考点04 指数、对数、幂函数-2019-2020学年浙江数学学业水平测试之考点解密
考点11 基本不等式-2019-2020学年浙江数学学业水平测试之考点解密 (1)
考点11 基本不等式考点梳理1．基本不等式①若a ，b ∈R ，则有a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，当且仅当a ＝b 时等号成立． ②若a ，b ∈R ＋，则有a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立．2．基本不等式的应用应用基本不等式及其变形求最值、范围、证明不等式等．例题讲解【例1】已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤2 【解析】 a ＋b ＝2，a ≥0，b ≥0.则2ab ≤a ＋b ＝2，即ab ≤1.又(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2≤2＋(a 2＋b 2)，得a 2＋b 2≥2，故选C.【变式训练】当a ，b 为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是( )A.a ＋b 2B.abC.a 2＋b 22D.2ab a ＋b【答案】D【分析】∵a >0，b >0，a ≠b ，∴a ＋b 2>ab ，∵a 2＋b 2>2ab ，∴a 2＋b 22>ab ，所以选项A ，B ，C 中，ab 最小．又a ＋b >2ab >0，∴2ab a ＋b <1，得2ab a ＋b •ab <ab ，∴2ab a ＋b <ab ，∴2ab a ＋b最小．故选D. 【例2】设正实数a ，b 满足a ＋λb ＝2(其中λ为正常数)．若ab 的最大值为3，则λ＝( )A ．3 B.32 C.23 D.13【解析】 ∵a ＋λb ＝2≥2λab ，∴λab ≤1，∴ab ≤1λ，∴1λ＝3，∴λ＝13.故选D. 【变式训练】已知a ，b 为正实数，则3a b ＋b a的最小值为____________． 【答案】23 【分析】3a b ＋b a ≥23a b •b a ＝23，当且仅当3a b ＝b a 即b ＝3a 时，3a b ＋b a的最大值为2 3. 【例3】已知x >2，则4x －2＋x 的最小值为____________．【解析】 4x －2＋x ＝4x －2＋()x －2＋2≥24x －2•()x －2＋2＝6，当且仅当4x －2＝x －2即x ＝4时，4x －2＋x 取最小值6.【变式训练】已知m <1，则4m －1＋m 的最大值为____________． 【答案】－3 【分析】4m －1＋m ＝4m －1＋(m －1)＋1＝－[41－m＋(1－m )]＋1 ≤－241－m •（1－m ）＋1＝－3，当且仅当41－m ＝1－m 即m ＝－1时，4m －1＋m 的最大值为－3. 【例4】 已知x ，y ∈R ＋，且满足3x ＋4y＝1，则x ＋y 的最小值为____________． 【解析】 x ＋y ＝()x ＋y ⎝⎛⎭⎫3x ＋4y ＝3＋4x y ＋3y x ＋4≥7＋24×3＝7＋43，当且仅当4x y ＝3y x 且3x ＋4y＝1即x ＝3＋23，y ＝4＋23时，x ＋y 的最小值为7＋4 3.【变式训练】 已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为____________． 【答案】 3 【分析】∵1＝x 3＋y 4≥2x 3•y 4＝xy 3，∴xy ≤3，∴xy ≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时，xy 的最大值为3. 【例5】若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋1y＝5，则x ＋y 的最大值为____________． 【解析】 5＝x ＋y ＋x ＋y xy ≥x ＋y ＋x ＋y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝x ＋y ＋4x ＋y ，当且仅当x ＝y 时取等号， ∴(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0，∴1≤x ＋y ≤4，∴x ＋y 的最大值为4.【变式训练】若正实数a ，b 满足4a 2＋9b 2＋3ab ＝30，则ab 的最大值为____________．【答案】2【分析】30＝4a 2＋9b 2＋3ab ≥2×(2a )×(3b )＋3ab ，当且仅当2a ＝3b 时取等号，∴12ab ＋3ab ≤30，即ab ≤2，故ab 的最大值为2.【例6】若正实数x ，y 满足x 2＋y 22＝1，则x 1＋y 2的最大值为____________． 【解析】 x12＋y 22≤x 2＋（12＋y 22）22＝x 2＋12＋y 222＝34，当且仅当x ＝32，y ＝22时取等号，∴x 1＋y 2＝2x 12＋y 22≤342，∴x 1＋y 2的最大值为342. 【变式训练】 若正实数a ，b 满足4a 2＋b 29＝3，则b a 22＋2的最大值为____________．【答案】5782 【分析】ba 22＋2＝322×b 3（a 22＋2）×8≤322×（b 3）2＋（a 22＋2）×82＝322×b 92＋4a 2＋162＝322×192＝5782， 故ba 22＋2的最大值为5782.巩固训练一、选择题 1．若xy >0，则对x y ＋y x说法正确的是( ) A ．有最大值－2 B ．有最小值2C ．无最大值和最小值D ．无法确定【答案】B【分析】∵x y ，y x 均为正数，∴x y ＋y x ≥2x y •y x＝2，当且仅当x ＝y 时取等号．故选B. 2．已知m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是( )A ．100B ．50C ．20D ．10【答案】B【分析】m 2＋n 2＝100≥2mn ，mn ≤50，当且仅当m ＝n 时取等号．故选B.3．若x ＋3y ＝2，则z ＝3x ＋27y ＋3的最小值是( )A.113B ．3＋2 2C ．6D ．9 【答案】D【分析】z ＝3x ＋27y ＋3＝3x ＋33y ＋3≥23x •33y ＋3＝23x＋3y ＋3＝232＋3＝9，当且仅当x ＝1，y ＝13时取等号．故选D.4．已知a ，b 为正实数，1a ＋1b＋2ab 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．5【答案】C【分析】1a ＋1b ＋2ab ≥21ab ＋2ab ≥221ab •2ab ＝4，当且仅当a ＝b 时取等号．故选C. 5．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝xy ，则x ＋2y 的最小值是( )A ．8B ．4C ．2D ．0【答案】A【分析】∵x ＋2y ＝xy ，∴1y ＋2x ＝1.x ＋2y ＝(x ＋2y )•(1y ＋2x )＝x y ＋2＋2＋4y x≥4＋2x y •4y x ＝8，当且仅当x y ＝4y x即x ＝4，y ＝2时取等号．故选A.6．若x 2＋2x <a b ＋16b a对任意正实数a ，b 恒成立，则实数x 的取值范围是( ) A.()－4，2 B.()－∞，－4∪()2，＋∞C.()－2，0D.()－∞，－2∪()0，＋∞【答案】A 【分析】a b ＋16b a ≥2a b •16b a ＝8，当且仅当a b ＝16b a 即a ＝4b 时取等号．故x 2＋2x <8，解得－4<x <2，故选A.二、填空题7．当x ＝________时，y ＝3x 2＋27x2＋2的最小值是________． 【答案】3，20【分析】y ＝3x 2＋27x 2＋2≥23x 2•27x 2＋2＝20，当且仅当3x 2＝27x 2即x 2＝3即x ＝±3时取等号． 故y ＝3x 2＋27x2＋2有最小值20. 8．函数y ＝x 2＋5x 2＋1的最小值是__________．【答案】4【分析】y ＝x 2＋5x 2＋1＝（x 2＋1）＋4x 2＋1＝x 2＋1＋4x 2＋1≥2x 2＋1•4x 2＋1＝4，当且仅当x 2＋1＝4x 2＋1即x ＝±3时取等号．故y ≥4，即其最小值是4.9．若a ，b 为正实数，不等式1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值是________． 【答案】－4【分析】∵1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0，∴k ≥－（a ＋b ）2ab ，而（a ＋b ）2ab ＝b a ＋a b＋2≥4， ∴－（a ＋b ）2ab≤－4，当且仅当a ＝b 时取等号． 故k ≥－4，即k 的最小值是－4.三、解答题10．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1•⎝⎛⎭⎫1b －1•⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.【解析】 (1a －1)•(1b －1)•(1c －1)＝a ＋b ＋c －a a •a ＋b ＋c －b b •a ＋b ＋c －c c＝b ＋c a •a ＋c b •a ＋b c ≥2bc a •2ac b •2ab c ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号． 故(1a －1)•(1b－1)•(1c －1)≥8成立．。
考点06 指数与指数函数-备战2019年浙江新高考数学 ---精校解析Word版
