中考专题复习最短路径问题教案
课题学习《最短路径》教学设计
13.4.课题学习《最短路径》教学设计一、教材分析地位作用：现在是数学遵循《标准》的理念，以“生活数学”“活动思考”为主线展开课程内容，注重体现生活与数学的联系，其中最短路径问题就是这一方面知识与能力的综合运用。
本节课的教学贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，以省时、省财力、省物力为教学主线，希望寻求最短路径的数学问题。
这类问题的解答是在学生学习了“轴对称”的基础之上，依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”这一理论基础上进行推导、演练，根据所给的条件的不同，在解决方法和策略上又有所差别。
初中数学中的最短路径问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。
本考点在中考时往往以解答题的形式出现。
二、教学目标：（1）知识与技能：借助轴对称知识转化，利用公理“两点之间、线段最短”来求线段和的最小值，从而解决最短路径问题。
体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
（2）过程与方法：经历实践活动的过程，得出最短路径问题的解决办法，找到关于线的对称点实现“折”转“直”，再利用“两点之间，线段最短”这一性质来解决一些简单的实际问题。
（3）情感、态度与价值观：通过观察、归纳、推理得出数学猜想，体验数学充满探索性、创造性。
三、教学重、难点教学重点：确定两点一线和两点两线型的线段和最小值问题。
教学难点：分析问题、确定问题类型并解决问题。
突破难点的方法：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决.四、教学准备：多媒体课件、导学案五、教学过程：（一）复习引入活动一：教师：我们在平时的生活中有许多的时候都会考虑怎样才可以使我们的利益最大化，比如说：怎样可以使省时、省力；再比如说，怎样找最短距离。
那我们在初中阶段就已经学习多了一些相关的几何知识，现在请大家回忆一下我们学过哪些定理来说明最短距离。
学生：思考教师展示问题，对所学知识进行复习巩固，并观察图片，获得感性认识.设计意图：从生活中问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望。
2022年数学精品初中教学设计《最短路径问题》特色教案
13.4 课题学习 最短路径问题教学目标：1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用.3、感悟转化思想．学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间, 线段最短〞问题． 教学过程 一、探索新知问题1 相传, 古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者, 名叫海伦．有一天, 一位将军专程拜访海伦, 求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发, 到一条笔直的河边l 饮马, 然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索, 利用轴对称的知识答复了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题〞．你能将这个问题抽象为数学问题吗？追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗？ 〔1〕从A 地出发, 到河边l 饮马, 然后到B 地；〔2〕在河边饮马的地点有无穷多处, 把这些地点与A , B 连接起来的两条线段的长度之和, 就是从A 地到饮马地点, 再回到B 地的路程之和；〔3〕现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l 上的点．设C 为直线上的一个动点, 上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时, AC 与CB 的和最小〔如图〕．问题2 如图, 点A , B 在直线l 的同侧, 点C 是直线上的一个动点, 当点C 在l 的什么位置时, AC 与CB 的和最小？追问1 对于问题2, 如何将点B “移〞到l 的另一侧B ′处, 满足直线l 上的任意一点 C , 都保持CB 与CB ′的长度相等？ 追问2 你能利用轴对称的有关知识, 找到上问中符合条件的点B ′吗？问题2 如图, 点A , B 在直线l 的同侧, 点C 是直线上的一个动点, 当点C 在l 的什么位置时, AC 与CB 的和最小？ 作法： 〔1〕作点B 关于直线l 的对称点B ′；〔2〕连接AB ′, 与直线l 相交于点C ． 那么点C 即为所求．问题3 你能用所学的知识证明AC +BC 最短吗？ B ¡¤ ¡¤ A l B A lB ¡¤ l A ¡¤ B ′C证明：如图, 在直线l 上任取一点C ′〔与点C 不重合〕, 连接AC ′, BC ′, B ′C ′.由轴对称的性质知,BC =B ′C , BC ′=B ′C ′．∴ AC +BC= AC +B ′C = AB ′,AC ′+BC ′= AC ′+B ′C ′．追问1 证明AC +BC 最短时, 为什么要在直线l 上任取一点C ′〔与点C 不重合〕, 证明AC +BC ＜AC ′+BC ′？这里的“C ′〞的作用是什么？ C 不重合〕与A , B 两点的距离和都大于AC +BC , 就说明AC + BC 最小．追问2 回忆前面的探究过程, 我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？二、练习 如图, 一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客, 然后将游客送往河岸BC 上, 再返回P 处, 请画出旅游船的最短路径．根本思路：由于两点之间线段最短, 所以首先可连接PQ , 线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC , 这样问题就转化为“点P , Q 在直线BC 的同侧, 如何在BC 上找到一点R , 使PR 与QR 的和最小〞．