1 n 维向量

定义6
设 1 , 2 ,, m 是n维向量组, k1 , k 2 ,, k m
是一组数, 则称
k11 k 2 2 k m m
是向量组 1 , 2 ,, m 的一个线性组合。
若向量 满足
k11 k2 2 km m
或向量 能由 则称向量 是 1 , 2 ,, m的一个线性组合，
1 1 1
(2) 易知 2 , 所以 是 , 的一个线性组合, 或 能由 , 线性表示.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 例 对线性方程组 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm

系数向量组的线性组合
a11 x1 a12 x2 a1n xn x11 x22 xnn a21x1 a22 x2 a2n xn a x a x a x mn n m1 1 m2 2
若设
a11 a 1 21 , am1
a12 a 2 22 , am 2

b1 a1n b2 a 2 n n , bm amn
T
当向量的分量都为复数时,称该向量为复向量 本书只讨论实向量.
n R 全体n维实向量的集合记为 ,即
R a1 a2 an | ai R, i 1, 2,, n
n T


二 向量的线性运算
(一)定义
定义3: 两个向量, 相等指表示向量的两个矩阵相等.
记为

a1 称为行向量 a2 或n维向量可以用n 1的列矩阵表示为 an 称为列向量
a1 a2 an
本书以后均采用列向量表示. 其中第i个数 ai 称为向量的第i个坐标或第i个分量, 分量的个数称为向量的维数
定义2: 坐标都是零的向量称为零向量, 记为 0 0 0 0 当向量的分量都为实数时,称该向量为实向量
a12 a 2 22 , am 2

b1 a1n b2 a 2 n n , bm amn
x11 x22 xnn
2 0 0 1 1 是行向量， 但是系数矩阵的列。
4 2 0 1
3 4 0
则
k11 k22 k33 k44
k1 2k 4 3 2k1 2k 2 4 k k k 0 3 4 2 0
表示4元线性方程组
1 0 系数矩阵是 2 2 0 1 注 虽然 1 , 2 , 3 , 4
进而 (1) 记作 , 称为向量与 的差,即
(a1 b1, a2 b2 ,, an bn )T ,
向量的加法与数乘向量两种运算统称为向量的线性运算。
(二) 运算规律 由于向量的加法与数乘向量实际就是表示它们的矩阵的 加法与数乘运算.
1) 3) 0 5) 1 7) ( ) 0
T 即 (a1, a2 ,, an )T 与 (b1, b2 ,, bn ) 相等当且仅当
注
若
a1 a2 T T 故 (a1, a2 ,, an ) , 则 (a1 , a2 , , an ) an T
ai bi
(2)数乘向量: 数与向量的乘积(记为 )是一个n维向 量， 定义为:
(a1, a2 ,, an )T
注: 向量的加法与数乘向量实际就是表示它们的矩阵的 加法与数乘运算.
注
若 1 时, 记 (1) 为 . 即
(1) (a1, a2
亦即通常一向量组可以表示无数个向量。 上有无穷多个)。
注: 由上不难看到向量组的线性组合形式不止一个(事实
例
1 设 0 1
0 1 1
2 1 1
2 2 是 , 的一个线性组合, (1) 由 2 3 3 , 所以 3 5 5 2 或 3 能由 , 线性表示. 5
若记向量
a11 a12 a 21 a 1 , 2 22 , am1 am 2

a1n a n 2n , amn
b1 b2 bm
例
e1 2e2 3e3 4e4
四 向量组的线性组合、线性表示
定义5 由若干维数相同的列向量（或行向量）构成的 向量集合称为向量组. 由m个n维向量构成的向量组可记为
M 1,2 ,,m 或简记为 M
例
向量集合 e1, e2 ,, en 是向量组，
R n 也是向量组，它是最大的n维实向量组。
它们有以下运算规律
2) ( ) ( ) 4) ( ) 6) ( ) ( ) 8) ( )
三 向量的标准基
1:在维向量集合 R n 中， 有如下n个非常特殊的向量
1 0 e1 0
我们称m维向量组 1,2 ,,n 是线性方程组的系数 向量组，它们构成系数矩阵的列。 称为常向量。
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 例 对线性方程组 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm 2 n 1 ,
即 x11 x22 xnn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 例 对线性方程组 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm a11 a 1 21 , am1
则
k11 k22 k33 O
k1 k 3 0 k1 2k 2 3k 3 0 k 5k 6 k 0 2 3 1
代表线性方程组
系数矩阵是
1 0 1 1 2 3 1 5 6
例
设 1 1 2 0 , 2 0 2 1 , 3 0 0 1
0 1 e2 0 0 0 en 1

称这n个向量为 R n 的标准基。
2:标准基的作用
R 中任意一个向量都可以对标准基的作线性运算得到
n
R n 中任意一个向量 x ( x1 , x2 ,, xn )T
x x1e1 x2e2 xnen (*)
称(*)式为向量x关于标准基e1 , e 2 ,, e n 的线性表示,
x1 , x2 ,, xn 称为向量x在标准基 e1 , e2 ,, e n 下的坐标。
注 向量在标准基 e1 , e 2 ,, e n 下的坐标就向量的分量
1 2 3 4 1 0 0 0 0 2 1 3 0 4 0 0 0 1 0 0 0 0 1
故
（1）方程有解当且仅当向量组1,2 ,,n 能线性表示 . （2）方程有唯一解当且仅当向量组1,2 ,,n 能唯一 线性表示 .
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 例 对线性方程组 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
(i 1, 2,, n)

T 定义4: 设 (a1 , a2 ,, an )T , (b1, b2 ,, bn )
是两个n维向量, R ,
(1)向量的加法: 与 的和(记为+ )是一个n维向量,
定义为:
(a1 b1, a2 b2 ,, an bn )T ,
第一节 n 维向量
许多现象需要超过一个数的有序数组描述: 如平面上的向量需要二元有序数组描述, 空间的向量需要
三元有序数组描述, 质点的运动状态需要四元有序数组描述, n元方程组的一个解需要n元有序数组描述,为了统一研究 有序数组,我们引入n 维向量的概念.
一 n 维向量的概念
定义1: 一个n元有序数组称为一个n维向量. n维向量可以用1n的行矩阵表示为
则线性方程组可以表示为向量组线性表示向量形式
x11 x22 xnn （*）
其中向量组1,2 ,,n 反之（*）它也代表线性方程组， 构成方程组的系数矩阵。
例
1 1 0 设 1 1 2 2 3 3 , 6 1 5