1.了解指数幂的含义2.掌握有理指数幂的运算3.理解指数函数的概念4.掌握指数函数的图象、性质及应用5.了解指数函数的变化特征一、指数与指数幂的运算1．根式（1）n次方根的概念与性质（2）根式的概念与性质【注】速记口诀：正数开方要分清，根指奇偶大不同， 根指为奇根一个，根指为偶双胞生． 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同． 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为偶无意义，零取方根仍为零．2．实数指数幂 （1）分数指数幂①我们规定正数的正分数指数幂的意义是*0,,,1)m na a m n n =>∈>N 且. 于是，在条件*0,,,1a m n n >∈>N 且下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定*1(0,,,m nm naa m n a-=>∈N 且1)n >.③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）有理数指数幂规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数,r s ，均有下面的运算性质： ①(0,,)r s r s a a a a r s +=>∈Q ； ②()(0,,)r s rs a a a r s =>∈Q ； ③()(0,0,)rr rab a b a b r =>>∈Q . 二、指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念一般地，函数(0,1)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 【注】指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的结构特征：(1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x ； (3)系数：a x 的系数是1.2．指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的图象与性质轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大【注】速记口诀：指数增减要看清，抓住底数不放松； 反正底数大于0，不等于1已表明； 底数若是大于1，图象从下往上增； 底数0到1之间，图象从上往下减； 无论函数增和减，图象都过(0，1)点．3．有关指数型函数的性质 (1)求复合函数的定义域与值域形如()x f y a =的函数的定义域就是()f x 的定义域．求形如()x f y a =的函数的值域，应先求出()f x 的值域，再由单调性求出()x f y a =的值域．若a 的范围不确定，则需对a 进行讨论．求形如()x y f a =的函数的值域，要先求出x u a =的值域，再结合()y f u =的性质确定出()xy f a=的值域．(2)判断复合函数()xy f a =的单调性令u =f (x )，x ∈[m ，n ]，如果复合的两个函数u y a =与()u f x =的单调性相同，那么复合后的函数()x f y a =在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数()x f y a =在[m ，n ]上是减函数． (3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子()f x 与f (−x )的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y 轴对称，则函数具有奇偶性．考向一 实数指数幂的化简与求值指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．(6)将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示．如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.典例1 计算下列各式的值：（Ⅰ）1013352943-⎛⎫⎛⎫⨯-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅱ）33log 43log lg253lg4-+． 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）1.【名师点睛】本题考查了指数与对数的化简运算、求值，注意计算过程要准确，属于基础题.1．（I ）求值：()()1223021329.63 1.548--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+()1445⎡⎤-⎣⎦；（II ）已知11223a a -+=，求3322a a -+的值．考向二 指数函数的图象及应用（1）变换作图指数函数y =a x(a ＞0，且a ≠1)的图象变换如下：【注】可概括为：函数y=f(x)沿x轴、y轴的变换为“上加下减，左加右减”．（2）数形结合一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数函数图象数形结合求解.典例2 函数y=a x－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是【解析】当x=1时，y=a1－a=0，所以y=a x－a的图象必过定点(1，0)，结合选项可知选C.2．函数（且）与函数在同一个坐标系内的图象可能是A．B．C ．D ．考向三 指数函数单调性的应用1．比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 2．解指数方程或不等式简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．典例3 设232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】A错误！未找到引用源。
考点20 点、直线、平面之间的位置关系-2019-2020学年浙江数学学业水平测试之考点解密
考点20 点、直线、平面之间的位置关系考点梳理1．平面的概念平面是一个只描述而不加定义的最基本的原始概念，常见的桌面、黑板面、海平面都给我们平面的形象．立体几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是几何里所说的平面是无限延展的．2．平面的表示方法①一般用希腊字母α，β，γ，…来表示平面，还可用平行四边形的对角线顶点的字母来表示，如平面α，平面AC等．②点A在平面α内，记作A∈α；点A不在平面α内，记作A∉α.3．平面的基本性质三个公理及由公理2引出的三个推论：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．4．空间中两条直线的位置关系空间中两条直线存在三种位置关系：相交、平行、异面．5．公理4与等角定理(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．6．异面直线所成的角异面直线所成的角：如图，直线a，b是异面直线，经过空间一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，相交直线a′、b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a、b所成的角．如果两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直．注意：(1)异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°.(2)两条直线垂直不一定相交．(3)异面直线既不相交，也不平行．(4)不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线．7．空间中直线与平面之间的位置关系 (1)直线在平面内(有无数个公共点)； (2)直线和平面相交(有且只有一个公共点)； (3)直线和平面平行(没有公共点)．直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． 8．平面与平面之间的位置关系 (1)两个平面平行(无公共点)； (2)两个平面相交(有一条公共直线)． 9．直线和平面平行的判定与性质(1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．(2)性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行．10．平面与平面平行的判定与性质(1)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． (2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 11．直线和平面垂直的定义如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．12．直线和平面垂直的有关定理 (1)直线和平面垂直的判定①判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．②如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α. (2)直线和平面垂直的性质①性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．②如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线． ③过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． ④如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行． 13．直线与平面所成的角(1)直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)规定：若直线和平面垂直，则直线与平面所成的角是直角；若直线和平面平行或直线在平面内，则直线与平面所成的角是0°的角．(3)直线与平面所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°.14．二面角及其平面角、两个平面垂直的含义(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所形成的空间图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面．(2)二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以O为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角∠AOB叫做二面角α－l－β的平面角．(3)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．就说这两个平面互相垂直．(4)两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．15．平面与平面垂直的有关定理(1)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(2)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．例题讲解【例1】在空间中，下列命题正确的是()A．经过三个点有且只有一个平面B．经过一个点和一条直线有且只有一个平面C．经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个D．经过一个点且与一个直线垂直的平面有且只有一个【解析】当三点在一条直线上时，经过三个点有无数个平面，故A不正确；当点在直线上时，经过一个点和一条直线的平面有无数个，故B不正确；当点不在直线上时，经过该点且与这条直线平行的面有无数个，当点在直线上时，经过该点与这条直线平行的面不存在，故C不正确；D项说法正确，故选D.