三、归纳小结1、本节课研究问题的根本过程是什么？2、轴对称在所研究问题中起什么作用？四、布置作业教科书P93复习题13第15题.第一课时【教与学目标】1、经历探索分式的加减法运算法那么的过程, 通过与分数加减法法那么的类比, 开展学生的联想与合情推理能力.2、能熟练地进行同分母的分式加减法的运算.A BCP Q山 河岸大桥【重、难点】熟练地进行同分母的分式加减法的运算.【教与学过程】一、知识引桥1、分式是怎样通分的？与分数的通分有区别吗？2、看谁做的又对又快. (1) 41＋42= (2)21＋31= (3)61＋81= (4) 22xy 与y x 23通分后的分式为与 (5) 92-a a 与9612++a a 通分后的分式为 与二、学习新知〔一〕考考你〔1〕甲、乙两捆相同型号的电线, 质量分别为m 千克和n 千克, 如果这种电线每米的质量为a 千克, 那么这两捆电线的总长度为 米.〔2〕如果这两捆电线的型号不同, 质量分别为p 千克和q 千克, 甲捆电线每米质量为a 千克, 乙捆电线每米质量为b 千克, 那么这两捆电线的总长度为米.〔二〕交流与发现〔1〕与同学交流说明一下分数的加法法那么, 下面的题目你一定会做： ①x x 31+= ②xyxy xy 542-+= 归纳一下同分母分式加减法法那么：例1、计算 〔1〕x y 3 +x y 35 〔2〕mn n m 22-+mnn m 22+ [分析] 第〔1〕题是同分母的分式减法的运算, 分母不变, 只把分子相减, 〔2〕是多项式要变号的问题, 应引起注意.例2、计算〔1〕3283322--+-+a a a a 〔2〕x y y y x x -+-22 [分析]此题是同分母的分式加减法的运算, 强调分子为多项式时, 应把多项式看作一个整体加上括号参加运算, 结果也要约分化成最简分式.注意：最后结果一定要化为最简公式.三、学以致用计算：(1) x y x y 232+ (2) 23223+++a a a a (3) 3y y x x+ (4) m n m n m n m n n m -+---+22 四、课堂小结谈谈你的收获.五、教学反思。
中考专题复习最短路径问题
L DOCP中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题； 二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。
（构建“对称模型”实现转化）三、例题：例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是 。
②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。
②如图，直线L A 、B ，已知A 、B 到直线L 的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L 上找一个点P ，使PA+PB 的和最小。
请在图中找出点P 的位置，并计算PA+PB 的最小值。
③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km 和3Km ，张村与李庄的水平距离为3Km ，则所用水管最短长度为 。
四、练习题（巩固提高）（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
2、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。
3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。
4、正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN＋MN的最小值为。
第4题第5题第6题第7题5、在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，点E是AB的中点，P是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB的最小值为。
中考专题复习——最短路径问题
word专业资料-可复制编辑-欢迎下载A B C DABABL A BCDDO CP中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。
（构建“对称模型”实现转化）三、例题：例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是。
②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。
例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。
②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。
请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。
③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。
四、练习题（巩固提高）（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。
2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为。
3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为。
4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN第2题张村李庄张村李庄AABB第1题第3题图(2)EBDACP＋MN 的最小值为 。
第4题 第5题 第6题 第7题 5、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 。
最短路径问题说课稿PPT课件
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四、教学方法
学习任何知 识的最佳途径 是由自己去发 现。
---波利亚
从实际问题入 手，引导学生由 浅入深的探索， 使学生发现解决 问题的最佳途径， 自己得出结论.
