FDTD
FDTD网络并行计算及ADI-FDTD方法研究
FDTD网络并行计算及ADI-FDTD方法研究FDTD网络并行计算及ADI-FDTD方法研究引言：随着电磁场仿真领域的快速发展，传统的有限差分时域（FDTD）方法在计算速度和存储资源方面逐渐受到限制。
为了解决这些问题，研究者们开展了FDTD网络并行计算及ADI-FDTD方法研究，旨在提高计算速度和减少存储资源占用。
本文将探讨FDTD网络并行计算的基本原理、算法设计和实现过程，以及ADI-FDTD方法的应用和效果分析。
一、FDTD网络并行计算的基本原理FDTD网络并行计算是基于并行计算技术对FDTD算法进行加速的一种方法。
它通过将电磁场仿真问题划分成多个子域，并使用多个计算节点同时计算各个子域的电磁场分布，从而提高计算效率。
FDTD网络并行计算的基本原理包括任务划分、进程间通信和结果汇总三个方面。
1. 任务划分任务划分是将整个电磁场仿真问题划分成多个子域的过程。
划分的原则是使每个子域尽可能均匀分布计算量，且保持与原始问题的边界条件和物理特性相一致。
2. 进程间通信进程间通信是各个计算节点之间交换信息的过程。
在FDTD网络并行计算中，各个计算节点需要交换与边界相邻的电磁场分布信息，以保持边界条件的准确性。
3. 结果汇总结果汇总是将各个计算节点计算得到的电磁场分布结果进行合并的过程。
通常采用串行方式或并行归约方式，将各个计算节点的结果进行累加得到最终的电磁场分布结果。
二、FDTD网络并行计算的算法设计与实现FDTD网络并行计算的算法设计主要包括数据划分、任务调度和进程间通信等方面。
实现过程中需要权衡计算负载的均衡性和通信开销的减小，以提高整体计算效率。
1. 数据划分数据划分是将整个电磁场分布划分成多个小区域的过程。
通过将区域划分成多个均匀的网格单元，将计算任务分配给各个计算节点来实现并行计算。
一般通过选择适当的数据划分策略来保证计算负载的均衡性。
2. 任务调度任务调度是指将划分好的任务分配给各个计算节点进行计算的过程。
fdtd计算耦合系数
fdtd计算耦合系数一、简介FDTD（时域有限时方法）是一种广泛应用于电磁场和热传导等问题的数值计算方法。
耦合系数是描述两个或多个系统之间相互作用的重要参数，在许多工程和科学领域都有应用。
本章节将介绍如何使用FDTD方法计算耦合系数。
二、问题描述给定一组电磁场数据，我们需要通过FDTD方法计算两个系统之间的耦合系数。
假设系统A和系统B分别产生电磁场E和H，耦合系数描述了系统A的电磁场如何影响系统B，以及系统B的电磁场如何影响系统A。
三、算法步骤1.初始化：设置FDTD计算区域，定义系统A和系统B的初始场分布。
2.迭代计算：使用FDTD算法对每个系统进行迭代计算，直到达到预设的收敛条件。
3.耦合系数计算：通过分析系统A和系统B的电磁场数据，计算耦合系数。
通常，耦合系数可以通过测量两个系统中电磁场的相互作用强度和相位差来获得。
四、代码实现以下是一个简单的FDTD计算耦合系数的Python代码示例：```pythonimportnumpyasnpimportfdtd#定义计算区域和网格参数grid=fdtd.Grid(nx=100,ny=100,nz=100)#定义系统A和系统B的初始场分布E_a=np.zeros((grid.Nx,grid.Ny,))H_a=np.zeros((grid.Nx,grid.Ny,))E_b=np.zeros((grid.Nx,grid.Ny,))H_b=np.zeros((grid.Nx,grid.Ny,))#进行FDTD计算fdtd.solve(grid,E_a,H_a,E_b,H_b)k=np.sqrt(E_a**2+H_a**2)/(E_b**2+H_b**2)c=np.sqrt(E_a**2+H_a**2)/(E_b**2-H_b**2)```五、注意事项1.FDTD算法的收敛性依赖于网格参数和初始条件的选取，需要进行适当的参数调整和实验验证。
