集合中的题型归类解析
集合中的题型归类解析
集合问题为每年必考题型之一，特别是近几年高考试卷中出现了一些以集合为背景的试题，这些试题涉及的知识面广，灵活性较强.实际上，这方面问题的本质是以集合为载体，将一些数学问题的已知条件“嵌入”集合之中，只不过是在语言形式方面做了些变通罢了，而解决问题的理论依据、方法等仍类似于其他问题的求解.因此，在集合题型上应引起我们的足够重视.
题型1：集合相等问题
集合相等问题，主要是利用集合中元素的互异性，集合中元素的互异性是集合的重要属性，在解题中集合中元素的互异性常常被我们忽略，从而导致解题的失败，所以在解题中应引起足够的重视.
例1已知集合{,,2}A a a b a b =++，2
{,,}B a ac ac =，若A B =，求c 的值
分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的各个集合的元素完全相同，及集合中元素的确定性、互异性、无序性建立关系式
解：根据题意，分两种情况进行讨论： （1）若2,2,
a b ac a b ac +=??+=?，消去b ，得220a ac ac +-= 当0a =时，集合B 中的三个元素均为零，与元素的互异性相矛盾，故0a ≠
∴2
210c c -+=，即1c =，此时B 中的三个元素又相同，∴1c ≠
∴此时无解. （2）若2,2,
a b ac a b ac ?+=?+=?消去b ，得220ac ac a --=
∵0a ≠，∴2210c c --=，即(1)(21)0c c -+=
又1c ≠，∴12
c =- 题型2：证明、判断两集合的关系
集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此要予以重视。反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的。因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去.
例2设集合{|32,A a a n n ==+∈Z }，集合{|31,B b b k k ==-∈Z }，试判断集合A 、B 的关系。
分析：先判断元素与集合的关系，再判断集合与集合的关系
解：任设a A ∈，则323(1)1,a n n n =+=+-∈Z ，
∵n ∈Z ，∴1n +∈Z .∴a B ∈.故A B ?.
又任设b B ∈，则313(1)2,b k k k =-=-+∈Z .
∵k ∈Z ，∴1k -∈Z .∴b A ∈.故B A ?.
综上可知A B =.
题型3：集合中的参数问题
所谓集合中的参数问题，是指集合{|p p 适合的条件}中“p 适合的条件”里面含有参数的问题，解答这类问题类似于其他含有参数的问题，灵活性极强，难度也很大.因此，解决此为问题要注意思维的严谨性.
例3已知集合{|2A x =-≤x ≤5}，{|1B x m =+≤x ≤21}m -，满足B A ?，则实数m 的取值范围为 .
解：(1)当B =?时，121m m +>-，得2m <，满足B A ?.
(2)当B ≠?时，121,12,21 5.m m m m +≤-??+≥-??-≤?
解得2≤m ≤3.
综合(1)、(2)得m 的取值范围是m ≤3.
题型4：利用韦恩图或数轴求交集、并集、补集
有的集合问题比较抽象，解题时若借助韦恩图进行数形分析或利用数轴、图象，采用数形结合思想方法，往往可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.
例4设全集,{|U R A x x ==≤2}，{|1}B x x =>-.
(1)求A B I 及A B U ；(2)求()A B I 及()A B U .
解：(1)如图，利用数轴可直观地得到结果：
{|1A B x x =-
(2) (){|A B x x =I ≤1，或2}x >；()A B =?U .
评注：有关用不等式表示的集合的并、交、补运算，常常借助于数学轴的几何直观来帮助思考.
题型5：开放、定义型问题
近几年在高考试题的帮助带动下，一大批以集合为背景的开放型试题不断出现.在用描述法表示的集合中，集合的形式被表示为{|x x 所适合的条件}，其中的代表元素“x 的任意性”和“x 所适合的条件的灵活性”决定了这类题目具有涉及的知识面广、灵活性强等特点.
例5设{1,2,3,4,5,6}A =，{1,2,7,8}B =，定义A 与B 的差集为{|A B x x A -=∈，且}x B ?，则()A A B --=
解：由所给的新定义：差集{|A B x x A -=∈，且}x B ?，得{3,4,5,6}A B -=，从
x 2 1 。
而(){1,2}A A B --=.
