因式分解
因式分解竖式
因式分解竖式因式分解是一种将一个多项式拆解成两个或多个因子相乘的方法，这在代数中非常重要。
因式分解的竖式法是一种直观易懂的方法，能够帮助我们更好地理解因式分解的过程。
首先，我们来看一个简单的例子：将多项式x^2 + 6x + 9进行因式分解。
我们可以通过竖式的方法将其因式分解为(x + 3)(x + 3)。
下面是具体的步骤：步骤1：找出多项式中的常数项和最高次项。
在这个例子中，常数项是9，最高次项是x^2。
步骤2：找出常数项的因数。
9的因数包括1、3和9本身。
步骤3：找出最高次项的因数。
最高次项的因数就是多项式中的每一项的指数。
在这个例子中，最高次项的因数就是1和2。
步骤4：将步骤2和步骤3中找到的因数进行组合。
根据多项式的结构，我们可以得知，常数项的因数应该与最高次项的因数进行组合，可以得到(x + 1)(x + 3)，(x + 2)(x + 3)和(x + 3)(x + 9)等。
3)，并与原多项式进行对比来验证。
展开后的结果是x^2 + 3x + 3x + 9，合并同类项得到x^2 + 6x + 9，与原多项式完全一样，因此可以确定因式分解是正确的。
上面的例子比较简单，现在我们来看一个稍微复杂一些的例子：将多项式x^3 - 3x^2 + 3x - 1进行因式分解。
我们可以使用竖式的方法将其因式分解为(x -1)(x - 1)(x - 1)。
下面是具体的步骤：步骤1：找出多项式中的常数项和最高次项。
在这个例子中，常数项是-1，最高次项是x^3。
步骤2：找出常数项的因数。
-1的因数包括-1和1。
步骤3：找出最高次项的因数。
最高次项的因数就是多项式中的每一项的指数。
在这个例子中，最高次项的因数就是1、2和3。
步骤4：将步骤2和步骤3中找到的因数进行组合。
根据多项式的结构，我们可以得知，常数项的因数应该与最高次项的因数进行组合，可以得到(x - 1)(x - 1)(x - 1)或者(-x + 1)(-x + 1)(-x + 1)等。
初中因式分解公式大全
初中因式分解公式大全因式分解是初中数学中的一个重要知识点，它是解决代数式的一个重要方法。
因式分解的目的是将一个代数式分解成若干个乘积的形式，从而更容易进行计算和求解。
在初中阶段，因式分解公式是学生们需要掌握的基础知识之一。
下面我们将介绍一些常见的初中因式分解公式，希望能对大家的学习有所帮助。
一、一次因式分解公式。
1. a^2 b^2 = (a + b)(a b)。
这是一个一次因式分解的基本公式，它可以用来分解两个平方数之差。
当我们遇到类似的代数式时，可以利用这个公式来进行因式分解，从而简化计算过程。
二、二次因式分解公式。
1. a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。
这是一个常见的完全平方公式，它可以用来分解一个完全平方的代数式。
在实际问题中，我们经常会遇到完全平方的情况，因此掌握这个公式对于解题非常有帮助。
2. a^2 2ab + b^2 = (a b)^2。
这是完全平方公式的另一种形式，与上一个公式相对应。
当我们遇到完全平方差的情况时，可以利用这个公式进行因式分解。
三、三次因式分解公式。
1. a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 ab + b^2)。
这是一个常见的立方和公式，它可以用来分解两个立方数的和。
在代数式的计算中，有时会遇到这种情况，因此掌握这个公式对于解题非常有帮助。
2. a^3 b^3 = (a b)(a^2 + ab + b^2)。
这是立方差公式，与上一个公式相对应。
当我们遇到两个立方数的差时，可以利用这个公式进行因式分解，从而简化计算过程。
四、其他常见因式分解公式。
1. a^2 + b^2 = (a + b)(a bi)(a + bi)。
这是一个关于复数的因式分解公式，它可以用来分解两个复数的和。
在高中阶段学习复数时，这个公式会被进一步应用和拓展。
2. a^3 + b^3 + c^3 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 ab ac bc)。
数学因式分解公式
ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = a(x+p)(x+q)(x+r)(x+s)
多项式因式分解定理:
任意一个n项多项式(x-r1)(x-r2)(x-r3)...(x-rn)的形式的表达。其中r1,r2,r3..rn为多项式的根。
因式分解是数学中数学中常用的求解多项式的方法之一，因式分解的好处是可以将复杂的多项式转化为若干个简单的多项式，方便进行后续的求解。
这些公式是在特定情况下使用的，例如一元二次方程因式分解公式适用于一元二次方程的求解，而二元一次方程组因式分解公式则适用于二元一次方程组的求解。多项式因式分解定理可以适用于任意n项多项式的分解，这些公式都是数学中重要的工具和方法。项式拆分成若干个简单的多项式的过程。常见的公式有下面几种:
一元二次方程因式分解公式:
ax^2 + bx + c = (ax + d)(ex + f)
二元一次方程组因式分解公式:
ax + by = a(x+b/a) + b(y-a/b)