2.耦合系数的计算结果可能受到计算区域大小、电磁场数值稳定性和测量误差等因素的影响，需要进行适当的误差分析和验证。
fdtd圆偏光的透射率
fdtd圆偏光的透射率圆偏光作为一种重要的光学现象，其在材料中的传播与透射过程一直备受关注。
圆偏光是指电磁波中电场矢量的振动方向绕着光传播方向旋转的光线。
在实际应用中，圆偏光的透射率是一个关键参数，直接影响着材料在偏振光学器件中的性能。
因此，对于圆偏光的透射率进行深入研究具有重要的理论意义和实际应用价值。
在过去的研究中，人们已经广泛认识到材料的性质对圆偏光的透射率具有重要影响。
材料的吸收、散射、折射等光学特性决定了圆偏光在其中的传播行为。
例如，在金属和介质材料中，由于其不同的电磁波响应机制，导致圆偏光的透射率差异巨大。
因此，理解和控制材料的光学特性对于提高圆偏光传输效率至关重要。
从光学的角度来看，圆偏光的传播可以通过Maxwell方程组进行描述。
有限时域差分法（FDTD）是一种广泛应用于求解Maxwell方程组的数值方法。
通过FDTD方法，我们可以模拟不同材料中圆偏光的传播、透射过程，并进一步分析其透射率与材料性质之间的关系。
在研究中，我们将基于FDTD方法对圆偏光的透射率进行详细的数值模拟和分析，探讨不同参数对圆偏光透射率的影响。
除了理论模拟，实验研究也是了解圆偏光透射率的重要途径。
通过搭建相应的光学实验平台，我们可以测量不同材料在圆偏光照射下的透射率，并与模拟结果进行对比。
通过实验数据的分析和处理，我们可以验证模拟结果的准确性，进一步验证材料性质对于圆偏光透射率的影响。
另外，材料的制备和加工也对圆偏光的透射率产生重要影响。
不同的加工工艺和制备方法会导致材料内部结构的变化，从而影响其光学性质。
在研究中，我们也将探讨不同加工工艺对材料圆偏光透射率的影响，为实际应用提供更准确的参考。
总的来说，圆偏光的透射率是一个复杂的光学现象，受到多种因素的共同影响。
通过深入研究圆偏光在不同材料中的传播规律，我们可以更好地理解其在光学器件中的应用，优化器件设计，提高传输效率。
未来的研究中，我们还可以结合更多光学方法和技术，进一步探讨圆偏光透射率的机制，拓展其在光学通信、显微成像等领域的应用。
fdtd基本仿真流程
fdtd基本仿真流程
fdtd的基本仿真流程大致如下：
1. 定义网格：首先，需要确定所模拟问题的网格，并且这个网格需要相互交织，使每一个网格空间内的电场和磁场都能精确计算。
2. 编写源代码：接着，编写用于求解Maxwell旋度方程的源代码，使用时间离散的递进序列，将带时间变量的Maxwell旋度方程转化为差分形式。
3. 运行仿真：启动仿真程序，将源代码载入仿真环境中，并开始运行仿真。
4. 查看结果：仿真运行结束后，就可以查看仿真结果。
这种结果通常是电场和磁场在不同时间步上的值。
在使用全波软件进行仿真的过程中，还需注意一些参数设置等问题，以避免低级错误。
同时，根据实际工程应用中的需求，可以选择不同的仿真算法，如FDTD、FEM、FIT等，并根据需要调整其参数。
基于时域有限差分法(FDTD)的矩形谐振腔分析
一、 设计任务采用FDTD 数值计算的方法来分析理想谐振腔中的场，谐振腔尺寸为25*12.5*60mm 填充空气，采用直角坐标系下的场分量迭代公式，激励源采用高斯脉冲源，源的参数根据谐振腔的尺寸来确定。
分析时间和空间离散度以及采样点数对分析结果的影响。
二、 方案设计（1）学习FDTD 理论，并推导直角坐标系下maxwell 方程的差分方程；（2）理论学习并推导理想矩形谐振腔中的时谐场，并分析其谐振频率分布； （3）激励源采用高斯脉冲源，导体采用PEC 边界，利用FDTD 编程求解谐振腔内的场分量；（4）对谐振腔内部分点处的采样数据进行频谱分析，提取其谐振频率分布，并与理论对比，并分析时间和空间离散度以及采样点数对分析结果的影响。