【变式训练】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点．设AM与平面BB1D1D的交点为O，则()A．三点D1，O，B共线，且OB＝2OD1B．三点D1，O，B不共线，且OB＝2OD1C．三点D1，O，B共线，且OB＝OD1D．三点D1，O，B不共线，且OB＝OD1【答案】A【分析】如图，连结BD1.∵O∈直线AM，AM⊂面ABC1D1，∴O∈面ABC1D1.又∵O∈面BB1D1D，面ABC1D1∩面BB1D1D＝BD1，∴O∈直线BD1，∴三点D1，O，B共线．∵△ABO∽△MD1O，∴OB∶OD1＝AB∶MD1＝2∶1，∴OB＝2OD1.故选A.【例2】在空间中，α，β表示平面，m表示直线．已知α∩β＝l，则下列命题正确的是()A．若m∥l，则m与α，β都平行B．若m与α，β都平行，则m∥lC．若m与l异面，则m与α，β都相交D．若m与α，β都相交，则m与l异面【解析】A．当m在α或β内时，不成立；B正确；C.当m与平面α平行时，与l异面时，不成立；D.m可能与l相交．故选B.【变式训练】给定下列命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．②和④D．③和④【答案】C【分析】缺少“两条直线相交”这一条件，①错；②正确；垂直于同一直线的两条直线可能平行、垂直或异面，③错；④正确．故选C.【例3】在空间中，下列命题正确的是()A．若平面α内有无数条直线与直线l平行，则l∥αB．若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α∥βC．若平面α内有无数条直线与直线l垂直，则l⊥αD．若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则α⊥β【解析】如图1，直线l、l1、l2、…、l n在平面α内，且l∥l1∥l2∥…∥l n，但l在平面α内，故选项A错误；如图2，平面α与平面β相交于直线l，直线l1、l2、…、l n在平面α内，不在平面β内，且l∥l1∥l2∥…∥l n，∴l1∥l2∥…∥l n∥平面β，但平面α与平面β相交，故选项B错误；如图3，直线l1、l2、…、l n在平面α内，且l1∥l2∥…∥l n，l⊥l1、l2、…、l n，但l在平面α内，故选项C错误；在平面α内取一直线l，且l⊥平面β，∴α⊥β，故选D.图1 图2 图3【变式训练】 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( ) A ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n B ．m ∥α，m ∥n ，则n ∥α C ．α⊥β，m ∥n ，m ⊥α，则n ∥β D ．m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α【答案】D 【分析】 A 错误，因为m ，n 可能平行或异面；B 错误，因为m ∥α，m ∥n ⇒n ∥α或n ⊂α；C 错误，因为α⊥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ∥β或n ⊂β；D 正确．故选D.【例4】如图，在三棱锥S －ABC 中，E 为棱SC 的中点．若AC ＝23，SA ＝SB ＝SC ＝AB ＝BC ＝2，则异面直线AC 与BE 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 【解析】 取SA 的中点F ，连接EF ，BF ，∵E 为棱SC 的中点，∴EF ∥AC ，∴∠BEF (或其补角)为异面直线AC 与BE 所成的角，∵AC ＝23，SA ＝SB ＝AB ＝BC ＝SC ＝2，∴BE ＝EF ＝BF ＝3，∴∠BEF ＝60°.故选C.【变式训练】 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝A 1D 1＝a ，A 1B 1＝2a ，点P 在线段AD 1上运动，当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C －P A 1D 1的体积为( )A.a 34B.a 33C.a 32D ．a 3【答案】 B 【分析】 如图所示，连结CD 1，则∠D 1CP 为锐角，∠D 1CP 即为异面直线CP 与BA 1所成的角，很明显，当点P 位于点A 处时异面直线CP 与BA 1所成的角最大，此时VC －P A 1D 1＝VC －AA 1D 1＝a 33.故选B.【例5】 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AB 、A 1D 1的中点，则直线MN 与平面ABCD 所成的角的正切值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D.12【解析】 取AD 中点E ，连接NE ，ME ，则∠EMN 就是直线MN 和平面ABCD 所成的角，设正方体的棱长为2，则AE ＝AM ＝1，所以EM ＝2，NE ＝2，∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，∴NE ⊥平面ABCD ，∴NE ⊥EM ，∴tan ∠EMN ＝NEEM＝ 2.故本题选A.【变式训练】如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，P 是棱BC 上的动点，记直线A 1P 与平面ABC 所成的角为θ1，与直线BC 所成的角为θ2，则θ1，θ2的大小关系是( )A ．θ1＝θ2B ．θ1>θ2C ．θ1<θ2D ．不能确定【答案】C 【分析】 直线A 1P 与平面ABC 所成的角θ1是直线A 1P 与平面ABC 所有直线所成角中最小的角，又因为直线A 1P 在平面ABC 内的射影不会是直线BC ，所以θ1＜θ2.故选C.【例6】如图，设AB 为圆锥PO 的底面直径，P A 为母线，点C 在底面圆周上，若P A ＝AB ＝2，AC ＝BC ，则二面角P －AC －B 大小的正切值是( )A.66B.6C.77D.7【解析】 ∵P A ＝AB ＝2，∴PO ＝22－12＝3，取AC 中点D ，连接OD ，PD ，则OD ⊥AC ，PD ⊥AC ，故∠PDO 为二面角P －AC －B 的平面角，又因为AB 为直径，则AC ＝BC ＝2，tan ∠PDO ＝PO OD ＝322＝ 6.故选B.【变式训练】在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中(底面是正方形且侧棱垂直于底面的棱柱)，侧棱AA 1＝3，底面边长AB ＝2，则二面角A 1－BD －A 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C 【分析】 取BD 的中点O ，连接AO ，A 1O ，知BD ⊥AO ，BD ⊥A 1O ，所以∠AOA 1是二面角A 1－BD －A 的平面角．由于AO ＝12BD ＝1，AA 1＝3，则tan ∠AOA 1＝3，所以∠AOA 1＝60°.故选C.巩固训练一、选择题1．用符号表示“点A 在直线l 上，l 在平面α外”，正确的是( ) A ．A ∈l ，l ∉α B ．A ∈l ，l ⊄α C ．A ⊂l ，l ⊄α D ．A ⊂l ，l ∉α【答案】B 【分析】 点A 在直线l 上可表示为A ∈l ，l 在平面α外可表示为l ⊄α.故选B.2．下列四个命题：①空间三条直线两两平行，则三条直线可确定三个平面； ②空间不共线的三点可确定一个平面； ③空间一点和一条直线可确定一个平面；④A 与B 两点到直线l 距离相等，则直线l 和AB 确定一个平面． 其中正确命题的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【答案】A 【分析】 如果三条直线平行，这三条直线也可以确定一个平面，故①错，空间不共线的三点可确定一个平面，②正确；空间一条直线和不过这条直线的一点才可确定一个平面，故③错；A 与B 两点到直线l 距离相等，则AB 与l 可能平行、相交或异面，经过两条相交直线，有且只有一个平面，经过两条平行直线，有且只有一个平面，但当AB 与l 异面时，经过两条直线的平面不存在，故④错．故选A.3．在空间中，设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，且m ⊂α，n ⊂β则下列命题正确的是( ) A ．若m ∥n ，则α∥β B ．若m ，n 异面，则α，β相交 C ．若m ⊥n ，则α⊥β D ．若m ，n 相交，则α，β相交【答案】D 【分析】 平面与平面平行必须有平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，所以A 错；若m ，n 异面，α，β也可能平行，故B 错误；若m ⊥n ，两平面可能平行或相交，故C 错误；若m ，n 相交，则α，β必相交，D 对．故选D.4．在边长为a 的正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后，BC ＝12a ，这时二面角B －AD －C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C 【分析】 由于△ABC 是边长为a 的正三角形，AD ⊥BC ，折成二面角B －AD －C 后，AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，所以∠BDC 是二面角B －AD －C 的平面角．又BC ＝BD ＝CD ＝12a .所以△BCD 为正三角形．∴∠BDC ＝60°.故选C.5．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π6【答案】B 【分析】 如图所示，P 为正三角形A 1B 1C 1的中心，设O 为△ABC 的中心，由题意知：PO ⊥平面ABC ，连接OA ，则∠P AO 即为P A 与平面ABC 所成的角．在正三角形ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝3，则S ＝34×(3)2＝334，VABC －A 1B 1C 1＝S ×PO ＝94，∴PO ＝ 3.又AO ＝33×3＝1，∴tan ∠P AO ＝PO AO＝3，∴∠P AO ＝π3，故选B.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，CC 1的中点，则异面直线A 1C 与EF 所成角的余弦值为( )A.33 B.23 C.13 D.16【答案】B 【分析】 取A 1C 1中点O 1，连O 1F ，则∠O 1FE 为所求，设正方体棱长为1，则A 1A ＝1，AC ＝2，A 1C ＝12＋（2）2＝3，O 1F ＝A 1C 2＝32，EC ＝12＋（12）2＝52，EF ＝62，O 1E ＝52，∴cos∠O 1FE ＝34＋64－542×32×62＝23.