数列的通项公式
求数列的通项公式
求数列通项公式法一 ：公式法：运用等差（等比）数列的通项公式.法二：前n 项和法：已知数列}{n a 前n 项和n S ，则⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n nn （注意：不能忘记讨论1=n ）Sn 表达式中含an ：已知n a 与n S 的关系式，利用)2(1≥-=-n S S a n n n ，将关系式转化为只含有n a 或n S 的递推关系，再利用上述方法求出n a .已知数列}{n a 前n 项和n S ，则⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n nn （注意：要验证能否合二为一）例1 数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，则n a = 。
变式 数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，._______85=<<k a k ，则若 变式 已知数列{}n a 的前n 项和公式，求{}n a 的通项公式①n n S n 322+=；②132-⋅=n n S例2设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12-=n n a S ，求数列}{n a 的通项公式； 变式 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*111,42()n n a S a n N +==+∈，（1）设2n n n a b =，求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和的公式法三:：利用前n 项积，已知数列}{n a 前n 项之积T n ，一般可求T n-1，则a n ＝1－n n T T （注意：不能忘记讨论1=n ）. 例 数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a __________.法四 ：累加法：已知)2)((1≥=--n n f a a n n ，且{f(n)}成等差（比）数列，则求n a 可用累加法. 常见基本形式：三种例 数列}{n a 满足12212,5,32n n n a a a a a ++===-，（1）求证：数列1{}n n a a +-是等比数列； （2）求数列}{n a 的通项公式n a ；（3）求数列}{n a 的前n 项和n S .变式 已知数列}{n a ；①若满足291=a ，)2(121≥-=--n n a a n n ，则n a =_______________.变式 已知数列{}n a 满足11a =，)1(11+=-+n n a a n n (2)n ≥，则n a =_______________. 变式 已知数列{}n a 满足11a =，n n a a n n ++=--111(2)n ≥，则n a =_______________.法五：累乘法例 若满足a 1=1,)2(11≥+=-n n n a a n n ，则n a =_______________. 变式已知）（，n n n a a n a a -==+111,则数列{}n a 的通项公式=n a ( ) A. 12-n B.11-+n nn ）（ C. 2n D. n 法六 ：构造辅助数列法： 已知数列}{n a 的递推关系，研究a n 与a n －1的关系式的特点，可以通过变形构造，得出新数列)}({n a f 为等差或等比数列.共有六种类型：类型一：待定系数法例 已知数列满足1a =1，1n a +=2n a +3，则n a =_______________.变式 已知点,3121),11=+=+a x y a a n n 上，且在直线（则n a =_______________. 变式 已知数列{}n a 满足11a =，n n n a x a x a ，求的两实根，且满足为方程，26-60312=+=+-+βαβαβα类型二 取倒法例 已知数列}{n a 满足11=a ，131+=+n n n a a a ，则n a =_______ 变式 已知数列}{n a 满足11=a ，3231+=+n n n a a a ，则n a =_______ 类型三 取倒法与待定系数法相结合 例 已知数列}{n a 满足11=a ，231+=+n n n a a a ，则n a =_______ 变式 已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =，，．求{}n a 的通项公式；变式 变式 已知数列}{n a 的首项1a a =（a 是常数且1a ≠-），121(,2)n n a a n N n -=+∈≥．（1）}{n a 是否可能是等差数列，若可能，求出}{n a 的通项公式；若不可能，说明理由；（2）设(,n n b a c n N =+∈c 是常数)，若{}n b 是等比数列，求实数c 的值，并求出}{n a 的通项公式。
数列的通项公式
数列的通项公式数列的通项公式是指可以通过一个通项公式，根据数列的位置n来求得数列中相应位置n的数值。
通项公式在数学中有着重要的应用，能够用来推导和计算各种数列的特性和属性。