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学法指导
在学校教育 中，知识的无 限性与学习时 间的有限性之 间矛盾越来越 突出.
我鼓励学生采 用自主探索、合 作交流的学习方 法，让学生亲自 感知体验知识的 形成过程.
·
A
·
l C
B′
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逻辑证明，检验发现
证明：在直线l上任取一 点C'（与点C不重合）， 连接AC'，BC'，B'C'. 由轴对称的性质知， BC=B’C，BC'=B'C'. ∴AC+BC=AC+B'C =AB', AC'+BC'=AC'+B'C'. 在△AB'C'中， AB'<AC'+B'C'. ∴AC+BC< AC'+BC'. 即AC+BC最短.
巩固新知，学以致用
如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂 向A村与B村供水．
(1)若要使厂部到A，B村的 距离相等，则应选择在哪 建厂？ (2)若要使厂部到A，B两村 的水管最短，应建在什么 地方？
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课堂小结，布置作业
数学问题建立模型
作业：
不同问题划归思想
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解决生产、经营 中为省时省力而希望 寻求最短路径的数学 问题，由于所给的条 件的不同，解决方法 和策略上又有所差别， 初中数学中路径最短 问题，体现了数学来 源于生活，并且数学 解决现实生活问题的 数学应用
中考数学疑难问题教学设计——线段之和最短
中考数学疑难问题教学设计——线段之和最短一、课题分析最短路径问题是中考热点问题之一，也是学生的一大难点。
本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的探讨，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．主要是运用数形结合思想，综合轴对称、线段的性质和勾股定理以及一些常见的轴对称图形的性质解决线段之和最短问题，该问题的解决为我们提供了一种解题的思路和线索，构建模型，触类旁通，由此产生了一系列问题的解题思路.使学生在操作活动的过程中感受知识的自然呈现，体验数学的神秘与乐趣.二、教学目标（一）知识与技能：1.以将军饮马为情境问题，引出两种最短线路的模型，理解并会利用“两点之间线段最短”和“三角形任意两边之和大于第三边”原理解决问题；2.通过三角形、四边形、圆、立体图形及函数题的训练，让学生能利用转化思想，将问题抽象出两点一线，并利用模型解决问题.（二）过程与方法：培养学生的探究、归纳、分析、解决问题的能力.（三）情感与态度：进一步培养探究心理，体会数学知识在生活中的应用.三、教学重难点教学重点:利用“两点一线”模型解决数学中的实际问题.教学难点：模型中，两点在线异侧，利用“三角形任意两边之和大于第三边”这一原理作图；具体问题中，判断是否为两点一线问题，并利用模型作图，根据实际条件解决问题.四、教学关键运用数形结合的思想，特别是从轴对称和线段的性质入手，获得求线段之和最短问题的直观形象，形成模型，以便准确理解本节课的内容，实现多题通解.五、教学策略利用教学资源，通过创设具有启发性的、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰富、思维积极的状态中进行探究学习，组织好合作学习，并对合作过程进行引导，使学生朝着有利于知识建构的方向发展.六、学法指导：自主学习，小组合作、交流探究七、教学过程：环节师生活动设计意图创设情景相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能用所学的知识解决这个问题吗？BAl【学生活动】学生思考教师展示问题，并观察图片获得感性认识.以故事的方式，引出问题，激发学生的学习兴趣及探索欲望.知识回顾1. 两点之间线段最短; 2.轴对称的性质,如何作轴对称;3.勾股定理;4.三角形任意两边之和大于第三边.【学生活动】在教师的引导下回顾旧知识.为本节课的学习扫清知识障碍.合作交流1.如图，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A、B 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？活动(1)：观察思考，如何抽象为数学问题？【师生活动】学生思考，教师引导学生将A，B 两地抽象为两个点 ,将河抽象为一条直线l ，从而总结得到：两点之间线段最短。