三、 设计原理3.1时域有限差分法FDTD(finite diference time domain)方法属于全波分析法， 它是Yee 在1966年所提出的数值方法“ ，其原理是将麦克斯韦方程式中两个微分形式的旋度方程式以中心差分式做离散化。
求解过程由递推完成，尤其适合计算机编程实现。
3.1.1有限差分法有限差分法是用变量离散的、含有有限个未知数的差分方程近似的代替连续变量的微分方程，即构造合理的差分格式，使其解能保持原问题的主要性质，并有相当高的精确度。
假设f(x),为x 的连续函数，在x 轴上每隔h 距离取一点，其中任意某一点用x i 表示，则叫做f(x)在x i 点的中心差分。
在时域有限差分法中正是用中心差商代替微商，同时用Max-well 方程组建立差分方程。
3.1.2 Yee ’s 差分算法H E, 场分量取样节点在空间和时间上采取交替排布，利用电生磁，磁生电的原理tt ∂∂=∂∂=⨯∇ED H εt t ∂∂-=∂∂-=⨯∇HB E μ--（1）如图3-1所示，Yee 单元有以下特点：（1）E 与H 分量在空间交叉放置，相互垂直；(i ,(i ,j+1,k+1)(i+1,(i+1,j+1,k+1)E yE x（2）每一坐标平面上的E分量四周由H分量环绕，H分量的四周由E分量环绕；（3）每一场分量自身相距一个空间步长，E和H相距半个空间步长（4）电场取n时刻的值，磁场取n+0.5时刻的值；（5）电场n+1时刻的值由 n 时刻的值得到，磁场n+0.5时刻的值由n-0.5时刻的值得到；电场n+1时刻的旋度对应(n+1)+0.5时刻的磁场值，磁场n+0.5时刻的旋度对应 (n+0.5)+0.5时刻的电场值；（6）3个空间方向上的时间步长相等，以保证均匀介质中场量的空间变量与时间变量完全对称。
时域有限差分法
时域有限差分法时域有限差分（FiniteDifferenceinTimeDomain,称FDTD）法是一种广泛应用于电磁场仿真的数值计算方法，它以离散时间步长来描述电磁场的变化，可以准确模拟空间内电磁场随时间变化的波动特性。
在时域有限差分仿真中，以Maxwell方程描述电磁场的运动，将时域的空间变化转换为表示时间的一维网格，用有限差分技术对Maxwell 方程组及其边界条件进行求解，可以得到空间中电磁场的离散值的解，从而达到仿真电磁场变化的目的。
FDTD仿真技术的最早应用出现在1960年代。
由于它的有效性和快速灵活性，FDTD仿真技术得到了快速发展，在电磁场仿真中得到了普遍应用。
FDTD仿真技术具有以下优点：1.基本实现简单，编程简单，计算效率高；2.可以准确仿真各种复杂电磁环境中电磁波传播的特性，如介质内各种参数随时间变化；3.不仅可以仿真欧姆模型，还可以用于局部质点模型的仿真；4.容易添加吸收边界，有效地抑制反射和折射现象；5.可以定制计算区域，灵活处理各种复杂的边界条件；6.计算中可以容易地加入激励和探测源；7.可以同时计算多个激励源和探测源，完成多源多探测器的仿真；8.可以方便地仿真非线性电磁材料的特性；9.单片机控制的实时仿真可以实时进行激励和探测调制；10.可以方便地模拟分布式电磁系统。
时域有限差分仿真技术的基本原理是采用有限差分法，沿时间轴以离散的步长，用一维数组离散地表示各点的电场态，并以此实现电磁场系统的时间域模拟。
FDTD法在时间域上使用一维离散网格，将Maxwell方程组及其边界条件分解，分别应用一阶导数近似公式（如中心差分公式）求解，按照计算元（grid point）在时空域中的局部特性，分别设定电磁场源、介质参数和边界条件，利用时域有限差分公式迭代求解Maxwell方程，可以得到边界条件和激励源允许的范围内的空间中的电磁场的离散值的解，从而达到仿真电磁场变化的目的。
借助时域有限差分法可以实现对天线、微波传输线、无线局域网、雷达、全波器件等电磁系统的仿真，其结果可以用于设计、性能预测、状态诊断、运行维护、电磁干扰抑制等诸多应用领域。
fdtd对于倏逝场的模拟