本文将介绍数列的通项公式，并对几类常见的数列进行推导和求解。
数列是按照一定的规律排列的一组数的集合。
根据数列的规律不同，可以分为等差数列、等比数列、等差几何数列等多种类型。
数列的通项公式就是能够根据数列的位置n来计算出该位置上数值的公式。
首先，我们来介绍等差数列的通项公式。
等差数列是指数列中每个数与它前面的数之差都相等的数列。
设等差数列的前n项和为Sn，首项为a1，差值为d，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中an表示等差数列的第n个数。
以等差数列1，4，7，10，13，...为例，首项a1=1，差值d=3，根据通项公式可得：an = 1 + (n-1)3 = 3n - 2接下来，我们来介绍等比数列的通项公式。
等比数列是指数列中每个数与它前面的数之比都相等的数列。
设等比数列的前n项和为Sn，首项为a1，公比为r，则等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中an表示等比数列的第n个数。
以等比数列1，2，4，8，16，...为例，首项a1=1，公比r=2，根据通项公式可得：an = 1 * 2^(n-1) = 2^(n-1)除了上述两种常见的数列类型，还有很多其他的数列类型，比如等差几何数列、斐波那契数列等。
对于这些数列类型，通项公式的推导过程可能会更加复杂。
比如等差几何数列是指每个数与它前面的数之比都相等，且每个数与它前面的数之差也相等的数列。
设等差几何数列的前n项和为Sn，首项为a1，公差为d，公比为r，则等差几何数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1) + d(n-1)斐波那契数列是指从第3项开始，每一项都是前两项的和的数列。
设斐波那契数列的第n个数为Fn，则斐波那契数列的通项公式为：Fn=F(n-1)+F(n-2)其中F1=1，F2=1为前两项。
数列的通项公式(重要完整)
数列通项公式的求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d ∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=】点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
二、公式法若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解。
例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。
解：由1121111=⇒-==a a S a当2≥n 时，有,)1(2)(211nn n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+⨯-,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯- ].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3212---+=n n n a 点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
数列的通项公式及递推公式
数列的通项公式及递推公式数列是按照一定的规律排列的一系列数字。
在数学中，我们常常使用通项公式和递推公式来描述数列。
一、通项公式通项公式是指能够给出数列中第n项的公式。
也就是说，通过通项公式，我们可以直接计算出数列中任意一项的值，而不需要知道前面的所有项。
1.1等差数列的通项公式等差数列是指相邻两项之间的差值都是相等的数列。
一般地，等差数列可以写作a，a+d，a+2d，a+3d，...，其中a是首项，d是公差（即相邻两项之间的差值）。
等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d，其中an是数列中第n项的值，a是数列的首项，d是数列的公差。
举个例子，如果一个等差数列的首项是2，公差是3，那么这个数列的通项公式就是an = 2 + 3(n-1)。
1.2等比数列的通项公式等比数列是指相邻两项之间的比值都是相等的数列。
一般地，等比数列可以写作a，ar，ar^2，ar^3，...，其中a是首项，r是公比（即相邻两项之间的比值）。
等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中an是数列中第n 项的值，a是数列的首项，r是数列的公比。
举个例子，如果一个等比数列的首项是2，公比是3，那么这个数列的通项公式就是an = 2 * 3^(n-1)。
二、递推公式递推公式是指通过已知数列中的前几项来计算出下一项的公式。
也就是说，通过递推公式，我们可以通过已知的前几项来求解后面的项。
2.1等差数列的递推公式对于等差数列而言，递推公式可以表示为：an = an-1 + d。
这个公式表示数列中的第n项等于它前一项的值加上公差d。
2.2等比数列的递推公式对于等比数列而言，递推公式可以表示为：an = an-1 * r。
这个公式表示数列中的第n项等于它前一项的值乘以公比r。
