二次函数最值问题
一、线段和最小
【例1】已知，如图，二次函数y=ax2+2ax-3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点
（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；
（2）求二次函数解析式；
（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值。
【例2】在平面直角坐标系中，抛物线c
bx
x
y+
+
=2经过A（2，0）和B（4，0）两点，直线2
2
1
+
=x
y 交y 轴于点C，且过点D（8，m）
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点P，使CP+DP的值最小，求出点P的坐标；
（3）将抛物线y=x2+bx+c左右平移，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，当四边形A′B′DC 的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形A′B′DC周长的最小值．
（4）设抛物线的顶点为Q，过点C作x轴的平行线l，点M在直线l上，且MN垂直于x轴，垂足为N，若DM+MN+NQ最小，直接写出此时点M,N的坐标
【例3】已知抛物线y=ax2+bx+1经过点A（1，3）和点B（2，1）．
（1）求此抛物线解析式；
（2）点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值；
（3）过点B作x轴的垂线，垂足为E点．点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点，再
使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短．（要求：简述确定F点位置的方法，但不要求证明）
二、线段差最大
【例4】如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y 轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1，0），B（-l，2），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N．（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值．
三、面积最大
【例5】如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC 的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．
【例6】如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2－2x－8＝0的两个根．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E
，连接CP，当△CPE的面积最大时，
求点P的坐标；
【例7】平面直角坐标系中,?ABOC如图放置,点A、C的坐标分别为（0,3）、（-1,0）,将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°,得到?A'B'OC'．
（1）若抛物线过点C,A,A',求此抛物线的解析式；
（2）平行四边形ABOC和平行四边形A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点,问：点M在何处时△AMA'的面积最大?最大面积是多少?
并求出此时M的坐标．
【例8】如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB 的表达式为，点A、D的坐标分别为(－4，0)，(0，4).动点P自A点出发，在AB上匀速运行.动点Q
自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点P运动t(秒)时，△OPQ的面积为s(不能构成△OPQ的动点除外).
(1)求出点B、C的坐标；
(2)求s随t变化的函数关系式；
(3)当t为何值时s有最大值？并求出最大值.
练习
【题1】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数 的图象与x 轴交于A （-1，0）、B （3，0）两点，顶
点为C ．
（1）求此二次函数解析式；
（2）点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ： 交BD 于点E ，过点B 作直线BK ∥AD 交直线l 于K 点．问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN+NM+MK 和的最小值．
（4）设抛物线交y 轴于点R ，若点K 在抛物线对称轴上，当KR -KB 的值最大时，直接写出此时点K 的坐标
【题2】已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0），C（0，﹣2）
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标；
（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
（4）若点Q是直线AC下方的抛物线上的一点，求使得三角形QAC面积最大时点Q的坐标及此时三角形QAC的面积的最大值。
（5）在抛物线上是否存在一点R，使得S三角形ACR=S三角形BCR?若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由。
二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)
一、二次函数线段最值问题 1、平行于x轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、平行于y轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题 1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴 2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标 3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长 4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和） 5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数 6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可 二、二次函数周长最值问题 1、矩形周长最值问题 1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值 2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长 3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值 1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量 2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长 三、二次函数面积最值问题 1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴） 1）首先表示出所需的边长及高 2）利用求面积公式表示出面积 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、不规则图形面积最值问题 1）分割。将已有的不规则图形经过分割后得到几个规则图形 2）再分别表示出分割后的几个规则图形面积，求和 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 或1）利用大减小，不规则图形的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的面积来得到
二次函数最值问题(含答案)
二次函数最值问题 一．选择题（共8小题） 1．如果多项式P=a2+4a+2014，则P的最小值是（） A．2010 B．2011 C．2012 D．2013 2．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10 B．4 C．5 D．6 3．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（） A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣3 4．设x≥0，y≥0，2x+y=6，则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是（）A．B．18 C．20 D．不存在 5．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（） A．3.125 B．4 C．2 D．0 6．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 7．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（） A．B．2 C．D． 8．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）
A．7 B．7.5 C．8 D．9 二．填空题（共2小题） 9．已知二次函数y=2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是． 10．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2﹣a）和点B（0，﹣3a﹣5）在y轴上， =6．当线段OM最长时，点M的坐标为． 点M在x轴负半轴上，S △ABM 三．解答题（共3小题） 11．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1）， ①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标； ②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．
二次函数最值知识点总结典型例题及习题
必修一二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]-?b a m n 2，时 若-二次函数的最值问题(典型例题)
二次函数的最值问题 【例题精讲】 题面：当-1≤x ≤2时,函数y =2x 2-4ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值. 【拓展练习】 如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数23y x bx c = ++的图象与x 轴交于A (-1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C . (1)求此二次函数解析式； (2)点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：3333 y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK //AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在(2)的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.