评注：差集中的“差”与我们平时所接触的“差”的意义是不同的.我们可能会犯这样的错误：(){1,2,7,8}A A B A A B B --=-+==.
例6已知{(,)|,,A x y x n y an b n ===+∈Z }，
2{(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z }，22{(,)|C x y x y =+≤14}，问是否存在实数,a b ，使得(1)A B ≠?I ，(2)(,)a b C ∈同时成立.
分析：假设存在,a b 使得(1)成立，得到a 与b 的关系后与22x y +≤14联立，然后讨论联立的不等式组.
解：假设存在实数,a b ，使得A B ≠?I ，(,)a b C ∈同时成立，则集合{(,)|,,A x y x n y an b n ===+∈Z }与集合2{(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z }分别
对应集合1{(,)|,A x y y ax b x ==+∈Z }与21{(,)|315,B x y y x x ==+∈Z }，1A 与1B 对应
的直线y ax b =+与抛物线2315y x =+至少有一个公共点，所以方程组2315y ax b y x =+??
=+?有解，即方程2
315x ax b +=+必有解.
因此212(15)a b ?=--≥20a ?-≤12180b -，① 又∵22a b +≤14 ②
由①②相加，得2b ≤1236b -，即2(6)b -≤0.∴6b =.
将6b =代入①得2
a ≥108，
再将6b =代入②得2a ≤108，因此63a =±， 将63a =±，6b =代入方程2315x ax b +=+得236390x x ±+=， 解得3x =±?Z .
所以不存在实数,a b ，使得(1)，(2)同时成立.
评注：对于存在性探索性问题，首先要假设这样的问题存在，以此出发，依据已知条件、公理、定理进行推理论证，推出一个较为明显的结论，最后根据这样的结论有无矛盾，得出问题的结论.
高考地理备考系列地理高考题型分类归纳
高考地理备考系列地理高考题型分类归纳 1、依据概念、公式、方法、技巧等，采集相关的数据来分析。如：地方时差的计算：时刻东早西晚（自然），从时间日期看自180°向西愈西愈晚（人为规定）。正午太阳高度：H=900-φ±δ（ф为某地纬度，δ为直射点纬度，夏半年取＋，半年取－）日照度长短中：日出时刻 = 12-昼长/2 = 夜长/2。比例尺或经纬网图中的计算，常用“110千米／1°（沿经圈或赤道上）”；温差、海拔高差中“6℃／1000米”（气温直减率）等是十分重要的计算依据。 2、采取统计图表中的极端数值或拐点、转折点，或依常识概念性规律提取地理有效信息，利用要素的关联性进行推理分析。 第二类、分析区域环境区位特点、优势及评价： 1、分析区域的地理环境特点：从区域的环境要素结构因子出发，通过综合、比较分析，比较中往往是与同纬度（东西）比较为主，也有同经度（南北）比较两个度，比较是为了突出该区域的地理环境的特殊性，“人无我有，人有我优”的特点，分析的目的是为发挥比较优势，以便因地制宜地找出区域科学发展之路。如：北京与巴黎的气候相比，其特点是夏热冬冷，年气温较差大，降水集中于夏季；雨热同期，利于农作物生长；水旱灾害较多。北京与广州气候相比年温
差较大，雨季较短，降水集中于夏季7、8月，表现为大陆性较强。 2、分析区域的经济区位优势特点。见另文《经济地理区位选择一般原理》。 第三类、地理可持续发展，树立科学发展观类围绕人口、资源、环境和发展这一主线，回答促进人地关系的协调的措施，树立可持续的、科学的发展观，应注意“地理是将来进行式”，答题的方向是： 1、“问题地理”是地理特色，围绕人口、资源、环境和发展这一主线，地理试题主要是考地理环境中的问题的表现、成因、对策的理解，应体现地理科学对国情资源的忧患意识。提高的资源忧患意识和节约意识，树立节约资源的观念，培育节约资源的风尚，提倡绿色消费。围绕主题说危机，谈不足，论缺陷；找原因、出对策。如：我国黄土高原存在的生态问题有哪些？——人口压力大，土地负载重；毁林开慌，过度放牧，水土流失严重，地表破碎，千沟万壑；地处自然地理的过渡地带，旱涝灾害，地质灾害多发；生活贫困。 同理， ①、西北的地理主题往往是荒漠化、盐碱化问题； ②、西南的地理问题往往是石漠化、滑坡、泥石流、酸雨问题； ③、东北往往是黑土肥力保持和湿地保护问题；
集合典型例题
集合·典型例题 能力素质 例用符号∈或填空1 ? 1________N ， 0________N ， －3________N ， 0.5N N ，；2 1________Z ， 0________Z ， －3________Z ， 0.5Z Z ，；2 1________Q ， 0________Q ， －3________Q ， 0.5Q Q ，；2 1________R ， 0________R ， －3________R ， 0.5R R ，；2 分析元素在集合内用符号∈，而元素不在集合内时用符号． ? 解∈， ∈，－，，； 1N 0N 3N 0.5N N ???2 1Z 0Z 3Z 0.5Z Z 1Q 0Q 3Q ∈， ∈，－∈，，；∈，∈，－∈，??2 0.5Q Q 1R 0R 3R 0.5R R ∈，； ∈，∈，－∈，∈，； 22?? 说明：要注意符号的规范书写． 例2 (1)用列举法表示不超过10的非负偶数的集合，并用另一种方法表示出来； (2)设集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N}，试用列举法表示集合A ； 分析 (1)中集合含的元素为0、2、4、6、8、10；(2)中集合所含的元素是点(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)． 解 (1){0，2，4，6，8，10｝；用描述法表示为{不超过10的非负偶数}，或|x|x ＝2n ，n ∈N ，n ＜6}． (2)A ＝{(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)}． 说明：注意(2)中集合A 的元素是点的坐标．