故选B.二、填空题7．如图，已知P A ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数为________．【答案】4 【分析】 由线面垂直知，图中直角三角形为4个．答案为4.8．如图所示，平面α∥平面β，P A ＝6，AB ＝2，BD ＝2，则AC ＝__________.【答案】32 【分析】 ∵α∥β，∴AC ∥BD ，∴P A PB ＝AC BD ，即66＋2＝AC 2，解得AC ＝32.答案为32.9．如图，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成角的正弦值是__________．【答案】34【分析】 作AC ⊥β于C ，在β内作CD ⊥l 于D ，连接AD ，可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，所以∠ADC ＝60°.连接CB ，由∠ABD ＝30°，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角．设AD ＝2，则AC ＝3，CD ＝1，AB ＝AD sin30°＝4.∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34.答案为34.三、解答题10．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠CAA1＝∠A1AB＝∠BAC＝90°，AB＝AA1＝1，AC＝2.(1)求证：A1B⊥平面AB1C；(2)求直线B1C与平面ACC1A1所成角的正弦值．【解】(1)证明：因为∠CAA1＝∠BAC＝90°，所以CA⊥AA1，CA⊥AB.又AA1∩AB＝A，所以CA⊥平面A1B1BA，即A1B⊥CA.由题意知四边形A1B1BA为正方形，所以A1B⊥AB1，又AC∩AB1＝A，所以A1B⊥平面AB1C.(2)连结A1C，由(1)及题意得B1A1⊥AA1，B1A1⊥AC，又AA1∩AC＝A，所以B1A1⊥平面ACC1A1，所以∠B1CA1是直线B1C与平面ACC1A1所成的角．在矩形ACC1A1中，AA1＝1，AC＝2，所以A1C＝ 5.又因为A1B1＝AB＝1，所以在Rt△A1B1C中，CB1＝6，所以sin∠B1CA1＝66.所以直线B1C与平面ACC1A1所成角的正弦值为6 6.。
2019-2020年金版学案 数学高中学业水平测试课件：专题二 第5讲 指数与指数函数 (数理化网).pdf
专题二函数的概念与基本初等函数Ⅰ第5讲指数与指数函数1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn＝na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a－mn＝1na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分数指数幂等于________；0的负分数指数幂________．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝______，(a r)s＝________，(ab)r＝______，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q.答案：(1)0没有意义(2)a r＋s a rs a r b r2．指数函数的图象与性质y ＝a xa >10<a <1图象定义域 (1)R 值域(2)______(3)过定点______(4)当x >0时，______；当x <0时，______(5)当x >0时，____；当x <0时，______性质(6)在(－∞，＋∞)上是______(7)在(－∞，＋∞)上是______答案：(2)(0，＋∞)(3)(0，1)(4)y＞10＜y＜1 (5)0＜y＜1y＞1(6)增函数(7)减函数1．指数幂的运算(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝________． (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12＝________．解析：(1)原式＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫641 00015－5223－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫410315×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎪⎫－52×23－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32313－1＝52－32－1＝0.(2)原式＝2×432×a 32b －3210a 32b －32＝85. 答案：(1)0 (2)85剖析：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数的图象及应用(1)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，2x －1，x ≥0的图象大致是( )A B C D(2)已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为________．解析：(1)当x<0时，函数的图象是抛物线；当x≥0时，只需把y＝2x的图象在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.(2)由f(x)过定点(2，1)可知b＝2，因为f(x)＝3x－2在[2，4]上是增函数，所以f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.故f(x)的值域为[1，9]．答案：(1)B(2)[1，9]剖析：(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．3．指数函数的图象和性质(1)已知a＝(2)43，b＝225，c＝⎝⎛⎭⎪⎫12－3，则()A．b＜a＜c B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b(2)如果函数y＝a2x＋2a x－1(a>0，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为()A.13B．1C．3 D.13或3解析：(1)a ＝(2)43＝223，b ＝225，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝23， 因为y ＝2x 为单调递增函数，且25＜23＜3， 所以b ＜a ＜c .(2)令a x ＝t ，t ＞0，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增， 所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去)．当0<a <1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ， 又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上单调递增， 则y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13(负值舍去)． 综上知a ＝3或a ＝13. 答案：(1)A (2)D剖析：指数函数的性质及应用问题解题策略：(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用(1)当x ∈[－2，0]时，函数y ＝3x ＋1－2的值域是________．(2)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调减区间为________． 解析：(1)因为x ∈[－2，0]时，y ＝3x ＋1－2为增函数， 所以3－2＋1－2≤y ≤30＋1－2，即－53≤y ≤1. (2)设u ＝－x 2＋2x ＋1，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上为减函数，所以函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]，所以f (x )的减区间为(－∞，1]．答案：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－53，1 (2)(－∞，1]1．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9答案：B2．已知函数f (x )＝a－x ＋2＋1，若f (－1)＝9，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．8D ．－8答案：A3．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．a <c <bD ．b <c <a答案：B4．如图，在四个图形中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 的图象可能是()解析：根据指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 可知a ，b 同号且不相等，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的对称轴x ＝－b 2a<0，可排除B 与D ，又二次函数y ＝ax 2＋bx ，当x ＝0时，y ＝0，而A 中，x ＝0时，y <0，故A 不正确．故选C.答案：C5．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于() A．5 B．7 C．9 D．11解析：由f(a)＝3得2a＋2－a＝3，所以(2a＋2－a)2＝9，即22a＋2－2a＋2＝9.所以22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝22a＋2－2a＝7.答案：B。
2019_2020学年高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1.1实数指数幂及其运算课件新人教B版
m
[微思考] 在分数指数幂与根式的互化公式 a n ＝n am中，
为什么必须规定 a>0?
m
提示：①若 a＝0,0 的正分数指数幂恒等于 0，即n am＝a n
＝0，无研究价值．
m
3
②若 a<0，a n ＝n am不一定成立，如(－2) 2 ＝2 －23无意
义，故为了避免上述情况规定了 a>0.
