2021年上海市八年级数学期末复习-第18章 正比例函数和反比例函数精讲讲练(学生版)
第01讲 一次函数的概念、图像与性质(考点与练习)(原卷版)
第01讲 一次函数的概念、图像与性质一、一次函数的概念1、概念：一般地，解析式形如y kx b =+（k 、b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数。
定义域：一切实数。
2、一次函数与正比例函数的关系：正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。
3、常值函数一般的，我们把函数()y c c =为常数叫做常值函数。
二、一次函数的图像与性质1、 一次函数的图像：一般地，一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的图像是一条直线．一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+，这时，我们把一次函数的解析式y kx b =+称为这一直线的表达式．画一次函数y kx b =+的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线． 2、 一次函数的截距：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距，一般地，直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴的交点坐标是(0)b ，，直线y kx b =+（0k ≠）的截距是b ．3、 一次函数图像的平移：一般地，一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移得到．当0b >时，向上平移b 个单位；当0b <时，向下平移b 个单位．（函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”） 4、 直线位置关系：如果12b b ≠，那么直线1y kx b =+与直线2y kx b =+平行．反过来，如果直线11y k x b =+与直线22y k x b =+平行，那么12k k =，12b b ≠．5、一次函数的增减性：一般地，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）具有以下性质：当0k >时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大，图像为上升； 当0k <时，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，图像为下降． 6、一次函数图像的位置情况：直线y kx b =+（0k ≠，0b ≠）过(0,)b 且与直线y kx =平行，由直线y kx =在平面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得） 当0k >，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、三象限； 当0k >，且0b <时，直线y kx b =+经过一、三、四象限； 当0k <，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、四象限； 当0k <，且0b <时，直线y kx b =+经过二、三、四象限．考点一：一次函数识别【例题1】（2021·上海普陀·八年级期中）下列四个函数中，一次函数是（ ） A ．y ＝x 2﹣2xB ．y ＝x ﹣2C ．11y x=+D ．y x +1【变式训练1】（2021·上海奉贤·八年级期中）下列函数中是一次函数的是（ ） A ．y ＝2x B ．2y x=C ．y ＝x 2D ．y ＝kx +b （k ，b 为常数）考点二：根据一次函数的定义求参数【例题2】（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）当k ______时，y kx x =+是一次函数．【变式训练1】（2021·上海普陀·八年级期中）若函数y=(m-2)x+5是一次函数，则m 满足的条件是____________．【变式训练2】（2021·上海民办华二宝山实验学校八年级阶段练习）已知关于x 函数224(5)1m y m x m -=-++，若它是一次函数，则m =______.考点三：求一次函数的自变量与值域【例题3】（2021·上海杨浦·八年级期末）如果点A(3,)a 在一次函数31yx 的图像上，则a =__________．【变式训练1】（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）已知一次函数24y x =+的图象经过点(),8A m ，那么m 的值等于______． 考点四：列一次函数的解析式并求值【例题4】（2021·上海市松江区新桥中学八年级期中）汽车油箱中现有汽油60升，若每小时耗油10升，则油箱中剩余油量y （升）与燃烧的时间x （小时）之间的函数关系式是______．【变式训练1】（2020·上海浦东新·八年级期末）汽车以60千米/时的平均速度，由A 地驶往相距420千米的上海，汽车距上海的路程s （千米）与行驶时间t （时）的函数关系式是_____．考点五：一次函数平移【例题5】（2021·上海市松江区新桥中学八年级期中）将直线112y x =--向上平移4个单位所得的直线表达式为______．【变式训练1】（2021·上海杨浦·八年级期中）将一次函数y ＝2x ﹣3的图象向上平移___个单位后，图象过原点．【变式训练2】（2021·上海浦东新·八年级期末）如果将函数31y x =-的图象向上平移3个单位，那么所得图象的函数解析式是________． 考点六：一次函数与坐标轴交点【例题6】（2021·上海普陀·八年级期末）将平面直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标轴三角形．如图中的一次函数图像与,x y 轴分别交于点,,A B 那么ABO 为此一次函数的坐标轴三角形．一次函数142y x =-+的坐标轴三角形的面积是_____．【变式训练1】（2021·上海杨浦·八年级期中）一次函数y ＝﹣2x ﹣3的截距是_____． 【变式训练2】（2021·上海·八年级期中）直线36y x =-与坐标轴所围成的三角形的面积是_____．【变式训练3】（2021·上海奉贤·八年级期末）直线21y x =-与x 轴交点坐标为_____________．考点七：根据一次函数解析式判断其经过象限【例题7】（2021·上海·上外附中八年级期末）一次函数y ＝2（x +1）﹣1不经过第（ ）象限 A ．一B ．二C ．三D ．四【变式训练1】（2021·上海徐汇·八年级期末）一次函数21y x =-+的图象经过哪几个象限（ ）A ．一、二、三象限B ．一、二、四象限C ．一、三、四象限D ．二、三、四象限 【变式训练2】（2021·上海崇明·八年级期末）一次函数53y x =-+的图象不经过（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式训练3】（2021·上海金山·八年级期末）在直角坐标系中，一次函数y ＝12x ﹣1的图像不经过第____象限．考点八：已知函数经过的象限求参数范围【例题8】（2019·上海市西延安中学八年级期中）在同一真角坐标平面中表示两个一次函数y 1=kx +b ，y 2=−bx +k ，正确的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【变式训练1】（2020·上海市奉贤区弘文学校八年级期末）正比例函数()0y mx m =≠的图像在第二、四象限内，则点（--1m m ，）在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式训练2】（2020·上海金山·八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k 和b 的取值范围是（ ）A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＞0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜0【变式训练3】（2019·上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）如果关于x 的一次函数(3)y m x m =-+的图像不经过第三象限，那么m 的取值范围________.【变式训练4】（2021·上海静安·八年级期末）已知一次函数y ＝（k ﹣1）x ＋1的图像经过第一、二、三象限，那么常数k 的取值范围是____．【变式训练5】（2021·上海·上外附中八年级期末）一次函数y ＝（2m ﹣1）x +m ﹣7的图像不经过第二象限，则m 的取值范围是 ___．【变式训练6】（2017·上海嘉定·八年级期中）若正比例函数25m m y mx +-=的图像经过第二、四象限，则m =____________【变式训练7】（2018·上海普陀·八年级期末）如果关于x 的一次函数y ＝mx +(4m ﹣2)的图象经过第一、三、四象限，那么m 的取值范围是_____． 考点九：已知两条直线位置关系求参数【例题9】直线2(13)(22)y k x k =-+-与已知直线21y x =-+平行，且不经过第三象限，求k 的值．1.已知一次函数21544m y x +=-与233my x =-+的图像在第四象限内交于一点，求整数m 的值．2.已知两个一次函数144b y x =--和212y x a a=+；（1）a、b为何值时，两函数的图像重合?（2）a、b满足什么关系时，两函数的图像相互平行?（3）a、b取何值时，两函数图像交于x轴上同一点，并求这一点的坐标．3.（1）一次函数3y x b=+的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为48，求b的值；（2）一次函数y kx b=+的图像与两坐标围成的三角形的面积是105，求一次函数的解析式．4.1）求直线14222y x y x=-=+和与y轴所围成的三角形的面积；（2）求直线24y x=-与直线31y x=-+与x轴所围成的三角形的面积．5.如图，已知由x轴、一次函数4(0)y kx k=+<的图像及分别过点C（1，0）、D（4，0）两点作平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7，试求这个一次函数的解析式．6.在式子()y kx b k b =+，为常数中，3119x y -≤≤≤≤当时，，kb 求的值．7.已知一次函数1121y x k =+-中y 随x 的增大而增大，它的图像与两坐标轴构成的直角三 角形的面积不超过32，反比例函数23k y x-=的图像在第二、四象限，求满足以上条件的k 的 整数值．8.如图，已知函数1y x=+的图象与y轴交于点A，一次函数y kx b=+的图象经过点B（0，1-），并且与x轴以及1y x=+的图象分别交于点C、D；（1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；（2）在第（1）小题的条件下，在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由；（3）若一次函数y kx b=+的图象与函数1y x=+的图象的交点D始终在第一象限，则系数k 的取值范围是________（请直接写出结果）题组A 基础过关练一、单选题1.下列关于x的函数中，是一次函数的是（）222211.3(1) (3)A y xB y xC y xD y x xx x=-=+=-=+-2.正比例函数y=(1－2m)x的图象经过点（x1，y1）和点（x2，y2）当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m<0 B．m>0 C．m＜12D．m＞123．（2018·上海金山·八年级期中）一次函数51y x=-的图像经过的象限是（）A．一、二、三B．一、三、四C．二、三、四D．一、二、四分层提分4．（2018·上海金山·八年级期中）一次函数图像如图所示，当2y >时，x 的取值范围是（ ）A ．0x >B ．0x <C ．2x >D ．2x <5．（2020·上海浦东新·八年级期末）直线y ＝2x ﹣1在y 轴上的截距是（ ） A ．1 B ．﹣1C ．2D ．﹣2二、填空题6．（2019·上海普陀·八年级期中）如果将直线22y x =-向上平移3个单位，那么所得直线的表达式是___________．7．（2019·上海普陀·八年级期末）已知直线(2)3y k x =-+与直线32y x =-平行，那么k =_______．题组B 能力提升练1.一次函数(2)3y k x k =-+-的图像能否可以不经过第三象限?为什么?2.已知直线26x y k -=-+和341x y k +=+，若它们的交点第四象限，那么k 的取值范围是______________．3.如图，据函数y kx b =+的图像，填空：（1） 当1x =-时，y =____________；（2） 图像与坐标轴的交点坐标是_________________； （3） 当24x -≤≤时，y 的取值范围是______________．4.根据下列条件求解相应函数解析式： （1）直线经过点(45)，且与y=2x +3轴无交点； （2）直线的截距为3(123)．5.已知函数1y x =+与3y x =-+，求： （1）两个函数图象交点P 的坐标．（2）这两条直线与x 轴围成的三角形面积．6.把一次函数的图像向上平移323y x =-，求平移前的函数图像与函数23y x =--题组C 培优拔尖练1.直线31y =+和x 轴、y 轴分别相交于点A 、点B ，以线段AB 为边在第一象限内作等边三角形ABC ，如果在第一象限内有一点P （12m ，）且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，求m 的值．2.函数12y y y =+且12y x m =+，2131y x m =+-． （1）若12y y 与图像的交点的纵坐标为4，求y 关于x 的函数解析式；（2）若（1）中函数y 的图像与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，若将此函数绕A 点顺时针旋转90°后交y 轴于C 点，求直线AC 的解析式．3.如图所示，直线323y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，D 是y 轴上的一点，若将DAB ∆沿直线DA 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处，求直线CD 的解析式．4.直线31y =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt ABC ∆，且90BAC ∠=，如果在第二象限内有一点P （a ，12），且ABP ∆的面积与Rt ABC∆的面积相等，求a 的值．。