举个例子，如果一个等差数列的首项是2，公差是3，那么数列的递推公式就是an = an-1 + 3对于一个等比数列的首项是2，公比是3，那么数列的递推公式就是an = an-1 * 3综上所述，通项公式和递推公式是描述数列的重要工具。
数列的极限与通项公式
数列的极限与通项公式数列是数学中的一个重要概念，经常在各个领域中被使用。
数列的极限与通项公式是数列研究中的关键内容，本文将介绍数列的基本概念，探讨数列极限及其性质，最后讲解数列的通项公式及应用。
一、数列的基本概念数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
一般用字母表示数列的一般项，常用形式为{a_n}或(a_1, a_2, a_3, ...)。
其中，a_n表示数列的第n项，n表示项的顺序。
二、数列的极限数列的极限是指当数列中的项数趋于无穷大时，数列中的项的极限值。
记作lim(a_n)或a_n→∞。
1. 数列的极限存在若存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，当n>N时，有|a_n - L| < ε，则称L为数列{a_n}的极限，并记作lim(a_n) = L。
2. 数列的极限性质（1）极限的唯一性：如果数列{a_n}有极限，则极限是唯一的。
（2）夹逼准则：若数列{a_n}，{b_n}，{c_n}满足a_n ≤ b_n ≤ c_n，并且lim(a_n) = lim(c_n) = L，则lim(b_n) = L。
（3）有界性：若数列{a_n}有极限，则数列是有界的。
（4）收敛数列与发散数列：若数列{a_n}有极限，则称之为收敛数列；反之，称为发散数列。
三、数列的通项公式数列的通项公式是表示数列第n项的一般形式。
通过通项公式，我们可以根据项的顺序n计算数列中的特定项的值。
1. 等差数列的通项公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都相等的数列。
若等差数列的首项为a_1，公差为d，则它的通项公式为a_n = a_1 + (n-1)d。
2. 等比数列的通项公式等比数列是指数列中任意两个相邻项之比都相等的数列。
若等比数列的首项为a_1，公比为q，则它的通项公式为a_n = a_1 * q^(n-1)。
3. 斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是指首项和第二项都为1，从第三项开始，每一项都是前两项之和的数列。
求数列通项公式的11种方法
求数列通项公式的11种方法数列通项公式是数学中一种重要的概念，它通过确定数列中任意一项的值来描述数列的规律。
它与算法不同，可在一定程度上减少计算量。
本文将介绍求数列通项公式的11种方法，帮助读者更好地理解数列通项公式的意义。
第一种方法是利用数列中已知项，来求数列通项公式。
比如，一个数列已知前五项a1,a2,a3,a4,a5，那么数列的通项公式为a1+a2+ a3+ a4+a5，通过求和得出该数列的公式。
第二种方法是使用特征系数展开式求数列通项公式。
比如，一个数列已知前五项a1,a2,a3,a4,a5，那么可以使用特征系数展开式求出该数列的通项公式：a1+2a2+3a3+4a4+5a5。
第三种方法是倒数展开式求数列通项公式。
比如，一个数列已知前五项a1,a2,a3,a4,a5，那么可以使用倒数展开式求出该数列的通项公式：a1+a2/2+a3/3+a4/4+a5/5。
第四种方法是由观察法求数列通项公式。
比如，一个数列已知前五项a1,a2,a3,a4,a5，那么可以通过观察发现，这是一个等比数列，则该数列的通项公式为a1qn-1，其中q为公比。
第五种方法是由增量法求数列通项公式。
比如，一个数列已知前五项a1,a2,a3,a4,a5，增量法可以用来求出a2=a1+d1，a3=a2+d2，a4=a3+d3，a5=a4+d4，其中d1,d2,d3,d4为增量。
将这四式代入原式：a1+a2+a3+a4+a5，即可求出该数列的通项公式：a1+(n-1)(d1+d2+d3+d4)/2+nd5。
第六种方法是由公因式法求数列通项公式。
比如，一个数列已知前五项a1,a2,a3,a4,a5，那么可以将这五项分别除以共同的因子，求出最小因式，例如给定数列a1,a2,a3,a4,a5=2,4,8,16,32，其中32是最大因子，将其他四项都除以32，得到d1=1/2,d2=1/4,d3=1/8,d4=1/16，将d1,d2,d3,d4代入原式a1+a2+a3+a4+a5，即可求出该数列的公式。
数列的通项和求和公式推导
数列的通项和求和公式推导数学中的数列是由一系列按照规律排列的数所组成的序列。
对于给定的数列，我们通常希望能够找到一个通项公式来表示数列的第n项，同时也希望能够求解数列的前n项和。
在本文中，我们将讨论如何推导数列的通项公式和求和公式。
一、等差等差数列是最常见的数列之一，它的特点是每一项与前一项之间的差值都相等。
假设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an。
1. 推导通项公式我们可以观察到，等差数列每一项与首项之间存在一个公差的倍数关系，即：an = a1 + (n-1)d这个等式可以通过数学归纳法推导得出。
假设等式对于n=k成立，即：ak = a1 + (k-1)d那么对于n=k+1，我们有：ak+1 = a1 + kd通过对上述两个等式进行代换，得到：ak+1 = (a1 + (k-1)d) + d = a1 + kd由此可见，当等式对于n=k成立时，等式对于n=k+1也成立。
