【金榜题名】高考数学一轮复习 考点突击 专题 1.2 命题及其关系、充要条件(精讲)
2020年高考数学(文)一轮复习讲练测专题1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件(讲) 含解析
专题1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念。
2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义。
知识点一命题及其关系1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．知识点二充分条件与必要条件1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件p⇒q且q⇏pp⇏q且q⇒pp⇔qp⇏q且q⇏p.【特别提醒】若条件 p ，q 以集合的形式出现，即 A ＝{x|p (x)}，B ＝{x|q (x)}，则由 A ⊆B 可得，p 是 q 的充分条件，请写出集合 A ，B 的其他关系对应的条件 p ，q 的关系．提示 若 A B ，则 p 是 q 的充分不必要条件；若 A ⊇B ，则 p 是 q 的必要条件；若 A B ，则 p 是 q 的必要不充分条件；若 A ＝B ，则 p 是 q 的充要条件；若 A ⊈B 且 A ⊉B ，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件．考点一命题及其关系【典例 1】 (2018·北京卷)能说明“若 f(x)>f(0)对任意的 x ∈(0，2]都成立，则 f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________________________________________________________。
⎧⎪0，x ＝0，【答案】f(x)＝sin x ，x ∈[0，2](答案不唯一 ，再如 f(x)＝⎨1 )⎪⎩x ，0<x ≤2【解析】根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且 f(x)min ＝f(0).【规律方法】1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若 p ，则 q ”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.2.(1)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例 (2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.【变式 1】 （2019·河北衡水第一中学模拟）命题“若 a ，b ，c 成等比数列，则 b 2＝ac ”的逆否命题是()A.“若 a ，b ，c 成等比数列，则 b 2≠ac ”B.“若 a ，b ，c 不成等比数列，则 b 2≠ac ”C.“若 b 2＝ac ，则 a ，b ，c 成等比数列”D.“若 b 2≠ac ，则 a ，b ，c 不成等比数列”【解析】命题“若 a ，b ，c 成等比数列，则 b 2＝ac ”的逆否命题是“若 b 2≠ac ，则 a ，b ，c 不成等比数列”.【答案】D考点二充分条件与必要条件的判定【典例 2】【2019 年高考北京文数】设函数 f （x ）=cosx +b sinx （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函.数”的A ．充分而不必要条件C ．充分必要条件B ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当 b = 0 时， f ( x) = cos x + b sin x = cos x ， f ( x) 为偶函数；当 f ( x) 为偶函数时， f (- x) = f ( x) 对任意的 x 恒成立，由 f (- x) = cos(- x) + b sin(- x) = cos x - b sin x ，得 cos x + b sin x = cos x - b sin x ，则 b sinx = 0 对任意的 x 恒成立，从而 b = 0 .故“ b = 0 ”是“ f (x) 为偶函数”的充分必要条件.故选 C.【规律方法】充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据 p ⇒q ，q ⇒p 进行判断.(2)集合法：根据使 p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方 法特别适合以否定形式给出的问题.【变式 2】【2019 年高考天津文数】设 x ∈ R ，则“ 0 < x < 5 ”是“ | x - 1| < 1”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由 | x - 1| < 1 可得 0 < x < 2 ，易知由 0 < x < 5 推不出 0 < x < 2 ，由 0 < x < 2 能推出 0 < x < 5 ，故 0 < x < 5 是 0 < x < 2 的必要而不充分条件，即“ 0 < x < 5 ”是“ | x - 1| < 1”的必要而不充分条件.故选 B.又∵a <0，∴a ≤－4 或－ ≤a <0，－ ，0 .即实数 a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣ 3 ⎭可知 A2B ，∴－或－，即－或－⎩ . 考点三 充分条件、必要条件的应用【典例 3】（2019·江苏泰州中学月考）已知 P ＝{x|x 2－8x －20≤0}，非空集合 S ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m }.若 x ∈P是 x ∈S 的必要条件，求实数 m 的取值范围.【解析】由 x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x|－2≤x ≤10}.∵x ∈P 是 x ∈S 的必要条件，则 S P .⎧⎪1－m ≥－2， ∴⎨ 解得 m ≤3.⎪1＋m ≤10，又∵S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得 m ≥0.综上，m 的取值范围是[0，3].【方法技巧】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上 解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.【变式 3】（2019·山东济南模拟） 设 p ：实数 x 满足 x 2－4ax ＋3a 2<0，a ∈R ；q ：实数 x 满足 x 2－x －6≤0或 x 2＋2x －8>0.若 a <0 且 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围.【解析】由 p 得(x －3a)(x －a)<0，当 a <0 时，3a <x <a.由 q 得 x 2－x －6≤0 或 x 2＋2x －8>0，则－2≤x ≤3 或 x <－4 或 x >2，则 x <－4 或 x ≥－2.设 p ：A ＝(3a ，a)，q ：B ＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，又 p 是 q 的充分不必要条件.323⎡ 2 ⎫。
【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 1.2 命题及其关系、充要条件名师课件
解析
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答案
考点一
考点二
考点三
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������对点练习 2������直线 l1∥l2 的一个充分条件是( )
A.l1∥平面 α,l2∥平面 α B.直线 l1⊥直线 l3,直线 l2⊥直线 l3 C.l1 平行于 l2 所在的平面 D.l1⊥平面 α,l2⊥平面 α
关闭
平行于同一平面的两条直线有三种位置关系,故 A 错;B 选项中,l1,l2 可能相交、平行或异 面;C 选项中,l1,l2 可能平行或异面,故 C 错误;由 l1⊥平面 α,l2⊥平面 α,可推出直线 l1∥l2,因此 D
3.掌握原命题和逆否命题、否命题和逆命题的等价性,当一个命题直接 判断真假性不容易进行时,可以转而判断其逆否命题的真假.
