名校2020高考解析几何大题四(4.4日)

解析几何大题四（范围最值）1．已知,Q R 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，P 点为椭圆C 上一点，点P 关于x 轴的对称点为H ，且12PQ RH k k ⋅=. （1）若椭圆C 经过圆22(1)4x y +-=的圆心，求椭圆C 的方程；（2）在（1）的条件下，若过点(2,0)M 的直线与椭圆C 相交于不同的,A B 两点，设P 为椭圆C 上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当||AB <t 的取值范围.2．已知椭圆E ：的一个焦点为，长轴与短轴的比为2：1．直线l ：y＝kx +m 与椭圆E 交于P 、Q 两点，其中k 为直线l 的斜率． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若以线段PQ 为直径的圆过坐标原点O ，问：是否存在一个以坐标原点O 为圆心的定圆O ，不论直线l 的斜率k 取何值，定圆O 恒与直线l 相切？如果存在，求出圆O 的方程及实数m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．￥3．椭圆C 的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，过坐标原点的直线l 交C 于P ，Q 两点，|PF 1|+|QF 2|＝4，△PQF 1面积的最大值为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）M 是椭圆上与P ，Q 不重合的一点，证明：直线MP ，MQ 的斜率之积为定值；（3）当点P 在第一象限时，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G ，求△PQG 的面积的最大值．4．已知椭圆()2222:1,0x y C a b a b +=>>的两个焦点1F ，2F ，，2ABF∆的周长等于点A 、B 在椭圆上，且1F 在AB 边上.:（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过圆22:4O x y +=上任意一点P 作椭圆的两条切线PM 和PN 与圆O 交与点M 、N ，求PMN ∆面积的最大值.5．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为12，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅰ）若过点(0,)P m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且3AP PB ，求实数m 的取值范围．/6．已知椭圆C 1：+＝1（a ＞b ＞0）的离心率为，右焦点F 是抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，点（2，4）在抛物线C 2上． （1）求椭圆C 1的方程；（2）已知斜率为k 的直线l 交椭圆C 1于A ，B 两点，M （0，2），直线AM 与BM 的斜率乘积为﹣，若在椭圆上存在点N ，使|AN |＝|BN |，求△ABN 的面积的最小值．、7.已知椭圆O ：+＝1（a ＞b ＞0）过点（，﹣），A （x 0，y 0）（x 0y 0≠0），其上顶点到直线x +y +3＝0的距离为2，过点A 的直线l 与x ，y 轴的交点分别为M 、N ，且＝2．（1）证明：|MN |为定值；（2）如图所示，若A ，C 关于原点对称，B ，D 关于原点对称，且＝λ，求四边形ABCD 面积的最大值．\^？. \￥"；'解析大题四答案1．（1）2212xy+=（2）23t-<<-或23t<<（1）设(,)P x y ，因为(,0),(,0)Q a R a -，则点P 关于x 轴的对称点(,)H x y -.PQy k x a =+，RH y k a x =-，又由椭圆的方程得()222222221x b y b a x a a⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以2222212PQ RHy b k k a x a ⋅===-， 又椭圆C 过圆22(1)4x y +-=的圆心(0,1)，所以22a =，21b =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=；、（2）由题意可知直线AB 的斜率存在，设:(2)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2222128820k x k x k +-+-=由()()42264421820k k k ∆=-+->，得：21(*)2k <2122812k x x k ∴+=+，21228212k x x k -=+. ||3AB<，123x -= ()()4222226482201412912k k k k k ⎡⎤-⎢⎥∴+-⨯<⎢⎥++⎣⎦，214k ∴>，结合（*）得：21142k <<. OA OB tOP +=，()()121200,,x x y y t x y ∴++=.