因此，等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d2. 推导求和公式为了推导等差数列的求和公式，我们可以考虑将数列按照首项与末项、次首项与次末项等进行配对求和。
我们可以观察到这些配对的和都相等，都等于等差数列的中间项和。
设等差数列的首项为a1，末项为an，共有n项。
那么有：a1 + an = a1 + (a1 + (n-1)d) = 2a1 + (n-1)da2 + an-1 = (a1 + d) + (a1 + (n-2)d) = 2a1 + (n-1)d...ak + an-k+1 = (a1 + (k-1)d) + (a1 + (n-k)d) = 2a1 + (n-1)d将上述k个等式相加，得到：2(a1 + a2 + ... + an-k+1) + (n-k)(d + d + ... + d) = k(2a1 + (n-1)d)化简后可得：2S + (n-k)kd = k(2a1 + (n-1)d)其中，S表示等差数列的前n项和。
数列的通项公式
数列的通项公式数列是数学中常见的一个概念。
在数列中，每个数都按照一定的规律排列，并且数与数之间存在着某种关系。
通项公式是数列中的一个重要概念，它可以用来表示数列中任意一项与项号之间的关系。
本文将介绍数列的通项公式以及如何推导通项公式。
一、数列的定义和表示数列是按照一定的规律排列的一系列数。
数列中的每个数叫做数列的项，用a1, a2, a3, ... 表示。
项与项之间的关系可以通过一个公式来表示，这个公式叫做数列的通项公式。
二、通项公式的推导方法通项公式的推导方法主要有以下几种：1. 等差数列的通项公式如果数列中相邻两项之间的差值是一个常数d，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的通项公式可以通过以下推导得到：设数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则有：an = a1 + (n-1)d。
这个公式就是等差数列的通项公式。
2. 等比数列的通项公式如果数列中相邻两项之间的比值是一个常数q，那么这个数列就是等比数列。
等比数列的通项公式可以通过以下推导得到：设数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，则有：an = a1 * q^(n-1)。
这个公式就是等比数列的通项公式。
3. 其他数列的通项公式除了等差数列和等比数列之外，还有一些特殊的数列，其通项公式可以通过其他方法推导得到。
例如斐波那契数列、调和级数等。
三、使用通项公式求解问题通项公式可以帮助我们求解数列中的各种问题，例如确定数列中某一项的值、确定数列中的某些特定项、求解数列中的和等。
通过使用通项公式，我们可以更加简洁地解决这些问题。
四、总结数列的通项公式是数列中的一个重要概念，它可以用来表示数列中任意一项与项号之间的关系。
通项公式的推导方法主要有等差数列的通项公式和等比数列的通项公式。
通项公式可以帮助我们求解数列中的各种问题，是数列研究中的重要工具。
参考文献：1. 《高等数学》教材；。
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数列的通项公式一、通项公式的定义：一般的,若数列{n a }的第n 项n a 与项序号n 之间能用一个公式n a =)(n f 表示,则称n a =)(n f 为数列{n a }的通项公式[注意]：（1）数列的通项公式不一定存在，即使有，也不唯一，必要时可采用分段表示，如2的不足近似值组成的数列: 1,1.4,1.41,1.414,1.4142,…就没有通项公式.（2）若已知数列{n a }的通项公式为n a =)(n f ,则用1,2,3,4, …代替公式n a =)(n f 中的n ,就可以求出该数列的各项.（3）若数列不是无穷数列，写通项公式还要注意n 的取值范围。
二、通项公式的求法：1．公式法：已知一个数列为等差或等比数列，直接用等差或等比数列的通项公式。
（1）递推式为1(n n a a d d +-=为常数）或112(2)n n n a a a n +-=+≥⇒数列{}n a 为等差数列⇒等差数列{}n a 的通项公式：*1(1),n a a n d n N =+-∈（通项公式推广：*,,n m n m a a q n m N -=∈）（2）递推式为1(n na q q a +=为常数）或211(2,0)n n n n a a a n a +-=⨯≥≠⇒数列{}n a 为等比数列⇒等比数列{}n a 的通项公式：1*1,n n a a q n N -=∈ （通项公式推广：*.,n m n m a a q n m N -=∈）例：已知数列{}n a 中，11a =，21+=+n n a a ，求n a 。
解：由21+=+n n a a 得：12n n a a +-=，∴数列{}n a 为等差数列，首项为11a =，公差为2，∴12-=n a n 练习：1已知数列{}n a 中，21=a ，n n a a 211=+，求n a 。