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4．1 指数与指数函数
4．1.1 实数指数幂及其运算 新课程标准 1．理解 n 次方根和根式的概念，掌握根式的性质、根式与分数 指数幂之间的相互转化．
m
2．通过对有理数指数幂 a n (a>0 且 a≠1；m，n 为整数且 n>0) 含义的认识，了解 指数幂的拓展过程．掌握分数指数幂的运 算性质．
m2－2mn＋n2等于 A．2m
B．2n
()
C．－2m
D．－2n
解析：原式＝|m＋n|－|m－n|，
∵n＜m＜0，∴m＋n＜0，m－n＞0.
故原式＝－2m.
答案：C
题型二 分数指数幂的运算
[学透用活]
[典例 2] 计算下列各式(式子中字母都是正数)：
2
(1)(0.027)
3
＋12275
[解]
(1)
3
a·4
1
a＝a 3
1
·a 4
＝a
7 12
.
1 11
7
(2)原式＝a 2 ·a 4 ·a 8 ＝a 8 .
23
13
(3)原式＝a 3 ·a 2 ＝a 6 .
(4)原式＝(a
1 3
)2·a
1 2
·b
考点24 双曲线-2019-2020学年浙江数学学业水平测试之考点解密 Word版含解析
姓名，年级：时间：考点24 双曲线考点梳理1．双曲线的定义平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距．设P（x，y)是双曲线上一点，F1,F2为焦点，则｜｜PF1｜－|PF2|｜＝2a（2a<|F1F2｜)．2．双曲线的标准方程和几何性质例题讲解【例1】设双曲线C：错误!－错误!＝1（a〉0)的一个顶点坐标为（2，0),则双曲线C的方程是（）A。
x216－错误!＝1 B.错误!－错误!＝1 C。
错误!－错误!＝1 D。
错误!－错误!＝1【解析】由双曲线的方程知，a＝2，所以双曲线方程为x24－错误!＝1，即选D。
【变式训练】双曲线错误!－错误!＝1的离心率为__________．【答案】错误!【分析】由双曲线方程错误!－错误!＝1可知：a2＝4，b2＝5，所以c2＝a2＋b2＝9，可得e ＝错误!＝错误!.【例2】已知双曲线x2a2－错误!＝1错误!.若存在圆心在双曲线的一条渐近线上的圆，与另一条渐近线及x轴均相切，则双曲线的离心率为__________．【解析】设圆心为（x0，错误!x0),则错误!＝错误!x0,两边同时平方得错误!x错误!＝错误!x错误! (错误!＋1），化简得错误!＝3,所以b2＝3a2,得错误!＝4，故e＝2。
【变式训练】双曲线错误!－错误!＝1错误!的左、右焦点分别是F1,F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点．若MF2垂直于x轴，则该双曲线的离心率为__________．【答案】e＝错误!【分析】由条件可知错误!所以错误!＝4a，错误!＝2a，结合∠MF2F1＝90°,可以建立关系：错误! 2＋错误!2＝错误!2，代入得4a2＋4c2＝16a2，得（错误!)2＝3，所以e＝错误!；【例3】已知F1，F2分别是双曲线错误!－错误!＝1（a>0,b>0）的左、右焦点，l1，l2为双曲线的两条渐近线．设过点M(b，0)且平行于l1的直线交l2于点P。
2019-2020学年新教材高中数学 第4章 指数、对数函数与幂函数 4.3 指数函数与对数函数的关系 课时7 指数函数
课时7 指数函数与对数函数的关系知识点一 反函数的概念1.函数y ＝e 2x(x ∈R )的反函数为( ) A ．y ＝2ln x (x >0) B ．y ＝ln (2x )(x >0) C ．y ＝12ln x (x >0)D ．y ＝12ln (2x )(x >0)答案 C解析 y ＝e 2x >0,2x ＝ln y ，x ＝12ln y ，∴y ＝e 2x的反函数为y ＝12ln x ，x >0.2．已知函数y ＝log 3(3－x )(0≤x <3)，则它的反函数是( ) A ．y ＝3－3x (x ≥0) B ．y ＝3＋3x(x ≤1) C ．y ＝3＋3x (x ≥0) D ．y ＝3－3x(x ≤1)答案 D解析 ∵0≤x <3，∴y ≤1.又3－x ＝3y，∴x ＝3－3y.∴y ＝log 3(3－x )的反函数为y ＝3－3x，x ≤1.知识点二 反函数的性质 3.如图，已知函数f (x )＝3x －1，则它的反函数y ＝f －1(x )的大致图像是( )答案 C 解析 由f (x )＝3x －1可得f －1(x )＝log 3x ＋1，∴图像为C.4．若函数y ＝f (x )是函数y ＝g (x )＝a 2x的反函数(a >0，且a ≠1)，且f (4)＝1，则a ＝________.答案 2解析由y＝f(x)与y＝g(x)互为反函数，且f(4)＝1得g(1)＝4，所以a2＝4，a＝2.5．若函数y＝f(x)的图像过点(0,1)，则函数g(x)＝f(4－x)的反函数的图像过点________．答案(1,4)解析∵y＝f(x)的图像过点(0,1)，∴f(4－x)的图像过点(4,1)，∴g(x)＝f(4－x)的反函数的图像过点(1,4)．知识点三指数函数与对数函数的综合应用答案 A解析7．已知函数f(x)＝log2(1－2x)．(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)求证函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称．解(1)要使函数f(x)＝log2(1－2x)有意义，则1－2x>0，即2x<1.故x<0，此时0<1－2x<1，∴f(x)＝log2(1－2x)<0，故函数f(x)的定义域为(－∞，0)，值域为(－∞，0)．(2)证明：由y＝f(x)＝log2(1－2x)可得1－2x＝2y，解得x＝log2(1－2y)，故原函数的反函数为y＝f(x)＝log2(1－2x)，与原函数相同，所以函数f(x)的图像关于直线y＝x对称．易错点对反函数的定义理解不清而致误8.已知函数y＝f(x＋1)与函数y＝g(x)的图像关于直线y＝x对称，且g(x)的图像过定点(1,2018)，则y＝f－1(x＋1)的图像过定点________．易错分析本题容易误认为f(x＋1)与f－1(x＋1)互为反函数．答案(0,2019)正解∵g(x)的图像过定点(1,2018)，∴f(x＋1)的图像过定点(2018,1)．又∵f(x)的图像可以看作由f(x＋1)的图像向右平移一个单位长度得到的，∴f(x)过定点(2019,1)．又∵f(x)与f－1(x)互为反函数，∴f－1(x)的图像过定点(1,2019)．再结合f－1(x)与f－1(x＋1)的关系可知，f－1(x＋1)的图像过定点(0,2019)．一、选择题1．函数y＝2x＋1(x∈R)的反函数是( )A．y＝1＋log2x(x>0)B．y＝log2(x－1)(x>1)C．y＝－1＋log2x(x>0)D．y＝log2(x＋1)(x>－1)答案 C解析由y＝2x＋1⇒x＋1＝log2y⇒x＝－1＋log2y，又因原函数的值域{y|y>0}，故其反函数是y＝－1＋log2x(x>0)．2．当0<a<1时，方程log a x＝a x的实数解( )A．有且只有一个B．可能无解C．可能有3个D．一定有3个答案 C解析3．若函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数的图像过点(a ，a )，则a 的值为( ) A ．2 B.12 C ．2或12D ．3答案 B解析 解法一：函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数即y ＝log a x ，故y ＝log a x 的图像过点(a ，a )，则a ＝log a a ＝12.解法二：由题意得，函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数的图像过点(a ，a )，则函数y＝a x (a >0，且a ≠1)的图像过点(a ，a )，即a a＝a ＝，故a ＝12.4．已知a >0，且a ≠1，则函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图像只能是( )答案 B解析 解法一：首先，曲线y ＝a x只可能在上半平面，y ＝log a (－x )只可能在左半平面，从而排除A ，C.其次，从单调性来看，y ＝a x与y ＝log a (－x )的增减性正好相反，又可排除D.∴应选B. 解法二：若0<a <1，则曲线y ＝a x下降且过点(0,1)，而曲线y ＝log a (－x )上升且过点(－1,0)，所有选项均不符合这些条件．若a >1，则曲线y ＝a x上升且过点(0,1)，而曲线y ＝log a (－x )下降且过点(－1,0)，只有B 满足条件．5．已知函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，其图像如图所示，则不等式－1≤f －1(x )≤12的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12 C ．[－2,0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D ．