1.高考数学考点与题型全归纳——集合
第一章 集合与简易逻辑 第一节 集 合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 1. 2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 1.3.元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2. 集合间的基本关系 2.1.子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B(或B ?A)． 2.2.真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ，A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B. 两集合相等：A ＝B ?? ??? ? A ? B ，A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性． 2.4.空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}．
3. 集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A∩B ，即A∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B}． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可 知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练]
高考阅读题型分类整理
含义类 心灵的篝火 18.作者为自己的小说取名“绝顶”，结合这篇前言，说说作者所理解的“绝顶”包含了哪几层内涵。（5分） 在作者理解中，为小说命名的“绝顶”包含如下几个层次的含义：首先，绝顶是指小说中主人公希望攀登的梅里雪山绝顶；其次，从攀登雪山中抽象出的“绝顶”，象征着人们在人生中不懈追求希望超越的极限；最后，作者也把创作这部小说当做自己写作生涯的“绝顶”，它或许是最后一部作品，而作者仍试图翻越。 针挑土 2.解释下列两句话在文中的含义。（4分）用意从句子本身和与全文的结构关系考虑。理解主要理解代词“其中”和比喻词“穿针引线”的含义。 （1）等到回程，太阳已经有倦容了。 （2）素静的黑妮眼睛亮了。 （1）一语双关，既以拟人手法交代回程时天色已晚，又点出当天行程紧张、工作辛劳。解析：意思答对即可。理解本句，就要理解“倦容”的修辞和深意。 （2）①低调、单纯的黒妮为“我”对“援湘游”的支持，高兴得眼睛都亮了； ②暗示“援湘游”进展得并不顺利，而黒妮能沉静、乐观地面对； ③黒妮从“我”的支持之中，看到了“援湘游”逐步向前推进的曙光。 解析：每答对一点给1分，给满2分为止。意思答对即可。理解本句，就要理解“眼睛亮了”的原因和体现的精神、意义。 3.文中反复出现的“针挑土”有哪些丰富的内涵？（6分） ①黒妮工作状态的写真：从一点一滴做起，持之以恒，积土成山； ②“援湘游”现状的隐喻：苗绣传统文化正慢慢消退，要促使湘西生态和文化可持续发展，如针挑土； ③水滴石穿、永不言败的精神象征：“成家好似针挑土”，“赚钱好似针挑土”，“世世代代”，生生不息。 解析：每答对一点给2分，意思答对即可。找出文中提到“针挑土”的地方，分层思考归纳即可得出答案。 灯火 2、解释下列两句话在文中的含意。(4分) （1)那情景仿佛护着累世的家产。 (2)喃喃自语的我在无边的夜里迷失在灯与灯之间。 （1）①即使是普通的煤油灯，在贫困年代里也是很宝贵的 ②灯下的温馨和苦读，是更值得珍惜的人生的宝贵财富 （2）①曾经拥有的灯下的温馨已经逝去，“我”有一种不知身在何处的怅惘 ②社会进步的同时，也不可避免的失去了一些美好的东西 春从心出 11．结合文章内容，简要阐释“书中毕竟有人生，人生毕竟一部书”，这句话的深刻含义。（3分） ①人生如书，书如人生。②人生诡谲，犹如书林杂芜。③人生要追求活着的真谛，犹如要从
集合练习题及答案-经典
集合期末复习题12.26 姓名 班级________________ 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=-的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=}{ 12x x <<，B=}{ x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{ 2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{ 2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈， 且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={} 22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|20x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人， 化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人.
