2017-2018学年高中数学人教B版必修4教学案：第一章 1.2 任意角的三角函数

1．2.1 三角函数的定义 预习课本P14～17，思考并完成以下问题 (1)任意角的三角函数的定义是什么？

(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？ (3)如何求三角函数的定义域？

(4)如何判断三角函数值在各象限内的符号？ [新知初探] 1．三角函数的定义

(1)前提准备：①以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，如图所示． ②设角α的终边上任一点P(x，y)，OP＝r(r≠0)． (2)定义：

①余弦函数：xr叫做角α的余弦，记作cos α，即cos α＝xr.

②正弦函数：yr叫做角α的正弦，记作sin α，即sin α＝yr. ③正切函数：yx叫做角α的正切，记作tan α，即tan α＝yx. ④正割函数：角α的正割sec α＝1cos α＝rx. ⑤余割函数：角α的余割csc α＝1sin α＝ry. ⑥余切函数：角α的余切cot α＝1tan α＝xy. [点睛] 三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为 函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定． 2．正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域 三角函数 定义域 sin α R

cos α R

tan α α α≠kπ＋π2，k∈Z

3．三角函数值的符号 如图所示：

正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角函数也是函数，它们都是以角为自变量的，以比值为函数值的函数．( ) (2)若sin α＝sin β，则α＝β.( ) (3)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ 2．若sin α<0，tan α>0，则α在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C

3．已知角α的终边与圆x2＋y2＝1的交点P55，－255，则sin α＋cos α＝( )

A.55 B．－55 C.255 D．－255 答案：B 4．sinπ3＝________，cos3π4＝________. 答案：32 －22

三角函数的定义及应用 [典例] 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值． [解] r＝ －4a2＋3a2

＝5|a|.

若a＞0，则r＝5a，故sin α＝yr＝3a5a＝35，cos α＝xr＝－4a5a＝－45，tan α＝yx＝3a－4a＝－34. 若a＜0，则r＝－5a.同理可得sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.

利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： 法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．

法二：在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝yr，cos α

＝xr.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便． (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． [活学活用] 1．如果α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α的值等于( ) A.12 B．－12

C．－32 D．－33 解析：选C 由题意知P(1，－3)， 所以r＝ 12＋－32＝2， 所以sin α＝－32. 2．已知角α的终边落在直线3x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α，sec α，csc α，cot α的值． 解：直线3x＋y＝0，即y＝－3x，则直线通过第二和第四象限． ①在第二象限内取直线上的点(－1，3)， 则r＝－12＋32＝2， 所以sin α＝32，则csc α＝23＝233； cos α＝－12，则sec α＝－2； tan α＝－3，则cot α＝－33. ②在第四象限内取直线上的点(1，－3)，则r＝12＋－32＝2， 所以sin α＝－32，则csc α＝－233； cos α＝12，则sec α＝2； tan α＝－3，则cot α＝－33. 三角函数值符号的运用

[典例] (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

(2)设α是第三象限角，且cosα2＝－cosα2，则α2所在象限是( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [解析] (1)由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半

轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限． (2)∵α是第三象限角，

∴2kπ＋π

∴kπ＋π2∴α2在第二、四象限． 又∵cos α2＝－cos α2，∴cos α2<0. ∴α2在第二象限． [答案] (1)D (2)B

对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理． [活学活用] 1．设△ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是( ) A．tan A与cos B B．cos B与sin C

C．sin C与tan A D．tanA2与sin C

解析：选D ∵0＜A＜π，∴0＜A2＜π2，∴tanA2＞0； 又∵0＜C＜π，∴sin C＞0. 2．若角α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在第________象限． 解析：∵α为第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0. ∴P(sin α，cos α)位于第四象限． 答案：四 求三角函数的定义域

[典例] 求函数f(x)＝sin x＋lg cos xtan x的定义域．

[解] 要使f(x)有意义，

则 sin x≥0，cos x＞0，tan x≠0，x≠kπ＋π2，k∈Z，

所以 2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，2kπ－π2＜x＜2kπ＋π2，k∈Z，x≠kπ＋π2，x≠kπ，k∈Z. 解得：2kπ＜x＜2kπ＋π2，k∈Z. 所以原函数的定义域为x 2kπ＜x＜2kπ＋π2，k∈Z. 求三角函数定义域的方法 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得．对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制． (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以用取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集． [活学活用] 求下列函数的定义域：

(1)y＝sin x＋cos xtan x； (2)y＝cos x＋－tan x. 解：(1)要使函数式有意义，需tan x≠0，解得x≠kπ(k∈Z)．

要使tan x有意义，需x≠kπ＋π2(k∈Z)，解得x≠kπ2(k∈Z)．

所以函数的定义域为x x≠kπ2，k∈Z.

(2)由题意得 cos x≥0，－tan x≥0.x≠π2＋kπ，k∈Z， 由cos x≥0得x的终边在y轴上，或第一象限，或第四象限，或在x轴非负半轴上． 由－tan x≥0，得tan x≤0，则角x的终边在第二象限，或第四象限，或在x轴上． 综上，角x的终边在第四象限或x轴非负半轴上．

所以函数的定义域为x －π2＋2kπ＜x≤2kπ，k∈Z.

层级一 学业水平达标 1．若α＝2π3，则α的终边与圆x2＋y2＝1的交点P的坐标是( )

A.12，32 B.－12，32 C.－32，12 D.12，－32 解析：选B 设P(x，y)，∵角α＝2π3在第二象限， ∴x＝－12，y＝ 1－－122＝32，∴P－12，32. 2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α等于( ) A．1 B．－1

C.22 D．－22 解析：选C ∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r＝12＋－12＝2，∴cos α＝xr＝12＝22. 3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都可能 解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)， ∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角． 4．代数式sin 120°cos 210°的值为( )

A．－34 B.34 C．－32 D.14 解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝32， cos 210°＝－32，∴sin 120°cos 210°＝32×－32＝－34，故选A. 5．若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α等于( ) A．±15 B．±55 C．±255 D．±12 解析：选C 在α的终边上任取一点(－1,2)，则r＝1＋4＝5，所以sin α＝yr＝25＝255.或者取P(1，－2)，则r＝1＋4＝5，所以sin α＝yr＝－25＝－255.

6．计算：tan π6＝________，cscπ6＝________. 解析：∵α＝π6，在α的终边上取一点P(3a，a)，