三项式因式分解公式:
ax^3 + bx^2 + cx + d = a(x+r)(x+s)(x+t)
因式分解的原则
因式分解的原则
一、因式分解的定义
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。
例如：x^2-1=(x + 1)(x - 1)。
1. 分解要彻底
- 即分解后的因式必须不能再继续分解。
例如，分解x^4-1，如果只分解到(x^2+1)(x^2-1)是不彻底的，因为x^2-1还可以继续分解为(x + 1)(x - 1)，所以
x^4-1=(x^2+1)(x + 1)(x - 1)。
2. 结果要最简
- 分解后的整式之间不能有公因式。
例如，对6x^2+9x进行因式分解，如果写成3x(2x + 3x)就是错误的，正确的结果是3x(2x+3)。
3. 首项系数为正
- 在因式分解的结果中，每个因式的首项系数一般要求为正。
例如，对-x^2+x 因式分解，结果应写成-x(x - 1)，但通常会进一步化为x(1 - x)。
4. 相同因式写成幂的形式
- 如果分解后的因式中有相同的因式，要写成幂的形式。
例如，分解x^3-
2x^2+x，先提出公因式x得到x(x^2-2x + 1)，而x^2-2x + 1=(x - 1)^2，所以最终结果为x(x - 1)^2。
因式分解最全方法归纳
因式分解最全方法归纳在数学中，因式分解是一种将多项式表达式分解为较简单的乘法形式的方法。
它是解决多项式的基础步骤，也是高等数学和代数学中的重要概念。
本文将对因式分解的最全方法进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、因式分解的基本定义因式分解是一种将多项式表达式分解为乘法形式的方法。
通常，我们将一个多项式表示为包含常数项、一次项、二次项等的和的形式。
而因式分解的目的就是将这个多项式表示为一个或多个因子相乘的形式。
二、常见因式分解方法1. 因式分解公式法因式分解公式法是因式分解中常用的方法之一。
根据不同的多项式形式，我们可以利用一些常见的因式分解公式来进行因式分解。
例如：- 当多项式为二次差平方时，可以利用差平方公式进行因式分解。
例如，x^2 - a^2 = (x+a)(x-a)。
- 当多项式为完全平方时，可以利用完全平方公式进行因式分解。
例如，x^2 + 2ab + b^2 = (x+a)^2。
- 当多项式为二次三项差积时，可以利用二次三项差积公式进行因式分解。
例如，x^2 - ax - b = (x-c)(x-d)，其中c、d为满足cd = b且c+d = a的两个数。
2. 提取公因式法提取公因式法是因式分解的一种常用方法。
当多项式的各项存在公因式时，我们可以将这些公因式提取出来，得到一个公因式和一个因式分解后的多项式。
例如：对于多项式2x^2 + 4x，我们可以提取出公因式2x，得到2x(x+2)。
3. 分组分解法分组分解法是一种将多项式进行分组，然后再进行因式分解的方法。
它通常适用于多项式中存在四项以上的情况，且多项式的各项无法直接提取公因式。
例如：对于多项式x^3 + x^2 + 3x + 3，我们可以按照如下方式进行分组分解：(x^3 + x^2) + (3x + 3)。
进一步因式分解得到：x^2(x + 1) + 3(x + 1)。
再进一步因式分解得到：(x^2 + 3)(x + 1)。
因式分解的12种方法
3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
例7、分解因式2x -x -6x -x+2解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x=x [2(x + )-(x+ )-6令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6= x [2(y -2)-y-6]= x (2y -y-10)=x (y+2)(2y-5)=x (x+ +2)(2x+ -5)= (x +2x+1) (2x -5x+2)=(x+1) (2x-1)(x-2)8、求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0通过综合除法可知，f(x)=0根为，-3，-2，1则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、图象法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )例9、因式分解x +2x -5x-6解：令y= x +2x -5x-6作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
因式分解定理
即 d ( x ) a 或 d ( x ) cp( x ) p( x ) f ( x ) ( p( x ), f ( x )) 1
定理5.7 设 p( x ) 不可约. f ( x ), g( x ) P[ x ] ，若
③ 多项式 p( x ) ( p( x )) 1 不可约.
p( x ) 的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍.