fdtd对于倏逝场的模拟
时域有限差分法（Finite-Difference Time-Domain，FDTD）在
电磁学中被广泛应用于倏逝场的模拟。
倏逝场指的是由电磁波通过介质时引起的电流和电荷的变化，如电磁脉冲和超短脉冲。
FDTD方法通过在计算区域的每个节点上离散Maxwell方程组
来模拟倏逝场。
Maxwell方程组包括电场E和磁场H的时间依赖和空间依赖关系。
通过将这些方程用有限差分格式离散化，并使用更新方程和边界条件进行迭代，可以得到电场和磁场在整个计算区域中的时域演化情况。
在FDTD方法中，电场和磁场值在每个时间步长和空间节点
上进行更新。
通过计算电场和磁场的时域演化，可以获得倏逝场的时域行为。
FDTD方法对倏逝场的模拟具有高计算精度和
数值稳定性。
FDTD方法的应用范围广泛，包括雷达和无线通信系统中的电
磁传输、电磁波散射和辐射、超快光学和激光脉冲传输等。
通过FDTD方法可以研究倏逝场的传播特性、干扰和散射效应，为相关应用提供建模和优化的依据。
FDTD方法中的吸收边界条件
FDTD方法中的吸收边界条件有几种吸收边界条件可以用于时域有限差分时间-域（FDTD）方法中，以模拟开放空间的无穷边界。
这些吸收边界条件的目标是吸收或反射尽可能少的能量，并且尽量减小边界对计算域中场分布的影响。
第一种常见的吸收边界条件是完美匹配层（Perfectly Matched Layer，简称PML）。
PML是一种人工吸收层，模拟了在模拟区域边界的理想吸收层。
PML通过嵌入在实际计算区域之外的等效吸收层来实现，使得电磁波在边界处被吸收。
PML通过引入Lossy介质来吸收能量，其吸收效果由材料的吸收率、传播常数和吸收边界厚度等因素决定。
PML在FDTD方法中已经被广泛应用，并且在模拟计算区域边界时表现出了较好的吸收效果。
第二种常见的吸收边界条件是吸收边界条件（Absorbing Boundary Condition，简称ABC）。
ABC是一类在边界处引入的边界条件，通过使边界处的反射系数减少来实现。
常见的ABC包括Mur ABC、Berenger ABC和磁流体（Magnetic Fluid）吸收边界等。
ABC通常需要通过增加节点的数目或周围嵌入吸收材料来实现。
这些方法通常需要对计算域进行扩展或使用专门的吸收元件。
第三种常见的吸收边界条件是开放边界条件（Open Boundary Condition，简称OBC）。
OBC试图模拟一个无穷大的开放空间，以模拟场的自由传播。
OBC通常在计算域边界上应用自然边界条件或辐射条件。
自然边界条件要求边界上电场、磁场的法向分量为零，而切向分量与场的梯度成正比。
辐射条件则要求边界上场的入射和反射能量相对较小。
OBC通常在计算域的边界上要求场的梯度不受限制，并且在边界处不反射能量。
这些吸收边界条件在FDTD方法中有各自的优缺点，适用于不同的应用和场景。
PML是一种广泛使用的有效吸收边界条件，但需要较复杂的计算和实现。
ABC通过减小边界反射系数来实现吸收，可以有效减小计算域边界对场的影响，但需要对计算域进行扩展或使用专门的吸收元件。
fdtd材料折射率 -回复
fdtd材料折射率 -回复
FDTD（有限差分时域法）材料折射率是指在FDTD模拟中，对材料的折射率进
行离散化处理后的数值。在FDTD模拟中，折射率是一个非常重要的参量，它用
于计算电磁波在材料中的传播速度和路径。FDTD模拟中，通常假设材料为均匀
介质，所以折射率可以用下式表示：
n = c / v
其中，c为光速，v为材料中的相速度。在FDTD模拟中，由于空间被离散化为
网格，因此折射率也需要进行离散化处理，一般采用中心差分法对相速度进行离
散化，然后计算得到离散化后的折射率。
fdtd多边形参数扫描
fdtd多边形参数扫描FDTD多边形参数扫描FDTD（时域有限差分）方法是一种常用的数值计算电磁场分布的方法，广泛应用于电磁学、光学等领域。