从而()21202812x x k x t t k +==+，()()12012214412y y k y k x x k t t t k +-==+-=⎡⎤⎣⎦+.∵点P 在椭圆上，()()2222284221212k k t k t k ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥∴+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ·整理得：()2221612k tk =+即228812tk=-+，2843t ∴<<， 23t ∴-<<-或23t <<.2.解：（I ）c ＝，2a ：2b ＝2：1，a 2＝b 2+c 2．解得：a ＝2，b ＝1，∴椭圆E 的方程为．（II ）解法一：假设存在定圆O ，不论直线l 的斜率k 取何值时，定圆O 恒与直线l 相切． 这时，只需证明坐标原点O 到直线l 的距离为定值即可．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立方程，消去y 整理得：（4+k 2）x 2+2kmx +m 2﹣4＝0， △＝（2km ）2﹣4（4+k 2）（m 2﹣4）＞0，得：k 2﹣m 2+4＞0，①、，∵以线段PQ 为直径的圆过坐标原点O ， ∴，∴．化简得：4k 2＝5m 2﹣4，②此时，坐标原点O 到直线l 距离d 为：．由坐标原点O 到直线l 的距离为定值知，所以存在定圆O ，不论直线l 的斜率k 取何值时，定圆O 恒与直线l 相切，定圆O 的方程为：．得m的取值范围是．解法二：…假设存在定圆O，不论直线l的斜率k取何值时，定圆O恒与直线l相切．这时，只需证明坐标原点O到直线l的距离为定值即可．设直线OP的方程为：y＝tx，P点的坐标为（x0，y0），则y0＝tx0，联立方程组∴，①∵以线段PQ为直径的圆过坐标原点O，∴OP⊥OQ，直线OQ的方程为：．∴在①式中以换t，得……②又由OP⊥OQ知：设坐标原点O到直线l的距离为d，则有|PQ|d＝|OP||OQ|，…∴．又当直线OP与y轴重合时，P（0，±2），Q（±1，0）此时．由坐标原点O到直线l的距离为定值知，所以存在定圆O，不论直线l的斜率k取何值时，定圆O恒与直线l相切，定圆O的方程为：．直线l与y轴交点为（0，m），且点（0，m）不可能在圆O内，又当k＝0时，直线l与定圆O切于点，所以m的取值范围是．3．解：（1）因为这些l过坐标原点，又椭圆关于原点对称，所以PF1∥QF2且PF1＝QF2，∴四边形F1QF2P是平行四边形，三角形PQF1的面积等于三角形PF1F2，由题意得当三角形PQF1，即三角形PF1F2，最大时则P在椭圆的短轴的顶点处，所以由|PF1|+|QF2|＝4可得2PF1＝4，∴PF1＝2即这时：a2＝b2+c2＝4，且＝2，所以a2＝4，b2＝2，所以椭圆C的方程：＝1；（2）设P（x'，y'），Q（x，y），x'＝﹣x，y'＝﹣y，M（m，n），k PM＝，k QM＝＝，∴k PM•k QM＝＝﹣；.（3）设直线PQ的方程：y＝kx（k＞0），由题意得：E（x，y），k GQ＝k QE＝＝＝，由（2）得，k PG＝﹣，∴PG⊥PQ，即△PQG时直角三角形，联立直线PQ与椭圆方程整理得：（1+2k2）x2＝4，解得：x'＝，y'＝，则直线PG：y＝﹣（x﹣x'）+y'＝﹣x+x'+kx'＝﹣x+x'，联立直线PG 与椭圆的方程整理得：（1+）x 2﹣x +﹣4＝0∴x '+m＝，S △PQG ＝y '（x '+m ）＝kx '•＝＝，令t ＝k +≥2，∴S △PQG ＝＝，∵（2t +）min ＝，∴S △PQG 的最大值为．（4．（1）2213xy +=；（2）PMN S ∆最大值为4. （1）2ABF ∆的周长等于A 、B 在椭圆上，且1F 在AB 边上.∴4a =，即a =离心率3c e a ==∴c =222321b a c =-=-=∴椭圆C 的标准方程为：2213x y +=（2）设(),p p P x y ，则224p p x y +=当两条切线中有一条切线的斜率不存在时，即p x =，1p y =±， 则另一条切线的斜率为0，从而PM PN ⊥.11222PMN S PM PN ∆=⋅=⨯⨯= '当切线斜率都存在，即p x ≠P 的椭圆的切线方程为()p py y k x x -=-则()2213p p y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，即()()()222316330p p p p k x k y kx x y kx ++-+--= 则()()()2226431330p p p p k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--+--=⎣⎦⎢⎥⎣⎦即()2223210p p p p x k x y k y -++-= 设切线PM 和PN 的斜率分别是1k ，2k .