等腰三角形、最短路径问题教案(横版)
考点/易错点 3 等腰三角形的判定： 1. 判定等腰三角形的方法有两个： （1）定义法； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 。 ∵∠B＝∠C， ∴AB＝AC。
注意： （1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆。判定定理得到的结论为三角形是等腰 三角形，性质定理得到的结论是两个底角相等。
【答案】 （1）连接 BB’，由折叠可知，EF 是线段 BC 的对称轴， ∴BB'＝B'C，又 BC＝B'C， ∴BB'＝B'C＝ BC，
∴△B’ BC 是等边三角形， ∴∠BCB'＝60° （2）根据题意，GC 平分∠BCB'， 1 ∴∠GCB＝∠GCB'＝2 ∠BCB'＝30°， ∴∠GCC'＝∠BCD－∠BCG＝60°， 由折叠知，GH 是线段 CC'的对称轴， ∴GC'＝ GC ∴△GCC'是等边三角形（有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形） 。 【解析】第（1）小问，虽然翻折的是△BCG，但是若能发现 FB’是△BB’C 的垂直平分线，这道题就 能很简单地做出来了， 连接 BB ， 证明 BB'＝B'C＝ BC， 即可得出△ B BC 是等边三角形， 所以∠BCB'＝60°。 1 第 （2） 小问， 利用第 （1） 问结论求出∠GCB＝∠GCB'＝2 ∠BCB'＝30°， 得出∠GCC'＝∠BCD－∠BCG＝60°， 然后继续利用垂直平分线性质，证出 GC'＝GC，最终证明出△GCC'是等边三角形。
【例题 5】 【题干】 （江苏徐州中考）如图，将矩形纸片 ABCD 按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕 EF （如图①） ；沿 GC 折叠，使点 B 落在 EF 上的点 B 处（如图②） ；展平，得折痕 GC（如图③） ；沿 GH 折 叠，使点 C 落在 DH 上的点 C 处（如图④） ；沿 GC 折叠（如图⑤） ；展平，得折痕 GC 、GH（如图⑥） 。 （1）求图②中∠BCB’的大小； （2）图⑥中的△GCC ’是正三角形吗？请说明理由。
人教版中考专项复习----最短路径
跟踪练习
通常在题目已知的两个定点中，先
1.如图，等边△ABC找点中原，，图若A中有B是，=否直2，存接点在连已接E是知即定可AB点。的的中对称点， AD是高，P为AD上一点，则（先BP找+后P作E的）最小值等
于 3．
步骤：
1.抽象模型 2.作或者找对称点 3.连线段定交点 4.求线段长度
2.如图所示，正方形ABCD的面积为16， △ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内， 在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小， 则这个最小值为（ B ）
A.2
B.4
C.6
D.8
3.已知菱形ABCD的周长为20，M、N分别是 边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点， 则PM+PN的最小值=___5___．
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
直击考点
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为 x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点， 与x轴交于另一点B.