[－1,0]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 答案 C解析 由题意，可得－1≤f －1(x )≤12的解集即为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的值域．当－1≤x ＜0时，由题图可知f (x )∈[－2,0)， 当0≤x ≤12时，由题图可知f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.故不等式－1≤f －1(x )≤12的解集为[－2,0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.二、填空题6．函数y 1＝log 3x 与函数y 2＝3x，当x 从1增加到m 时，函数的增量分别是Δy 1与Δy 2，则Δy 1________Δy 2.(填“＞”“＝”或“＜”)答案 ＜解析 函数y 1＝log 3x 与函数y 2＝3x 在区间(0，＋∞)上都是增函数，但y 2＝3x增长得快，所以Δy 1＜Δy 2.7．已知函数f (x )＝a x－k 的图像过点(1,3)，其反函数y ＝f －1(x )的图像过点(2,0)，则f (x )的表达式为________．答案 f (x )＝2x＋1解析 ∵y ＝f －1(x )的图像过点(2,0)，∴y ＝f (x )的图像过点(0,2)， ∴2＝a 0－k ，∴k ＝－1， ∴f (x )＝a x＋1.又∵y ＝f (x )的图像过点(1,3)，∴3＝a 1＋1， ∴a ＝2，∴f (x )＝2x＋1.答案 (－∞，－1]解析 由题意得f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，∴f (x 2＋2x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x ， ∵f (x )在R 上是减函数，∴由同增异减的原则可知，所求函数的单调增区间即为t ＝x 2＋2x 的单调减区间，即(－∞，－1]．三、解答题9．若不等式4x－log a x ＜0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．解 要使不等式4x＜log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，即函数y ＝log a x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒在函数y ＝4x 图像的上方，而y ＝4x的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.由图可知，log a 12≥2，显然这里0＜a ＜1，∴函数y ＝log a x 递减． 又log a 12≥2＝log a a 2，∴a 2≥12，又0<a <1，∴a ≥22.∴所求的a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1. 10．已知f (x )＝a ·2x －12x＋1(a ∈R )，f (0)＝0.(1)求a 的值，并判断f (x )的奇偶性； (2)求f (x )的反函数；(3)对任意的k ∈(0，＋∞)，解不等式f －1(x )＞log 21＋x k.解 (1)由f (0)＝0，得a ＝1，所以f (x )＝2x－12x ＋1.因为f (x )＋f (－x )＝2x－12x ＋1＋2－x－12－x ＋1＝2x －12x ＋1＋1－2x1＋2x ＝0，所以f (－x )＝－f (x )，即f (x )为奇函数． (2)因为f (x )＝y ＝2x－12x ＋1＝1－22x ＋1，所以2x＝1＋y 1－y (－1＜y ＜1)，所以f －1(x )＝log 21＋x 1－x (－1＜x ＜1)．(3)因为f －1(x )＞log 21＋x k，即log 21＋x 1－x ＞log 21＋x k，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 1－x＞1＋x k ，－1＜x ＜1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1－k ，－1＜x ＜1，当0＜k ＜2时，原不等式的解集为{x |1－k ＜x ＜1}； 当k ≥2时，原不等式的解集为{x |－1＜x ＜1}．。
2019-2020学年高中数学(人教A版必修一)学业分层测评：第2章 2.1.1 指数与指数幂的运算 Word版含解析
学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列各式正确的是( )A.错误!＝－3B.错误!＝aC.22＝2D.错误!＝2【解析】 由于错误!＝3，错误!＝|a |，错误!＝－2，故A ，B ，D 错误，故选C.【答案】 C2.的值为( ) A ．－13B.13C.43D.73 【解析】 原式＝1－(1－22)÷＝1－(－3)×49＝73.【答案】 D3．下列各式运算错误的是( )A ．(－a 2b )2·(－ab 2)3＝－a 7b 8B ．(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝a 3b 3C ．(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6b 6D ．[－(a 3)2·(－b 2)3]3＝a 18b 18 【解析】 对于A ，(－a 2b )2·(－ab 2)3＝a 4b 2·(－a 3b 6)＝－a 7b 8，故A 正确；对于B ，(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝－a 6b 9÷(－a 3b 6)＝a 6－3b 9－6＝a 3b 3，故B 正确；对于C ，(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6·(－b 6)＝－a 6b 6，故C 错误；对于D ，易知正确，故选C.【答案】C 4．化简(a ，b >0)的结果是( ) A.b aB ．ab C.a bD ．a 2b 【解析】 原式＝＝【答案】 C5．设a 12－a －12＝m ，则a2＋1a ＝( )A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2 【解析】 将a 12－a －12＝m 平方得(a 12－a －12)2＝m 2，即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2，即a ＋1a ＝m 2＋2⇒a2＋1a ＝m 2＋2.【答案】 C二、填空题6．若x <0，则|x |－x2＋x2|x|＝________.【解析】 由于x <0，所以|x |＝－x ，x2＝－x ，所以原式＝－x －(－x )＋1＝1.【答案】 17．已知3a ＝2,3b ＝15，则32a －b ＝________. 【解析】 32a －b ＝32a 3b ＝错误!＝错误!＝20.【答案】 20 8．若x2＋2x ＋1＋y2＋6y ＋9＝0，则(x 2 017)y ＝________.【解析】 因为x2＋2x ＋1＋y2＋6y ＋9＝0，所以错误!＋错误!＝|x ＋1|＋|y ＋3|＝0，所以x ＝－1，y ＝－3，所以(x 2 017)y ＝[(－1)2 017]－3＝(－1)－3＝－1.【答案】 －1三、解答题 9．求值：(2)0.027－13－＋2560.75－13＋.【解】 (1)(2－1)0＋＋(8)－43＝1＋34＋14＝2.(2)0.027－13－＋2560.75－13＋＝103－36＋64－13＋1＝32.10．化简3a 72a －3÷3a －83a15÷3a －3a －1.【解】 原式＝＝3a2[能力提升]1．若2<a <3，化简错误!＋错误!的结果是( )A ．5－2aB ．2a －5C ．1D ．－1【解析】 原式＝|2－a |＋|3－a |，∵2<a <3，∴原式＝a －2＋3－a ＝1.【答案】 C2．若xy ≠0，则使4x2y2＝－2xy 成立的条件可能是( )A ．x >0，y >0B ．x >0，y <0C ．x ≥0，y ≥0D ．x <0，y <0 【解析】 ∵4x2y2＝2|xy |＝－2xy ，∴xy ≤0.又∵xy ≠0，∴xy <0，故选B .【答案】 B3．设a 2＝b 4＝m(a >0，b >0)，且a ＋b ＝6，则m ＝________.【解析】 ∵a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，∴a ＝m 12，b ＝m 14，a ＝b 2.由a ＋b ＝6，得b 2＋b －6＝0，解得b ＝2或b ＝－3(舍去)．∴m 14＝2，m ＝24＝16.【答案】164．已知＝5，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a2－a－2.【解】(1)将＝5两边平方，得a＋a－1＋2＝5，则a＋a－1＝3.(2)由a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，则a2＋a－2＝7.(3)设y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，所以y＝±35，即a2－a－2＝±3 5.。
考点25 抛物线-2019-2020学年浙江数学学业水平测试之考点解密 Word版含解析