2．设{}n a 是等差数列，1()2na nb =，123123211,88b b b b b b ++==，求等差数列的通项n a练习答案：1．解：由n n a a 211=+得：112n n a a +=，∴数列{}n a 为等比数列，首项为12a =，公比为12，∴221-=n n a. 2．解：设{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，由题设有1(1)1()2a n d nb +-=，故11122()2132111()()()222a a d a d b b b ++=⋅==，又因12318b b b =，得3218b =解得212b =代入123123211,88b b b b b b ++==，解之得：1313112,,288b b b b ====或.2,32,111-===-=∴d a d a 或. 当2,11=-=d a 时，通项32-=n a n ;当2,31-==d a 时，通项52--=n a n .2．观察法：观察数列特征，横向看各项间的关系结构，常把各项进行拆分、增加或减少、化为同分母或同分子等；纵向看各项与项数n 的内在关系.观察—猜想—归纳（用的是不完全归纳法）例：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9,99,999,9999,…（2） ,17164,1093,542,211 （3） ,52,21,32,1（4） ,54,43,32,21--(5)1,8,27,64, (6)137152,4,6,8,292865解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=nn a（2）22;1=++n n a n n （3）;12+=n a n （4）1)1(1+⋅-=+n n a n n (5)3n a n =(6)32121n n a n n -=++ 总结：（1）关键是找出各项与项数n 的关系。
（2）正负相间的数列用(1)n-n+1或(-1) 调节符号练习：1．数列222221314151,,,2345---- 的一个通项公式为2．1111,,,.12233445--⨯⨯⨯⨯ 的一个通项公式为 3．1,7,13,19,;-- 的一个通项公式为 4．7,77,777,7777,77777,; 的一个通项公式为 5．5,0,5,0,5,0,5,0,.-- 的一个通项公式为6．313131,,,,,,;23456--- 的一个通项公式为7．31537,,,,,.5211717的一个通项公式为8．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表． 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内．9．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n 个图中有__ _个点．（1） （2） （3） （4） （5）练习答案：1．2(1)11n n a n +-=+ 2．1(1)(1)n n a n n =-+ 3．(1)(65)nn a n =-- 4．7(101)9n n a =-5．5sin 2n n a π= 6．1(1)2n n a n+-⋅= 7．232n n a n +=+ 8．140 和85 9．21n n -+。
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3． 累加法（或连加法、叠加法）：递推式为)(1n f a a n n +=+（+∈N n ，其中(1)(2)()f f f n ++ 可求）①若()f n 是关于n 的一次函数即()f n An B =+，累加后可转化为等差数列求和; ②若()f n 是关于n 的二次函数即2()f n An Bn C =++，累加后可分组求和; ③若()f n )是关于n 的指数型函数即()nf n Aq B =+，累加后可转化为等比数列求和; ④若()f n 是关于n 的分式函数（如1()()f n n n k =+等），累加后可裂项求和。
例：（03天津文） 已知数列{}n a 满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n , 证明213-=n n a 证明：由已知得：故,311--=-n n n a a 112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---=.213133321-=++++--n n n ∴213-=n n a . 例：在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求通项n a .解：依题意得，01=a ，()32112,,3,112312-=--=-=-=--n n a a a a a a n n ，(2)n ≥ 把以上各式相加，得：()()()21232113231-=-+-=-+++=n n n n a n (2)n ≥10a = 也满足上式∴()21n a n =-[注：用累加法求通项，通项公式必合二为一，故用上例写法较好]练习：1.数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈,则数列{}n a 的通项公式=n a _________. 2.