图1
图2
图3
问题2：我如们图通2常所利示用，轴Ａ对、称Ｂ、两平点移为等植变树换地把点不，在L为 水渠，一将条取直水线口上C的设两在条L上线何段处转，化才到能一使条铺直设线的上水，管 总和A从C+而B作C最出短最？短路径的方法来解决问题．
初中数学八年级上册《最短路径问题》教案、教学设计
初中数学八年级上册《最短路径问题》教案、教学设计模板一、教学目标1.目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想。
2.能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。
重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题。
难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。
二、教学过程教学内容与教师活动学生活动设计意图一、创设情景引入课题师：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．。
（板书）课题学生思考教师展示问题，并观察图片，获得感性认识。
从生活中问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望。
二、自主探究合作交流建构新知追问1：观察思考，抽象为数学问题这是一个实际问题，你打算首先做什么？活动1：思考画图、得出数学问题将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．动手画直线为学生提供参与数学活动的生活情境，培养学生的把生活问题转化为数学问题的追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识：（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）。
观察口答动手连线观察口答独立思考合作交流能力.经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.达到轴对称知识的学以致用lAB ′CB强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”活动2：尝试解决数学问题问题2：如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？追问1你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B ′吗？B。
中考专题复习最短路径问题
B CD AL图(3)C中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。
（构建“对称模型”实现转化） 三、例题：例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是 。
②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。
②如图，直线L 同侧有两点A 、B ，已知A 、B 到直线L 的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L 上找一个点P ，使PA+PB 的和最小。
请在图中找出点P 的位置，并计算PA+PB 的最小值。
③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km 和3Km ，张村与李庄的水平距离为3Km ，则所用水管最短长度为 。
四、练习题（巩固提高）（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
2、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。
3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。
4、正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN＋MN 的最小值第2题张村李庄ABB第1题第3题图(2)为。
第4题第5题第6题第7题5、在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为。
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中考专题复习最短路径问题教案
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中考专题复习——路径最短问题
课题：
中考中的最短路径问题
教学目标：
1、利用“垂线段最短”原理确定最短路径
2、利用“两点之间，线段最短”原理确定最短路径
3、让学生学会把立体图形展开平面图形确定最短路径
4、让学生熟悉构建“对称模型”确定最短路径
二教学重点与难点
重点：
1、利用“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”原理确定最短路径
2、 把立体图形转化平面图形之后确定最短路径
3、构建“对称模型”确定最短路径
难点：
把立体图形转化平面图形及利用对称性确定最短路径
三、教学过程
知识回顾：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”。“饮马问题”，“造桥选
址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、圆、坐标
轴、抛物线等。
利用“垂线段最短”原理确定最短路径
1、平面图形
例题1： 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，
若PA=2，则PQ的最小值为_____________
2、立体图形（展开成平面图形）
例题2：如图，圆锥的底面半径为1，母线长为6，一只蚂蚁要从底面圆周上一点
B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线
是多少？
二、利用“两点之间，线段最短”原理确定最短路径
1：立体图形（展开成平面图形）
例题3：如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点
A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
练习（1）已知圆柱的轴截面ACBD,底面直径AC=6, 高为12cm，今有一蚂蚁
沿圆柱侧面从A点爬到B点觅食， 问它爬过的最短距离应是____________
（2） 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，
绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是 ___________ .
2：平面图形（建立“对称模型”）
要在街道旁边修建一个奶站,向居民区A,B提供牛奶,奶站应建 在什么地
方,才能使从A,B到它的距离和最短?
例题4:如图，正方形的边长为2，E为AB的中点，P是BD上一动点．连结AP、
EP ，则AP+EP的最小值是_______；
。
A
B
C
D
A
B
C
A
B
B
C
A
中考专题复习最短路径问题教案
2 / 2
图(2)
E
B
D
A
C
P
图(3)
D
B
A
O
C
P
例题5：如图，抛物线y＝12x2＋bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，
且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．
课堂小结：本节课主要复习了中考当中可能出现的几种最短路径问题，希望学生
通过课后作业，进一步复习巩固这个知识点。
作业：
1. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈
到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 _______________
第2题 第3题 第4题
2、在菱形ABCD中，AB=2， ∠BAD=60°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最
小值为 。
3、如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最
小值为____ ___。
4、AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在AC上，AD = 2CD，点P是半径OC上的一
个动点，则AP+PD的最小值为____ ___。
5、已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P点存在，
求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．
⌒ ⌒ ⌒
y
x
B
C
O
D
A
y
x
D
C
O
第1题