单元复习AB卷：第二十七章 反比例函数(A卷-中档卷)解析版
第二十七章反比例函数（A卷-中档卷）注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．答题时间：60分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022·湖南·九年级单元测试）下列各选项中，两个量成反比例关系的是（）．A．正方形的边长和面积B．圆的周长一定，它的直径和圆周率C．速度一定，路程和时间D．总价一定，单价和数量【答案】D【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定．如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例．由此逐项判断即可．【详解】A．正方形的面积÷正方形的边长=正方形的边长，没有定值，故正方形的边长和面积不成比例，不符合题意；B．∵周长（定值）=直径×圆周率（定值），故直径也为定值，故圆的周长一定，它的直径和圆周率不成比例，不符合题意；C．∵路程÷时间=速度（定值），是比值为定值，符合正比例的意义，故速度一定，路程和时间成正比例关系，不符合题意；D．∵单价×数量=总价（一定），是乘积为定值，符合反比例的意义，故总价一定，单价和数量成反比例关系，符合题意；故选D．【点睛】本题属于辨识正、反比例的量，就看这两个量是对应比值一定，还是对应乘积一定，再做判断．2．（2022·北京昌平·二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：千帕）随气球内气体的体积V（单位：立方米）的变化而变化，P随V的变化情况如下表所示，那么在这个温度下，气球内气体的气压P与气球内气体的体积V的函数关系最可能是（）A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．反比例函数【答案】D【分析】根据PV ＝96结合反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：由表格数据可得PV ＝96，即96P V=， ∴气球内气体的气压P 与气球内气体的体积V 的函数关系最可能是反比例函数， 故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数，掌握反比例函数的定义是解题的关键．3．（2022·河南·郸城县光明学校二模）已知点A （x 1，﹣1），B （x 2，2），C （x 3，3）都在反比例函数y 1x=-的图象上，那么x 1，x 2，x 3的大小关系是（ ） A ．x 1＞x 2＞x 3 B ．x 1＞x 3＞x 2 C ．x 3＞x 2＞x 1 D ．x 2＞x 3＞x 1【答案】B【分析】根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．【详解】解：∵点A （x 1，﹣1），B （x 2，2），C （x 3，3）都在反比例函数y 1x=-的图象上，∴x 1＝﹣1÷（﹣1）＝1，x 2＝﹣1÷212=-，x 3＝﹣1÷313=-．∴x 1＞x 3＞x 2， 故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握根据函数析式，求点坐标． 4．（2022·浙江·九年级开学考试）对函数1y x=的描述错误的是（ ） A ．图象过点()1,1 B ．图象在第一、三象限 C ．当01x <<时，1y > D ．y 随x 的增大而减小【答案】D【分析】根据反比例函数的性质即可判断．【详解】解：A 、当=1x 时，=1y ，即该函数图象经过点()1,1； 故本选项正确，不合题意； B 、∵反比例函数1y x=中的10k =>， ∴反比例函数1y x=的图象在第一、三象限； 故本选项正确，不合题意； C 、∵反比例函数1y x=中的10k =>，∴反比例函数1y x=的图象在每一支上，y 随x 的增大而减小， ∴当01x <<时，>1y ， 故本选项正确，不合题意； D 、∵反比例函数1y x=中的10k =>， ∴反比例函数1y x=的图象在每一支上，y 随x 的增大而减小， 故本选项错误，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数()0ky k x=≠，当0k >，反比例函数图象在一、三象限，在每一支上，y 随x 的增大而减小，当0k <，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一支上，y 随x 的增大而增大．5．（2022·全国·九年级单元测试）当k ＜0时，反比例函数ky x=和一次函数y ＝kx ＋2的图象大致是（ ） A ．B ．C ． D ．【答案】B【分析】根据一次函数与反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可． 【详解】当k ＜0时，反比例函数ky x=的图象在二四象限，同时一次函数y ＝kx ＋2经过第一、二、四象限，只有B 选项的图象满足要求， 故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k 的取值确定函数所在的象限． 6．（2022·贵州·玉屏侗族自治县教研室一模）在平面直角坐标系xOy 中，如果有点P （－2，1）与点Q （2，－1），那么：①点P 与点Q 关于x 轴对称；②点P 与点Q 关于y 轴对称；③点P 与点Q 关于原点对称；④点P 与点Q 都在2y x=-的图象上．前面的四种描述正确的是（ ）．A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【答案】D【分析】分别根据关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称及反比例函数图象上点的坐标特点进行解答．【详解】解：∵点P（－2，1）与点Q（2，－1），∴点P与点Q关于原点对称，故①②错误，③正确；∵(2)12(1)2-⨯=⨯-=-，∴点P与点Q都在函数2yx=-的图象上，故④正确．故选：D．【点睛】本题考查了关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称及反比例函数图象上点的坐标特点的知识，熟知以上知识是解题关键．7．（2022·浙江·九年级开学考试）如图，点A是反比例函数2(0)y xx=>的图象上任意一点AB x∥轴交反比例函数3yx=-的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则平行四边形ABCD的面积为（）A．2.5B．3C．5D．6【答案】C【分析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b，即可求得A、B的横坐标，则AB的长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．【详解】解：设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．把=y b代入2yx=得，2bx=，则2xb=，即A的横坐标是2b；同理可得：B的横坐标是：3b -．则235()ABb b b=--=．则平行四边形ABCD的面积为55bb⨯=．故选：C ．【点睛】本题考查了是反比例函数与平行四边形的综合题，理解A 、B 的纵坐标是同一个值，表示出AB 的长度是关键．8．（2022·安徽·合肥市第四十八中学九年级阶段练习）如图1，在矩形ABCD 中，BC ＝x ，CD ＝y ，y 与x 满足的反比例函数关系式如图2所示，等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过点C ，M 为EF 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．当x ＝3时，EC ＜EMB ．当y ＝3时，EC ＞EMC ．当x 增大时，EC ×CF 的值增大D ．当x 增大时，BE ×DF 的值不变 【答案】D【分析】由于等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过C 点，则△BEC 和△DCF 都是直角三角形；观察反比例函数图像得反比例解析式为y ＝9x，当x ＝3，y ＝3，即BC ＝CD ＝3，根据等腰直角三角形的性质得CE ＝，CF ＝C 点与M 点重合；由于EC •CF y ＝2xy ，其值为定值；利用等腰直角三角形的性质BE •DF ＝BC •CD ＝xy ，然后再根据反比例函数的性质得BE •DF ＝9，其值为定值．【详解】解：因为等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过C 点，M 为EF 的中点，所以△BEC 和△DCF 都是直角三角形；观察反比例函数图像得x ＝3，y ＝3，则反比例解析式为y ＝9x．A 、当x ＝3时，y ＝3，即BC ＝CD ＝3，所以CE BC ＝CF CD ＝C 点与M 点重合，则EC ＝EM ，所以A 选项错误；B 、当y ＝3时，x ＝93＝3，∴EC ＝，CF ＝，C 点与M 点重合，则EC ＝EM ，选项B 不符合题意；C、因为EC•CF y＝2×xy＝18，所以，EC•CF为定值，所以C选项错误；D、因为BE•DF＝BC•CD＝xy＝9，即BE•DF的值不变，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图像：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图像，注意自变量的取值范围．9．（2022·山东·临淄区淄江中学九年级阶段练习）如图，OAC和BAD都是等腰直角三角形，90ACO ADB∠=∠=︒，反比例函数16yx=在第一象限的图象经过点B，则OAC与BAD的面积差为（）．A．32B．16C．8D．4【答案】C【分析】已知反比例函数的解析式为16yx=，根据系数k的代数意义，设函数图象上点B的坐标为(m，16m)再结合已知条件求解即可；【详解】解：如图，设点C(n，0)，因为点B在反比例函数16yx=的图象上，所以设点B(m，16m)．∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∴点A的坐标为(n，n)，点D的坐标为(n，16m)，由AD=BD，得n−16m=m−n，化简整理得m2−2mn=−16．∴S△OAC−S△BAD=12n2−12(m−n)2=−12m2+mn=−12(m2−2mn)，即S△OAC−S△BAD=8．故选C【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是掌握反比例函数系数k 的几何意义．10．（2022·山东泰安·九年级期末）某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min ）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温()y ℃和时间()min x 的关系如图所示，水温从100℃降到50℃所用的时间是（ ）A ．7分钟B ．13分钟C ．20分钟D ．27分钟【答案】A【分析】首先求出反比例函数的解析式，然后把y ＝50代入反比例解析式求得x 后，减去7即可求得时间．【详解】解：设反比例函数关系式为：y ＝k x ，将（7，100）代入y ＝k x得，1007k=，解得k ＝700，∴y ＝700x， 将y ＝50代入y ＝700x，解得x ＝14； ∴水温从100℃降到50℃所用的时间是14﹣7＝7分钟， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用题，解题关键是求出反比例函数解析式． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（2022·陕西·西工大附中分校九年级阶段练习）反比例函数ky x=经过点(2,2)-，则k ＝_____． 【答案】4-【分析】将点(2,2)-代入反比例函数ky x=中，即可得． 【详解】解：∵反比例函数ky x=经过点(2,2)-，∴22k =-， 4k =-，故答案为：4-．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法．12．（2022··八年级期末）一辆汽车前灯电路上的电压U （V ）保持不变，选用灯泡的电阻为R （Ω），通过的电流强度为I （A ），由欧姆定律可知，I UR=．当电阻为40Ω时，测得通过的电流强度为0.3A ．为保证电流强度不低于0.2A 且不超过0.6A ，则选用灯泡电阻R 的取值范围是____． 【答案】2060R ≤≤【分析】由题意易得12U =V ，然后根据反比例函数的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得：400.312U IR ==⨯=V ， ∴12I R=， ∴在每个象限内，I 随R 的增大而减小，∴当0.2I =A 时，则有：60R =Ω；当0.6I =A 时，则有：20R =Ω； ∴选用灯泡电阻R 的取值范围是2060R ≤≤； 故答案为2060R ≤≤．【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．13．（2022·山东滨州·九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l y ∥轴，且直线l 分别与反比例函数y =8x （x >0）和y =kx（x >0）的图象交于P 、Q 两点，若=13POQS，则k 的值为___________．【答案】18-【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义，则OPM 和OMQ 的面积都可求得（或用k 表示），根据POQ 的面积，即可得到一个关于k 的方程，进而求解．【详解】解：由反比例函数的性质可知1842OPMS =⨯=， 1122OMQSk k =⨯=-， ∵13POQS=，∴14132k -=，解得18k =-， 故答案是：18-.【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于k ，熟练掌握k 的几何意义是解题的关键． 14．（2022·安徽·合肥市第四十五中学九年级期中）如图，在反比例函数8y x=的图象上有一点A 向x 轴作垂线交x 轴于点C ，B 为线段AC 的中点，又D 点在x 轴上，且3OD OC ，则OBD 的面积为__________．【答案】6【分析】设(),A x y ，则有AC y =，OC x =，根据函数解析式可知8xy =，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】设(),A x y ， ∵AC OC ⊥， ∴AC y =，OC x =， 由反比例函数8y x=可知：8xy =， ∵B 为线段AC 的中点，3OD OC ， ∴1122BC AC y ==，33OD OC x ==， ∴1113338622244OBDSBC OD y x xy ⨯=⨯⨯==⨯==． 故答案为：6．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标与系数的关系，反比例函数的系数与图象面积的关系．关键是明确线段之间的关系．15．（2022·河北·石家庄市第四十四中学三模）如图，直线5y x =+与反比例函数(ky k x=为常数，0)k ≠的图象相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为()1,m -． （1）k 的值为______；（2）若点M 是该反比例函数图象上一点，点(),P x y 是直线5y x =+在第二象限部分上一点，分别过点M 、P 作x 轴的垂线，垂足为点N 和.Q 若OMNOPQSS<时，则x 的取值范围是______．【答案】 4- 41x -<<-【分析】1（）根据直线5y x =+与反比例函数ky k x=（为常数，0k ≠）的图象相交于1A m -（，），可得4m =，进而可求k 的值；2（）解析式联立成方程组，解方程组求得B 的坐标；观察图象即可得出结论．【详解】解：1（）直线5y x =+与反比例函数ky k x=（为常数，0k ≠）的图象相交于1A m -（，）， 154m ∴=-+=，14A ∴-（，）， 由点A 的坐标为14-（，）得41k=-．所以4k =-； 故答案为：4-；2（）解45y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得14x y =-⎧⎨=⎩或41x y =-⎧⎨=⎩，41B ∴-（，）；观察图象可知，若OMN OPQ S S <时，x 的取值范围是41x -<<-．故答案为：41x -<<-．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．16．（2022·广东·乐昌市新时代学校二模）如图，四边形ABCO 是平行四边形，2OA =，6AB =，点A 在第一象限，点C 在x 轴的负半轴上，将ABCO 绕点A 逆时针旋转得到ADEF ．点D 在反比例函数k y x=的图像上，且AD 经过点O ，点F 恰好落在x 轴的正半轴上，则k 的值为_________．【答案】【分析】过点D 作DM x ⊥轴于点M ，根据旋转和平行四边形的性质得BAO OAF ∠=∠，AO AF =，AB OC ∥，即可得BAO AOF AFO OAF ∠=∠=∠=∠，即可判定AOF 是等边三角形，可得60DOM AOF ∠=∠=︒，根据线段之间的关系可得OD =4，利用锐角三角函数MD =D 的坐标，即可得．【详解】解：如图，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，由题意可得BAO OAF ∠=∠，AO AF =，AB OC ∥，则BAO AOF AFO OAF ∠=∠=∠=∠，∴△AOF 是等边三角形，∴60DOM AOF ∠=∠=︒，∵2OA =，6AB =，∴624OD AD OA AB OA =-=-=-=，在Rt △DOM 中，1cos6022MO OD OD =⋅︒==，sin 60MD OD =⋅︒==∴(2,D --，∴(2k =-⨯-=，故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形函数，旋转的性质，反比例函数的性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022·上海·八年级单元测试）已知12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与2x 成反比例，当2x =时，2y =；当=1x -时，1y =．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当3x =时，求y 的值．【答案】（1）271699y x x=+；（2）20581 【分析】（1）设122,a y kx y x ==，则有2a y kx x =+，然后把当2x =时，2y =；当=1x -时，1y =代入求解即可；（2）由（1）可直接把x=3代入求解．【详解】解：（1）设122,a y kx y x ==，由12y y y =+可得：2a y kx x =+， ∴把2x =，2y =和=1x -，1y =代入得：2241a k k a ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得：79169k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴y 与x 的函数解析式为：271699y x x=+； （2）由（1）可把x=3代入得：2716205399381y =⨯+=⨯． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义及函数解析式，熟练掌握反比例函数的定义及求函数解析式的方法是解题的关键．18．（2022·河南新乡·八年级期中）若分式方程112x x x x +=-+的解为x α=，试判断点(),2P a a 和点(),8Q a a -是否在反比例函数2y x=-的图像上． 【答案】点P 不在反比例函数2y x =-的图像上，点Q 在反比例函数2y x =-的图像上 【分析】解分式方程得出a 的值，将其带入点(),2P a a 和点(),8Q a a -，得出两点的坐标，再验证两点坐标是否在反比例函数2y x=-上即可得出答案． 【详解】解：由题，解方程112x x x x +=-+ 去分母，得()()()121x x x x ++=-，即2222x x x x x +++=-，解得12x =-， 经检验12x =-是原分式方程的解， ∴12a =- ∵反比例函数2y x=-， ∴2xy =- ∵12a =-， ∴2211222222a a a ⎛⎫⨯==⨯-=≠- ⎪⎝⎭，218822a a ⎛⎫-⨯=-⨯-=- ⎪⎝⎭ ∴点P 不在反比例函数2y x =-的图像上，点Q 在反比例函数2y x=-的图像上． 【点睛】本题考查解分式方程，以及判断坐标系中点是否在反比例函数上，熟练掌握解分式方程的步骤，尤其注意检验是本题解题关键．19．（2022·全国·九年级单元测试）已知反比例函数1k y x-=(k 为常数，1k ≠)； (1)若点()1,2A 在这个函数的图象上，求k 的值；(2)若在这个函数图象的每一分支上，y 随x 的增大而增大，求k 的取值范围．【答案】(1)3k =(2)1k <【分析】（1）根据题意，把()1,2A 代入到反比例函数1k y x -=中，进而求解；（2）根据这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，可知10k-<，进而求出k的取值范围．（1）∵点()1,2A在这个函数的图象上，∴121k-=，解得3k=．故答案是3k=．（2）在函数1kyx-=图象的每一分支上，y随x的增大而增大，∴10k-<，∴1k<．故答案是：1k<．【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，会灵活运用反比例函数图象的性质是解本题的关键．20．（2022·河北保定·三模）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字2、3、4、6的乒乓球，它们的形状、大小、颜色、质地完全相同，耀华同学先从盒子里随机取出一个小球，记为数字x，不放回，再由洁玲同学随机取出另一个小球，记为数字y，（1）用树状图或列表法表示出坐标(x，y)的所有可能出现的结果；（2）求取出的坐标(x，y)对应的点落在反比例函数y＝12x图象上的概率．【答案】（1）见解析；（2）1 3【分析】(1)首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果；(2)由(1)中的列表求得点(x，y)落在反比例函数y=12x的图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】(1)列表如下则共有12种可能的结果；(2)各取一个小球所确定的点(x ，y)落在反比例函数y=12x 的图象上的有(6，2)，(4，3)， (3，4)，(2，6)四种情况，∴点(x ，y)落在反比例函数y=12x 的图象上的概率为412=13． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，反比例函数图象上点的坐标特征．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．（2022·山东·济南育秀中学九年级阶段练习）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y 随时间x （分）的变化规律如图所示（其中,AB BC 为线段，CD 为双曲线的一部分）．(1)线段AB 函数关系式是 ，双曲线CD 的函数关系式是 ．(2)一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？【答案】(1)230y x ，1000y x(2)教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题【分析】（1）根据图象信息即可得到结论，利用待定系数法分别求出AB 和CD 的函数表达式，进而得出答案；（2）分别求出注意力指数为40时的两个时间，再将两时间之差和18比较，大于18则能讲完，否则不能．