姓名，年级：时间：考点25 抛物线考点梳理1．抛物线的定义平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l 上）．定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和几何性质3。
直线与抛物线的位置关系设抛物线方程为y2＝2px(p>0),直线Ax＋By＋C＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q＝0。
①若m≠0，当Δ>0时，直线与抛物线有两个公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．②若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物线的对称轴平行．例题讲解【例1】已知抛物线y2＝2px过点A（1，2)，则p＝__________，准线方程是____________．【解析】抛物线y2＝2px过点A(1,2)，所以4＝2p，解得p＝2.所以抛物线的准线方程为x ＝－1.【变式训练】设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，若F到直线y＝错误!x的距离为错误!.则p＝（)A．2 B．4 C．2 3 D．43【答案】B【分析】直线y＝错误!x的倾斜角为错误!，则F到直线y＝错误!x的距离为错误!sin错误!＝错误!，p＝4.故选B。
【例2】直线y＝a(a∈R）与抛物线y2＝x交点的个数是（)A．0 B．1 C．2 D．0或1【解析】由抛物线图形得,直线y＝a与抛物线交点有且只有一个．也可以y＝a代入抛物线方程y2＝x得，x＝a2，所以交点有且只有一个．即选B。
【变式训练】设过点(0，1）的直线l与抛物线y2＝x只有一个公共点．求直线l的方程．【解析】(1)当直线l与抛物线的对称轴平行时，方程为y＝1;(2）当直线l与抛物线相切时，方程为x＝0，y＝错误!x＋1。
综上可知，直线l的方程为y＝1,x＝0，y＝错误!x＋1。
【例3】设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（)A。
2019-2020年高考数学一轮总复习课件：2.4 指数与指数函数
例
(2018湖北荆州中学月考,14)化简来自5 61
a 3b2
1
·(-3 a 2
2
1
b-1)÷(4a 3 b-3) 2 · ab
=
.
解析
原式=
5 6
3
1 2
· a 13
1 2
1 3
1 2
21 3 1
·b 2 2
=- 5
4b
.
答案 - 5
m
an
=⑥
n am
(a>0,m,n∈N*,n>1).
3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义. (2)有理指数幂的运算性质: 1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q); 2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q); 3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
考向突破
考向 指数幂的运算
解析
g(x)=2·
1 2
x
,∴g(x)为减函数,且图象经过点(0,2),排除B,D;
f(x)=1
+log2x为增函数,且图象经过点 12 ,
0
,排除A,故选C.
答案 C
考向二 指数函数的性质及应用
例2 (2017浙江高考模拟训练冲刺卷一,4)已知函数f(x)是奇函数,当x>0
时, f(x)=ax(a>0且a≠1),且f(lo g1 4)=-3,则a的值为 ( )
2
A. 3 B.3 C.9 D. 3
2
解析 由f(lo g1 4)=-3,得f(-2)=-3,又f(x)是奇函数,则有f(2)=3,即a2=3,又a>
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考点04 指数、对数、幂函数 考点梳理 1．指数函数 (1)指数与指数幂的运算
①根式：如果一个数的n次方等于a(n>1，且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．式子na叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数．
当n为奇数时，nan＝a； 当n为偶数时，nan＝|a|＝a（a≥0）－a（a<0）. ②零指数幂：a0＝1(a≠0)；
分数指数幂：正数的正分数指数幂的意义是amn＝nam(a>0，m，n∈N*且n>1)； 正数的负分数指数幂的意义是a－mn＝1amn＝1nam(a>0，m，n∈N*且n>1)；
0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． ③无理数指数幂：aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质也同样适用于无理数指数幂的运算． ④实数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R)(c)： ar·as＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr. 注意：a.分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算． b．运用公式进行变形时，应注意公式成立的条件，以减少运算的失误． c．代数式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视． d．在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值． (2)指数函数及其性质 ①指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R. ②指数函数的图象与性质 函数名称 指数函数 定义 函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数 定义域 (－∞，＋∞) 值域 (0，＋∞) 图象 a＞1 0＜a＜1
单调性,在(－∞，＋∞)上是增函数,在(－∞，＋∞)上是减函数 函数值的
变化情况,ax＞1（x＞0）＝1（x＝0）＜1（x＜0）,ax＜1（x＞0）＝1（x＝0）＞1（x＜0） 图象特征,ax＞0，图象位于x轴上方；a0＝1，图象都经过(0，1)点 2.对数函数 (1)对数与对数运算 ①概念：如果ax＝N(a>0，a≠1)，数x就叫做以a为底N为真数的对数，记为logaN＝x，其中a叫做底数，N叫做真数． ②常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，log10N通常写成lgN. 自然对数：以e为底的对数叫做自然对数，logeN通常写成lnN. ③对数的运算性质：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么： loga(MN)＝logaM＋logaN； logaMN＝logaM－logaN； logaMn＝nlogaM(n∈R) ④对数的换底公式： logab＝logcblogca(a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0)，且logab·logba＝1； loganbm＝mnlogab. (2)对数函数及其性质 ①对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)． ②对数函数的图象和性质
函数名称 对数函数 定义 函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数 定义域 (0，＋∞) 值域 (－∞，＋∞) 图象 a＞1 0＜a＜1
单调性,在(0，＋∞)上是增函数,在(0，＋∞)上是减函数 函数值的变化情况,logax＞0（x＞1）＝0（x＝1）＜0（0＜x＜1）,logax＜0（x＞1）＝0（x＝1）＞0（0＜x＜1） 图象特征,x＞0，图象位于y轴右方；loga1＝0，图象都经过(1，0)点 ③指数函数与对数函数的关系：对数函数y＝logax(a>0且a≠1)和指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数．
3．幂函数(y＝x，y＝x2，y＝x12，y＝x－1，y＝x3) (1)定义：函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)幂函数y＝x，y＝x12，y＝x2，y＝x－1，y＝x3的图象： (3) 幂函数的性质：过公共点(1，1). 例题讲解 【例1】函数f(x)＝ln(x－3)的定义域为( ) A.{}x|x>－3 B.{}x|x>0 C.{}x|x>3 D.{}x|x≥3 【解析】因为函数f(x)＝ln(x－3)，所以x－3>0，x>3，故选C. 【变式训练】 (2017.4浙江)函数y＝3x的值域为( ) A．(0，＋∞) B．（-∞，0）C.(0，1] D．(0，3] 【★答案★】A 【分析】∵x∈R，∴3x>0，即函数y＝3x的值域为(0，＋∞)，故选A.
