极限理论在高等数学中的应用
极限理论在数学分析中的作用及应用探究
是存在一个常数 X袁 使得对 ε ＞ 0袁 δ ＞ 0袁 当 0＜｜ x－ x0｜ ＜ δ 时袁有｜ f(x)- X｜ ＜ ε ,那么袁则称当 x→x0 时 f(x)的 极限为 X袁记作 limx→x0 f(x)=X遥
定义 3院设 f(x)为[a,b]上的有界函数袁A 表示对[a.b]的分 法院a=x0＜ x1＜ x2＜ 噎噎＜ xn=b,记作 Δ xk=xk- xk-1袁姿(A)=max1≤ k≤ nΔ xk袁I 为常数袁若对 ε ＞ 0袁 δ ＞ 0袁对任意分法 A袁当 姿
北方经贸
极限理论在数学分析中的作用及应用探究
付松林
渊 商丘职业技术学院袁 河南 商丘 476000冤
摘要院极限理论是近代数学中的一种非常重要的思想袁而 数学分析中的函数研究就是以极限概念为基础尧 极限理 论为工具的一门科学遥 本文将对极限理论的定义以及其 在数学分析中的地位及作用进行分析袁 并探讨其应用于 数学分析中常见的集中求解极限的方法遥 关键词院极限理论曰数学分析曰极限求解曰定义 中图分类号院G633.6 文献标识码院粤 文章编号院1005-913X渊 2013冤 02-0137-02
=a±
b袁limx→0[f(X)窑g(X)]=a窑b袁l
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f(X) g(X)
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3.设 limx→0f(X)=∞ (+∞ )袁limx→0g(X)=∞ (+∞ )或是 limx→0g (X)=a(a＞ 0)袁那么袁limx→0[f(X)g(X)]=∞ (+∞ )遥
函数的上下限极限及应用
公元3世纪，我国古代杰出数学家刘徽成功地把极限思想应用于实践之中，其中最被人所熟知的方法是在计算圆的面积时所建立的“割圆术”。在近代数学许多分支中一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化。近年许多专家学者对函数极限的计算方法作了研究，并取得了一定的突破。房俊、李广民研究了用中值定理求函数极限的方法；曹学锋、孙幸荣讨论了利用无穷小量计算函数的极限。
刘永莉和石蕊在《函数极限的Stolz定理及其应用》【2】中将数列极限的Stolz定理推广到函数极限，并且用Stolz定理证明了L'Hospital法则，金少华、张建和宛艳萍在《求极限的若干方法》【3】中整理归纳了求取极限的多种方法，并给出了相应的证明，董仲超的《上、下限集的思考》【7】讨论了实变函数中上、下限集的定义，对数列极限和函数极限概念间的关系做了比较，冯适在《浅谈高等数学中极限定义的研究和应用》【8】中提出极限定义在高等数学中的实际应用，常瑞玲和郭新在《利用投影法选取积分的上、下限》【9】中对利用投影法求解函数上下限给出了详细的证明。
吕梁学院2019届毕业论文开题报告
（学生用表）
系（部）：数学系专业：数学与应用数学班级：1501(专升本)
课题名称
函数的上下限极限及应用
指导教师
王小二李花花
学生
吴平
学号
201502022101
1.课题的来源及意义
极限理论在数学学科中是最基础、但却是最重要的内容之一，它以各种各样的形式出现，并贯穿于高等数学中。极限是数学中由常量到变量、有限到无限、近似到精确思想转变的重要概念，在整个现代数学中，极限理论是最基本的概念之一，是解决与处理数学问题的一种重要的数学思想和方法。
3.2研究内容
浅谈极限对数学的意义
浅谈极限对数学的意义第一篇：浅谈极限对数学的意义浅谈极限对数学的意义极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限的思想由来已久.公元前三世纪,古代伟大的科学家阿基米德，利用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积，而公元前五世纪，我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
这其中就用到了极限思想。
这些早期的极限思想还很原始与朴素，但为其后极限的发展奠定了基础。
说到极限的作用，就不得不提到微积分。
可以说极限就是微积分的基础，而微积分的发展是建立在极限理论发展之上的。
而微积分对现代文明的贡献之大毋庸置疑。
由此极限的重要性可见一斑。
现在任何一所大学的数学系的学生都会先学极限，之后再学微积分。
但历史上微积分却比极限产生的早，可以说微积分是一个早产儿。
这个早产儿在实际中应用的非常好，但是在理论上却是模糊不清。