则1k ，2k 为方程()2223210p p p p x k x y k y -++-=的两根即()2221222214131333p p p pppx y x k k x x x ----+====----从而PM PN ⊥，则线段MN 为圆O 直径，4MN =()2222111114422244PMN S PM PN PM PN MN ∆⎡⎤=⋅≤+==⨯=⎢⎥⎣⎦ *当且仅当PM PN =时，等号成立，PMN S ∆取得最大值为4.综上所述，PMN S ∆取得最大值为4.5．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）3([,3)．（Ⅱ）若过点(0,)P m 的斜率不存在，则m =． 若过点(0,)P m 的直线斜率为k ，即2≠±m 时，直线AB 的方程为y m kx -=．由22222{(34)841203412y kx mk x kmx m x y =+⇒+++-=+=． 于是2222644(34)(412)m k k m ∆=-+-．因为AB 和椭圆C 交于不同两点，所以>0∆，22430k m -+>，所以2243k m >-．①】设1122(,),(,)A x y B x y ．由已知3AP PB =，则21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++．② 1122(,),(,)AP x m y PB x y m =--=-， 所以123x x -=③将③代入②, 得222244123()3434km m k k --=++．整理得22221612390m k k m -+-=． 所以222931612m k m -=-, 代入①式, 得2222934343m k m m -=>--． 即2224(3)043m m m -<-，解得2334m <<．所以2m <<-2m << 综上可得，实数m的取值范围为3([,3)．6．解：（1）∵点（2，4）在抛物线y 2＝2px 上，∴16＝4p ，解得p ＝4，∴椭圆的右焦点为F （2，0），∴c ＝2，∵椭圆C 1：+＝1（a ＞b ＞0）的离心率为，{∴＝，∴a ＝2，∴b 2＝a 2﹣c 2＝8﹣4＝4，∴椭圆C 1的方程为+＝1，（2）设直线l 的方程为y ＝kx +m ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由，消y 可得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0，∴x 1+x 2＝，x 1x 2＝，∴y 1+y 2＝k （x 1+x 2）+2m ＝，y 1y 2＝k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2＝∵M （0，2），直线AM 与BM 的斜率乘积为﹣，∴k 1•k 2＝•＝＝＝﹣，解得m ＝0，.∴直线l 的方程为y ＝kx ，线段AB 的中点为坐标原点，由弦长公式可得|AB |＝＝，∵|AN |＝|BN |，∴ON 垂直平分线段AB ，当k ≠0时，设直线ON 的方程为y ＝﹣x ，同理可得|ON |＝＝，∴S △ABN ＝|ON |•|AB |＝8，当k ＝0时，△ABN 的面积也适合上式，令t ＝k 2+1，t ≥1，0＜≤1，则S△ABN＝8＝8＝8，∴当＝时，即k＝±1时，S△ABN的最小值为．7.（1）证明：其上顶点（0，b）到直线x+y+3＝0的距离为2，∴，解得b＝1．又椭圆O：+＝1（a＞b＞0）过点（，﹣），∴＝1，解得a2＝4．∴椭圆的标准方程为：＝1．点A在椭圆上，∴＝1．设经过点A的直线方程为：y﹣y0＝k（x﹣x0），可得M，N（0，y0﹣kx0）．∵＝2，∴﹣x0＝，即k＝﹣．∴|MN|＝＝＝3为定值．（2）解：①k≠±，0．由（1）可得：k＝﹣．∵＝λ，∴k OB＝k≠0，k≠±．∴＝＝﹣2．∴k OA＝﹣k．联立，化为：x2＝，y2＝，可得：|OB|2＝．联立，解得x2＝，y2＝，∴|OA|2＝．设∠AOx＝α，∠BOx＝β．∴tan∠BOA＝tan（β﹣α）＝＝．设S四边形ABCD＝S．sin2∠BOA＝＝＝．S2＝16××|OA|2•|OB|2×sin2∠BOA＝4×××＝＝≤16．∴S≤4，当且仅当k2＝时取等号．②k＝±时，OA⊥OB，可得S2＝4××＝＝＜16，∴S＜4．综上可得：S的最大值为4．。