（1）解：设线段AB 函数关系式为()0y kx b k =+≠，把点10,50和0,30代入得： 10+=50=30k b b ⎧⎨⎩， 解得：=2=30k b ⎧⎨⎩， ∴线段AB 函数关系式为230y x ；设双曲线CD 的函数关系式是0m ym x ， 把点20,50代入得：5020m ， 解得：1000m ，∴双曲线CD 的函数关系式是1000y x； （2）解：当40y =时，对于230y x ，有 40230x ，解得：=5x ， 对于1000y x ，有 100040x， 解得：25x =，∴学生注意力达到所需状态的时间为255=20-，∵2018，∴教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 22．（2022·湖南·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数()0y mx n m =+≠与反比例函数()0k y k x=≠交于A ，()3,2B --两点，其中点A 的横坐标为1．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)将一次函数向下平移8个单位长度后，与x 轴交于点C ，连接CA ，CB ，求△ABC 的面积；(3)请结合图象，直接写出不等式k mx n x+≥的解集． 【答案】(1)y ＝2x ＋4；6y x=(2)16(3)−3≤x ＜0或x ≥1【分析】（1）把点B （−3，−2）代入()0k y k x =≠，求得k ，进而求得A 的坐标，然后根据待定系数法求得一次函数的解析式；（2）根据平移的规律求得平移后的直线解析式，进而求得C 的坐标，求得直线AB 与x 轴的交点D 的坐标，然后根据S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD 求得即可；（3）根据图象即可求得．（1）反比例函数()0k y k x =≠的图象经过点B （−3，−2）， ∴k ＝−3×（−2）＝6， ∴反比例函数的解析式为6y x=， 把x ＝1代入得，y ＝61＝6，∴A （1，6）， ∵把A 、B 的坐标代入y ＝mx ＋n （m ≠0）得632m n m n +=⎧⎨-+=-⎩， 解得24m n =⎧⎨=⎩， ∴一次函数的解析式为y ＝2x ＋4；（2）把y ＝0，代入y ＝2x ＋4得，2x ＋4＝0，解得x ＝−2，∴D （−2，0），将一次函数向下平移8个单位长度后，得到y ＝2x −4，令y ＝0，则0＝2x −4，解得x ＝2，∴C （2，0），∴CD ＝4，∴S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD ＝12×4×（6＋2）＝16；（3）由图象可知不等式kmx nx+≥的解集是−3≤x＜0或x≥1．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积以及函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．23．（2022·江苏·苏州高新区第一初级中学校八年级期末）请你根据以前学习函数的经验，研究函数6||3 yx=-的图象和性质并解决相关问题．(1)由数想形：该函数图象关于________对称；与坐标轴的交点为________；(2)描点画图：①列表：下表是x与y的几组对应值，其中=a________；b=________；②描点：根据表中各组对应值(,)x y ，在平直角坐标系中描出各点；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你把图象补充完整．(3)观察你所画的函数图象，解答下列问题：若点(,)A a c ，(,)B b c 为该函数图象上不同的两点，则a b +=________；(4)直接写出当62||3x ≥--时，x 的取值范围为________． 【答案】(1)y 轴，（0，-2）(2)①32，-2；②见解析；③见解析 (3)0(4)x ＜-3或x =0或x ＞3【分析】（1）根据函数解析式可得函数的图象关于y 轴对称；图象与y 轴的交点为（0，-2）；（2）①分别把x =7，x =0代入解析式，即可求解；②在平直角坐标系中描出各点，即可求解；③用平滑的曲线顺次连接各点，即可求解；（3）观察函数图象得到函数6||3y x =-的图象关于y 轴对称，而点A 与点B 关于y 轴对称，所以a 与b 互为相反数；（4）观察函数图象，找出函数值大于或等于-2所对应的自变量的值或取值范围．（1）解：由数想形：该函数图象关于y 轴对称；当x =0时，62||3y x ==--，∴与坐标轴的交点为（0，-2）；故答案为：y 轴，（0，-2）；（2）解：①当x =7时，63732y ==-， ∴32a =， 当x =0时，62||3y x ==--，∴b =-2，故答案为：32，-2； ②描点：根据表中各组对应值(,)x y ，在平直角坐标系中描出各点；③连线：用平滑的曲线顺次连接备点，补全图象，如下：（3）解：根据题意得：函数6||3y x =-关于y 轴对称，∵点(,)A a c ，(,)B b c 为该函数图象上不同的两点，∴0a b +=；故答案为：0（4）解：观察图象得：当62||3x ≥--时，x 的取值范围为x ＜-3或x =0或x ＞3．故答案为：x ＜-3或x =0或x ＞3 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质；会利用描点法画反比例函数图象，数形结合是解题的关键．。
《反比例函数》初三数学教案
《反比例函数》初三数学教案《反比例函数》初三数学教案作为一名辛苦耕耘的教育工作者，就难以避免地要准备教案，教案是备课向课堂教学转化的关节点。
那要怎么写好教案呢？下面是店铺收集整理的《反比例函数》初三数学教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。
《反比例函数》初三数学教案篇1一、创设情境引入课题活动1问题:你们还记得一次函数图象与性质吗?设计意图通过创设问题情境，引导学生复习一次函数图象的知识，激发学生参与课堂学习的热情，为学习反比例函数的图象奠定基础。
师生形为：教师提出问题。
学生思考、交流，回答问题。
教师根据学生活动情况进行补充和完善。
二、类比联想探究交流活动2问题：例2 画出反比例函数y= 与y=- 的图象。
(教师先引导学生思考，示范画出反比例函数y= 的图象，再让学生尝试画出反比例函数y=- 的图象。
)设计意图：通过画反比例函数的图象使学生进一步了解用描点的方法画函数图象的基本步骤，其他函数的图象奠定基础，同时也培养了学生动手操作能力。
师生形为：学生可以先自己动手画图，相互观摩。
在此活动中，教师应重点关注：1学生能否顺利进行三种表示方法的相互转换：2是否熟悉作出函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象;3在动手作图的过程中，能否勤于动手，乐于探索。
比较y= 、y=- 的图象有什么共同特征?它们之间有什么关系?(由学生观察思考，回答问题，并使学生了解反比例函数的图象是一种双曲线。
)设计意图：学生通过观察比较，总结两个反比例函数图象的共同特征(都是双曲线)，以及在平面直角坐标系中的位置。
在活动中，让学生自己去观察、类比发现，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的。
师生形为：学生分组针对问题结合画出的图象分类讨论，归纳总结反比例函数图象的共同点，为后面性质的探索打下基础。
教师参与到学生的讨论中去，积极引导。
(三)探索比较发现规律活动3问题：观察反比例函数y= 与y=- 的图象。
(完整版)反比例函数基础练习题及答案
反比例函数练习一一．选择题（共22小题）1．（2015春•泉州校级期中）下列函数中，y是x的反比例函数的为（）A．y=2x+1 B．C．D．2y=x2．（2015春•兴化市校级期中）函数y=k是反比例函数，则k的值是（）A．﹣1 B．2 C．±2 D．±3．（2015春•衡阳县期中）若y=（m﹣1）x|m|﹣2是反比例函数，则m的值为（）A．m=2 B．m=﹣1 C．m=1 D．m=04．（2014•汕尾校级模拟）若y与x成反比例，x与z成反比例，则y是z的（）A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定5．（2014春•常州期末）反比例函数（m为常数）当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．C．D．m≥6．（2015•贺州）已知k1＜0＜k2，则函数y=和y=k2x﹣1的图象大致是（）A．B． C．D．7．（2015•滦平县二模）在同一直角坐标系中，函数y=kx+k与y=（k≠0）的图象大致为（）A．B．C．D．8．（2015•上海模拟）下列函数的图象中，与坐标轴没有公共点的是（）A．B．y=2x+1 C．y=﹣x D．y=﹣x2+19．（2015•宝安区二模）若ab＞0，则函数y=ax+b与函数在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．10．（2015•鱼峰区二模）若方程=x+1的解x0满足1＜x0＜2，则k可能是（）A．1 B．2 C．3 D．611．（2012•颍泉区模拟）如图，有反比例函数y=，y=﹣的图象和一个圆，则图中阴影部分的面积是（）第11题图第12题图A．πB．2πC．4πD．条件不足，无法求12．（2010•深圳）如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=13．（2014•随州）关于反比例函数y=的图象，下列说法正确的是（）A．图象经过点（1，1）B．两个分支分布在第二、四象限C．两个分支关于x轴成轴对称D．当x＜0时，y随x的增大而减小14．（2014•昆明）如图是反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象，则一次函数y=kx﹣k 的图象大致是（）A．B．C．D．15．（2014•天水）已知函数y=的图象如图，以下结论：①m＜0；②在每个分支上y随x的增大而增大；③若点A（﹣1，a）、点B（2，b）在图象上，则a＜b；④若点P（x，y）在图象上，则点P1（﹣x，﹣y）也在图象上．其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个16．（2014•杭州）函数的自变量x满足≤x≤2时，函数值y满足≤y≤1，则这个函数可以是（）A．y=B．y=C．y=D．y=17．（2014•阜新）反比例函数y=在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣118．（2015•凉山州）以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y=经过点D，则正方形ABCD的面积是（）第18题图第19题图A．10 B．11 C．12 D．1319．（2015•眉山）如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D 点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）A．B．C．3 D．420．（2014•绥化）如图，过点O作直线与双曲线y=（k≠0）交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，作BD⊥y轴于点D．在x轴上分别取点E、F，使点A、E、F在同一条直线上，且AE=AF．设图中矩形ODBC的面积为S1，△EOF的面积为S2，则S1、S2的数量关系是（）第20题图第21题图A．S1=S2B．2S1=S2C．3S1=S2D．4S1=S2 21．（2014•抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（）A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小22．（2014•重庆）如图，反比例函数y=﹣在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为﹣1，﹣3，直线AB与x轴交于点C，则△AOC的面积为（）A．8 B．10 C．12 D．24二．填空题（共4小题）23．（2015•锦江区一模）已知y=（a﹣1）是反比例函数，则a=．24．（2014•江西模拟）已知反比例函数的解析式为y=，则最小整数k=．25．（2013•路北区二模）函数y=，当y≥﹣2时，x的取值范围是（可结合图象求解）．26．（2014•贵阳）若反比例函数的图象在其每个象限内，y随x的增大而增大，则k的值可以是．（写出一个符合条件的值即可）三．解答题（共4小题）27．（2014春•东城区校级期中）已知反比例函数y=﹣（1）说出这个函数的比例系数；（2）求当x=﹣10时函数y的值；（3）求当y=6时自变量x的值．28．（2013春•汉阳区校级期中）已知函数y=（5m﹣3）x2﹣n+（n+m），（1）当m，n为何值时是一次函数？（2）当m，n为何值时，为正比例函数？（3）当m，n为何值时，为反比例函数？29．（2013•德宏州）如图，是反比例函数y=的图象的一支．根据给出的图象回答下列问题：（1）该函数的图象位于哪几个象限？请确定m的取值范围；（2）在这个函数图象的某一支上取点A（x1，y1）、B（x2，y2）．如果y1＜y2，那么x1与x2有怎样的大小关系？30．（2014•苏州）如图，已知函数y=（x＞0）的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，2），过点A作AC∥y轴，AC=1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC、OD．（1）求△OCD的面积；（2）当BE=AC时，求CE的长．答案：一．选择题（共22小题）1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．B 8．A 9．C 10．C 11．B 12．D 13．D 14．B 15．B 16．A 17．D 18．C 19．B20．B 21．C 22．C二．填空题（共4小题）23．-1 24．1 25．x≤-2或x＞0 26．-1（答案不唯一）三．解答题（共4小题）27．28．29．30．。