由此还引发了第二次数学危机。
拯救危机的方法就是清晰的定义极限。
十七世纪，微积分出现了。
领军人物是两个伟大的智者。
一个家伙叫牛顿，而另一个叫莱布尼茨。
牛顿通过对力的研究发明了微积分，虽然现在看来这样的微积分还很原始，仅仅涉及一重，只有一个变量。
但是它的意义是无可估量的。
而莱布尼茨则通过对切线的研究，得到了微积分。
他不仅发明了微积分，而且现代微积分很多符号都是他定义的，他在理论方面的研究价值巨大。
可是无论是牛顿，还是莱布尼茨，都有一些基本的理论问题无法解决。
而这些问题也困扰了他们一生。
到底是什么样的问题呢？首先我们要来了解微积分是什么。
微积分分为微分和积分。
微分的定义为：设函数y = f(x)在x0的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。
函数极限的求法及应用
函数极限的求法及应用编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（函数极限的求法及应用）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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函数极限的求法及应用摘要:在数学分析中函数极限的运算是最基本的运算之一。
本文结合不同类型的函数极限的实例，给出了九种求法，同时也注明了具体应用时的注意事项。
关键词：函数极限； 数学分析； 求法The Limit of Function Asks The Law and The ApplicationAbstract: In the mathematical analysis limit of function’s operation is one ofmost basic operations 。
This article unifies the different type the limit of function example, gave nine kinds to ask the law ， and simultaneously has also indicated time the concrete application matters needing attention 。
Key words: Limit of function ； Mathematical analysis ； Solve引言函数极限问题贯穿于整个数学分析中,由此可见函数极限是数学分析中最基本、最重要的内容之一。
求解函数极限的方法有带入求值法、利用两个重要极限、利用迫敛性定理、罗比达法则，而且也会运用一些特殊的方法求解函数极限。
极限的定义和基本性质
极限的定义和基本性质极限作为一种基本的概念，是高等数学中的重要内容之一。
本文将从极限的定义和性质两个方面分析这一概念的重要性和应用。
一、极限的定义极限是指当自变量趋近于某个数值时，函数的取值趋近于一个确定的值，这个确定的值便是函数的极限。
通常表示为：当$x$趋近于$a$时，$f(x)$趋近于$A$，记作$\lim_{x \to a}f(x)=A$。
其中，$x$是自变量，$a$是$x$的极限点，$f(x)$是函数，$A$是函数的极限值。
当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值并不一定等于$A$，但$f(x)$的值与$A$的差距可以任意小。
这也是极限的常见特性之一，即无论误差多小，都可以无限接近极限值。
二、极限的性质极限具有许多重要性质，其中一些常见的性质包括：1、唯一性：函数的极限值是唯一的。
即，如果$\lim_{x \toa}f(x)=A_1$且$\lim_{x \to a}f(x)=A_2$，那么$A_1=A_2$。
这个性质直接来自极限的定义。
2、局部有界性：如果函数$f(x)$在某个$a$的邻域内存在极限，则$f(x)$在该邻域内有局部有界性。
这意味着，无论$x$ 接近$a$，值域的上下限必须存在。
因此可得出，$f(x)$在该邻域内一定存在最大值和最小值。
3、保号性：如果$\lim_{x \to a}f(x)>0$，那么在$a$的充分邻域内，对应的函数值必须大于于 $0$。
类似地，如果$\lim_{x \toa}f(x)<0$，则在 $a$ 的充分邻域内，函数值必须小于$0$。
4、等式性：如果$\lim_{x \to a}f(x)=A$，$\lim_{x \to a}g(x)=B$，那么$\lim_{x \to a}[f(x)+g(x)]=A+B$，$\lim_{x \toa}[f(x)g(x)]=AB$等等。