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考点一
考点二
考点三
考点二充分条件、必要条件的判断
设 U 为全集,A,B 是集合,则“存在集合 C 使得 A⊆C,B⊆∁UC”是 “A∩B=⌀ ”的( )
A.充分不必要条件
B
关闭 关闭
解析 答案
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知识梳理
双击自测
12345
4.(2014 北京,文 5 改编)设 a,b 是实数,则“a>b”是“a2>b2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
当 a=0,b=-1 时,a>b 成立,
但 a2=0,b2=1,a2>b2 不成立,所以“a>b”不是“a2>b2”的充分条件.
面,“若 p,则 q”命题为真,则它的否定一定为假,但它的否命题可真可假. 2.由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而当判断一个
高考数学一轮总复习 第一章 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件
思维升华
(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题 需举出反例即可. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真
师生共研
题型二 充分、必要条件的判定
(2)设n∈N*，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条 解析 由Δ＝16－4n≥0，得n≤4， 又n∈N*，则n＝1,2,3,4. 当n＝1,2时，方程没有整数根； 当n＝3时，方程有整数根1,3， 当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.
核心素养之逻辑推理
HEXINSUYANGZHILUOJITUILI
(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的
√A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.
所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，
所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.
思维升华
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10} 由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
1－m≤1＋m， 则1－m≥－2， ∴0≤m≤3.
1＋m≤10，
引申探究
若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条 解 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的 充分 条件，q是p的 必要 条
p是q的 充分不必要 条件
高考数学一轮复习 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 理
3．有下列几个命题： (1)“若 a>b，则1a>1b”的否命题； (2)“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题； (3)“若|x|<4，则－4<x<4”的逆否命题． 其中真命题的序号是________． 解析：(1)原命题的否命题为“若 a≤b，则1a≤1b”，假命题； (2)原命题的逆命题为“若 x，y 互为相反数，则 x＋y＝0”， 真命题；(3)原命题为真命题，故逆否命题为真命题． 答案：(2)(3)
12/11/2021
研透高考·深化提能 [全析考法]
考法一 充分条件与必要条件的判断
[例 1] (1)(2018·北京高考)设 a，b，c，d 是非零实数，则
“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的
()
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
12/11/2021
[解析] a，b，c，d 是非零实数，若 a<0，d<0，b>0， c>0，且 ad＝bc，则 a，b，c，d 不成等比数列(可以假设 a＝ －2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若 a，b，c，d 成等比数列，则 由等比数列的性质可知 ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c， d 成等比数列”的必要而不充分条件．
[方法技巧] 四种命题的关系及真假判断
(1)判断关系时，先分清命题的条件与结论，再分析每个命 题的条件与结论之间的关系，注意四种命题间关系的相对性．
(2)命题真假的判断方法 ①直接判断法：若判断一个命题为真，需经过严格的推 理证明；若说明为假，只需举一反例． ②间接判断法：转化成等价命题，再判断．
要不充分条件，所以 m＋1≥10，解得 m≥9.故选 D. [答案] D
高考数学一轮复习讲练测(浙江版)：专题1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件(讲)答案解析
【课前小测摸底细】1. 【课本典型习题】【选修1-1， P5练习第2题改编】 命题“若a b <，则a c b c +<+”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D【解析】逆命题：“若a c b c +<+，则a b <”；否命题：“若a b ≥，则a c b c +≥+”； 逆否命题：“若a c b c +≥+，则a b ≥”；原命题、逆命题、否命题和逆否命题都是真命题． 2. 【2016年第二次全国大联考【浙江卷】理】下列说法正确的是（ ） A .“29a >”是“3a >”的充分不必要条件 B .“0x R ∃∈，使得002sin sin x x +>2,sin sin x R x x ∀∈+<” C .若A B ∧是假命题，则A B ∨是假命题D .“若0a <，则20x ax a ++<有解”的否命题为“若0a ≥，则20x ax a ++<无解” 【命题意图】本题主要考查常用逻辑用语的各类形式及其真假判断，属于容易题 【答案】D3. 【2016年4月冲刺卷考【浙江卷】理科】已知,a b 为实数，命题甲：2ab b >，命题乙：110b a<<，则甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由2ab b >可得()0a b b ->，所以当0b >时，a b >；当0b <时，a b <.所以命题甲：0a b >>或0a b <<.由110b a<<可得0a b <<.所以甲是乙的必要不充分条件.故选B .4.【基础经典试题】有下列四个命题（1）若“1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若1m ≤，则220x x m -+=有实数解”的逆否命题；（4）“若A B=B ，则A B ⊆”的逆否命题。
高考数学一轮复习定时检测 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件(带详细解析) 理 新人教A版