练习一
若函数y=4x2-4ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3，求a的值． 【拓展练习】 题面：已知：y关于x的函数y=(k-1)x2-2kx+k+2的图象与x轴有交点． (1)求k的取值范围； (2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k-1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2． ①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值． 练习二 金题精讲 题面：已知函数y=x2+2ax+a2-1在0≤x≤3范围内有最大值24，最小值3，求实数a的值． 【拓展练习】 题面：当k分别取-1，1，2时，函数y=(k-1)x2 -4x+5-k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值． 讲义参考答案
二次函数和最值问题总结
二次函数的最值问题 二次函数y ax2bx c ( a 0) 是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基 础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情 况(当 a 时， 函数在 x b处取得最小值4ac b2，无最大值；当 a 0时，函数在 x b处取得 2a 4a 2a 4ac b2，无最小 值． 最大值 4a 本节我们将在这个基础上继续学习当自变 量x 在某个范围内取值时，函数的最值问 题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应 用． 二次函数求最值（一般范围类） 例 1．当 2 x 2 时，求函数 y x22x 3 的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草 图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变 量x 的值． 解：作出函数的图象．当x 1时， y min 4 ，当 x 2 时， y max 5． 例 2．当 1 x 2 时，求函数yx2x 1的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当 x 1 时， y min1，当 x 2 时， y max5 ． 由上述两例可以看到，二次函数在自变量 x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量 x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 例 3．当 x 0 时，求函数y x(2 x) 的取值范围．
资料
解： 作出函数 y x(2 x ) x 2 2x 在 x 0 内的图 象． 可以看出： 当 x 1 时， y min 1，无最大值． 所以，当 x 0 时，函数的取值范围 是 y 1 ． 例 4． 当 t x t 1 时，求函数 y 1 x 2 x 5 的最小值 (其中 t 为常 数 )． 2 2 分析： 由于 x 所给的范围随着 t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相 对位 置． 解： 函数 y 1 x 2 x 5 的对称轴为 x 1 ．画出其草图． 2 2 1 5 (1 ) 当对称轴在所给范围左侧．即 t 1 时： 当 x t 时， y min t 2 t ； t 1 t 1 0 t 1 2 2 (2 ) 当对称轴在所给范围之间．即 时： 当 x 1时， y min 1 12 1 5 3； 2 2 (3 ) 当对称轴在所给范围右侧．即 t 1 1 t 0 时： 当 x t 1 时， y min 1 (t 1)2 (t 1) 5 1 t 2 3． 2 2 2 1 t 2 3, t 0 2 综上所述： y3,0 t 1 1 t 2 t 5 , t 1 2 2 在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题： 二次函数求最值 ( 经济类问题 ) 例 1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定 对购买彩电的农户实行政府补贴． 规定每购买一台彩电， 政府补贴若干元， 经调查某商场销售彩电台数 y （台）与补贴款额 x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补 贴款额 x 的不断增大， 销售量也不断增加， 但每台彩电的收益 Z （元）会相应降低且 Z 与 x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．
二次函数求最值方法总结
二次函数求最值方法总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
XX 教育辅导教案 学生姓名 性别 年级 学科 数学 授课教师 上课时间 年 月 日 第（ ）次课 共（ ）次课 课时： 课时 教学课题 二次函数求最大值和最小值 教学目标 利用二次函数的图像和性质特点，求函数的最大值和最小值 教学重点 与难点 含有参数的二次函数最值求解。 课堂引入： 1) 由二次函数应用题最值求解问题引申至一般二次函数求最值问题，阐述二次函数求最值问题 方法的重要性（初高中衔接、高中必修一重点学习内容）。 2) 当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值． （引导学生用初中所学的二次函数知识求解，为下面引出二次函数求最值方法总结做铺垫） 二次函数求最值方法总结： 一、设)0(2≠++=a c bx ax y ，当n x m ≤≤时，求y 的最大值与最小值。 1、当0>a 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可求得y 的最值： 1) 当n a b m ≤-≤2时，a b x 2-=时，y 取最小值：a b a c y 442min -=；y 的最大值在m x =或n x =处取到。 2) 若m a b <-2，二次函数在n x m ≤≤时的函数图像是递增的，则m x =时，y 取最小值；则n x =时，y 取最大值。 若n a b >- 2，二次函数在n x m ≤≤时的函数图像是递减的，则n x =时，y 取最小值；则m x =时，y 取最大值。