这个性质可以方便地应用于复杂的数学问题中。
以上仅是极限的一些基本性质，当然，还有许多特定函数的极限，如三角函数、指数函数、对数函数等等，每一个函数都有其特定的极限性质。
高等数学级数求极限方法
高等数学级数求极限方法级数求极限是高等数学教学中的重要内容，它是分析函数和数量的变化规律的重要工具，也是连续函数和累加函数研究的重要方法。
级数求极限不仅是数学基础理论，而且在工程中也有重要应用。
本文将介绍级数求极限的概念、性质、方法和应用。
1.数求极限的概念和性质级数求极限的基本概念是：若序列${a_n}$的每一项$a_n$都收敛于某一实数$a$，则称为该序列$a_n$收敛于$a$，记作$lim_{ntoinfty}a_n=a$。
这时，$a$叫做级数$a_n$的极限，用$lim$符号表示。
级数求极限的性质有两种：绝对和条件收敛。
若一序列$a_n$的每一项的绝对值的极限为0，则称该序列绝对收敛；若一序列$a_n$在一定条件下的极限存在，则称该序列条件收敛。
2.数求极限的方法(1)先求出序列的前n项的和，然后判断它的极限。
(2)采用数学归纳法证明序列的极限存在。
(3)采用特殊序列，通过分析对比不同序列，来证明某一序列的极限存在。
(4)利用解析法，采用分析数学方法求出极限。
3.数求极限在工程领域的应用（1）微分方程的解，如求解伯努利方程的级数解和特殊解；（2）积分方程的解，如求解积分方程的解级数；（3）统计学中实用公式的求解，如极大似然比等；（4）医学中常见问题的解决，如病人身体变化曲线的估计；（5）工程计算中的特殊问题，如力学模型的建立；（6）地理测量中的公式应用，如经纬度的计算。
综上所述，级数求极限是高等数学中的重要内容，它是连续函数和累加函数研究的重要方法，也是工程中的重要应用。
本文重点介绍了级数求极限的概念、性质、方法和应用，旨在为使用级数求极限方法的读者提供参考和帮助。
函数极限特殊极限
函数极限特殊极限在数学中，函数极限是指当自变量无限趋近于某个值时，函数的取值趋近于一个确定的值。
这个确定的值就是函数的极限。
极限理论是高等数学中的基础概念，它不仅在解析几何、微积分等数学学科中具有重要应用，而且在物理学、化学、经济学等科学领域中也有广泛的应用。
函数极限具有多种性质和特殊的极限类型。
其中一些特殊极限具有重要的运用价值和理论意义，值得我们详细了解和研究。
以下是几个典型的特殊极限。
1.正无穷极限当函数自变量趋近于正无穷时，函数的取值趋近于无穷大，这种极限被称为正无穷极限。
例如，当x趋近于正无穷时，函数f（x）=x²趋近于正无穷。
在实际应用中，正无穷极限在研究物理学、经济学等领域中有广泛的应用。
例如，在物理学中，当物体的速度越来越快时，动能也随之越来越大，此时动能可以看做是速度的平方，即动能的极限函数。
2.负无穷极限当函数自变量趋近于负无穷时，函数的取值趋近于无穷小，这种极限被称为负无穷极限。
例如，当x趋近于负无穷时，函数f（x）=1/x²趋近于0。
在实际应用中，负无穷极限在研究弱化几何、拓扑学等领域中有广泛的应用。
3.零点极限当函数自变量趋近于零时，函数的取值趋近于一个确定的值，这种极限被称为零点极限。
例如，当x趋近于0时，sin（x）/x趋近于1。
在实际应用中，零点极限在研究物理学、数学物理学等领域中有广泛的应用。
4.自然对数的极限当函数自变量趋近于1时，自然对数函数lnx的极限为0。
这个极限在微积分中有广泛的应用，例如，当概率密度函数近似为常函数时，ln概率密度函数可以被近似地看做是概率密度函数的二阶导数。
以上是几个常见的特殊极限，它们在不同的数学和科学领域中有广泛的应用和研究。
要深入了解函数极限，需要对数学的基础概念有深刻的理解和掌握实际应用技能。
无论是在学术研究中还是在实际应用中，理解和掌握特殊极限的概念和性质都是非常重要的。
浅谈高等数学中极限理论的教学
浅谈高等数学中极限理论的教学【摘要】本文通过阐述极限思想的起源和发展，分析极限思想的思维本质和哲学意义;又通过阐述极限思想和微积分学产生和发展的联系，以及极限思想在微积分学及其他学科分支中的应用，得出极限理论是高等数学的重要内容之一，是构成微积分学的基础。
所以极限理论的教学在微积分学中是至关重要的，我们系统地向学生介绍极限思想的产生，发展，以及和微积分学的紧密联系是十分必要的。
【关键词】极限思想；微积分；微元法极限思想是微积分学解决问题的主要思想，极限的方法又是微积分研究函数的主要方法，因此学好微积分学的关键是建立极限的思想和会使用极限的方法。
本文就自己对极限的认识阐述一下如何进行极限的教学。