高考数学一轮复习定时检测 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件（带详细解析） 理 新人教A 版一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．(2008·湖北理，2)若非空集合A 、B 、C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则下列说法 中正确的是________(填序号)．①“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件②“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件③“x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件④“x ∈C ”既不是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”的必要条件解析 由题意知，A 、B 、C 的关系用图来表示．若x ∈C ，不一定有x ∈A ，而x ∈A ，则必有x ∈C ，因此“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件．答案 ②2．(2009·重庆改编)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 ________________．解析 原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．答案 若一个数的平方是正数，则它是负数3．(2009·苏州调研)命题“若a >b ，则ac 2>bc 2 (a ，b ∈R )”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________个．解析 若a >b ，c 2＝0，则ac 2＝bc 2.∴原命题为假．若ac 2>bc 2，则c 2≠0且c 2>0，则a >b .∴逆命题为真．又∵逆命题与否命题等价，∴否命题也为真．又∵逆否命题与原命题等价，∴逆否命题为假．答案 24．(2009·天津改编)设x ∈R ，则“x ＝1”是“x 3＝x ”的____________条件．解析 当x ＝1时，x 3＝x 成立．若x 3＝x ，x (x 2－1)＝0，得x ＝－1,0,1；不一定得到x ＝1.答案 充分不必要5．(2010·徐州模拟)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是__________________．解析 命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，∴a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a 4≤3，∴a ≥－12. p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则命题p 和q 一真一假．∴实数a 的取值范围为(－4,4)∪(－∞，－12)．答案 (－4,4)∪(－∞，－12)6．(2009·安徽改编)“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的____________条件． 解析 由于a >b ，且c >d ⇒a ＋c >b ＋d ，而a ＋c >b ＋dD ⇒/a >b 且c >d ，所以“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件．答案 必要不充分7．(2010·青岛模拟)“a <0”是方程“ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的____________条件．解析 当a <0时，Δ＝4－4a >0，由韦达定理知x 1·x 2＝1a<0，故此一元二次方程有一个正根和一个负根，符合题意；当ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根时，a 可以为0，因为当a＝0时，该方程仅有一根为－12，所以a 不一定小于0.由上述推理可知，“a <0”是方程“ax 2 ＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．答案 充分不必要8．(2009·广东汕头二模)已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0.若命题“p 或q ”是假命题，则a 的取值范围是______________________.解析 由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0，显然a ≠0，∴x ＝－2a 或x ＝1a. ∵x ∈[－1,1]，故|－2a |≤1或|1a|≤1， ∴|a |≥1.只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≥1或a ＝0.∵命题“p 或q ”为假命题，∴a 的取值范围为{a |－1<a <0或0<a <1}．答案 －1<a <0或0<a <19．(2010·山东聊城模拟)设f (x )＝x 3＋log 3(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a 、b ，“a ＋b ≥0”是“f (a )＋f (b )≥0”的__________条件．解析 显然f (x )＝x 3＋log 3(x ＋x 2＋1)为奇函数，且单调递增．于是若a ＋b ≥0，则a ≥－b ，有f (a )≥f (－b )，即f (a )≥－f (b )，从而有f (a )＋f (b )≥0.反之，若f (a )＋f (b )≥0，则f (a )≥－f (b )＝f (－b )，则a ≥－b ，即a ＋b ≥0.故为充要条件．答案 充要二、解答题(本大题共3小题，共46分)10．(14分)(2010·镇江模拟)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．(1)当c <0时，若ac >bc ，则a <b ；(2)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0.解 (1)逆命题 当c <0时，若a <b ，则ac >bc 真命题否命题 当c <0时，若ac ≤bc ，则a ≥b 真命题逆否命题 当c <0时，若a ≥b ，则ac ≤bc 真命题．(2)逆命题 若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0真命题否命题 若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0真命题逆否命题 若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0真命题．11．(16分)(2009·江苏省华罗庚中学第一次教学质量检测)已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x＋1)在(0，＋∞)上单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．如果p且q 为假命题，p 或q 为真命题，求a 的取值范围．解 若p 为真，则0<a <1.若q 为真，则Δ>0即(2a －3)2－4>0解得a <12或a >52. ∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p 与q 中有且只有一个为真命题．