在FDTD模拟中，准确设定模型的参数是非常重要的，而参数扫描是一种常用的方法，可以帮助我们寻找到最佳的模型参数。
多边形是一种常见的几何形状，具有多个边和角。
在FDTD模拟中，我们可以通过调整多边形的参数来研究不同形状对电磁场分布的影响。
下面将介绍常见的多边形参数以及如何进行参数扫描。
1. 边的数量：多边形的边的数量对电磁场分布有重要影响。
通过增加或减少边的数量，我们可以观察到电磁场的变化趋势。
例如，对于一个正多边形，边的数量增加时，电磁场在多边形内部的分布会趋向于均匀。
2. 边长：多边形的边长也是一个重要的参数。
当边长变化时，电磁场的分布也会发生改变。
例如，边长变小时，电磁场的局部变化会更加明显。
3. 角度：多边形的角度也会对电磁场产生影响。
通过调整多边形的角度，我们可以研究电磁场在不同角度下的行为。
例如，当多边形变成一个正方形时，电磁场的分布会呈现出对称性。
通过对以上多边形参数进行扫描，我们可以得到不同参数下电磁场的分布情况，进而分析不同参数对电磁场的影响。
参数扫描可以帮助我们了解电磁场的行为规律，优化模型参数，提高模拟结果的准确性。
在进行参数扫描时，我们可以选择一个基准参数，例如一个正方形，然后逐步调整参数进行扫描。
通过对比不同参数下的电磁场分布，我们可以找到最佳参数，使得模拟结果更加准确。
除了上述的多边形参数外，还可以考虑其他参数的扫描，例如材料的折射率、多边形的位置等。
这些参数的变化也会对电磁场的分布产生影响。
需要注意的是，在进行参数扫描时，我们应该避免过于复杂的参数组合。
过多的参数可能会导致计算量过大，同时也增加了模拟结果的不确定性。
因此，我们应该选择几个关键的参数进行扫描，以便更好地理解电磁场的行为。
FDTD多边形参数扫描是一种重要的方法，可以帮助我们研究电磁场在不同参数下的分布情况。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Yee把E 和H 在时间长相差半个步长计算(为了满足精度的要求)。
FDTD基本原理(续)
9
根据这一原则可以写出六个差分方程:
其余的也如法可以写出，每个网格点上的个场分两的新值依赖于该点在前 一时间步长时刻的值机该点周围的临近点上另一场量在早半个时间步长时的值。 因此任一时刻可一次算出一个点，并行算法可计算出多个点。通过这些运算可 以交替算出电场磁场在各个时间步的值。
FDTD算法
李波 2006.12.1
议程
FDTD简介 简介 差分运算基本概念 FDTD基本原理 基本原理 解的稳定性 数值色散 吸收边界条件
2
FDTD简介
3
时域有限差分法 (FDTD, Finite-Difference Time-Domain)
– 是1966年K.S.Yee发表在AP上的一篇论文建立起来的，后被称为Yee网格 空间离散方式 – 核心思想是把带时间变量的Maxwell旋度方程转化为差分形式，模拟出电 子脉冲和理想导体作用的时域响应 – 号称目前计算电磁学界最受关注，最时髦的算法，但还在发展完善之中 – 国外已有多种基于FDTD算法的电磁场计算的软件:XFDTD，等等
FDTD基本原理(续)
7
Yee首先在空间上建立矩形差分网格，在时刻n△t时刻，F(x,y,z)可 以写成 F n (i, j,k)= F(iDx,iDy,iDz) 用中心差分取二阶精度： 对空间离散: (1)
对时间离散:
(2)
FDTD基本原理(续)
8
为了满足(1)式空间精度的要求，并满足(2)式，Yee 把空间任一网格上的E和H的六个分量，如下图放置:
16
Nt=120
Ey
△x
自由空间中，一维FDTD,采用一阶Mur吸收边界条件，时间步长为：t = 2c 高斯激励源，激励源的位置在中心网格的中心位置。
x
算法的复杂度和可并行性
17
时间复杂度
–与网格个数成正比
空间复杂度
–自由空间中也是与网格个数成正比
并行的可行性