【变式训练】 变式1、当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，1max -=y ，当2x =时，5min -=y ． 【例题解析】 例2、当1t x t ≤≤+时，求函数21522 y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 解：函数21522 y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+?≤≤时： 当1x =时，2min 1511322 y =?--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +
二次函数的最值问题举例(附练习、答案)
二次函数的最值问题举例（附练习、答案） 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-． 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．
可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值． 所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-． 【例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522 y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 解：函数21522 y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t = --； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+?≤≤时： 当1x =时，2min 1511322 y = ?--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +? 在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题： 【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤． (1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式； (2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元， 那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-． 2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤ (2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下 ∴当42x =时，2max 342252424860432y =-?+?-=
二次函数动点与最值问题
一、二次函数中的最值问题： 例1：在平面直角坐标系中，全等的两个三角形Rt⊿AOB与Rt A’OC’如图放置，点B、C’的坐标分别为（1，3），（0，1），BO 与A’ C’相交于D,若⊿A’OC’绕点O旋转90°至⊿AOC，如图所示（1）若抛物线过C、A、A’，求此抛物线的解析式及对称轴；∴y=-x2+2x+3 （2）、若点P是第一象限抛物线线上的一动点，问P在何处时△AP A’的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的点P的坐标。
（3）、设抛物线的顶点为N,在抛物线上是否存在点P,使△A’AN与△A’AP的面积相等?,若存 在,请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由。 例2、（2012）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A．C．D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=． （1）求过A．C．D三点的抛物线的解析式； （2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值围； （3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A．E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值． 解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=； Rt△OCD中，OC=CD?sinD=4，OD=3； OA=AD﹣OD=2，即： A（﹣2，0）、B（﹣5，4）、C（0，4）、D（3，0）； 设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣3），得：
2×（﹣3）a=4，a=﹣； ∴抛物线：y=﹣x2+x+4． （2）由A（﹣2，0）、B（﹣5，4）得直线AB：y1=﹣x﹣； 由（1）得：y2=﹣x2+x+4，则： ， 解得：，； 由图可知：当y1＜y2时，﹣2＜x＜5． （3）∵S△APE=AE?h， ∴当P到直线AB的距离最远时，S△ABC最大； 若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；设直线L：y=﹣x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时， ﹣x+b=﹣x2+x+4，且△=0； 求得：b=，即直线L：y=﹣x+； 可得点P（，）． 由（2）得：E（5，﹣），则直线PE：y=﹣x+9； 则点F（，0），AF=OA+OF=； ∴△PAE的最大值：S△PAE=S△PAF+S△AEF=××（+）=． 综上所述，当P（，）时，△PAE的面积最大，为．
二次函数求最值参数分类讨论的方法(可编辑修改word版)