综合题：一次函数二次函数反比例函数中考综合题复习
第一部分：一次函数考点归纳：一次函数：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。
☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0)直线位置与k ，b 的关系：（1）k ＞0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为锐角； （2）k ＜0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为钝角； （3）b ＞0直线与y 轴交点在x 轴的上方； （4）b ＝0直线过原点；（5）b ＜0直线与y 轴交点在x 轴的下方；平移1，直线x y 31=向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。
2， 直线143+-=x y 向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线________方法：直线y=kx+b ，平移不改变斜率k ，则将平移后的点代入解析式求出b 即可。
直线y=kx+b 向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。
练习：直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n 上，则a=____________；函数图形的性质例题：1．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ）A．y=2x-1 B．y=3xC．y=2x2 D．y=-2x+12，一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（）A．一、二、三 B．二、三、四C．一、二、四 D．一、三、四3，若函数y=（2m+1）x2+（1-2m）x（m为常数）是正比例函数，则m的值为（）A．m>12B．m=12C．m<12D．m=-124、直线y kx b=+经过一、二、四象限，则直线y bx k=-的图象只能是图4中的（）5，若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（）A．k>3 B．0<k≤3 C．0≤k<3 D．0<k<36，已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（）A．y=-x-2 B．y=-x-6 C．y=-x+10 D．y=-x-17，已知关于x的一次函数27y mx m=+-在15x-≤≤上的函数值总是正数，则m的取值范围是（）A．7m>B．1m>C．17m≤≤D．都不对8、如图，两直线1y kx b=+和2y bx k=+在同一坐标系内图象的位置可能是（）9，一次函数y=ax+b与y=ax+c(a>0)在同一坐标系中的图象可能是（）xyo xyoxyoxyoA B C D10，,已知一次函数（1）当m 取何值时，y 随x 的增大而减小？ （2）当m 取何值时，函数的图象过原点？函数解析式的求法：正比例函数设解析式为： ,一个点的坐标带入求k. 一次函数设解析式为： ；两点带入求k,b1，已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （3,4），且OA=OB（1） 求两个函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；第二部分：二次函数（待讲）课前小测：1，抛物线3)2x (y 2-+=的对称轴是（ ）。
上海市普陀区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(解析版)
2023学年度第一学期期末八年级自适应练习数学学科（时间90分钟，满分100分）一、单项选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）1.是同类二次根式，那么这个根式是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是同类二次根式，“把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式”．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【详解】解：A A错误；B=B错误；C=C错误；D=D正确；故选：D．2.的有理化因式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了有理化因式，熟练掌握有理化因式的定义是解题的关键．根据有理化因式的定义“两个根式相乘的积不含根号”即可解答．5m n=+，．故选：B．3.下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是（）A.5y x= B.5y x = C.5y x =- D.5y x =-【答案】C【解析】【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的性质，解题的关键是掌握正比例函数和反比例函数的性质．由正比例函数与反比例函数的图像和性质知，()0y kx k =≠，0k >时，y 随x 的增大而增大，反之y 随x 的增大而减小；()0k y k x=≠中应在每个象限内讨论增减性．【详解】解：A 、5y x =中， 50>，∴y 随x 的增大而增大；C 、5y x =-， 50-<，∴y 随x 增大而减小；B 、5y x=和D 、5y x =-，应在每个象限内讨论，在整个实数范围内无法判断其增减性．故选：C ．4.在下列关于x 的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根是（）A.2310x x --= B.2310x x -+= C.230x += D.2440x x -+=【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程根的关系是解题的关键．用根的判别式判断即可，若方程有两个不相等的实数根，则需240b ac ∆=->．【详解】解：A 、2310x x --=，∵()()23411130∆=--⨯⨯-=>，∴方程有两个不相等的实数根；B 、2310x x -+=，∵()21431110=--⨯⨯=-< ，∴方程无实数根；C 、230x +=，∵20413120∆=-⨯⨯=-<，∴方程无实数根；D 、2440x x -+=，∵()244140∆=--⨯⨯=，∴方程实有两个相等的实数根；故选：A ．5.下列命题的逆命题是假命题的是（）A.如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形是等边三角形B.如果两个三角形关于某个点成中心对称，那么这两个三角形全等C.如果一个三角形的两个锐角的和为90︒，那么这个三角形是直角三角形D.如果两个三角形能够互相重合，那么这两个三角形是全等三角形【答案】B【解析】【分析】本题考查了互逆命题及真假命题的判断，熟练掌握直角三角形，等边三角形及全等三角形等知识是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，即可求解．【详解】A 、逆命题：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形是轴对称图形，正确，为真命题；B 、逆命题：如果两个三角形全等，那么这两个三角形关于某个点成中心对称，错误，为假命题；C 、逆命题：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角的和为90︒，正确，为真命题；D 、逆命题：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形能够互相重合，正确，为真命题．故选：B ．6.如图，在ABC V 中，BAC ∠是钝角，以点C 为圆心、CB 的长为半径画弧，再以点A 为圆心、AB 的长为半径画弧，这两条弧相交于点D ，连接BD ，延长CA 交BD 于点E ．下列结论中一定正确的是（）A.BC BD= B.2AE AB =C.BE DE= D.ABD ABC∠=∠【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了尺规作图、垂直平分线的判定与性质等知识点，掌握5种基本作图是解决问题的关键．根据作图过程可得AD AB CD CB ==，，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断AC 垂直平分BD ，进而即可得到答案【详解】解：由作法得AD AB CD CB ==，，∴AC 垂直平分BD ，∴BE DE =．故选：C ．二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7.化简：=________．【答案】【解析】【分析】根据题意知0a ≥，然后根据平方根的性质化简．本题考查的是二次根式的化简，熟练掌握二次根式性质，是解答此题的关键．知，30a ≥，∴0a ≥，===．8.方程2x 2-x=0的根是______.【答案】x 1=12,x 2=0【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可.【详解】2x 2-x=0，x （2x-1）=0，x=0或2x-1=0，∴x 1=12，x 2=0.故答案为x 1=12，x 2=0.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法-因式分解法，熟练运用因式分解法将方程化为x （2x-1）=0是解决问题的关键.9.函数y =的定义域是________．【答案】43x ≥-【解析】【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负；根据二次根式的意义，被开方数是非负数，得出340x +≥，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：由题意得：340x +≥，解得：43x ≥-，∴函数y =的定义域是43x ≥-，故答案为：43x ≥-．10.已知函数4()21x f x x +=-，那么(2)f =________．【答案】2【解析】【分析】本题考查了求函数值，将2x =代入4()21x f x x +=-进行计算即可，准确计算是解此题的关键．【详解】解：4()21x f x x +=- ，246(2)22213f +===⨯-∴，故答案为：2．11.在实数范围内分解因式：21x +=________．【答案】515122x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】本题主要考查在实数范围内分解因式，解题的关键是利用求根公式因式分解．210x +=时，512x ±=，根据求根公式的分解方法和特点即可求解．【详解】解： 210x +=时，12x =，∴25151122x x x ⎛⎫⎛⎫--+=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：515122x x ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．12.如果反比例函数k y x=（k 是常数，0k ≠）的图像位于第二、四象限，那么k =________．（只需写一个数值）【答案】1-【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据“反比例函数()0k y k x =≠，当0k >时，函数过一、三象限，当0k <时，函数过二、四象限”，即可解答．【详解】解： 反比例函数k y x=（k 是常数，0k ≠）的图像位于第二、四象限，∴0k <，∴1k =-，故答案为：1-．13.某种商品原价为100元，经过连续两次的降价后，价格变为81元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是_____【答案】10%【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x ，第一次降价后价格变为100（1-x ）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x ）（1-x ），即100（1-x ）2元，从而列出方程，求出答案．【详解】设每次降价的百分率为x ，第二次降价后价格变为100（1-x ）2元．