–串行情况下，一次只能算出一个点的场值，并行情况下， 可以同时计算多个点的场值 –每一步计算只与附近的点有数据依赖关系 –可以考虑利用CELL中SPU的矢量计算功能
x 而一般取： 而一般取： t = 2c
C：为光速，自由空间中： ε = c
min(x, y, z ) 2c
不相等时： 当△ x, △ y, △z不相等时： t =
数值色散
12
产生原因
–FDTD网格中，会导致数字波模在网格中发生改变，这种改 变是由于计算网格本身引起的，而非物理因素，所以必须 考虑
二维二阶近似情形, x=0边界:
Engquist-Majda边界吸收条件，Mur差分格式(续) 边界吸收条件， 边界吸收条件 差分格式
15
三维二阶近似情形, x=0边界:
Mur吸收边界在角点处不适用，因为其中要用到的某些网格
点位于网格区域以外，这些网格点的场量的数据无法知道， 需要其它处理方法。
一维FDTD计算的例子
–在电磁场的辐射和散射问题中，边界总是开放的，电磁 场占据无限大空间，而计算机内存是有限的，所以只能 模拟有限空间。即：时域有限差分网格将在某处被截断。 这要求在网格截断处不能引起波的明显反射，因而对向 外传播的波而言，就像在无限大的空间传播一样，一种 行之有效的方法是在截断处设置一种吸收边界条件。使 传播到截断出的波被边界吸收而不产生反射。
有限差分通常采用的步骤
5
采用一定的网格划分方式离散化场域 对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化 处理，建立差分格式，得到差分方程组 结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问 题的数值解
FDTD就是按照这个步骤，结合自身的特点进行!
FDTD基本原理
6
Maxwell方程组
Maxwell旋度方程可以推出此六个耦合方程
The End
数值稳定性条件
10
问题的提出
–时间步长△t，空间步长△x, △y, △z必须满足一定的 关系，否则就使得数值表现不稳定，表现为：随着计算 步数的增加，计算场量的数值会无限的增大，这种增大 不是由于误差积累造成的，而是由于电磁波的传播关系 被破坏造成的。所以△t, △x, △y, △z必须满足一定的 关系以保证稳定性
关键的三大要素
– 差分格式 – 解的稳定性 – 吸收边界条件
FDTD的特点
– 广泛的应用性 – 节约运算和存储空间 – 适合并行计算
– 计算程序的通用性 – 简单直观，容易掌握
差分计算基本概念
4
设函数f(x), 独立变量x有很小的增量 x
= h ，则
有Taylor公式可得:
由上可知：中心差分截断的误差最小，大致和 的二次方成正比 的二次方成正比! 由上可知：中心差分截断的误差最小，大致和h的二次方成正比
Байду номын сангаас
吸收边界条件很多，而且是研究的热点， 吸收边界条件很多，而且是研究的热点， 下面只给出Engquist-Majda吸收边界条件，采用Mur差分格式 吸收边界条件，采用 差分格式 下面只给出 吸收边界条件
Engquist-Majda边界吸收条件，Mur差分格式
14
总体虚假反射在1%~5%之间
一维一阶近似情形, x=0边界:
数值稳定性的条件
11
是根据电磁原理用数学推导出来的，这里只给出结论，即 保证数值稳定的条件如下：
数值稳定的条件： 数值稳定的条件：
t ≤
ε
1 1 1 + + (x) 2 (y ) 2 (z ) 2
的时候， 当⊿x= ⊿y= ⊿z的时候，即：空间 的时候 步长相等的时候: 步长相等的时候
t ≤
ε
x x = 3 3v
适当选取时间步长，空间步长，传播方向，可以得到 理想情况（我们实验只需考虑这种特殊情况）
–3-D方形网格：取波沿对角线传播 (数值稳定的极限状态),可得理想色散关系。 –2-D方形网格:也是沿对角线传播， （也是数值稳定的极限状态） –1-D网格 (数值稳定的极限状态)
吸收边界条件
13
问题的提出