1向学生介绍极限思想的产生和发展极限的思想是由某些实际问题的精确解而产生的，极限是研究变量变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念都是建立在极限的基础上的，因此没有极限的思想和研究问题的方法就没有微积分学，也没有现在的高科技理论，更谈不上人类社会的进步，因此极限在人类文明史上起着举足轻重的作用。
最初微积分由牛顿和莱布尼兹发现时并没有严格的定义，后来法国数学家柯西严格定义极限概念之后才使微积分学有了严格的数学定义。
极限思想反映的是一个变量随另一个变量变化的无限逼近的思想，数学史上微积分学产生的过程是人类对极限思想认识的逐步加深、逐步明确的过程，因此极限思想是微积分学中的基本的数学思想。
我国古代数学家刘徽（公园3世纪）利用圆内接多边形求圆的面积——割圆术，就是极限思想在几何上的应用。
又如春秋战国时期的哲学家庄子（公园前4世纪）有一句名言：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，公元5世纪祖冲之计算圆周率等问题中，都蕴含了最原始的朴素的极限思想。
无穷分割下的极限思想是微积分学起源的关键，最能引起关于对无穷思索的是求曲边图形的面积。
1615年开普勒发表《测量酒桶体积的科学》，大胆巧妙地将无穷小求和思想用于求圆面积公式的推导.由此得到：若已知圆周长为2πr，现将圆面无限分割，则圆面积可被看作是由无限多个顶点在圆心，高等于半径、底边是圆周一部分的小三角形组成，所以，所以1/2r(A1A2+A2A3+……+An+A1)1/2r.2∏r=∏r2。
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极限理论在高等数学中的应用
高等数学是大学数学的重要组成部分，它包含了微积分、线性代数、概率论等
内容。
在这些学科中，极限理论是一项基础且重要的概念，它在数学的发展和实际应用中起着重要的作用。
本文将探讨极限理论在高等数学中的应用，并介绍一些相关的例子。
一、极限理论在微积分中的应用
微积分是高等数学中的重要分支，它研究函数的变化规律和曲线的性质。
在微
积分中，极限理论被广泛应用于求导、积分等计算中。
首先，极限理论在求导中起着重要的作用。
在微积分中，导数表示函数在某一
点的变化率。
通过极限的概念，我们可以定义函数在某一点的导数，并通过求极限的方法计算导数的值。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以通过求极限的方法计算
出f(x)在任意一点x的导数为2x。
这个例子展示了极限理论在求导中的应用。
其次，极限理论在积分中也有重要的应用。
在微积分中，积分表示函数在一定
区间上的累积变化量。
通过极限的概念，我们可以定义函数在某一区间上的积分，并通过求极限的方法计算积分的值。
例如，对于函数f(x)=x，我们可以通过求极限
的方法计算出f(x)在区间[0,1]上的积分为1/2。
这个例子展示了极限理论在积分中
的应用。
二、极限理论在线性代数中的应用
线性代数是高等数学中的另一个重要分支，它研究向量空间和线性变换的性质。
在线性代数中，极限理论被广泛应用于矩阵的特征值和特征向量的计算中。
特征值和特征向量是矩阵的重要性质，它们在很多实际问题中具有重要的应用
价值。
通过极限的概念，我们可以定义矩阵的特征值和特征向量，并通过求极限的方法计算它们的值。
例如，对于矩阵A=[[1,2],[3,4]]，我们可以通过求极限的方法
计算出它的特征值为5和-1，对应的特征向量为[1,1]和[-2,1]。
这个例子展示了极限理论在矩阵特征值和特征向量计算中的应用。
三、极限理论在概率论中的应用
概率论是高等数学中的另一个重要分支，它研究随机事件的概率和随机变量的
性质。
在概率论中，极限理论被广泛应用于概率分布的计算和随机过程的分析中。
概率分布是随机变量取值的概率分布情况，它描述了随机事件发生的可能性。
通过极限的概念，我们可以定义概率分布，并通过求极限的方法计算概率分布的值。
例如，对于正态分布，我们可以通过极限的方法计算出其概率密度函数和累积分布函数。
这个例子展示了极限理论在概率分布计算中的应用。
随机过程是随机事件随时间变化的过程，它描述了随机事件的演化规律。
通过
极限的概念，我们可以定义随机过程，并通过求极限的方法分析随机过程的性质。
例如，对于马尔可夫链，我们可以通过极限的方法计算出其平稳分布和转移概率矩阵。
这个例子展示了极限理论在随机过程分析中的应用。
综上所述，极限理论在高等数学中具有广泛的应用。
无论是在微积分、线性代
数还是概率论中，极限理论都是一项重要的工具和方法。
通过极限的概念，我们可以定义和计算各种数学对象的性质，从而推动数学的发展和应用。