t t + s 2 s ① ② ③ ④ 二次函数求最值参数分类讨论的方法 分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题． 一般地,对于二次函数 y=a (x m )2+n ，x ∈[t ，s ]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏， 可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。 ①表示对称轴在区间［t ，s ］的左侧，②表示对称轴在区间［t ，s ］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t ，s ］的右侧。然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。 含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论 题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值 例１、求函数 f (x ) = x 2 - 2ax + 3 在 x ∈[0, 4] 上的最值。 分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。 解： f (x ) = x 2 - 2ax + 3 = (x - a )2 + 3 - a 2 ∴此函数图像开口向上，对称轴 x=a ①、当 a ＜0 时，0 距对称轴 x=a 最近，4 距对称轴 x=a 最远， ∴x=0 时， y min =3，x=4 时， y max =19-8a ②、当 0≤a＜2 时，a 距对称轴 x=a 最近，4 距对称轴 x=a 最远， ∴x=a 时， y min =3-a2，x=4 时， y max =19-8a ③、当 2≤a＜4 时，a 距对称轴 x=a 最近，0 距对称轴 x=a 最远， ∴x=a 时， y min =3-a2，x=0 时， y max =3 ④、当 4≤a 时，4 距对称轴 x=a 最近，0 距对称轴 x=a 最远， ∴x=4 时， y min =19-8a ，x=0 时， y max =3 例 2、已知函数 f (x ) = ax 2 + (2a -1)x - 3 在区间[- 3 , 2] 上最大值为 1,求实数 a 的值 2 分析:取 a=0,a≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分
二次函数的最大值和最小值问题
二次函数的最大值和最小值问题
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二次函数的最大值和最小值问题 高一数学组主讲人-－---－－－－蒋建平 本节课的教学目标: 重点：掌握闭区间上的二次函数的最值问题 难点:理解并会处理含参数的二次函数的最值问题 核心: 区间与对称轴的相对位置 思想: 数形结合、分类讨论 一、复习引入 1、二次函数相关的知识点回顾。 （１）二次函数的顶点式： (2）二次函数的对称轴： （3)二次函数的顶点坐标： 2、函数的最大值和最小值的概念 设函数)(x f 在0x 处的函数值是)(0x f ,如果不等式)()(0x f x f ≥对于定义域内任意x 都成立,那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最小值。记作)(0min x f y = 如果不等式)()(0x f x f ≤对于定义域内任意x 都成立，那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最小值。记作)(0max x f y = 二、新课讲解:二次函数最大值最小值问题探究 类型一:无限制条件的最大值与最小值问题 例1、(１)求二次函数322 ++-=x x y 的最大值 ． (2)求二次函数x x y 422-=的最小值 . 本题小结：求无条件限制时二次函数最值的步骤 1、配方，求二次函数的顶点坐标。 2、根据二次函数的开口方向确定是函数的最大值还是最小值。 3、求出最值。
类型二:轴定区间定的最大值与最小值问题 例2、(1)求函数])1,3[(,232-∈-+=x x x y 的最大值 ，最小值 . (2）求函数])3,1[(232∈-+=x x x y 的最大值 ，最小值 . (３)求函数])2,5[(232 --∈-+=x x x y 的最大值 与最小值 . 本题小结:求轴定区间定时二次函数最值的步骤 1、配方,求二次函数的顶点坐标或求对称轴,画简图。 2、判断顶点的横坐标(对称轴）是否在闭区间内。 ３、计算闭区间端点的值,并比较大小。 类型三:轴动区间定的最大值与最小值问题 例3、求函数)(32R a ax x y ∈++=在]1,1[-上的最大值。
二次函数的最值问题
典型中考题（有关二次函数的最值） 屠园实验 周前猛 一、选择题 1． 已知二次函数y=a （x-1）2+b 有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关( ) A. ab D 不能确定 答案：C 2．当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ） A 、- 74 B C 、2或 D 2或或-74 答案：C ∵当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4， ∴二次函数在－2≤x≤l 上可能的取值是x=－2或x=1或x=m. 当x=－2时，由 y=-（x-m ）2+m 2+1解得m=-74 ，2 765y x 416??=-++ ?? ?此时 ，它在－2≤x≤l 的最大值是 65 16 ，与题意不符. 当x=1时，由y=-（x-m ）2+m 2+1 解得m=2 ，此时y=-（x-2）2+5 ，它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符. 当x= m 时，由 4=-（x-m ）2+m 2+1解得 m=当m=.它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符；当，2≤x≤l 在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符. 综上所述，实数m 的值为2或 . 故选C ． 3． 已知0≤x≤ 1 2 ，那么函数y=-2x 2+8x-6的最大值是（ ） A C . D. -6 答案：C 解：∵y=-2x 2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x ＜2上y 随x 的增大而增大．又∵0≤x ≤ 12，∴当x=12时，y 取最大值，y 最大=-2（1 2 -2）2+2=．故选：C ．
二次函数-最值经典
二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-． 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象． 可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．
二次函数最值问题(含标准答案)
二次函数最值问题(含答案)