高中数学集合基础知识及题型归纳复习
集合基础知识及题型归纳总结 1、集合概念与特征： 例：1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 例：下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合； （3）36 11,,,,0.5242 -这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2、元素与集合、集合与集合间的关系 元素集合的关系：∈?或 集合与集合的关系=?或 例：下列式子中，正确的是（ ） A ．R R ∈+ B ．{}Z x x x Z ∈≤?-,0| C ．空集是任何集合的真子集 D ．{}φφ∈ 3、集合的子集：（必须会写出一个集合的所有子集） 例：若集合}8,7,6{=A ，则满足A B A =?的集合B 的个数是 4、集合的运算:(交集、并集、补集) 例1：已知全集}{5,4,3,2,1,0=U ,集合}{5,3,0=M ,}{5,4,1=N ,则=N C M U I 例2：已知 {}{}=|3217,|2A x x B x x -<-≤=< （1）求A ∩B ； （2）求（C U A ）∪B 例3：已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围 例4：某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人 例5：方程组? ??=-=+9122y x y x 的解集是（ ） A ．()5,4 B ．()4,5- C ．(){}4,5- D ．(){}4,5-
高考集合知识点总结与典型例题
集合 一．【课标要求】 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。 预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体 三．【要点精讲】 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或 者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R 。 2．集合的包含关系： （1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）； 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ?B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ； （2）简单性质：1）A ?A ；2）Φ?A ；3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集： （1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ； （2）若S 是一个集合，A ?S ，则，S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 4．交集与并集：
2019年高考真题分类汇编(全)
2019年高考真题分类汇编 第一节 集合分类汇编 1．［2019?全国Ⅰ，1］已知集合{} }2 42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?= A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x << 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{} 42,23M x x N x x =-<<=-<<，则 {}22M N x x ?=-<<．故选C ． 【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2.［2019?全国Ⅱ，1］设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A. (-∞，1) B. (-2，1) C. (-3，-1) D. (3，+∞) 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{} 2,3,1A x x x B x x ==<或，则{} 1A B x x ?=<．故选A ． 【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 3.［2019?全国Ⅲ，1］已知集合{}{} 2 1,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ?=（ ） A. {}1,0,1- B. {}0,1 C. {}1,1- D. {}0,1,2 【答案】A 【解析】【分析】 先求出集合B 再求出交集. 【详解】由题意得，{} 11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B ?=-．故选A ． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 4.［2019?江苏，1］已知集合{1,0,1,6}A =-，{} 0,B x x x R =∈，则A B ?=_____. 【答案】{1,6}.
高中数学必修一集合经典题型总结高分必备
慧诚教育2017年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1．集合 一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素 构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为?.