(a >0且a ≠1)(1)⎩⎪⎨⎪⎧p 真q 假⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <112≤a <1或1<a ≤52⇒12≤a <1 (2)⎩⎪⎨⎪⎧ p 假q 真⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >10<a <12或a >52⇒a >52综上所述，a 的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞)． 12．(16分)(2009·江苏省徐州六县一区联考)已知m ∈R ，设p ：不等式|m 2－5m －3|≥3；q ：函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋43)x ＋6在(－∞，＋∞)上有极值．求使p 且q 为真命题的m 的取值范围．解 由已知不等式得m 2－5m －3≤－3①或m 2－5m －3≥3②不等式①的解为0≤m ≤5；不等式②的解为m ≤－1或m ≥6.所以，当m ≤－1或0≤m ≤5或m ≥6时，p 为真命题．对函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋43)x ＋6求导得， f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋43， 令f ′(x )＝0，即3x 2＋2mx ＋m ＋43＝0， 当且仅当Δ>0时，函数f (x )在(－∞，＋∞)上有极值．由Δ＝4m 2－12m －16>0得m <－1或m >4，所以，当m <－1或m >4时，q 为真命题．综上所述，使p 且q 为真命题时，实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4,5]∪[6，＋∞)．。
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【金榜题名】2014届高考数学一轮复习 考点突击 专题 1.2 命题及
其关系、充要条件（精讲）
【母题再现】
题型介绍：
充要条件的判定以及应用是十年高考的重点，其考查内容广泛，考查难度不大，近年来一直
是各省市质检、高考亲睐的对象，也是考生得分突破的关键点，一般在选择填空中出现.常
用的处理充要条件判定的方法有三种，请看下面的高考题.
高考选题：
1、【2013全国高考山东卷数学（文）】
给定两个命题p，q,若p是q的必要而不充分条件，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2、【2013全国高考安徽卷数学（理）】
”“0a
“是函数1fxaxx在区间,0内单调递增”的（ ）
（A） 充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C） 充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】C；
【解析】21fxaxxaxx，令20,axx解得1210,xxa
解题技巧：
充分条件、必要条件的判断方法一般有三种；
1、定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“
p
⇒q”为真，则p是q的充分条件．
2、等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系，
对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3、集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要
条件．
【考点揭秘】
高频考点1：命题的关系及真假的判定
【经典例题1】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定，并判断它们
的真假：
（1）若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
（2）若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；
（3）若xy＝0，则x＝0或y＝0；
（4）若x2＋y2＝0，则x、y全为0.
【名师点评】1、当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不
动；
2、判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然
后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断
其逆否命题的真假
【举一反三】以下关于命题的说法正确的有_______ (填写所有正确命题的序号)．
①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．
高频考点2：充分条件与必要条件的判定
【典型例题2】指出下列各组命题中，p是q的什么条件？
（1）p：a＋b＝2，q：直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切；
（2）p：|x|＝x，q：x2＋x≥0；
（3）设l，m均为直线，α为平面，其中l⊄α，m⊂α，p：l∥α，q：l∥m；
（4）设α∈(－π2，π2)，β∈(－π2，π2)，p：α＜β，q：tan α＜tan β.
【点评】从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围．
【举一反三】】指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条
件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sinA＝sinB；
(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；
(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；
(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
高频考点3：充分条件与必要条件的应用
【经典例题3】已知20:100xpx，:11qmxm,若pq是的必要不充分条件，
求实数m的取值范围.
【举一反三】设p:2x2-3x+1≤0,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0，若p是q的必要不充分条件，
求实数a的取值范围.
【解析】p为：{x|12≤x≤1},q为： {x|a≤x≤a+1}，
p对应的集合A={x|x＞1或x＜12},
q对应的集合B={x|x＞a+1或x＜a},
∵p是q的必要不充分条件，∴BA，∴a+1>1且a≤12或a+1≥1且a<12.∴0≤a≤12.
高频考点4：充要条件的证明
【经典例题4】求证关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1.
【举一反三】求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
【名师小结】
①一个区别：
否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命
题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反
证法．
②两条规律：
(1)逆命题与否命题互为逆否命题；
(2)互为逆否命题的两个命题同真假．
③三种方法：
充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p
⇒q”为真，则p是q的充分条件．
(2)等价法：利用p⇒q与q⇒p，q⇒p与p⇒q，p⇔q与q⇔p的等价关系，对
于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要
条件．