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二次函数最值问题 一．选择题（共8小题） 1．如果多项式P=a2+4a+2014，则P的最小值是（） A．2010 B．2011 C．2012 D．2013 2．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10 B．4 C．5 D．6 3．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（） A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣3 4．设x≥0，y≥0，2x+y=6，则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是（）A．B．18 C．20 D．不存在 5．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（） A．3.125 B．4 C．2 D．0 6．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 7．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（） A．B．2 C．D． 8．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）
A．7 B．7.5 C．8 D．9 二．填空题（共2小题） 9．已知二次函数y=2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是． 10．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2﹣a）和点B（0，﹣3a﹣5）在y轴上， =6．当线段OM最长时，点M的坐标为． 点M在x轴负半轴上，S △ABM 三．解答题（共3小题） 11．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1）， ①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标； ②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．
二次函数与面积最值问题
二次函数与面积最值问题 三维目标： 1、知识与技能： 通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法。 2、过程与方法 进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题。渗透转化及分类的数学思想方法。 3、情感态度价值观 （1）通过巧妙的教学设计，激发学生的学习兴趣，让学生感受数学的美感。 （2）渗透转化及分类的数学思想方法。教学重点 探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法 教学难点 如何将实际问题转化为二次函数的问题 教学过程： 一：复习引入 最值求法： 1.利用配方法变成顶点式，求得顶点坐标（h,k）,当x=h时函数有最 大值（或最小值）y=k 2. 利用顶点公式(－b 2a， 4ac－b2 4a)]
当x=－b 2a 时，二次函数有最大值（或最小值）y=4ac －b 24a 练习： y=-2x^2+4x-1求出其最大值（或最小值） 分析：目的让学生熟悉求最大值和最小值的方法 （由学生板书，教师纠正） 提示：法1：可用配方法 法2：可用公式代入求之 今天我们一起来讨论利用二次函数讨论关于面积的最值问题，大家一起来看问题1： 问题1：直角三角形两直角边的和为10，该直角三角形的最大面积为多少： 分析：通过三角形面积的探究，激发学生的学习兴趣。 解：设直角三角形的面积为S ，其中一条直角边的长为X ，则另一条直角边的长为（10-X ） 依题意： S=)10(2 1 X X - =X X 5212+=5.12)5(2 12+--X 因为a=021<- 所以当三角形边长都为5时有最大的面积为12..5 （可由学生思考后板书，教师指导） 此题可适当变式： 如：1。已知菱形的对角线之和为10 ，求菱形的最大面积 2.四边形的两条对角线AC 和BD 互相垂直，且AC+BD=10，
二次函数最值的4种解法
二次函数最值的4种解法，看完不惧压轴题！从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合。 在这里小编以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们参考，都掌握了之后一定会在压轴题上有一个大的提升。 一、题目： 如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点。 (1)求该抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由。
解答： (1)抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3； (2)Q(－1，2)； 下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法． 解法1： 补形、割形法 几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形。 方法一： 如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3 方法二： 如图4，设P点(x，－x2－2x＋3)(－3 我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC＝1/2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。 根据上述方法，本题解答如下： 解：如图6，作PE⊥x轴于点E，交BC于点F． 二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x a x b x c a ()() =++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ? ?? b a a c b a 2442 ，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a f x -?? ???=-24 42 ，()的最大值是 f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[] - ?b a m n 2，时 若- 二次函数最值的应用教案 丰林中学任志库一、教学目标 （一）知识与技能 1、会通过配方或公式求出二次函数的最大或最小值； 2、在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值； （二）过程与方法 通过实例的学习，培养学生尝试解决实际问题，逐步提高分析问题、解决问题的能力，培养学生用数学的意识。 （三）情感态度价值观 1、使学生经历克服困难的活动，在数学学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的信心； 2、通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验和获得新的思想知识的方法，从而体会熟悉活动中多动脑筋、独立思考、合作交流的重要性。 四、教学重点与难点 1、教学重点：实际问题中的二次函数最值问题。 2、教学难点：自变量有范围限制的最值问题。 二、课堂教学设计过程 （一）复习导入以旧带新 1、二次函数的一般形式是什么？并说出它的开口方向、对称轴、顶点坐标。 2、二次函数y=－x2+4x－3的图象顶点坐标是（）当x 时，y 有最值，是______。 3、二次函数y=x2+2x-4的图象顶点坐标是（）当x 时，y有最值，是______。 分析：由于函数的自变量的取值范围是全体实数，所以只要确定他们的图像有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值。 设计意图：复习与本节课有关的知识，可充分调动学生思维的积极性，又为新课做好准备。 （二）创设情境，导入新课 1、试一试： 例1. 有长为30米得篱笆，利用一面墙（墙的长 度不超过10米），围成中间隔有一道篱笆（平行 于BC）的矩形花圃。设花圃的一边BC为x米， 面积为y平方米。 （1）求y与x的函数关系式； （2）能否使所围矩形花圃的面积最大？如果能，求出最大的面积；如果不能，请说明理由。 设计意图：让学生从已学的用配方法或公式法求二次函数的最值，在教学时，可让学生充分讨论、发言，培养学生的合作探究精神，可让学生感受到成功的喜悦。 2。直击中考： 例2.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么一个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在一个月内获得最大利润? 分析：解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，求出自变量的取值范围，结合图像和二次函数的性质求w的最大值。 XX教育辅导教案 学生姓名性别年级学科数学 授课教师上课时间年月日第（）次课 课时：课时共（）次课 教学课题二次函数求最大值和最小值 教学目标利用二次函数的图像和性质特点，求函数的最大值和最小值 教学重点 含有参数的二次函数最值求解。 与难点 课堂引入： 1)由二次函数应用题最值求解问题引申至一般二次函数求最值问题，阐述二次函数求最值问题方 法的重要性（初高中衔接、高中必修一重点学习内容）。 2)当 2 x 2 时，求函数y x22x 3的最大值和最小值． （引导学生用初中所学的二次函数知识求解，为下面引出二次函数求最值方法总结做铺垫） 二次函数求最值方法总结： 一、设 y ax2bx c(a 0)，当 m x n 时，求 y 的最大值与最小值。 1、当a0 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可求得y 的最值： 1)当 m b n 时， x b时， y 取最小值： y min 4ac b 2； y 的最大值在x m或x n 处 2a2a4a 取到。 2)若b m ，二次函数在 m x n 时的函数图像是递增的，则x m 时，y取最小值；则 x n 2a 时， y 取最大值。 若 b n ，二次函数在 m x n 时的函数图像是递减的，则x n 时，y取最小值；则 x m 2a 时， y 取最大值。 2、当a0 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可求得y 的最值： 1)当 m b n 时， x b时， y 取最大值： y max 4ac b2； y 的最小值在x m 或 x n 处 2a2a4a 取到。 2)若 b x n 时的函数图像是单调递减的，则x n 时，y取最小值；则m ，二次函数在 m 2a x m 时，y取最大值。 若 b n ，二次函数在 m x n 时的函数图像是单调递增的，则x m 时，y取最小值；则2a x n 时，y取最大值。 二、二次函数最值问题常见四种考察题型： 1)对称轴定、 x 取值范围定； 2)对称轴定、 x 取值范围动； 3)对称轴动、 x 取值范围定； 4)对称轴动、 x 取值范围动。 【例题解析】 例 1．当2x 4 时，求函数y x 2 2 x 1的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 x 的值． 二次函数与最值问题 1.如图,二次函数y=－x2＋2(m－2)x＋3的图象与x、y轴交于 A、B、C三点,其中A(3,0),抛物线的顶点为D. (Ⅰ)求m的值及顶点D的坐标; (Ⅱ)当a≤x≤b时,函数y的最小值为7 4 ,最大值为4,求a,b应 满足的条件; (Ⅲ)在y轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?如果存在,求出符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ)把A(3,0)代入y=－x2＋2(m－2)x＋3, 得－9＋6(m－2)＋3=0, 解得m=3, 则二次函数为y=－x2＋2x＋3, ∵y=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4, ∴顶点D的坐标为(1,4); (Ⅱ)把y=7 4 代入y=－x2＋2x＋3中, 得7 4 =－x2＋2x＋3, 解得x1=－1 2,x2= 2 5 , 又∵函数y的最大值为4,顶点D的坐标为(1,4), 结合图象知－1 2 ≤a≤1. 当a=－1 2时,1≤b≤ 2 5 , 当－1 2＜a≤1时,b= 2 5 ; (Ⅲ)存在点P,使得△PDC是等腰三角形, 当x=0时,y=3, ∴点C坐标为(0,3). 当△PDC是等腰三角形时,分三种情况: ①如解图①,当DC=DP时, 由抛物线的对称性知:点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称, ∴点P坐标为(2,3); ②如解图②,当PC=PD时,则线段CD的垂直平分线l与抛物线的交点即为所求的点P, 过点D作x轴的平行线交y轴于点H, 过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥DH的延长线于点N, ∵HD=HC=1,PC=PD, ∴HP是线段CD的垂直平分线. ∵HD=HC,HP⊥CD, ∴HP平分∠MHN, ∵PM⊥y轴于点M,PN⊥HD的延长线于点N, ∴PM=PN. 设P(m,－m2＋2m＋3), 则m=4－(－m2＋2m＋3),解得m= 25 3 , ∴点P的坐标为( 25 3－ , 25 5＋ )(解图中未标记此点)或 ( 25 3＋ , 25 5－ ); ③如解图③,当CD=CP时,点P在y轴左侧,不符合题意.二次函数在闭区间上的最值(详解)
二次函数的最值教案
二次函数求最值方法总结
二次函数与最值问题