知识点二 集合与元素的关系 1．属于 如果a 是集合A 的元素，就说a ________集合A ，记作a ________A . 2．不属于 如果a 不是集合A 中的元素，就说a ________集合A ，记作a ________A . 知识点三 集合的特性及分类 1．集合元素的特性 ________、________、________. 2．集合的分类 (1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示 知识点四 1．列举法 把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 用集合所含元素的 ________表示集合的方法称为描述法． 知识点五 集合与集合的关系 1．子集与真子集
2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A?B，B?C，则________． (4)如果A?B，B?C，则________． 3．集合相等 4.集合相等的性质 如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________. 知识点六集合的运算 1．交集
高考数学题型归纳完整版
第一章集合与常用逻辑用语 第一节集合 题型1-1 集合的基本概念 题型1-2 集合间的基本关系 题型1-3 集合的运算 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 题型1-4 四种命题及关系 题型1-5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型1-6 求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围 第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 题型1-7 判断命题的真假 题型1-8 含有一个量词的命题的否定 题型1-9 结合命题真假求参数的取值范围 第二章函数 第一节映射与函数 题型2-1 映射与函数的概念 题型2-2 同一函数的判断 题型2-3 函数解析式的求法 第二节函数的定义域与值域（最值） 题型2-4 函数定义域的求解 题型2-5 函数定义域的应用 题型2-6 函数值域的求解 第三节函数的性质——奇偶性、单调性、周期性题型2-7 函数奇偶性的判断 题型2-8 函数单调性（区间）的判 断 题型2-9 函数周期性的判断 题型2-10 函数性质的综合应用 第四节二次函数 题型2-11 二次函数、一元二次方程、 二次不等式的关系 题型2-12 二次方程的实根分布及 条件 题型2-13 二次函数“动轴定区间” “定轴动区间”问题 第五节指数与指数函数 题型2-14 指数运算及指数方程、指 数不等式 题型2-15 指数函数的图象及性质 题型2-16 指数函数中恒成立问题 第六节对数与对数函数 题型2-17 对数运算及对数方程、对 数不等式 题型2-18 对数函数的图象与性质 题型2-19 对数函数中恒成立问题 第七节幂函数 题型2-20 求幂函数的定义域 题型2-21 幂函数性质的综合应用 第八节函数的图象 题型2-22 判断函数的图象 题型2-23 函数图象的应用 第九节函数与方程 题型2-24 求函数的零点或零点所 在区间 题型2-25 利用函数的零点确定参 数的取值范围 题型2-26 方程根的个数与函数零 点的存在性问题 第十节函数综合 题型2-27 函数与数列的综合 题型2-28 函数与不等式的综合 题型2-29 函数中的信息题 第三章导数与定积分 第一节导数的概念与运算 题型3-1 导数的定义 题型3-2 求函数的导数 第二节导数的应用 题型3-3 利用原函数与导函数的关 系判断图像 题型3-4 利用导数求函数的单调性 和单调区间 题型3-5 函数的极值与最值的求解 题型3-6 已知函数在区间上单调或 不单调，求参数的取值范围 题型3-7 讨论含参函数的单调区间 题型3-8 利用导数研究函数图象的
高中数学集合与函数的概念知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)
高中数学集合与函数的概念 知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点： 第一章集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1集合的含义与表示 【知识要点】 1、集合的含义 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 2、集合的中元素的三个特性 （1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 2、“属于”的概念 我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, ……表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, ……表示元素如：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A，如果a不属于集合A 记作a?A 3、常用数集及其记法 非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集记作：N*或N+ ；整数集记作：Z；有理数集记作：Q；实数集记作：R 4、集合的表示法 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 （2）描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} （3）图示法（Venn图） 1.1.2 集合间的基本关系 【知识要点】 1、“包含”关系——子集 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说 这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B 2、“相等”关系 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B A B B A 且 ??? 3、真子集 如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A) 4、空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集. 1.1.3 集合的基本运算
高一数学集合练习题及答案-经典
选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2|20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A= }{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈，{}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U= {}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________.