【例2】设函数f(x)＝2ex，g(x)＝e3x，其中e为自然对数的底数，则( ) A．对于任意函数x恒有f(x)≥g(x) B．存在正实数x使得f(x)>g(x) C．对于任意函数x恒有f(x)≤g(x) D．存在正实数x使得f(x)
【解析】f(x)＝2ex>0，g(x)＝e3x>0，g（x）f（x）＝e3x2ex＝e26x＝e62x，∵6调递增，当x<0时，g（x）f（x）<1，g(x)0时，g（x）f（x）>1，g(x)>f(x)，故选D. 【变式训练】设函数f(x)＝2x＋a()a∈R.若函数f(x)的图像过点(3，18)，则a的值为____________． 【★答案★】10 【分析】函数f(x)的图像过点(3，18)，则18＝23＋a，则a＝10. 【例3】函数f(x)＝loga|x－t|(a>1且a≠1)的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A．t＝1，01 C．t＝2，01 【解析】考虑函数定义域为{x|x≠t}，所以t＝1，又当x∈(1，＋∞)时，函数递增，所以a>1，选B. 【变式训练】函数f(x)＝log2(2x)的图象大致是( )
A B C D 【★答案★】A 【分析】函数在定义域单调递增，同时f(12)＝0，故选A. 【例4】下列算式正确的是( ) A．26＋22＝28 B．26－22＝24 C．26×22＝28 D．26÷22＝23 【解析】由有理数指数幂的运算性质可知C正确． 【变式训练】计算lg4＋lg25＝( ) A．2 B．3 C．4 D．10 【解析】A 【分析】lg4＋lg25＝lg(4×25)＝lg100＝2，故选A. 【例4】已知函数f(x)＝(m2＋2m－2)xm2－m－1是幂函数，则m＝( ) A．1 B．1或－3 C．－3 D．－1或3 【解析】依题意得，若f(x)为幂函数，则m2＋2m－2＝1，即m2＋2m－3＝0，解得m＝1或m＝－3，选B. 【变式训练】若y＝x2，y＝(12)x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝(x－1)2，y＝x，y＝ax(a>1)上述函数是幂函数的个数是( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【★答案★】C 【分析】根据幂函数的定义，y＝x2，y＝x是幂函数． 巩固训练 一、选择题 1．函数y＝lg||x的奇偶性为( ) A．偶函数 B．既是偶函数，也是奇函数 C．奇函数 D．不是偶函数，也不是奇函数 【★答案★】A 【分析】由题意，令f(x)＝lg||x，定义域关于原点对称，则f(－x)＝f(x)，即为偶函数，故选A. 2．下列函数中，图象如图所示的函数可能是( )
第2题图 A．y＝x3 B．y＝2x C．y＝x D．y＝log2x 【★答案★】C 【分析】y＝x3，y＝2x的定义域为R，故A、B不符合题意，y＝log2x的值域为R，D不符，故选C. 3．与函数y＝lg(x－1)的定义域相同的函数是( ) A．y＝x－1 B．y＝||x－1 C．y＝1x－1 D．y＝x－1 【★答案★】C 【分析】函数y＝lg(x－1)的定义域为(1，＋∞)，A中定义域为R；B中定义域为R；C中定义域为(1，＋∞)；D中定义域为[1，＋∞)；故选C. 4．函数y＝2x－1的图象大致是( )
A B C D 【★答案★】A 【分析】函数定义域为R，且x＝0时y＝0，故选A. 5．若x＝log43，则(2x－2－x)2等于( ) A.94 B.54 C.103 D.43 【★答案★】D 【分析】x＝log43＝12log23＝log23，故2log23－2－log23＝3－33＝233，故选D. 6．若对任意实数m∈[0，1]，总存在唯一实数x∈[－1，1]，使得m＋x2ex－a＝0成立，则实数a的取值范围是( )
A．[1，e] B.1＋1e，e C．(0，e] D.1＋1e，e 【★答案★】B 【分析】原式变形为x2ex＝a－m，函数y＝x2ex在区间[－1，0)上单调递减，在区间[0，1]上单调递增，函数y＝a－x在[0，1]上单调递减， 因为对任意的x1∈[0，1]，总存在唯一的x2∈[－1，1]，使得x1＋x22ex2－a＝0成立，所以函数y＝a－x的值域是函数y＝x2ex值域的子集，所以a－1≥(－1)2e－1，且a－0≤12e1，解得：1＋1e≤a≤e，
当a＝1＋1e时，x2存在两个不同的实根，因此舍去，所以a的取值范围是1＋1e，e.故选B.
二、填空题 7．log39＋log327＝____________． 【★答案★】5 【分析】因为log39＋log327＝log332＋log333＝2＋3＝5，故log39＋log327的值为5.
8．设f(x)＝2ex－1，x<2，log3（x2－1），x≥2，则f(f(1))＝____________，不等式f(x)>2的解集为____________． 【★答案★】1，(1，2)∪(10，＋∞) 【分析】因为f(1)＝2e0＝2，所以f(f(1))＝f(2)＝log3(4－1)＝1；当x<2时，2ex－1>2⇒ex－1>1⇒x>1，则1当x≥2时，则log3(x2－1)>2⇒x2－1>9，即x2>10⇒x>10；综上不等式的解集是(1，2)∪(10，＋∞)． 9．已知f(x)＝（3－a）x－a，x<1logax，x≥1是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是____________． 【★答案★】32≤a<3
【分析】∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，∴可知a>1且3－a>0，(3－a)×1－a≤loga1，即32≤a<3.