数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，则数列{}n a 的通项公式=n a _________.3.已知数列{}n a 中，211=a ，14121-+=+n a a n n ，则数列{}n a 的通项公式=n a ____ _____. 4. （03天津文）在数列{}n a 中，11=a ，1113--++=n n n a a ，则{}n a 的通项公式=n a ____ ____.5.已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⋅+=，，则数列{}n a 的通项公式=n a ___ ______. 6.已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，则数列{}n a 的通项公式=n a ____ _____. 7.数列1,3,7,13,21, 的通项公式为 。
8.已知数列{}n a 满足1132313nn n a a a +=+⨯+=，，则数列{}n a 的通项公式=n a _________. 练习答案：1.解：由已知得：12,n n a a n +-=112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+ =2(1)2(2)211n n -+-++⨯+ =21n n -+ ∴21n a n n =-+ 2.解：由已知得：1111,(1)1n n a a n n n n--==---112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+ =11111111()()()()31212312n n n n -+-++-+-+--- 14n =- 14n a n∴=- 3.解：由已知得：)121121(2114121+--=-=-+n n n a a n n ，所以（n 个式子连加得） 24342411)()()()(11223211--=--=+-+-++-+-=---n n n a a a a a a a a a a n n n n n4.解：由1113--++=n n n a a 得113--=-n n n a a ，所以113--=-n n n a a ，2213---=-n n n a a ，…，312=-a a ，将以上各式相加得：121333-+++=-n n a a ，又11=a 所以 2131)13(233331112-=+-=++++=--n n n n a 5.解：由1231n n n a a +=+⋅+得：1231n n n a a +-=⋅+则11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+1221(231)(231)(231)(231)3n n --=⋅++⋅+++⋅++⋅++ 12212(3333)(1)3n n n --=+++++-+所以33223113nn n a n n -=⋅++=+--6.解：由121n n a a n +=++得：121n n a a n +-=+则11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+2[(1)(2)21](1)1n n n =-+-++++-+ [2(1)1][2(2)1](221)(211)1n n =-++-+++⋅++⋅++ 2[(1)(2)21](1)1n n n =-+-++++-+ (1)2(1)12n nn -=⋅+-+2n =所以{}n a 的通项公式为2n a n = 7. 解：()2132431312,734,1376,,2(1)2n n a a a a a a a a n n --=-=-=-=-=-=-=-≥[]()()2212123(1)212n n a a n n n n a n n n ∴-=++++-=-≥∴=-+≥ 又11a =也满足上式21n a n n ∴=-+8.解：由13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +得：111213333n n n n n a a +++=++，则111213333n n n n n a a +++-=+， 故112232112232111()()()()33333333n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ----------=-+-+-++-+122212121213()()()()333333333n n n --=+++++++++ 1222(1)11111()1333333n n n n n ---=+++++++ 因此11(13)2(1)2113133133223n n nnna n n ---=++=+--⨯，则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯- 4.累乘法（或连乘法、叠乘法、迭乘法）：递推式为1()n n a a f n +=∙（+∈N n (1)(2)()f f f n ⋅ 可求）相邻两项的商不是常数，而是一个与n 有关的值，使用累乘法（累乘法是推导等比数列通项的方法）例：在数列｛n a ｝中，1a =1, n n a n na 11+=+，求n a 的表达式。