2y ．▌ ∴ =− = z ∂x Fz 1 − e
dz = z x dx + z y dy = 2e x + 2 y dx + 4e x + 2 y dy = 2e x + 2 y ( dx + 2dy ) ．▌
9．设 z = 4sin xy ，求 dz ． ． ( ydx + xdy )
解： dz = 4 cos xy
2 xy
=
2 cos xy xy
21．设 = ln ，求 ．
x zdx − xdz dz dy = − 解： = ln z − ln y ．两边微分， 2 z z z y z z2 ∂z z ∂z z2 ⇒ dz = dx + dy ．∴ = ， = ．▌ x+z y ( x + z) ∂x x + z ∂y y ( x + z )
∂z y ∂z 15．已知 z = f x + y, ，求 和 的表达式． ． 的表达式．

x
∂x
∂y
解：
∂z y ∂z 1 = f1′ − 2 f 2′ 和 = f1′ + f 2′ ．▌ ∂x x ∂y x
∂x ∂y x ∂u y ∂u 证：∵ = y + ϕ − ϕ ′ 和 = x + ϕ ′ ． x ∂x ∂y
2 2
．
8．设 z = 2e x + 2 y ，则 dz = [ D ]． ． ． (A) 2e x + 2 y ( dx + dy ) (B) 2e x + 2 y ( dx + dy ) (C) 4e x + 2 y ( dx + dy ) (D) 2e x + 2 y ( dx + 2dy ) 解： z x = 2e x + 2 y (1 + 0 ) = 2e x + 2 y ， z y = 2e x + 2 y ( 0 + 2 ) = 4e x + y ，
二、复合函数求导法和隐函数求导法
dz 13．设 z = arctan ( xy ) ， y = e ，求全导数 ． ． dx x dz (1 + x ) e ．▌ 解： z = arctan(xe x )，故 = 2 2x dx 1 + x e
x
14．求函数 u = f ( x, xy, xyz ) 的所有的一阶偏导数， ． 的所有的一阶偏导数， 具有连续一阶偏导数的三元函数 的三元函数． 其中 f 具有连续一阶偏导数的三元函数． 解： u x = f1′+ yf 2′ + yzf3′ ， u y = xf 2′ + zxf3′ ， u z = xyf3′ ．▌
则 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续是指 [
D
]． ．
(A) f ( x0 , y0 ) 有定义 (B) x , y lim , y f ( x, y ) 存在 → x
( ) (
0 0
)
(C) (D)
( x , y )→( x0 , y0 ) ( x , y )→( x0 , y0 )
( ydx + xdy ) ．▌
10．设 u = x 2 + y 2 + z 2 ，求 du ． ．
解： du =
2 xdx + 2 ydy + 2 zdz 2 x +y +z
2 2 2
=
xdx + ydy + zdz x +y +z
2 2 2
．▌
11．若 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处有连续一阶偏导数， ． 处有连续一阶偏导数，
25．证明曲面 Σ ： x 2 + y 2 + z 2 + 4 x z + 1 = 0 的切平面 Π 不平行于 ．
x + y + z + 5 = 0, 直线 L ： x + 2 y + z − 8 = 0.
x z
z y
∂z ∂z 和 ． ∂x ∂y
x = eu + u sin v, 22．求方程组 ． 确定的隐函数 u ( x, y ) 和 v ( x, y ) u y = e − u cos v 的偏导数 ux 和 vx ．
1 = eu ⋅ ux + ux sin v + u cos v ⋅ vx , 解：两方程都对 x 求导，得到 0 = eu ⋅ u x − u x cos v + u sin v ⋅ vx . ( eu + sin v ) ⋅ u x + u cos v ⋅ vx = 1, 即 u ( e − cos v ) ⋅ u x + u sin v ⋅ vx = 0.
3 − xy + 9 ． ) 5 xy
2．求 x , ylim0,0 ． →
( ) (
3 − xy + 9 −1 1 = lim = − ．▌ 解： x , ylim0,0 ( ) →( ) ( x , y ) →( 0,0 ) 5(3 + xy + 9) 5 xy 30
3．设 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有定义， ． 的某邻域内有定义，
z
20．由方程 xyz = sin 2 z 所确定的隐函数为 z ( x, y ) ，求 z x 和 z y ． ． 所确定的隐函数为
解：对 x 求导， yz + xyz x = cos 2 z ⋅ 2 z x ⇒ z x =
xz 同理 z y = ．▌ 2 cos 2 z − xy
yz ． 2 cos 2 z − xy
z x (1,2) = 2 × e1×2 + 2 × 1× 2 − π cos (π × 1) = 2e 2 + 4 + π ．▌
y 2 cos ( x − y ) π 6．已知 f ( x, y ) = ． ，求 f y π , ． cos ( x + y ) 4
− y 2 cos y 解： f ( π , y ) = = y2 ， − cos y π π π 故 f y (π , y ) = 2 y ， f y π , = 2 × = ．▌ 4 2 4
7．试证函数 z = arcsin 满足 x ．
∂z ∂z + y =0． ∂x ∂y ∂z y x y 1 1 y x y ⋅ = − 2 arcsin + ； 解： = − 2 arcsin + ⋅ 2 2 2 ∂x x y x 1− ( x y) y x y x y −x y x x y
∂z 1 x y 1 = arcsin + ⋅ ∂y x y x 1 − ( x y )2 ∂z ∂z 故满足 x + y = 0 ．▌ ∂x ∂y x 1 x ⋅ − 2 = arcsin − y y x 1 y −x
0 a b 法平面方程 0 ⋅ ( x − a ) + a ( y − 0 ) + b ( z − 0 ) = 0 ，即 ay + bz = 0 ．▌
24．在曲面 z = xy 上求一点，使在这点处的法线垂直于平面 ． 上求一点，使在这点处的法线垂直于平面
x + 3 y + z + 9 = 0 ．写出这点处的法线的方程和切平面方程． 写出这点处的法线的方程和切平面方程． 这点处的法线的方程 r r 解：曲面法向量 n = ( z x , z y , −1) = ( y , x, −1) ．平面法向 n0 = (1, 3,1) ． y x −1 r r ∵ n n0 ， = = = −1 ⇒ x = −3 , y = −1 , z = 3 ， 所求点 ( −3, −1,3) ． 1 3 1 x + 3 y +1 z − 3 ∴法线为 ； = = 1 3 1 切平面为1⋅ ( x + 3) + 3 ⋅ ( y + 1) + 1⋅ ( z − 3) = 0 ， x + 3 y + z + 3 = 0 ．▌
12．函数 f ( x, y ) 在某点处有偏导数 f x 和 f y 是函数在此点 ． 在某点处有偏导数