常考题型——集合
常考题型基本题型——集合 一.基本概念 例1.满足M ?{}1234,,,a a a a 且{}{}12312,,,M a a a a a ?=的集合M 的个数是 （A ）1 (B)2 (C)3 (D)4 例2、.集合{}0,2,A a =,{} 21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B = ,则a 的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.4 设集合A ={1,2}，则满足A ∪B ={1,2,3}的集合B 的个数是 （A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）8 若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ?=?，则一定有 （A ）C A ? （B ）A C ? （C ）C A ≠ （D ）φ=A 设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a =________. 二.基本运算（主要考察不等式的解法，比如：一元一次不等式 ，一元二次不等式，分式不等式，对数、指数不等式，绝对值不等式） 例1.若22{228}{log 1}x A x B x x -=∈<=∈>Z R ≤，，则A ∩(R B )的元素个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 例2设合集A={(x,y)| 24x +2 16 y =1}, B={(x,y)|y=3x },则 A B 的子集的个数是 A. 4 B. 3 C. 2 D.1 例3已知{}1,log 2>==x x y y U ，? ?????>==2,1x x y y P ，则=P C U A. ??????+∞,21 B.??? ??21,0 C.()+∞,0 D. ()??????+∞∞-,210, 例4设集合}4{2-==x y x A ，}21,|{2≤≤--==x x y y B 则=B A 。 注意：做题时一定要分清楚集合的元素是什么？可以是一个函数的值域，定义域，点集，方程的解集…… 例5设集合{} {}R T S a x a x T x x S =+<<=>-= ,8|,32|，则a 的取值范围是
数列高考题型分类汇总
题型一 1．设{a n }是公比为正数的等比数列a 1 =2，a 3 =a 2 +4． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n +b n }的前n项和S n ． 题型二 2．已知数列{a n }、{b n }、{c n }满足． （1）设c n =3n+6，{a n }是公差为3的等差数列．当b 1 =1时，求b 2 、b 3 的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n ≥b k ； （3）设，．当b 1=1时，求数列{b n }的通项公式． 题型三 3．已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n ﹣1+2（m﹣n）2 （1）求a 3，a 5 ； （2）设b n =a 2n+1 ﹣a 2n﹣1 （n∈N*），证明：{b n }是等差数列； （3）设c n =（a n+1 ﹣a n ）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{c n }的前n项和S n ． 题型四 4．已知数列{an}满足，，n∈N×． （1）令b n =a n+1 ﹣a n ，证明：{b n }是等比数列； （2）求{a n }的通项公式． 5．设数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣2n， （Ⅰ）求a 1，a 4 （Ⅱ）证明：{a n+1 ﹣2a n}是等比数列； （Ⅲ）求{a n }的通项公式． 6．在数列{a n }中，a 1 =1，．
（Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）令 ，求数列{b n }的前n 项和S n ； （Ⅲ）求数列{a n }的前n 项和T n ． 7．已知数列{a n }的首项， ，n=1，2，3，…． （Ⅰ）证明：数列是等比数列； （Ⅱ）求数列的前n 项和S n ． 8.在数列{}n a 中，10a =，且对任意*k N ∈k N ∈，21221,,k k k a a a -+成等差数列， 其公差为k d 。 (Ⅰ)若k d =2k ，证明21222,,k k k a a a -+成等比数列（*k N ∈）； (Ⅱ)若对任意*k N ∈，21222,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q . 设1q ≠1.证明11k q ????-??是等差数列； 9.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 （II ）求数列{}n a 的通项公式。 10. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n n n ba b S -=- （Ⅰ）证明：当2b =时，{}12n n a n --?是等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式
(新)高中数学集合总结题型分类完美解析
集合 【知识清单】 1.性质：确定性、互易性、无序性. 2.元素和集合的关系：属于“∈”、不属于“?”. 3.集合和集合的关系：子集（包含于“?”）、真子集（真包含于“≠ ?”）. 4.集合子集个数=n 2；真子集个数=12-n . 5.交集：{}B x A x x B A ∈∈=且| 并集：{}B x A x x B A ∈∈=或| 补集：{}A x U x x A C U ?∈=且| 6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集. 题型一、集合概念 解决此类型题要注意以下两点： ①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性； ②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集. 【No.1 定义&性质】 1.下列命题中正确的个数是（ ） ①方程022=++-y x 的解集为{}2,2- ②集合{} R x x y y ∈-=,1|2 与{}R x x y y ∈-=,1|的公共元素所组成的集合是{}1,0 ③集合{}01|<-x x 与集合{}R a a x x ∈>,|没有公共元素 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是x 的值所构
成的集合，而是x 和y 的值的集合，也就是一个点. 答案：A 详解：在①中方程022=++-y x 等价于? ??=+=-020 2y x ，即???-==22y x 。因此解集应为 (){}2,2-，错误； 在②中，由于集合{} R x x y y ∈-=,1|2的元素是y ，所以当R x ∈时，112 -≥-=x y .同 理，{}R x x y y ∈-=,1|中R y ∈，错误； 在③中，集合{}01|<-x x 即1
复数高考题型归类
复数高考题型归类解析 一、基本运算型 二、基本概念型 三、复数相等型 四、复数的几何意义型 练习： 1.如果复数z=1+ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值 范围是[ ] A.() 22,22 - B.（-2，2） C.（-1，1） D.(3,3 - 2.在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3 ＋2i，－2＋4i.则对角线CA → 所表示的复数的模为； 3.已知复数z1＝i(1－i)2，|z|＝1|z－z1|的取值范围 是；
五、技巧运算型 六、知识交汇型 七、轨迹方程型 练习： 1.已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A .1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆 2.如果复数z 满足|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A.1 B. 2 C.2 D. 5 3.若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是 .