根据题意，得100（1-x ）2=81，即（1-x ）2=0.81，解得x 1=1.9，x 2=0.1．因为x=1.9不合题意，故舍去，所以x=0.1．即每次降价的百分率为0.1，即10%．故答案为10%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍．14.已知M 、N 是两个定点，那么经过这两个定点的圆的圆心轨迹是________．【答案】线段MN 的垂直平分线【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，即“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”．利用圆的性质可以得到圆上所有点到圆心的距离相等，从而得到所有圆心到M 、N 两点的距离相等，从而得出结论．【详解】解： 圆上的所有点到圆心的距离相等，∴无论圆心在哪里，所有圆心到M 、N 两点的距离相等，到M 、N 两点的距离相等的点在线段MN 的垂直平分线上，故答案为：线段MN 的垂直平分线．15.如图，为了测量塔CD 的高度，现选取两个测量点A 和B （点A 、B 、C 在一条直线上），测得15CAD ∠=︒，30CBD ∠=︒．如果AB a =，那么塔高CD =________（结果用含字母a 的代数式表示）．【答案】12a 【解析】【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握直角三角形中30︒所对的直角边为斜边的一半成为解题的关键．先根据三角形的外角的性质可得15ADB ∠=︒，进而得到ADB CAD ∠=∠，由等腰三角形的判定可得BD AB a ==，最后根据直角三角形中30︒所对的直角边为斜边的一半即可解答．【详解】解：∵15CAD ∠=︒，30CBD ∠=︒，∴301515ADB CBD CAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴ADB CAD ∠=∠，∴BD AB a ==，∵CD BC ⊥，30CBD ∠=︒，∴1122CD BD a ==．故答案为12a ．16.如图，在四边形ABCD 中，AB AC =，CE AD ⊥，垂足为点E ．如果12CE BC =，18CAD ∠=︒，那么B ∠=________︒．【答案】72【解析】【分析】本题考查等腰三角形性质，角平分线判定及性质，三角形内角和定理．根据题意过点A 作AF CB ⊥，再利用已知条件得到AC 平分EAF ∠，再利用等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到本题答案．【详解】解：过点A 作AF CB ⊥，，∵AB AC =，∴12CF BC =，∵12CE BC =，∴CE CF =，∵CE AD ⊥，∴AC 平分EAF ∠，∴EAC FAC ∠=∠，∵AB AC =，∴ACB △为等腰三角形，∴AF 平分CAB ∠，∵18CAD ∠=︒，∴18FAB ∠=︒，∴180901872B ∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：72．17.小明求代数式的最小值时，采用如下方法：如图，在同一直角坐标平面内，设(,0)M x 为x轴上的一个动点，选取点(0,1)A 和(4,2)B ，根据两点的距离公式得AM =，BM =AM BM +的最小值，由此小明求出的最小值等于________．【答案】5【解析】【分析】本题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，根据原式表示的几何意义是是点M 到点A B ，的距离之和的最小值，利用轴对称作出图形求出1AB 的长即可，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键．【详解】如图所示，根据原式表示的几何意义是点M 到点A B ，的距离之和的最小值，可作B 点关于x 轴的对称点1B ，连接1AB ，此时1AB 的长即为所求代数式的最小值，∵()4,2B ，∴()14,2B -，∵()0,1A∴15AB ==，+的最小值等于5，故答案为：5．18.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC =，AB =，点D 在边BC 上，且13CD BD =．现将ABC V 绕着点D 旋转得到111A B C △，点1A 、1B 、1C 分别与点A 、B 、C 对应，连接1AA ．如果点1C 在线段AD 的延长线上，那么1AA =________．【答案】【解析】【分析】本题考查勾股定理，旋转性质．根据题意先画出旋转后的简图，先利用勾股定理求出CB 的长，再求出111CD C D ==，再利用勾股定理求出AD ，继而得到1AC ，再利用旋转性质及勾股定理即可得到本题答案．【详解】解：根据题意画出如下图：∵在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC =，AB =，∴4BC ==，∵13CD BD =，∴1,3CD BD ==，∴5AD ==，∵现将ABC V 绕着点D 旋转得到111A B C △，∴11CD DC ==，1AC AC ==，11190A C B ∠=︒，∴16AC =，∴1AA ==，故答案为：三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分）19.计算：2+【答案】4-【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可得出答案，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解此题的关键．【详解】解：262+222+=+(22=+4=--4=-．20.解方程：()482x x x -=+．【答案】18x =，22x =-【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把原方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可．【详解】解：∵()482x x x -=+∴()()428x x x -=+，∴24216x x x -=+，∴26061x x -=-，∴()()820x x -+=，∴80x -=或20x +=，解得18x =，22x =-．21.现有两段长度相等的路面需要摊铺，分别交给甲乙两队完成．甲队摊铺路面的长度y （米）与摊铺时间x （小时）的函数关系的图象如图所示；乙队摊铺路面的长度y （米）与摊铺时间x （小时）的函数解析式是()10010y x x =≤≤．结合图象提供的信息，回答下列问题：（1）甲队摊铺的路面总长是________米；（2）在图中画出乙队摊铺路面的长度y （米）与摊铺时间x （小时）的函数关系的图象；（3）当甲队的工作效率发生变化的这个时刻，乙队摊铺路面的长度是________米；（4）甲队的平均工作效率是每小时________米．【答案】（1）100（2）见解析（3）50（4）253【解析】【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用，读懂函数图象，采用数形结合的思想是解此题的关键．（1）由函数图象即可得出答案；（2）根据乙队摊铺路面的长度y （米）与摊铺时间x （小时）的函数解析式是()10010y x x =≤≤画出图象即可；（3）由图可得，当5x =时，甲队的工作效率发生变化，将5x =代入()10010y x x =≤≤进行计算即可得出答案；（4）由图可得：甲队摊铺的路面总长是100米，所花费的时间为12小时，由此进行计算即可得出答案．【小问1详解】解：由图可得：甲队摊铺的路面总长是100米，故答案为：100；【小问2详解】解：画出乙队摊铺路面的长度y （米）与摊铺时间x （小时）的函数关系的图象如图所示：【小问3详解】解：由图可得，当5x =时，甲队的工作效率发生变化，此时乙队摊铺路面的长度是51050y =⨯=（米），故答案为：50；【小问4详解】解：由图可得：甲队摊铺的路面总长是100米，所花费的时间为12小时，故甲队的平均工作效率是每小时25100123÷=（米），故答案为：253．22.如图，在ABC V中，BC =，直线l AC ⊥，垂足为点D．（1）如果点E 在直线l 上，且点E 到BAC ∠两边的距离相等，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点E （不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点E ）；（2）在第（1）题的条件下，连接接BE 和CE ，如果12ABE ACE S S =△△，请判断ABC V 的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析（2）ABC V 为直角三角形．理由见解析【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的性质，尺规作图，勾股定理，解题的关键是掌握角平分线的性质．（1）根据角平分线的性质，尺规作BAC ∠的平分线，与直线l 交于点E ；（2）过点E 作EM AB ⊥于M ，根据角平分线性质得出EM ED =，根据三角形面积公式求出2AC AB =，结合BC =，可得222BC AB AC =+，即可解答．【小问1详解】解：如图，点E 即为所求，【小问2详解】ABC V 为直角三角形，理由如下：过点E 作EM AB ⊥于M．AE 平分BAC ∠，ED AC ⊥，EM AB ⊥，∴EM ED =， 12ABE ACE S S =△△，∴112122AB EM AC ED ⋅⋅=⋅，∴12AB AC =，∴2AC AB =，∴224AC AB =，BC =，∴222BC AB AC =+，∴ABC V 为直角三角形．四、解答题（本大题共3题，第23、24题每题8分，第25题12分，满分28分）23.已知：如图，在ABC V 中，点A 在边BC 的垂直平分线上，直线l 经过点A ，BD 、CE 分别垂直于直线l ，垂足分别为点D 、E ，且BD AE =．（1）求证：ABD CAE △△≌．（2）取边BC 的中点F ，连接EF ，求证：EF 平分DEC ∠．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可得AC BA =，结合已知条件可证ABD CAE △△≌；（2）设l 交BC 于点Q ，连接AF ，过F 作FM CE ⊥于M ，FN AD ⊥于N ，根据（1）结论可得BAD ACE ∠=∠，推出90CAB ∠=︒，可得ABC V 为等腰直角三角形，推出AF CF =，证FAN FCM ∠=∠，可得(AAS)CMF ANF △≌△，得到FM FN =，即得．【小问1详解】∵CE l ⊥，BD l ⊥，∴90AEC CED ADB ∠=∠=∠=︒，AEC △与BDA △为直角三角形，∵点A 在边BC 垂直平分线上，∴AC BA =，在Rt ACE 也Rt BAD 中，AE BD AC BA =⎧⎨=⎩，∴Rt Rt (HL)ACE BAD △≌△，即ABD CAE △△≌；【小问2详解】设l 交BC 于点Q ，连接AF ，过F 作FM CE ⊥于M ，作FN AD ⊥于N，∴90CMF ANF ∠=∠=︒由（1）知ABD CAE △△≌，∴BAD ACE ∠=∠，∵90ACE CAE ∠+∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，即90CAB ∠=︒，∵AC AB =，∴ABC V 为等腰直角三角形，∵F 为BC 中点，∴12AF CF BC ==，∵90FAN AQF ∠+∠=︒，90FCM AQF ∠+∠=︒，∴FAN FCM ∠=∠，在CMF 与ANF 中，CMF ANF FCM FAN CF AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(AAS)CMF ANF △≌△，∴FM FN =，又∵FM CE ⊥，FN AD ⊥，∴EF 平分DEC ∠．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线，全等三角形，等腰直角三角形，角平分线等，熟练掌握线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的判定，是解决问题的关键．24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数12y x =-的图像经过点(2,)A m -，点A 与点B 关于y 轴对称，且点B 在反比例函数(0)k y k x=≠的图像上．（1）求m 的值和反比例函数的解析式；（2）设P 是直线12y x =-上的一动点．当线段BP 最短时，求ABP 的面积．【答案】（1）1；2y x=（2）165【解析】【分析】本题考查正比例函数、反比例函数的性质以及直线与坐标轴的交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，（1）将将(2,)A m -代入12y x =-得到m 的值，A 与点B 关于y 轴对称，可得(2,1)B ，再将点B 代入即可得到反比例函数的解析式；（2）设1,2P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当BD AP ⊥时，线段BP 最短，根据勾股定理可得点P 的坐标，即可得到AP 、BP 的值，ABP 的面积即可求解．