引理 多项式 p( x )不可约，对 f ( x ) P[ x ] 有
p( x ) f ( x ) 或 p( x ), f ( x ) 1.
证：设 ( p( x ), f ( x )) d ( x ), 则 d ( x ) p( x )
注:
f ( x) f ( x ) 与 ( f ( x ), f ( x ))有完全相同的不可约因式，
f ( x) 且 的因式皆为单因式. ( f ( x ), f ( x ))
推论4
f ( x ) P[x ] ，若 ( f ( x ), f ( x )) p1r1 ( x ) ps rs ( x ) ,
f ( x ) ap1r1 ( x ) p2 r2 ( x ) g( x ) bp1l1 ( x ) p2 l2 ( x ) ps rs ( x ), ri 0 ps ls ( x ), l i 0
则有
f ( x ), g( x ) p11 ( x ) p22 ( x )
f ( x ), g( x ) P[ x ], 且 f ( x ) , g ( x ) n,
f ( x ) 总可表成
f ( x ) cp1r1 ( x ) p2 r2 ( x )
因式分解8种方法
因式分解8种方法有很多方法可以用来因式分解一个多项式或数字。
在这篇文章中，我将向您介绍8种常见的因式分解方法，并提供每种方法的详细解释和示例。
让我们开始吧！1.相同因式的提取这是因式分解的最基本方法之一、它适用于多项式，其中所有项都具有相同的因式。
为了因式分解，我们只需要将相同的因式从每个项中提取出来。
例如，考虑多项式6x^2+9x+3、该多项式的所有项都可以被3整除。
因此，我们可以将其因式分解为3(2x^2+3x+1)。
2.公因式的提取如果一个多项式的每个项都可以被一个公共因子整除，那么我们可以将该因子提取出来并进行因式分解。
例如，考虑多项式2x^3-6x^2+8x。
所有的项都可以被2x整除，因此我们可以将其因式分解为2x(x^2-3x+4)。
3.分组方法分组方法适用于多项式，其中有四个或更多的项。
它的思想是将多项式中的项进行分组，然后在每个组中找到一个公共因子，最后提取出这些因子。
例如，考虑多项式x^3-2x^2+3x-6、我们可以将其分为两个组：(x^3-2x^2)和(3x-6)。
在第一组中，我们可以提取出一个公因子x^2，得到x^2(x-2)；在第二组中，我们可以提取出一个公因子3，得到3(x-2)。
因此，多项式的因式分解为(x^2+3)(x-2)。
4.凑整法凑整法适用于多项式，其中二次项的系数为1、它的核心思想是通过加减适当的数来凑成一个完全平方。
通过这种方法，我们可以将多项式因式分解为两个平方的差。
例如，考虑多项式x^2+4x+4、我们可以将其凑整为(x+2)^2、因此，多项式的因式分解为(x+2)(x+2)或简化为(x+2)^25.和差平方差公式如果一个多项式可以表示成两个完全平方的差，我们可以使用和差平方差公式进行因式分解。
公式如下：a^2-b^2=(a+b)(a-b)例如，考虑多项式x^2-4、可以将其因式分解为(x+2)(x-2)。
6.加法公式和减法公式加法公式和减法公式适用于三角函数等特定的函数形式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第11讲：因式分解的方法【知识梳理】一、因式分解的意义把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，其操作过程叫分解因式。
其中每一个整式叫做积的因式。
二、因式分解的方法1、常用方法有提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等，通常根据多项式的项数来选择分解的方法。
2、一些复杂的因式分解的方法：（1）换元法：对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。
（2）主元法：在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构。
（3）拆项、添项法：拆项是将多项式中的某项拆成两项或更多项的代数和的一种恒等变形；添项是特殊的拆项，即把零拆成两个相反项的和。
配方法则是一种特殊的拆项、添项法。
（4）待定系数法：对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题得以解答。
（5）常用的公式：平方差公式：()()b a b a b a -+=-22； 完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±； ()2222222c b a ca bc ab c b a ++=+++++； ()2222222c b a ca bc ab c b a -+=--+++； ()2222222c b a ca bc ab c b a --=-+-++； 立方和（差）公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+；()()2233b ab a b a b a ++-=-；完全立方公式：()3322333b a b ab b a a +=+++； ()3322333b a b ab b a a -=-+-。
【例题精讲】◆例1：（1）4x （a －b ）＋（b 2－a 2）； （2）（a 2＋b 2）2－4a 2b 2；（3）x 4＋2x 2－3；（4）（x ＋y ）2－3（x ＋y ）＋2；（5）x 3－2x 2－3x ；（6）4a 2－b 2＋6a －3b ；（7）a 2－c 2+2ab +b 2－d 2－2cd（8）a 2－4b 2－4c 2－8bc◆例2：分解因式：（1）()()10342424+++-+x x x x ；（2）()()()()26321x x x x x +++++；（3）()199911999199922---x x【巩固】分解因式：1、()()122122-++++x x x x ；2、()()2222284384x x x x x x ++++++；3、()()()()21131216x x x x x +----；4、()()2723144-+++y y【拓展】分解因式：()()()2122-+-+-+xy y x xy y x ；◆例3：把下列各式分解因式：1、()()()b a c a c b c b a -+-+-222；2、67222-+--+y x y xy x 。