复数高考题型归类解析 一、基本运算型 二、基本概念型 三、复数相等型 四、复数的几何意义型 练习： 1.如果复数z=1+ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值 范围是[ ] A.() 22,22 - B.（-2，2） C.（-1，1） D.(3,3 - 2.在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3 ＋2i，－2＋4i.则对角线CA → 所表示的复数的模为； 3.已知复数z1＝i(1－i)2，|z|＝1，则|z－z1|的最大值. 五、技巧运算型 六、知识交汇型
七、轨迹方程型 已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆 答案 A 解析 由题意可知(|z |－3)(|z |＋1)＝0， 即|z |＝3或|z |＝－1. ∵|z |≥0，∴|z |＝3. ∴复数z 对应的轨迹是1个圆. 5.如果复数z 满足|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，那么|z ＋i ＋1|的最 小值是( ) A.1 B. 2 C.2 D. 5 答案 A 解析 设复数－2i,2i ，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，因为|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，Z 1Z 2＝4，所以复数z 的几何意义为线段Z 1Z 2，如图所示，问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求ZZ 3的最小值. 因此作Z 3Z 0⊥Z 1Z 2于Z 0，则Z 3与Z 0的距离即为所求的最小值，Z 0Z 3＝1.故选A. 8.若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是 . 答案 1 解析 由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴.|z －1|表示z 对应的点与(1,0)的距离.∴|z －1|min ＝1. 12.集合M ＝{z ||z －1|≤1，z ∈C }，N ＝{z ||z －1－i|＝|z －2|，z ∈C }，集合P ＝M ∩N . (1)指出集合P 在复平面上所表示的图形； (2)求集合P 中复数模的最大值和最小值. 解 (1)由|z －1|≤1可知，集合M 在复平面内所对应的点集是以点E (1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z －1－i|＝|z －2|可知，集合N 在复平面内所对应点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l ，因此集合P 是圆面截直线l 所得的一条线段AB ，如 图所示.
2017年高考试题分类汇编(集合)
2017年高考试题分类汇编（集合） 考点1 数集 考法1 交集 1.（2017·北京卷·理科1）若集合{}21A x x =-<<，{}13B x x x =<->或，则 A B = A. {}21x x -<<- B. {}23x x -<< C. {}11x x -<< D. {}13x x << 2.（2017·全国卷Ⅱ·理科2）设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若 {}1A B =，则B = A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3.（2017·全国卷Ⅲ·理科2）已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,4,6,8B =，则A B 中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 4.（2017·山东卷·理科1）设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A B = A ．(1,2) B ．(1,2] C ．(2,1)- D ．[2,1)- 5.（2017·山东卷·文科1）设集合{}11M x x =-<,{}2N x x =<,则M N = A.()1,1- B.()1,2- C.()0,2 D.()1,2 6.（2017·江苏卷）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若{}1A B =，则实数a 的值为______. 考法2 并集 1.（2017·全国卷Ⅱ·文科2）设集合{}{}123234A B ==，，， ，，， 则A B = A. {}123,4，， B. {}123，， C. {}234，， D. {}134，， 2.（2017·浙江卷1）已知集合{}11P x x =-<<,{}02Q x x =<<，那么P Q = A. (1,2)- B. (0,1) C.(1,0)- D. (1,2) 考法3 补集