【小问1详解】解：将(2,)A m -代入12y x =-得1(2)12m =-⨯-=，∴(2,1)A -，∵点A 与点B 关于y 轴对称，∴(2,1)B ，将(2,1)B 代入k y x =得212k =⨯=，∴2y x=．【小问2详解】解：设1,2P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当BD AP ⊥时，线段BP 最短，由（1）知(2,1)A -，(2,1)B ，∴22[2(2)]16AB =--=，2221(2)12BP p p ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，222(2)(15)AP p p =+++，由勾定理得222AB AP BP =+，∴22221116(2)1(2)122p p p p ⎛⎫⎛⎫=++++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：254120p p +-=解之得：2p =-（舍），65p =．∴63,55p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴455BP ====，855AP ====，∴111622555ABP S AP BP =⋅=⨯⨯=△．25.【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系．如图1，已知在ABC V 中，BD 是ABC V 的角平分线，AE 是ABC V 的中线，AE BD ⊥，垂足为点F ．（1）根据图1，写出ABC V 中小普同学所发现的结论，并给出证明；【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究：（2）在如图1中，“线垂”三角形ABC 是否可以是直角三角形？如果可以，求DBC ∠的度数；如果不可以，请说明理由；（3）已知线段MN ，是否存在一点P ，使得以MN 为一边的“线垂”三角形PMN 为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出PMN ∠为“分角”的“线垂”等腰三角形PMN （不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P ），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2BC AB =，证明见解析；（2）可以，DBC ∠的度数为30︒或45︒；（3）存在，见解析【解析】【分析】本题考查新定义，尺规作图，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，角平分线定义，中线定义等知识点，理解新定义，熟练掌握相关知识，合理分类讨论是解题的关键．（1）利用角平分线性质及垂直的定义得到BAF BEF ∠=∠，即ABE 为等腰三角形，再根据中线定义即可得到本题答案；（2）分90BAC ∠=︒，90ABC ∠=︒，90ACB ∠=︒三种情况讨论，根据（1）中结论即角平分线性质即可得到本题答案；（3）作线段MN 的垂直平分线交线于O ，以M 为圆心，MO 为半径画弧，以N 为圆心，MN 为半径画弧，两弧相交点P ，连接MP ，NP 即可．【详解】（1）解：2BC AB =，证明如下：∵B 是ABC V 的角平分线，∴ABD CBD ∠=∠，∵AE BD ⊥，∴90BFA BFE ∠=∠=︒，∴90ABD BAF CBD BEF ∠+∠=∠+∠=︒，∴BAF BEF ∠=∠，∴BA BE =，∵AE 是ABC V 的中线，∴BE CE =，∴12BA BE BC ==，∴2BC AB =；（2）解：可以，理由如下：①当90BAC ∠=︒时，如图，∵90BAC ∠=︒，AE 是中线，∴12AE BE BC ==，在“线垂”三角形ABC 中，2BC AB =，∴AB AE BE ==，∴ABE 是等边三角形，∴60ABC ∠=︒∵BD 是ABC V 的角平分线，∴1302DBC ABC ∠=∠=︒；②当90ABC ∠=︒时，如图，∵AE 是中线，∴12BE BC =，在“线垂”三角形ABC 中，2BC AB =，∴AB BE =，∵BD 是ABC V 的角平分线，∴1452DBC ABC ∠=∠=︒，③当90ACB ∠=︒，AB BC >，与“线垂”三角形ABC 中，2BC AB =，相矛盾，故舍去；综上，DBC ∠的度数为30︒或45︒；（3）解：存在，如图，MNP △即为所求，由作图知：O 为MN 中点，MP MO =，MN PN =，ME 平分PMN ∠，∴ME OP ⊥，∴等腰MNP △是以PMN ∠为“分角”的“线垂”三角形，“线垂”等腰三角形的两底角相等．。
2021年上海中考数学母题讲次07 一次函数(学生版)
专题07 一次函数【母题来源1】（2018•上海中考真题）如果一次函数y＝kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而．（填“增大”或“减小”）【母题来源2】（2017•上海中考真题）如果一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，那么k、b应满足的条件是（）A．k＞0，且b＞0B．k＜0，且b＞0C．k＞0，且b＜0D．k＜0，且b＜0【母题来源3】（2019•上海中考真题）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线y＝x，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．一、 一次函数的概念1．概念： 若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成形如y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.（1）一次函数的定义域是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.注意：判断一个等式是否是一次函数先要化简（3）当b=0，k≠0时，y= kx 仍是一次函数.(正比例函数)（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.二、一次函数的图象由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，描出适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-kb ，0）.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可. 三、一次函数性质1. 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的性质（1）k 的正、负决定直线的倾斜方向；①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；①k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上；①当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；①当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x 向上平移一个单位得到的．2、点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．3、确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．四、 一次函数与方程1. 一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b （a≠0，a ，b 为常数）中，函数的值等于0时自变量x 的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－，0）是直线y=ax+b 与x 轴的交点坐标，反过来也成立；①直线y=ax+b 在x 轴的上方，也就是函数的值大于零，x 的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x 轴的下方也就是函数的值小于零，x 的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解．2. 坐标轴的函数表达式函数关系式x=0的图像是y 轴，反之，y 轴可以用函数关系式x=0表示；①函数关系式y=0的图像是x 轴，反之，x 轴可以用函数关系式y=0表示．3. 一次函数与二元一次方程组的关系一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系．4. 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解（1）二元一次方程组有唯一的解直线y=k 1x+b 1不平行于直线y=k 2x+b 2 k 1≠k 2． （2）二元一次方程组无解直线y=k 1x+b 1①直线y=k 2x+b 2 k 1=k 2，b 1≠b 2． （3）二元一次方程组有无数多个解直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2重合k 1=k 2，b 1=b 2． 5. 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b 中，k ，b 就是待定系数．用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设，二代，三解，四代入（1）设函数表达式为y=kx+b ；b a1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩⇔⇔1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩⇔⇔1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩⇔⇔（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k 与b 的值；（4）将k 、b 的之带入y=kx+b ，得到函数表达式。
初中数学_人教版数学九年级下册反比例函数教学设计学情分析教材分析课后反思
《反比例函数》教学设计学习目标1、理解并掌握反比例函数的概念。
2、能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式。
3、能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想。
学习重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式学习难点：理解反比例函数的概念。
学习准备：1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？2、体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？学习过程：一、探索研讨【活动1】问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？(1)京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t（单位:h）随该列车平均速度v（单位:km/h）的变化而变化；_________________（2）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长为y随宽x的变化；_________________（3）已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有的土地面积S(平方千米/人)随全市总人口数n（单位：人）的变化而变化。
_________________上面的函数关系式，都具有_____________的形式，其中_________是常数。
【活动2】下列问题中，变量间的对应关系可用这样的函数式表示吗？（1）一个游泳池的容积为2000m3,注满游泳池所用的时间随注水速度u的变化而变化；_________________（2）某立方体的体积为1000cm3，立方体的高h随底面积S的变化而变化；_________________（3）一个物体重100牛顿，物体对地面的压力p随物体与地面的接触面积S的变化而变化。
_________________概念：如果两个变量x,y 之间的关系可以表示成___________的形式，那么y 是x 的反比例函数，反比例函数的自变量x____为零。
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第18章 正比例函数和反比例函数精讲讲练 【考点剖析】 1.函数 定义：在某个变化过程中有两个变量x和y，在变量x的允许取值范围内，变量y随x的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫x的函数.