【巩固】分解因式：1、()()122++-+b a b a ab ； 2、613622-++-+y x y xy x 。
◆例4：分解因式：4323+-x x 。
【巩固】分解因式：1、4224y y x x ++；2、4464b a +；【拓展】分解因式：432234232b ab b a b a a ++++。
◆例5：已知多项式6823222-+--+y x y xy x 的值恒等于两个因式()A y x ++2，()B y x +-2乘积的值，则=+B A ______________。
◆例6：分解因式：613622-++-+y x y xy x 。
【巩固】分解因式：1、25222-+---y x y xy x ；2、4925322-++-+y x y xy x ；【拓展】1、k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积？2、多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，试确定b a +的值。
3、求证：22328y xy x --可以化为两个整系数多项式的平方差。
【课后练习】1、分解因式：=+-2232ab b a a ___________________________；2、分解因式：=-+-9222y xy x ________________________________；3、分解因式：()()=-++++122122x x x x ___________________________________；4、已知c b a 、、满足5=+b a ，92-+=b ab c ，则=c _______________；5、分解因式：32422+++-b a b a 的结果是____________________________________；6、已知()1552-++-a x a x 能分解成两个整系数一次因式的乘积，则a 为____________； 7、把下列各式分解因式：（1）142222+---y x xy y x ； （2）2225408b ab ax x ---；（3）用换元法分解()()22236765x x x x x -++++；（4）用待定系数法分解25222-+---y x y xy x 。
7、k 是什么数时，2533222+-+--y x y xy kx 能分解成两个一次因式的积？第12讲 因式分解的应用【知识梳理】许多多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉以下的常用结果：（1）()()111±±=+±±b a a b ab ；（2）()()111±=-±b a b a ab ；（3）()()22224224+-++=+a a a a a ；（4）()()12212214224+-++=+a a a a a ；（5）()2222222c b a ac bc ab c b a ++=+++++； （6）()()ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++2223333。
【例题精讲】◆例1：若ABC ∆的三条边c b a 、、满足关系式0422224=--+b c a c b a ，则AB C ∆的形状是_________________________。
【巩固】1、已知c b a 、、是三角形三边长，则代数式2222b c ab a +--的值是（ ）A.大于0B.等于0C.小于0D.符号不定2、设c b a 、、是三角形三边长，化简ca bc ab c b a c 222222--++++。
【拓展】已知c b a 、、是一个三角形的三边，则222222444222a c c b b a c b a ---++的值是（ ）A.恒正B.恒负C.可正可负D.非负◆例2：已知0142=-+x x ，则18482234+--+x x x x 的值是多少？【巩固】1、已知0136422=++-+b a b a ，求b a +的值。
2、已知()2112=-+⎪⎭⎫⎝⎛-a a a a a ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+22121a a 的值。
3、设c a b 23+=，求ac c b a 449222++-的值。
◆例3：已知b a 、是自然数，且200722=-b a ，求a 与b 的值。
【巩固】设b a 、是自然数，733=-b a ，求b a 、的值。
【拓展】设b a 、是相邻的两个自然数，问ab b a b a 42222-++是否为平方数？◆例4：（1）求证：139792781--能被45整除；（2）证明：当n 为自然数时，()122+n 形式的数不能表示成两个整数的平方差。
【课后作业】1、ABC ∆的三边满足ab c bc a 2222-=-，则ABC ∆是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.锐角三角形2、如果2249100y kxy x +-是一个完全平方式，那么k 等于（ ）A.4900B.700C.140±D.70±3、若6522-++-y mx y x 能分解为两个一次因式的积，则m 的值为（ ）A.1B.1-C.1±D.24、若n 为奇数，则()1412-n （ ） A.一定是奇数 B.一定是偶数C.可能是奇数，也可能是偶数D.可能是整数，也可能是分数（分母不是1）5、若b a 、为有理数，且052422=++-+b a b a ，则=a b ______________。
6、已知1=+y x ，222=+y x ，那么=+44y x ________________。
7、计算：79.042.279.021.122⨯++。
8、已知131=+++b a ab ，求b a 、的值。