函数记号：()yfx，()fa表示x＝a时的函数值. 设()fx为整式，则 函数()yfx的定义域：一切实数； 函数1()yfx的定义域：满足()0fx的实数； 函数()yfx的定义域：满足()0fx的实数. 2.正比例函数与反比例函数 正比例函数 反比例函数
定义 形如(0)ykxk的常数的函数，其中k是比例系数 形如(0)kykx的常数的函数，其中k是比例
系数 定义域 一切实数 不等于零的一切实数 图像 经过原点（0，0）和点（1，k）的一条直线； 双曲线，它有两支
性质 当0k时，正比例函数的图像经过第一、三象限；y的值随x的值增大而增大； 当0k时，正比例函数的图像经过第当0k时，反比例函数的图像经过第一、三象限；在每一个象限内，y的值随x的值增大而减小； 当0k时，反比例函数的图像经过第二、四象二、四象限；y的值随x的值增大而减小。 限；在每一个象限内，y的值随x的值增大而增大。 图像与两支无限接近坐标轴，但不相交. 3. 函数的表示法：解析法；列表法；图像法等.
【考点1】函数的概念 例题1 （松江2018期末2）函数32yx的定义域是 【变式1】（闸北2018期中15）函数y=的定义域是 ． 【变式2】（普陀2018期末9）函数52yx的定义域是 . 例题2 （浦东四署2018期末21）已知y与2x－3成正比例，且当x＝4时，y＝10，求y与x的函数解析式.
【变式1】（普陀2018期末21）已知12yyy，1y与x－１成正比例，2y与x成反比例. 当x＝2时，y＝2；当x＝－2时，y＝－8，求y关于x的函数解析式.
【变式2】（松江2018期末23）已知12yyy，1y与x－１成反比例，2y与x成正比例. 当x＝2时，14y，y＝2，求y关于x的函数解析式. 例题3 （长宁2018期末3）已知函数2()1fxx，则(3)f＝ . 【变式1】（松江2018期末6）已知函数1()1fxx，则(2)f＝ . 【考点2】正、反比例函数的性质 例题4 （松江2018期末9）已知反比例函数12kyx，当0x时，y的值随着 x的增大而减小，则实数k的取值范围 . 【变式1】（浦东四署2018期末12）正比例函数(0)ykxk经过点（2，1），那么y随x的增大而 .（填“增大”或“减小”）
【变式2】（金山2018期中16）正比例函数25yx的图像经过第 象限. 【变式3】（闸北2018期中16）已知反比例函数y=的图象如图所示，则实数m的取值范围是 ．
【变式4】（嘉定2017期中12）若正比例函数25mmymx的图像经过第二、四象限，则m＝ .
【变式5】（金山2018期末13）已知反比例函数xmy13的图像有一支在第二象限，那么常数m的取值范围是 ． 例题5 （松江2018期末25）已知：如图，点A（1，m）是正比例函数1ykx与反比例函数2kyx
的图像在第一象限 的交点，ABx轴，垂足为点B，ABO和面积为2. （1）求m的值以及这两个函数的解析式； （2）若点P在x轴上，且AOP是以OA为腰的等腰三角形，求点P的坐标.
【变式1】（闸北2018期中25）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点P （2，3），点D是正比例函数图象上的一点，过点D作y轴的垂线，垂足分别Q，DQ交反比例函 数的图象于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，AB交正比例函数的图于点E． （1）求正比例函数解析式、反比例函数解析式． （2）当点D的纵坐标为9时，求：点E的坐标．
【变式2】（金山2018期中26）已知正比例函数图像经过点(3,23). （1）若点(,2),(3,)AaBb的图像上，求a、b的值. （2）过图像上一点P作y轴的垂线，垂足为Q，154OPQS，求Q的坐标. 【变式3】（嘉定2017期中27）已知正反比例函数的图像交于A、B两点，过第二象限的点A作AHx轴，点A的横坐标为－2，且3AOHS，点B（m，n）在第四象限.
（1）求这两个函数解析式； （2）求这两个函数图像的交点坐标； （3）若点D在坐标轴上，联结AD、BD，写出当6ABDS时的D点坐标.
一、选择题 1.（崇明2018期中5）函数3yx与函数2yx在同一坐标系中的大致图像是（ ） 2.（普陀2018期末3）已知正比例函数2yx的图像上有两点1122(,)(,)AxyBxy、，如果12xx，那么12yy与的大小关系是（ ）
A.12yy； B. 12yy； C. 12=yy； D. 不能确定 3.（崇明2018期中6）如果点123(2,),(1,),(1,)AyByCy在反比例例函数1yx的图像上，那么下列结论正确的是（ ） A.123yyy； B. 321yyy； C. 312yyy； D. 132yyy
4.（嘉定2017期中2）函数 13yx图像一定不经过点（ ） A. (3,1) B. (3,1) C. 1(1,)3 D. (1,3) 5.（浦东四署2018期末5）已知点123(1,),(2,),(2,)AyByCy都在反比例函数(0)kykx的图像上，则（ ）
A.123yyy； B. 321yyy； C. 231yyy； D. 132yyy 6.（松江2018期末16）下列函数中，当x>0时，函数值y随x的增大而减小的是（ ） A.2yx； B. 2xy； C. 22xy； D.2yx. 二、填空题 7.（浦东四署2018期末18）如图，已知两个反比例函数1211::3CyCyxx和在第一象限内的图像，设点P在1C上，PCx轴于点C，交2C于点A，PDy轴于点D，交2C于点B，则
(D)(C)(B)(A)xyxyxyyxOOOO四边形PAOB的面积为 .
8.（闸北2018期中18）正比例函数的图象和反比例函数的图象相交于A，B两点，点A在第二象限，点A的横坐标为﹣1，作AD⊥x轴，垂足为D，O为坐标原点，S△AOD=1．若x轴上有点C，且S△ABC=4，则C点坐标为 ．
三、解答题 9.（崇明2018期中24）小惠到眼镜店调查了近视眼镜的度数和镜片焦距的关系如下表： 镜片焦距x(cm) 50 25 12.5 10 8 … 眼镜度数y(度) 200 400 800 1000 1250 … （1）根据上表体现出来的规律，请写出眼镜度数y（度）与镜片焦距 x（cm）之间的函数关系式；
（2）若小惠所戴眼镜度数为500度，求该镜片的焦距. 10.（浦东四署2018期末23）为了响应“低碳环保，绿色出行”的公益活动，小燕和妈妈决定周日骑自行车去图书馆借书. 她们同时从家出发，小燕先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分钟的速度到达图书馆，而妈妈始终以120米/分钟的速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图，请结合图像，解答下列问题：
（1）图书馆到小燕家的距离是 米； （2）a＝ ，b＝ ，m＝ ； （3）妈妈行驶的路程y（米）关于时间x（分钟）的函数解析式是 ； 定义域是 .
11.（长宁2018期末24）如图，在平面直角坐标系xOy内，点A在直线y=3x上（点A在第一象限），OA＝210.
（1）求点A的坐标；
（2）过点A作ABx轴，垂足为点B，如果点E和点A都在反比例函数(0)kykx图像上（点E在第一象限），过点E作EFy轴，垂足为点F，如果AEFAOBSS，求点E的坐标. 12.（崇明2018期中26）如图，直线(0)yaxa与双曲线(0)kykx交于A、B两点，且点A的坐标 为（4，2），点B的坐标为（n，－2）. （1）求a、n的值； （2）若双曲线(0)kykx上的点C的纵坐标为8，求AOC的面积.
13.（金山2018期中28）已知：如图点A（6，8）在正比例函数图像上，点B坐标为（12，0），联结AB，
AO＝AB＝10，点C是线段AB的中点，点P在线段BO上以每秒2个单位的速度由点B向点O运动，点Q在线段AO上由点A向点O运动，P、Q两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒.
（1）求该正比例函数的解析式； （2）当t＝1秒，且6OPQS时，求点Q的坐标； （3）联结CP，在点P、Q运动过程中，OPQBPC与是否全等？如果全等，请求出点Q的运动速度；如果不全等，请说明理由. 14.（金山2018期末22）已知：21yyy，并且1y与)1(x成正比例，2y与x成反比例． 当2x时，5y；当2x时，9y． （1）求y关于x的函数解析式； （2）求当8x时的函数值．
15.（普陀2018期末24）如图，在平面直角坐标系xOy内，正比例函数4yx的图像与反比例函数(0)kykx的图像交于点A（1，m），点B在y轴上，AB//x轴，P是BA延长线上的一动点，过点P作PCx轴，垂足为点C，PC与反比例函数的图像交于点D. （1）求反比例函数的解析式； （2）如果2PODAOBSS，求出点P的坐标.